過渡項を考慮した電圧制限円に基づく SPMSM の終端状態制御
−トルク応答の改善のためのフィードフォワード入力の検討−
宮島孝幸
∗，藤本博志（東京大学），藤綱雅己（デンソー）
Final-State Control for SPMSM Based on Voltage Limit Circle with Transient Term -Examination of Feedforward Input for Improving Torque
Response-Takayuki Miyajima∗, Hiroshi Fujimoto (The University of Tokyo) Masami Fujitsuna (DENSO CORPORATION)
Abstract
SPMSMs (Surface Permanent Magnet Synchronous Motors) are employed for many industrial applications. SPMSM drive systems should achieve quick torque response and wide operating range. For quick response, authors proposed final-state control based on voltage limit circle with transient term. Final-state control drives an initial state to a final state with feedforward input during finite time. The proposed method achieved quick torque control in field-weakening region but inverse response of torque was caused. In this paper, a new feedforward input which improves torque response is proposed. Simulations and experiments are performed to compare two types of feedforward input. In addition, in order to analyze torque response under voltage limit, the voltage limit circle of SPMSM with transient term is proposed. キーワード：表面磁石同期モータ，電圧制限円，PWM ホールドモデル，終端状態制御，線形行列不等式
(SPMSM, voltage limit circle, PWM hold model, final-state control, linear matrix inequality )
1. はじめに
表面磁石同期モータ (Surface Permanent Magnent
Syn-chronous Motor: SPMSM)は高効率，高出力密度，界磁磁
束の歪みが少ないという利点から，高速高精度位置決めが 要求される工作機械や，トルクリプルが人の違和感に繋がっ てしまう電動パワーステアリング (Electric Power Steering:
EPS)などに用いられている。モータドライブシステムには 高速なトルク応答，高回転数駆動が要求されているが，これ らを達成するには出力電圧を高くする必要がある。しかしな がら，EPS のようにバッテリー電圧が直流電源電圧となる システムにおいては，出力電圧は大きく制限されてしまう。 また，トルクリプルの観点からインバータの過変調領域の利 用も不可能である。 SPMSMでは界磁磁束を弱めるように d 軸電流を制御す る弱め界磁制御によって駆動領域を拡大することが可能であ る。しかしながら，電圧制限に達する弱め界磁領域において は操作量が電圧位相のみとなる。このため，従来の d, q 軸 電圧を独立に制御する手法では高速な応答の実現が困難であ り，電圧位相を直接操作できる制御系が求められている。 電圧位相を操作する制御系については IPMSM で多く議 論されている。電圧制限において電圧位相の操作によりトル ク応答を改善する手法(1) (2)，トルク制御ループによりトル クと変調率を制御する手法(3) (4)，フィードバック (FB) 制御 器で電圧位相を直接操作する手法(5) (6)などが提案されてい る。しかしながら，更なるトルク応答の高速化には，二自由 度制御を用い，フィードフォワード (FF) 制御器によって電 圧制限下における電流応答を改善する必要がある。 