回転子断線時の三相誘導電動機の特性解析
（昭和60年8月31日受理）杉浦修
Analysis of the Characteristics of the 3-Phase Induction
Motor with the Rotor Faults
OsamuSUGIURA Abstract The author announced on analysis of the characteristics of the 3−phase induction motor with the rotor bar or endring faults in the previous report． The present report is concerned with the analysis of the characteristics of the motor with the rotor bar and endring faults． It becomes clear that the characteristics are calculated by means of a computer． This report will provide useful clues for diagnostic techniques． 1． まえがき 前報告1）において，回転子バーのみの断線とエンド リングのみの断線の解析を，それぞれの場合について 行なった。本報告は，回転子バーとエンドリングの両 方の断線が同時に生じている時の三相かご形誘導電動 機の運転特性の解析を行なったものである。この解析 結果を利用すれば，その誘導電動機のあらゆる回転子 断線故障の運転特性が得られる。すなわち，エンドリ ングのみの断線の運転特性も，回転子バーのみの断線 の特性も，条件を簡単にするだけで得ることができる。 この結果を用いて，コンピュータのプログラムを作 り，各誘導電動機の定数を代入し，計算すると，断線 故障時の運転特性が得られる。そのため，あらゆる断 線故障時の運転状態を前もって知ることができ，故障 診断技術の向上に役立つことになる。 2．電圧方程式 図一1は，三相二極かご形誘導電動機の巻線モデルを 示している。外側の三つのコイルは固定子巻線 内側 の二個の同心円はエンドリング，放射状のm個のコイ ルは回転子バーのシミュレーションである。図中のそ れぞれの記号は，Rが抵抗， Lが自己インダクタンス， Mが相互インダクタンス，vが電圧， iが電流，θが角 度である。添字のsは固定子，rは回転子， eはエンド リング，（a，b， c）は各相，1∼mは回転子バーの番号 を意味している。×印は断線箇所であって，1本の回転 子バーと両側のエンドリングが1本ずつ断線してい る。この断線条件が，これから行なう解析での最も簡 単な例である。 本文で，解析される条件は任意の箇所，任意の個数 の断線があってもよく，あらゆる回転子断線を含んで いる。解析方法を理解しやすくするため，その手順の フローチャートを図一2に示す。これから，このフロー ＊ 電気工学科，Department of Electrical Engineering Mrcosθr
／煕
K＋1 図一1 回転子断線時の巻線モデル Fig． l Winding model of three phase induction motor with multiple rotor faults． 7lMの巻線モデル 巻線の電圧方程式 対称座標法で座標変換 整流行列にて座標変換 回転子パー電流lrと循環電流leの関係を求める 隣接する回転子バー間の閉回路の電圧方程式 ［V”］＝［Z”］［1”］より［Vrh］を求める 固定子電流ls”ど循環電流leとの関係を求める 固定子電流を求める 瞬時トルクの一般式に上記の解析結果を代入し u時トルクを求める 図一2解析フローチャート Fig．2 Flow chart for analysis． チャートの順に従がって説明していくことにする。 図一1の各巻線の電圧方程式を，行列形式でまとめる と， Vs Zss， srl ls ＝ ． （1） r sr2， rr rフ ∫ となる。（1）式において，〔2、r、〕は〔Z、。i〕のノ列，モ田元， ∫ モ劫ノ，｛疏∫は，それぞれ〔Vr〕，〔万〕，〔Zsr2〕のノ行，
