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2018年度 筑波大・理系数学

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Academic year: 2021

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(1)

2018 筑波大学(理系)前期日程 問題 -1- 1 解答解説のページへ 0 2   < < と す る 。 放 物 線 y=x2 上 に 3 点 O( 0, 0 ) , A ( tan , tan ) 2 , 2

B( tan , tan )-   をとる。三角形OAB の内心の y 座標を p とし, 外心の y 座標を q とする。また, 正の実数 a に対して, 直線 y= と放物線a y=x2で囲まれた図形の面 積をS a で表す。 ( ) (1) p, q をcos を用いて表せ。 (2) ( ) ( ) S p S q が整数であるようなcos の値をすべて求めよ。

(2)

2018 筑波大学(理系)前期日程 問題 -2- 2 解答解説のページへ 放物線C y: =x2+ax b+ が2 直線l1:y=px (p >0 ), l2 :y=qx (q <0 )と接して いる。また, C とl , 1 l で囲まれた図形の面積を S とする。 2 (1) a, b を p, q を用いてそれぞれ表せ。 (2) S を p, q を用いて表せ。 (3) l , 1 l が直交するように p, q が動くとき,2 S の最小値を求めよ。

(3)

2018 筑波大学(理系)前期日程 問題 -3- 3 解答解説のページへ 正三角形 OAB に対し, 直線 OA 上の点P , 1 P , 2 P , …および直線 OB 上の点3 Q , 1 2 Q , Q , …を, 次の(Ⅰ), (Ⅱ), (Ⅲ)を満たすようにとる。 3 (Ⅰ) P1=Aである。 (Ⅱ) 線分P Q , 1 1 P Q , 2 2 P Q , …はすべて直線 OA に垂直である。 3 3 (Ⅲ) 線分Q P , 1 2 Q P , 2 3 Q P , …はすべて直線 OB に垂直である。 3 4 OA=a   , OB b=とおく。点 O を基準とする位置ベクトルが, 整数 k, l によって ka lb+ と表される点全体の集合を S とする。n を自然数とするとき, 以下の問いに 答えよ。 (1) OPn  とOQn  をa, bを用いて表せ。 (2) OR=xa yb+ で定まる点 R が線分Q Pn n+1上にあるとき, x を y を用いて表せ。 また, 線分Q Pn n+1上にあるS の点の個数を求めよ。 (3) 三角形OP Qn+1 nの周または内部にあるS の点の個数を求めよ。

(4)

2018 筑波大学(理系)前期日程 問題 -4- 4 解答解説のページへ 2 つの曲線 1: 1 2 sin C y x = ( 0< <x ), C2:y= 2 ( sinx-cos )x ( 0< <x )に ついて以下の問いに答えよ。 (1) 曲線C と曲線1 C の共有点の x 座標を求めよ。 2 (2) 曲線C と曲線1 C とで囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転させてできる回転体2 の体積V が2であることを示せ。

(5)

2018 筑波大学(理系)前期日程 問題 -5- 5 解答解説のページへ 2 2 0 4 ( )x x dt t   = +

ò

f と し, c≧ と す る 。 数 列{an} をa1=c , an+1= f(an) (n =1, 2,  で定める。 ) (1) ( )f  を求めよ。また, x≧のとき, 0 ( )x 2  ¢ <f ≦ が成り立つことを示せ。 (2) すべての自然数 n に対して, an≧が成り立つことを示せ。 (3) すべての自然数 n に対して, an+1- ≦2 an- が成り立つことを示せ。ま た, lim n n¥a を求めよ。

(6)

2018 筑波大学(理系)前期日程 問題 -6- 6 解答解説のページへ 複素数に対して, 複素数平面上の 3 点 O( 0 ) , A ( ) , B(2)を考える。次の条件 (Ⅰ), (Ⅱ), (Ⅲ)をすべて満たす複素数全体の集合をS とする。 (Ⅰ) は実数でも純虚数でもない。 (Ⅱ)  > である。 1 (Ⅲ) 三角形 OAB は直角三角形である。 このとき, 以下の問いに答えよ。 (1) がS に属するとき, OAB 2   = であることを示せ。 (2) 集合 S を複素数平面上に図示せよ。 (3) x, y を2= +x yiを満たす実数とする。 S を動くとき, xy 平面上の点 ( ,x y の軌跡を求め, 図示せよ。 )