著者らのグループでは，電圧制限を考慮した終端状態制 御(7) に基づく弱め界磁制御を提案した(8) 。この手法では従 来の一入力一出力のシステムに対する終端状態制御(9) とは異 なり，SPMSM の弱め界磁制御を目的関数が二次関数，制約 関数が二次不等式の計画法として線形行列不等式 (LMI)(10) で表現した。これらを解くことで FF 入力 (FSC 入力) を求 め，高速な弱め界磁制御を実現した。本稿では，トルク応答 をさらに改善させるため，q 軸電流の逆応答を発生させない 制約関数を加えた FSC 入力を提案する。また，過渡項を考 慮した SPMSM の電圧制限円から q 軸電流の逆応答の有無 による整定時間の違いを解析し，提案法が過渡項を厳密に考 慮したものであることを示す。 2. SPMSMの dq モデルと離散化 SPMSM の dq 座標電圧方程式を y = x = [id iq]T, u = [vd vq]T となる状態方程式で表すと式 (1), (2), (3) となる。 ˙ x(t) = Ac(ωe)x(t)+Bc { u(t)− [ 0 ωeKe ]T} · · · (1) y(t) = Ccx(t) · · · (2) [ Ac(ωe) Bc Cc 0 ] := −R L ωe −ωe −RL 1 L 0 0 L1 I 0 · · · (3) ただし，vd, q: d, q軸電圧，R: 電機子巻線抵抗，L: インダ クタンス，ωe: 電気角速度，id, q: d, q軸電流，Ke: 誘起電 圧定数である。トルク T は式 (4) で表される。 T = Kmtiq· · · (4) ただし，Kmt:= P Ke, P : 極対数である。なお，本稿では座 標変換を全て絶対変換で考える。 式 (1) を PWM ホールド(11)に基づいて離散化する。ここ で，1 サンプル点間の速度変動が無視できるほど小さいと仮 定すると，ωeKeの項は零次ホールドで離散化できる。また，
i∗ d[k] i∗ q[k] ∆Td[k] ∆Tq[k] iu[k] iw[k] θe[k] uw dq iq[k] id[k] SVM C[z] C[z] − Decoupling Control SPMSM + INV T∗[k] Tu Vdc Tu Vdc Current Reference Generator − + + + + + + θe[k]+∆θe[k] 図 1 従来法 他の項を PWM ホールドに基づき離散化を行うと，式 (5), (6)を得る。ただし，∆T = [∆Td ∆Tq]T(∆Td, q: d, q軸電 圧 ON 時間)，Vdc: 三相インバータ直流電源電圧とする。 x[k + 1] = As(ωe)x[k] + Bs(ωe)∆T [k] −Bs2(ωe) [ 0 ωeKe ]T · · · · (5) y[k] = Csx[k]· · · (6) As(ωe) := eAc(ωe)Tu, Bs(ωe) := eAc(ωe) Tu 2 BcVdc, Bs2(ωe) := A−1c (ωe) ( eAc(ωe)Tu− I ) Bc, Cs:= Cc この PWM ホールドモデルを用いて FF 制御器の設計を行 う。なお，三相の制御入力は空間ベクトル変調を用いて導出 する必要がある(12)。 3. 制御器設計 〈3・1〉 従 来 法 従来法のブロック図を図 1 に示す。 電流 FB 制御器 C(s) は，式 (7), (8) の非干渉制御を行った 上で，式 (9) に示した極零相殺型の PI 制御器 C(s) とする。 これを周期 Tuで Tustin 変換により離散化した C[z] を用い る。また，√v2 d+ vq2> Vmax(Vmax: 電圧振幅最大値) のとき は C[z] の積分を停止させる。 vdref[k] = v′d ref [k]− ωe[k]Liq[k]· · · (7) vqref[k] = v′q ref [k] + ωe[k](Lid[k] + Ke)· · · (8) C(s) =Ls + R τ s , τ = 10Tu· · · (9) 電流指令値生成器では電流振幅が最小となる電圧制限円と 定トルク直線との交点より，トルク指令値 T∗から d, q 軸電 流指令値 i∗d, i∗qを生成する(8)。