編元は〔Zrr〕のノ行∫列を除去した小行列であ
∫ る2）。 （1）式を対称座標法および整流行列3）によって，座標 変換すると， （2） ノ となる。上式のそれぞれの小行列も，前報告1）のとうり である。これまでの解析は，∫番号の回転子バーの断線 のみについて行なっているが，何本の回転子バーの断 線についても同様に，（2）式中の断線箇所の行や列を除 去すればよい。たとえば，h， i，∫，…のバーの断線の時， （3） h，i，∫… h，i，∫… と表わす。上式において，｛昭力，i，∫，…，−EMh， i，∫， …｛編ぬ，z，∫，…は，1z， i，ノ，…行， 〔才。。、〕 は，h，i，∫，…列，［編力，i，i，…は，力，∫，… h，i，ノ，… h， i，∫，… の行と列が除去されている。エンドリング部分の断線 は，回転子バーの電圧行列を作る上で，直接に影響を およぼさない。 3．回転子バー電流と循環電流の関係 図一3のように隣接する回転子バー間を循環する仮想 電流を考える。循環電流と回転子バー電流の関係は， Zrl＝Zel−Zem Zrh−1＝Zek＿1−Zeh＿2 ： Zrk＝ −Zeh−1 2rJ’−1 ； Zej−1−Zθゴー2 Zrk十1 ＝ Zek十1 ㌫なし（断線） i，h＋2−ie、．、−i。、＋1 2rプ＋1＝Zej＋1−Zej−1 ： Zγプ十2 ＝ ZeJ’十2−Zej十1 Zrt−1 ＝ Zθt−1−Zet−2 ： Zrt＝ Zec −Zet−l Zrt＋1＝ Zel＋1−Zec Zre十2＝ Zet＋2−Zel＋1 である。これを行列形式で表わすと， ・ 2r1 ■ ・ ・ ・ 2ηヨ Zrゴ＋1 ・ ・ ・ ■ ・ ● ・ ● ・ ・ ． ● ・ ・ Zrm ノ Kr．’ k 1 となる。（4）式を 聞ブ＝ぱθc〕｛鍋元，〃，1 1e，1 0 0 十1 −1 0 0 ◆ 2e1 ● ・ ・ Zθブ1 ◆ Zθ元＋1 ● ・ ・ ・ ・ ・ ・ ． ・ ● ・ ● z￠m Zθc ∫ k（4） 1 （5） と表わす。ただし，〔Kre〕は，対角要素が1で，（x＋1， x）要素および（1，m）要素が一1，その他の要素が零の 行列でas・6・…また・ffttii， k， 1−〔㌘畝1〕で ある。 （4）式の行列中に引かれた，たて線や横線は，その場所 の行列要素が除去されたことを意味している。 つぎに，任意箇所，任意個数の断線状態の〔K，ec〕の k，1t十1 ’ 1−1 m 1 VrJ−1 J−1 vrJ＋l J＋1 K−1 K＋2 K＋1 図一3 回転子のirとieの関係 Fig．3 Relation between ir and ie of rotor current． X−1 X＋2 X＋1 図一4 エンドリングと回転子バーの断線例 Fig．4 Example of rotor bar and endring faults． 求め方を順を追って述べる。 （1）回転子バーの断線箇所（h，i，元，…）のirとieは， 存在しないから，〔lr〕＝〔Kre〕〔le〕の行列要素より除去 する。すなわち，モ封h，i， i，…＝〔K。。’〕eeh， i，∫，…と して表わせる。ここで，〔Kre’〕は，〔Kre〕と同じ形で， バー断線個数分だけ次数を減少させた行列となる。 （2）エンドリングの断線箇所（k，1，m，…）のieは，存 在しないので，除去する。その他，図一4のように，断 線したバーとの相対的な位置によって，i。が流れない 箇所も生じる。そのieも，除去する。 （3）回路解析上，必要なiecの閉回路を作り， 蹄㍑：：：．の髄の行の次に加える・また・〔Kre’］ は，内側のエンドリングの断線箇所に相当する列を， すべて最後の列の次に，新しい列として加える。外側 のエンドリングの断線箇所に相当する列は，〔Kre’〕か ら除去する。しかし，同じ番号の内側と外側のエンド リングが断線した場合のように，iecが流れる回路を作 れないHf・ （6）式Ci｛・・）h，・i，・i，…一