空間ベクトル変調 (Space Vector Modulation: SVM) にお ける ∆θe(= 0.5ωeTu)は座標変換における離散化誤差の補償 値である(13)。また，空間ベクトル変調においては式 (10) の 位相優先のリミッタを設けている。 ∆ ˜T [k] = ∆T[k] |∆T[k]|∆Tmax if|∆T [k]| > ∆Tmax ∆T [k] otherwise (10) ただし，∆Tmax: dq軸 ON 時間ベクトル振幅の最大値，∆ ˜T [k]: 位相優先リミッタの出力とする。 〈3・2〉 提 案 法 提案法のブロック図および FF 制御 器 C1[z]を図 2, 3 に示す。提案法は FF 制御器 C1[z]と FB 制御器 C2[z]を有する 2 自由度制御系の構造をしており，2 種類の FF 制御器を備えている。 式 (5) の逆システムを導出すると式 (11) となる。 ∆Tf f[k] =− B−1s (ωe)As(ωe)ˆx[k]+B−1s (ωe)xd[k + 1] + B−1s (ωe)Bs2(ωe) [ 0 ωeKe ]T (11) i∗ [k] C 2[z] + + + i[k] e[k] − ∆Tf f[k] ˆ x[k] uw dq S (Tu) (SVM) HP W M θe[k] Tu Vdc I +∆θe[k] θe[k] Pn[z] Current Reference Generator T∗[k] ∆ ˜Tf f[k] SPMSM INV+ ∆T [k] C1[z] 図 2 提案法 i∗[k] FSC Input Generator ∆Tf f[k] C1[z] −B−1s(ωe)As(ωe)ˆx[k] + B−1s(ωe)i∗[k] Inverse system +B−1 s(ωe)Bs2(ωe) [0 ωeKe] T 図 3 提案法のフィードフォワード制御器 このプラントの安定な逆システムを FF 制御器を構成するこ とで，入力が制限内かつノミナルプラントであるとき，サン プル点上で完全に追従誤差が零になることが補償されてい る。ˆx[k] := [ˆid[k] ˆiq[k]]Tは制御入力の制限を考慮して推定 されたノミナル出力である。この制御入力の制限では式 (10) と同様の制限をかける。 定常状態および電圧制限に達しない過渡応答では，逆シス テムの FF 制御器で用い，電圧制限に達する場合には FSC 入力生成器によって FF 入力を生成し，高速な応答を実現さ せる。なお，FF 制御器の構造を切り替えているが，逆シス テムの FF 制御器はステップ数が 1 の終端状態制御と等しい ため，制御系を不安定にしない。 プラント変動がある場合には FB 制御器 C2[z]が追従誤差 を抑圧する。C2[z]は従来法の FB 制御器 C[z] と同じものを 用いるが，ノミナル出力に電圧制限を考慮することで積分停 止を行わない。 〈3・2・1〉 提案法 1(8) 電圧制限を考慮した終端状態制 御を目的関数が二次関数，制約関数が二次不等式の計画法と して LMI で表現する。この LMI を解くことで，FF 入力を 得る。 式 (5) の SPMSM の PWM ホールドモデルにおいて k = 0, 1,· · · , N − 1 と順番に適用していくと，式 (12) を得る。 以下，ωe= const.と仮定して導出するが，ωeを時変として も同様に LMI を導出できる。 Y = ΣU· · · (12) Y := x[N ]− ANs x[0]− Σ2UEM F · · · (13) Σ := [ ANs−1Bs A N−2 s Bs · · · Bs ] · · · (14) Σ2:= [ ANs−1Bs2 A N−2 s Bs2 · · · Bs2 ] (15) U := [ ∆TT[0] ∆TT[1]· · · ∆TT[N− 1] ]T · (16) UEM F :=−ωeKe [ 0 1 · · · 0 1 ]T · · · (17) 式 (12) を満たす U を求めるが，唯一には定まらない。そ こで，式 (18) の評価関数で表わすように電流誤差の二乗和 を最小化させる。 J = ETQE, Q > 0· · · (18)
E := [e[1]T e[2]T· · · e[N]T]T · · · (19) e[k] := i∗− x[k] =[i∗d i∗q ]T − x[k] · · · (20) ここで， A := [ As A2s · · · A N s ]T · · · (21) B := Bs 0 · · · 0 AsBs Bs · · · 0 . .. ... . .. ... AN−1s Bs A N−2 d Bs · · · Bs · · (22) B2:= Bs2 0 · · · 0 AsBs2 Bs2 · · · 0 . .. ... . .. ... ANs−1Bs2 A N−2 s Bs2 · · · Bs2 (23) I∗:= [ (i∗)T (i∗)T· · · (i∗)T ]T · · · (24) とおくと，電流誤差列 E は式 (25) となる。 E = I∗− Ax[0] − BU − B2UEM F· · · (25) さらに可制御性より，Σ は行フルランクとなる。そこで、 ΣΣ⊥ = 0, ΣΣ† = I を満たす，Σ⊥ ∈ R2N×(2N−2), Σ† ∈ R2N×2を定義し，式 (26) を満たす ˜Uを定義する。 U := [Σ† Σ⊥] ˜U· · · (26) 式 (26) を式 (12) に代入すると、Y = [I 0] ˜Uを得る。よっ て、フリーパラメータ q∈ R(2N−2)×1を用いて ˜ U = [ Y q ]T · · · (27) と書ける。 式 (18) に式 (25), (26), (27) を代入すると，式 (28) を得る。 J = R(q) + S(q)TQS(q)· · · (28) Z := I∗− Ax[0] − BΣ†Y − B2UEM F · · · (29) R(q) := ZTQZ− 2ZTQS(q) · · · (30) S(q) := BΣ⊥q· · · (31) 与えられた γ に対して，J < γ が成り立つ条件は LMI を用 いると式 (32) となる(9)。 [ γ− R(q) S(q)T S(q) Q−1 ] > 0· · · ·(32) 次に制約関数である電圧制限を LMI を用いて表現する。 SPMSMの電圧制限は式 (33) のように表わされる。 ∆TT[k]∆T [k]≤ ∆Tmax2 (k = 0, 1, · · · , N − 1)(33) ここで，1 行 i 列要素，2 行 (i + 1) 列要素が 1 でそれ以外が 0の行列 g(i)∈ R2×2N (i := 2k + 1)を定義する。g(i) を用 い，N 個の LMI を用いて式 (33) を表現すると，式 (34) と なる。 [ I g(i)U (q) U (q)Tg(i)T ∆Tmax−2 ] ≥ 0· · · (34) 表 1 SPMSMパラメータ Inductance L 1.80 [mH] Resistance R 0.157 [Ω] Pairs of poles P 4 Back EMF constant Ke 74.6 [mV/(rad/s)] 式 (32), (34) の下で γ を最小化するフリーパラメータ q を 決定することで，SPMSM の PWM ホールドモデルに対し， 電圧制限を満たしつつ電流誤差の二乗和を最小化させる，か つ x[0] から x[N ] へ N ステップで遷移させる FSC 入力 U が求まる。 〈3・2・2〉 提 案 法 2 提案法 1 では q 軸電流には制約を 加えていないため，逆応答が発生し得る。一般に q 軸電流の 逆応答を発生させないのが好ましいため，提案法 1 に制約関 数を加える。 ここで，1 行 (i + 1) 列要素が 1 でそれ以外が 0 の行列 f (i)∈ R1×2Nを定義する。f (i) を用いると，時刻 (k + 1)T u における q 軸電流 iq[k + 1]は式 (35) で表れる。 iq[k + 1] = f (i) (Ax[0] + BU + B2UEM F)· · · · ·(35)
これより，q 軸電流の逆応答を発生させない制約関数は式 (36) で表わされる。 f (i) (Ax[0] + BU + B2UEM F)− iq[0]≥ 0· · · (36) 式 (32), (34), (36) の下で γ を最小化するフリーパラメー タ q を決定することで，SPMSM の PWM ホールドモデル に対し，電圧制限を満たしつつ電流誤差の二乗和を最小化さ せる，かつ x[0] から x[N ] へ N ステップで q 軸電流の逆応 答を発生させずに遷移させる FSC 入力 U が求まる。これを 提案法 2 とする。 なお，本稿では速度が一定と仮定しているため，提案法 2 で逆応答を発生させない FSC 入力を生成できる。しかし，速 度変動により逆起電力が増大した場合には，提案法 2 では解 は存在しないことを記しておく。 4. シミュレーション SPMSMパラメータを表 1 に示す。また，キャリア周期 Tu=0.1 [ms], 三相インバータ直流電源電圧 Vdc=36 [V]と する。 モータ回転速度が 1000 [rpm] において，ステップトルク 指令値を与えたときのシミュレーション結果を図 4 に示す。 なお，Vmax= √ 3 2 V√dc 3, ∆Tmax= √ 3 2 Tu √ 3，電流指令値生成の 電圧制限 Va= 0.95Vmaxとした。また，dq 軸 ON 時間ベク トルの振幅 ∆Ta, dq軸 ON 時間ベクトルの位相 (電圧位相)δ は式 (37) で与えられる。 ∆Ta= √ ∆T2 d+ ∆Tq2, δ = tan−1−∆T d ∆Tq · · · (37) 図 4(c), 4(g), 4(k) における点線は ∆Tmaxを表わしている。 従来法は電流ベクトル制御であるため電圧位相を直接操作 できず，電圧位相の変化が遅い。これにより，高速な応答が 実現できていない。また，電圧制限に達していなくとも応答 が遅く，指令値に追従していない。これは，アンチワインド アップ制御 (積分停止) による FB ループの不連続，および FB制御器のみで制御系を構成しているためである。