封燥g：1・
とする。 r h，i，∫，…＝ re ノ k，1，m，… ， 0 0 一ト1 −1 0 0 十1 −1 0 0 h，i，∫，… k，1，m，…上式を簡単に・冊嬬…一
R…耳鵬：∴（6）
とする。 （4）図一5のように，エンドリングの断線位置によって は，断線していない箇所xの回転子バーに，電流が流 れなくなることもある。このi，xをモHh，ちノ，…から 除去しなくても，行列の中で，i。x＝0となっているの で，｛k｝h，i，ノ，…の中から除去しないで，そのままにし ておいてもよい。 したがって，（6）式が，回転子バー電流と循環電流の 関係を表わす一般的な式である。 4．循環電流の流れる閉回路の電圧方程式 図一3において，循環電流i，が流れる，すべての閉回 X＋2 X＋1 X−一 2 x−1 図一5 エンドリングの断線例 Fig．5 Example of endring faults． 9路にキルヒホッフの法則を適用して，電圧方程式を立 てる。ただし，左辺の電圧vは回転子バー両端の端子 電圧である。図一6の閉回路が，その一つで， oγゴ＿2−Vrj＿1＝2忽e∼θ」＿2−Zeiec となる。以下同様に， 〃η＿1−iり万＋1＝4z￠2e」＿1−2Zeiec ． Vrj＋1一二vアゴ＋2＝2zθ‘eゴ＋1−Zeiec Vrk＿1−z／rk ＝ 2Zeieh＿1−Zeiec ノ fe Vrh＋1−Vrh＋2＝2Zeieh＋1−Zeiec Vrl＿1−Vrt ＝2Zeiet＿1−9eiec V，1−V，t＋1＝MZ。iec−9e（iei ＋ ie2＋…） Vrt＋1−Vrl＋2＝ 2Zeiei＋1−Zeiec と書ける。ここで，z，＝R。＋PL．である。 これらの関係を行列形式で表わすと，（7）式の行列が 得られる。ただし，v，t−v，L＋1の電圧方程式は，最後の 行に移す。しかし，前に述べたようなie、を必要としな い断線回路の場合には，v。一v，1＋1の電圧方程式は除 去すると共に，（7）式，（8）式のiecもイシピーダンス行列 の最後の列も除去する。すなわち，（8）式を モ帰｝le，1＝〔K々”〕｛劫’， k，1とする。 ん ノ kl （7） （7）式を前報告1）の記号を利用して，簡単に（8）式とし て表紘〔噺ん，lVrl−Vrl＋1〕一閣〔㍗1〕（8） つぎに，一般的な断線故障時の場合の求め方を述べ る。 （1）回転子バー断線の条件より，〔瓦’〕を作る1）。ここ で，連続した番号の回転子バー断線時では，その場所 の回路の電位差は，断線個数をa箇とすると， z／rx−v・rx＋1＋a ＝ （a−十一1）（29eiex）一（a−L 1）（Zeiec） である。 （2）エンドリングや回転子バーの断線によって，循環
？．
vrJ−2 J−2∨＜
ee ＼4
、♂ δ ＜ V，J．l J−1 図一6 かご形回転子の一部分 Fig．6 A part of squirrel−cage rotor． 電流が流れない場合の，その場所の行と列を除去する。 （3）内側のエンドリング断線箇所のそばの回転子バー には，iecが流れる。この場所の電圧方程式を最後の行 に移す。 以上の関係を行列形式で表示すると，（9）式が得られ る。この式が，一般式である。ただし，iecの仮想電流 を必要としない場合は，（9）式の最後の行の電圧方程式 とie、を除去する。すなわち，（9）式は， 〔V・h’］一〔醐蹄㍑∴となる・ k l le l’ kt （9） ただし，Vth＝（Vr一V，t＋1）十（V，tr−V，t’＋、）＋… であって，内側のエンドリングの断線によって，ie、が 流れる隣接する回転子バーの電位差を加えた電圧であ る。（9）式を簡単に，（10）式として表わす。 〔v・h”〕一〔ピ瞬湯：：：． 5．各部分の電流 （10） （3）式のH今｝のh行の電圧V，hと， h＋1行の電圧 〃。h＋1の引き算を行なう1）。 〔V，h’〕＝〔Z、。，ht〕〔ム”〕＋〔Zrrh’〕〔1r〕 （ll）今後，（11）式のように，行列中の直線に付いている添字 のアルファベット文字は省く。（ll）式は，回転子バーの 断線について，考慮ずみである。エンドリングの断線 については，図一3から分かるように，断線箇所の番号 の行を，（11）式より除去すればよい。