0 10 20 30 40 −25 −20 −15 −10 −5 Time [ms] Current [A] i d i d * (a) id(Conventional) 0 10 20 30 40 0 2 4 6 8 10 12 14 Time [ms] Current [A] i q i q * (b) iq(Conventional) 0 10 20 30 40 0.06 0.065 0.07 0.075 0.08 Time [ms] Amplitude of input [ms] (c) ∆Ta(Conventional) 0 10 20 30 40 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 Time [ms]
Angle of Input [rad]
(d) δ (Conventional) 0 10 20 30 40 −25 −20 −15 −10 −5 Time [ms] Current [A] i d i d * (e) id(Proposed 1) 0 10 20 30 40 0 2 4 6 8 10 12 14 Time [ms] Current [A] i q i q * (f) iq(Proposed 1) 0 10 20 30 40 0.06 0.065 0.07 0.075 0.08 Time [ms] Amplitude of input [ms] (g) ∆Ta(Proposed 1) 0 10 20 30 40 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 Time [ms]
Angle of Input [rad]
(h) δ (Proposed 1) 0 10 20 30 40 −25 −20 −15 −10 −5 Time [ms] Current [A] i d i d * (i) id(Proposed 2) 0 10 20 30 40 0 2 4 6 8 10 12 14 Time [ms] Current [A] i q i q * (j) iq (Proposed 2) 0 10 20 30 40 0.06 0.065 0.07 0.075 0.08 Time [ms] Amplitude of input [ms] (k) ∆Ta(Proposed 2) 0 10 20 30 40 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 Time [ms]
Angle of Input [rad]
(l) δ (Proposed 2) 図 4 シミュレーション結果 (Proposed 1: N = 40, Propsoed 2: N = 49) 提案法 1, 2 では，Q = I として FSC 入力を導出した。ま た，ステップ数 N は整定時間が最短となるように決定し，提 案法 1 では N = 40，提案法 2 では N = 49 であった。提案 法 1 は q 軸電流が逆応答している一方，d 軸電流が急峻に立 ち上がっている。これにより，d 軸電流のオーバーシュート を高速に引き起こし，最も早く q 軸電流を指令値に追従させ ている。提案法 2 では逆応答を発生させないため，応答の始 めに q 電流は変化せずに d 軸電流のみを変化させているが， 提案法 1 に比べその変化量は小さい。また，提案法 1 より もオーバーシュート量は小さいが，同様に d 軸電流オーバー シュートさせ，q 軸電流を追従させている。この結果，整定 時間が 5 ステップ (0.9 [ms]) だけ長いが，提案法 1 と同程度 の高速なトルク応答を実現している。 5. 実 験 シミュレーションと同様にモータ回転速度 1000 [rpm] でス テップトルク指令値を与え，実験を行った。モータパラメー タ，制御周期はシミュレーションと同様である。負荷モータ の速度制御の観点から三相インバータ直流電源電圧 Vdc= 80 [V]とし，ソフトウェアでノミナルな三相インバータ直流電 源電圧 Vdcnを 36 [V] として制御系演算を行う。また，実験 では演算時間を考慮し，∆θ = 0.9ωeTuとした。実験結果を 図 5 に示す。なお，各実験結果における d 軸電流指令値の変 化は，モータ回転速度が整定していないためである。 従来法は同様に電圧制限下での電圧位相の変化が緩やかで あり，シミュレーションと同様に電流応答が遅い。 提案法 1, 2 では予めオフラインで FSC 入力を生成し，ス テップトルク指令値が与えられたときに FSC 入力を FF 入 力として与える。