wa＝ent〔1、”〕＋͡｝ （12）
すなわち，（12）式が回転子バーとエンドリングの両方が 断線している場合の式である。 （12）式に，（6）式を代入すると， 暢＝｛is727TC｝〔ム”〕十〔Zrrk”〕裾 となる。ただし， 〔Zrrh M〕＝｛緬〕〔A（rec〕である。 内側のエンドリングの断線した場所に隣接した回転 子バーには，ie。が流れる。（10）式に代入するため，この ie。が流れる閉回路の電圧方程式が必要となる。そこ で，〔V，h’〕中の上述した場所の電圧行列の要素を，すべ てたし算し，暢のつぎの行に置く。すなわち， 〔腸 Vlh〕一〔願〕〔ピ〕 ＋〔 〔z。。、”〕〔κ1，…，κm．b−。＋1〕〕CtS となる。ただし，＊印は共役記号である。上式を 〔γrん”〕＝〔Z。。2ん”〕〔ム”〕＋〔Zrrk2”〕｛晶 と置き変えて，（10）式に代入する。これより，㈱と〔ム”〕 の関係が得られる。 ㈱＝｛〔K々”〕一〔Zrrh2”〕｝−1〔Z。。2h”〕〔ム”〕 ＝〔κ。8”〕〔ls”〕 （13） （3）式より， 〔V、”〕＝〔z、、”〕〔ム”〕＋〔才、。、”〕聞 が得られる。この式の備に，（6）式を代入し，つぎに （13）式を代入すると， 〔Vs”〕＝｛〔z、。”〕＋〔あ。1”〕〔K。．c〕〔Kes nt〕｝〔ム”〕 一〔Zm1，Zm2 ＊ ＊Zm2，Zml〕〔・・”〕 （14） を得る付1）。ただし，；Ei：・m、， Zm2は付1）に定義してある。 （14）式を〔ム”〕について解き，印加電圧付2）を代入する。 そして，固定子a相の電流isaを求めると， is。＝万IZ。ll COS（ωZ＋α一qs、） ＋s／211a21 cos｛（2s−1）ωt＋α一2β一qs2｝（15） が得られるD。 1。1＝Vymi〕ρ．、、。， Zml＊ ψs1＝∠∫ai 1。、＝Vym，〕P．、、ω， YM1＝ ＊ ＊ −Zm2Zm2 ZmlZml 一9m2＊ YM2＝ ＊ ＊ −Zm2Zm2 9mlZml q、2＝∠1。2 である。個式より，固定子電流は，電源周波成分と（2s −1）ωの周波成分の和になっている。回転子バーやエ ンドリングが断線した故障によって，後者の周波成分 の電流が流れる。 つぎに，（13）式を解くことによって，外側のエンドリ ングの電流が求まる付2）。 毛id＝」2 11eil COS（scvt＋α一β一ePel） Veml COS（Sωt＋α一β一q，m） IZcl COS（Sωτ＋α一β一9。） （16） ただし， Ze1＝万γ｛d，、y．，十d11＊YM2｝ 1。m＝Bγ｛dm−、−e、、Ym1＋d。．、．e、＊ym，｝ 1。＝BV｛dm＋e＋、1YM1＋dm−、．。＋1、＊ym・｝ である。ここで，d、、，…，dm．b．。＋11は付1）に定義されて いる。内側のエンドリングの電流は，図一3から分かる ように，de− iecによって得られる。したがって，（16）式 から簡単に得られる。その結果は，（16）式と同等の形に なることも理解できる。 これらのことより，回転子バーと両側のエンドリン グが断線している場合，エンドリング電流は，すべり 周波数の電流であることは一致しているが，その実効 値は，それぞれ異なる。また，それぞれの位相関係も， 正常運転時の場合のような規則性はない1）。 回転子バーの電流は，（6）式に⑬式を代入することに よって求まる。 冊＝〔本。。c〕〔κ。。”〕〔ム”〕 liril COS（Sωt＋α一β一qr、） ＝万 i （17） Vrml COS（Stot一トα一β一ψγm） ただし， ” Ir、−V3 V｛∂、、’ym、＋d，1’＊ym、｝ ，qr、＝∠1，i lm＝万γ｛dm−、、’・Ym、＋dm−、、t＊Ym，｝，9・，m＝∠i，m である付3）。 6．瞬時トルク 瞬時トルクの解析は文献2）と，まったく同じである。 すなわち， z’i一 ﾉ（Xmsr〆）菖』1｛（−ia・⊂・α一1・θr ＋jt。2ε」（x 1）θ・）（∫1 ，x＊）｝11一