所定のステップ数 N を越えた場合には逆モ デルの FF 制御器から FF 入力を生成した。シミュレーショ ンと同様に q 軸電流の逆応答がある提案法 1 では d 軸電流 の変化が急峻となり，q 軸電流を高速に整定させている。し かしながら，速度変動によって設定したステップ数では追従 していない。一方，提案法 2 では，q 軸電流の逆応答を抑制 している。これにより q 軸電流の変化は遅くなっているもの も，提案法 1 よりも d 軸電流のオーバーシュート量も抑制し ている。 6. 過渡項を考慮した電圧制限円による電流応答の解析 本節では，過渡項を考慮した電圧制限円を提案する。それ を用いてシミュレーション結果及び実験結果を解析する。 〈6・1〉 過渡項を考慮した電圧制限円 式 (1) に示した SPMSMの dq 座標電圧方程式は，電圧制限下 (v2 d+ v 2 q ≤ Vmax2 )では式 (38) となる。 ( Vmax L )2 ≥(i˙d− Cd)2+(i˙q− Cq)2 · · · (38) Cd=− R Lid+ ωeiq · · · (39) Cq=−ωeid− R Liq− ωeKe L · · · (40) ここで，Cd, Cqは過渡項を考慮した電圧制限円中心の d, q 座標を表わす。 一般に電圧制限円は定常状態で達成できる d, q 軸電流を 表わすが，この過渡項を考慮した電圧制限円は現在の動作点 において，電圧制限下で達成できる d, q 軸電流の変化量 ˙id, ˙iqを表わすものである。
0 10 20 30 40 −30 −25 −20 −15 −10 −5 Time [ms] Current [A] i d i d * (a) id(Conventional) 0 10 20 30 40 0 5 10 15 Time [ms] Current [A] i q i q * (b) iq(Conventional) 0 10 20 30 40 0.06 0.065 0.07 0.075 0.08 Time [ms] Amplitude of input [ms] (c) ∆Ta(Conventional) 0 10 20 30 40 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 Time [ms]
Phase of input [rad]
(d) δ (Conventional) 0 10 20 30 40 −30 −25 −20 −15 −10 −5 Time [ms] Current [A] i d i d * (e) id(Proposed 1) 0 10 20 30 40 0 5 10 15 Time [ms] Current [A] i q i q * (f) iq(Proposed 1) 0 10 20 30 40 0.06 0.065 0.07 0.075 0.08 Time [ms] Amplitude of input [ms] (g) ∆Ta(Proposed 1) 0 10 20 30 40 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 Time [ms]
Phase of input [rad]
(h) δ (Proposed 1) 0 10 20 30 40 −30 −25 −20 −15 −10 −5 Time [ms] Current [A] i d i d * (i) id(Proposed 2) 0 10 20 30 40 0 5 10 15 Time [ms] Current [A] i q i q * (j) iq (Proposed 2) 0 10 20 30 40 0.06 0.065 0.07 0.075 0.08 Time [ms] Amplitude of input [ms] (k) ∆Ta(Proposed 2) 0 10 20 30 40 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 Time [ms]
Phase of input [rad]
(l) δ (Proposed 2) 図 5 実験結果 (Proposed 1: N = 40, Propsoed 2: N = 49)
˙i
d˙i
qC
qC
d 図 6 過渡項を考慮した電圧制限円 (ωe≥ 0，力行) 〈6・2〉 電 圧 制 限 下 に お け る SPMSM の 電 流 応 答 ωe ≥ 0，力行を考えると，Cd ≥ 0, Cq ≤ 0 となる。よっ て，図 6 に示すように過渡項を考慮した電圧制限円の中心は dq座標の第四象限上に存在する。ここで，ωe≥ 0, iq≥ 0 の 動作点において所望する応答は，˙id≤ 0 かつ ˙iq≥ 0 という 第二象限の領域である。しかしながら，電圧制限円の中心は 第四象限上にあるために所望の第二象限は狭く，高速な応答 は期待できない。また， ˙iqが最大となる点は第一象限上にあ り，˙id≥ 0 となってしまう。 以上より，第二象限上の領域を広げる操作が必要となる。 そこで，式 (39), (40) を−id, iq で偏微分すると、式 (41), (42)を得る。 ∂Cd ∂(−id) =R L, ∂Cq ∂(−id) = ωe · · · (41) ∂Cd ∂iq = ωe, ∂Cq ∂iq =−R L · · · (42) これより，電圧制限円の中心は，˙id< 0によって第一象限の 方向に推移し，˙iq> 0によって第四象限の方向に推移する。˙i
d˙i
q˙i
q> 0
˙i
d< 0
図 7 高速駆動における過渡項を考慮した 電圧制限円中心の推移 (ωe≥ 0，力行) 特に弱め界磁制御が必要な高速域では，ωe ≫ RL となるた め，図 7 のように Cdの変化は ˙iq，Cqの変化は ˙idが支配的 となる。 つまり，˙iq> 0によって第二象限上の領域がさらに減少す るため，過渡応答の始めに q 軸電流変化量を大きく取るのは 好ましくない。一方，˙id < 0によって q 軸切片が増加する ため，予め負の d 軸電流を優先的に流すことで q 軸電流変 化量を改善できる。また，負の d 軸電流を過剰にすることで ˙id> 0とできるため，第一象限上の点も選択することができ る。第一象限は ˙iqの最大点が存在するため，高速な q 軸電 流応答が実現できる。さらに，q 軸電流の逆応答を許容でき れば，第三象限上の点を選択することで ˙idを負に大きくで きる。以上の動作を行うことで高速な応答を実現できる。 シミュレーションにおける過渡項を考慮した電圧制限円中 心の推移をプロットしたものを図 8 に示す。従来法では，円 の中心が第一象限へ推移していたのが，徐々に d 軸方向に推 移しており，第二象限上の領域を減らしている。これにより，−20 −10 0 10 20 30 −30 −20 −10 0 10 did/dt [A/ms] diq /dt [A/ms] Center of Circle (a) Conventional −20 −10 0 10 20 30 −30 −20 −10 0 10 did/dt [A/ms] diq /dt [A/ms] Circle Center of (b) Proposed 1 −20 −10 0 10 20 30 −30 −20 −10 0 10 did/dt [A/ms] diq /dt [A/ms] Circle Center of (c) Proposed 2 図 8 過渡項を考慮した電圧制限円中心の推移 (シミュレーション) q軸電流応答を悪化させている。提案法 1 では，適切な q 軸 電流の逆応答と d 軸電流オーバーシュートの発生により，円 の中心を第二象限へ移動させ，q 軸電流変化量を大きくして いる。これにより，最も高速な応答を実現したこととなる。 一方，提案法 2 では，q 軸電流変化を零にすることで d 軸電 流変化を優先させ，円の中心を第一象限へ推移させている。 これにより q 軸切片を増加させ，q 軸電流応答を改善した。 また，提案法 1 よりも d 軸電流のオーバーシュート量が減少 したのは，q 軸電流の逆応答を抑圧したことによって d 軸電 流変化量が小さくなり，d 軸電流をオーバーシュート量を増 やすことよりも q 軸電流を変化させた方が整定時間が短くな るためである。提案法のこれらの操作は，PWM ホールドモ デルを用いつつ電圧制限を考慮したことによるものである。 以上のことは経験的に既知の事項ではあるが，本稿では過 渡項を考慮した電圧制限円を用いて解析した。 7. ま と め 本稿では，文献 (8) で提案した FSC 入力に対し，q 軸電流 の逆応答を発生させない制約条件を加えて FSC 入力を求め ることにより，q 軸電流応答を改善させた。シミュレーショ ン及び実験結果より，提案法 1, 2 が従来法よりも大幅に整 定時間を短縮できることを確認した。また，提案法 2 では応 答は遅れるものも，q 軸電流の逆応答，d 軸電流のオーバー シュートを抑圧した。さらに電圧制限下での応答を過渡項を 考慮した電圧制限円から理論的に解析した。 今後は，FSC 入力のリアルタイムでの演算について検討を 行う。また，本稿では従来から一般に用いられてきた電流 PI 制御器を用いたが，この制御器では安定性が電流指令値の生 成精度に依存してしまう。そこで，電流指令値の生成精度に ロバストな制御器のモデルベース設計についても取り組む。 文 献
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