［Zss”］ ［Zsr1”］ ［Zsr2”］ ［Zrr”］［Kre］ ［Kk］ ［キ・・1勺舗｛十［K・e／］［・k〃］ バー断線 ［Zsr2h／］［Zrrh！］ 』時臨時［メ・eノ］モ粁 エンドリング断線 ［Zsr2h”］ ［Zrrkざ”］［Krec］［KW”］ 内側エンドリング断 〔；：1・：；：／ I a ， I e ， l r ， T■o ，Tpo 図一7計算機プログラム用のフローチャート t Fig．7 Flow chart for computer program． ＋1｛−Z。、ε一プ（x−1）θ・＋Z。2εゴ（X−1）θ・｝（∫1。。）1 cos｛2（sωτ＋α一β）＋ψ，x｝〕 （18） と表わすことができる。上式の第1項は平均トルクで ある。第2項は，回転子側の断線によって生じる，2sω の周波成分の振動トルクである。（1賦において，断線 した回転子バー番号による瞬時トルクは，除外されて いる。 以上の解析結果を使って，回転子断線時の運転特性 を計算する計算機のプログラムのフローチャートを作 ると，図一7のように表わせる。 7．む す び 本文において，三相二極かご形誘導電動機のどのよう な回転子断線の条件でも，その運転特性を計算できる 式を導びいた。そして，上記の条件の特性計算を行な うための計算機用のプログラムを作った。 今後，回転子断線時の運転特性を計算できる誘導電 動機の巻線定数の測定法を開発する必要がある。また， 同様の方法で，任意極の場合の回転子断線時の特性解 析も行ないたい。 終わりに，この研究を行なうに当たり，有益な助言 をくだされた，東京電機大学の磯部教授，山梨大学の 数野教授と電気工学科第4講座の皆様に感謝の意を表 します。
参考文献
1）杉浦 修：ロータバー，エンドリング断線時の三相誘導電動 機の特性解析，梨大研報，1984年 2）杉浦 修：回転子バー断線時における三相誘導電動機の解 析，梨大研報No．34，1983年 3）J．Takeuchi：Matrix Theory of Electric Machinery， Ohm −Sha，1962年 付 録付1
回転子バーの断線をb箇所，エンドリングの断線箇 所をe箇所とすると， ｛〔K々”〕一〔Zrrh2”〕｝ 1 δ11 ，δ12 ，……，δim−b−e＋1 δ、、 ，δ22 ，……，δ2m−b−。＋1 δm−b−e＋11，δm−b−e＋12，……，δm−b−e＋lm−b，e＋1 と表わすことができるので， 〔Kes’”〕＝｛〔K々”〕一〔Z，。h 2”〕｝−1〔ZS，2h’U〕 1一ε一ゴθ「 ，1一ε」θ「 一δヵ輪（1一ε一ゴθ・）⊂＿吟（；一ピ）轡鋤 ＊ Xe ，Xe d，， ，d1，＊ l l t ‘ ・ 1 ＿ 1 ・ 一 ‘ ’ 1 ， ‘ ， タ dm−b−e＋11， dm−b−e＋11＊ となる。ただし，湾
2 dm−b−e＋11＝カ 2 ∂11＝P−Msr｛δ11（1一ε一」θ「）＋・・…・＋δim−b−。＋1κ、｝ M、。｛δm−b−。＋1、（1一ε」θ・）十… 十δm−b−，＋lm−b−。＋1κe｝ である。つぎに， 〔1krec〕〔K。s”〕＝寸∴
d1，， d，，＊ i i i ： i iii
dl 1’ ， dl lt＊ ， I l 1 ‘ 1 ， ’ t − り l l I ’ t ロ， ， dm−bl’，∂m」b1’＊ として， 〔211’sr・〃〕〔靭〔Kes…f］一｛！t〃Msrカ∵鋤：ヵ㌦。 1，ε…，＿，ε・・m−1… 411’411’＊ 1 ｛ 1，ε一jθ「，…，ε一」（m−1）θ「 l i l l を解くと， 〔才、、〃〕＋〔2’sri〃〕仏C〕〔κ。、〃〕一’Zm1．・ Zm2＊ 9m2，9ml となる。ただし， 万 Msr（P＋iω。） Zm、＝Rs＋Ls。（P＋ノω。）＋ 2 ｛∂、1’＋∂、、’ε」θ「＋…＋dm−b1’ε」（m−1）θ弓 ・m・− S卿吻）｛dllt・＋d…＊ε”・ 十…十dm−bl’＊ε」・（M−1）θ「｝ である。