(7)

2018 筑波大学(理系)前期日程 解答解説 © 電送数学舎 2018 -1- 1 問題のページへ (1) まず, 0 2   < < のとき, O( 0, 0 ) , A ( tan , tan ) 2 , 2 B( tan , tan )-   に対し, 線分 AB と y 軸との交点を C とおく。 さて, 二等辺三角形 OAB の内心は, y 軸とOABの 二等分線の交点であり, その y 座標を p とする。 ここで, 直線 OA の傾きは tan なので, OA と x 軸の 正の向きとのなす角は である。これより, OAB = となるので,  OC ACtan2

p= -  tan2 tan tan

2 

 

= - tan

(

tan 1 cos

)

1 cos    -= -+

(

2

)

2 (1 cos ) tan tan 1 cos     -= --

(

)

sin sin 1 cos cos cos -sin

=

-sin 1 cos cos cos sin- 

= ⋅ 1 cos2 cos   -= また, 二等辺三角形 OAB の外心は, y 軸と線分 OA の垂直二等分線の交点であり, その y 座標を q とする と, OA tan2 tan4 tan 1 tan2 tan

cos      = + = + = で, AOC 2    = - から, 1OA 1 2 cos AOC q =

 =2costan⋅sin1 =2cos12

(2) まず, 直線 y=a(a >0 )と放物線y=x2で囲まれた図形 の面積S a は,( ) y 軸に関する対称性から,

{

2

}

0 ( ) 2 a S a = a a-

ò

x dx 2 2 3 a a a a = 4 3a a = 4 32 3a = (1)より, 3 2 3 (1 cos ) 4 ( ) 3 cos S p   -= ⋅ , ( ) 4 1 3 3 2 2 cos S q  = ⋅ となり, 3 2 ( ) 2 2 (1 cos ) ( ) S p S q = -  3 2 { 2(1 cos ) } = -条件から, { 2(1 cos ) }- 32 =k (k は自然数)と表せ, 3 2 8(1 cos )-  =k ……(*) ここで, 0 2   < < より0 cos< < となり, 1 0 8(1 cos )< - 3< なので, (*)を8 満たすk は, 1, 2k = である。 tan - tan 2 tan O A B C  x y p tan - tan 2 tan O A B C  x y q O x y a a - a

(8)

2018 筑波大学(理系)前期日程 解答解説

© 電送数学舎 2018 -2-

(i) k = のとき 1 8(1 cos )- 3= より1 1 cos 1

2  - = となり, cos 1 2  = (ii) 2k = のとき 8(1 cos )- 3= より4 31 1 cos 2  - = となり, cos 1 31 2 =

-[解 説]

(1)はいろいろな方法が考えられ, 解答例では図形的に処理しましたが, それ以外に 角の二等分線や辺の垂直二等分線の方程式を立てて計算しても構いません。

(9)

2018 筑波大学(理系)前期日程 解答解説 © 電送数学舎 2018 -3- 2 問題のページへ (1) 放物線C y: =x2+ax b+ ……①と直線y=cx (c は定数)……②を連立して, 2 x +ax b cx+ = , x2+(a c x b- ) + = ………③ 0 ①②が接するとき, D=(a c- )2-4b= から, 0 2 2 2 4 0 c - ac a+ - b= ………④ ここで, 条件より C はl y1: =px (p >0 ), l2 :y=qx (q <0 )と接しており, こ れは, ④の解がc=p q, であることを意味するので, 2 p q+ = a, pq=a2-4b すなわち, 1 ( ) 2 a= p q+ , 1 ( 2 ) 4 b= a -pq 1 1 (

{

)2

}

4 4 p q pq = + - 1 ( )2 16 p q = -(2) C とl , 1 l の接点の x 座標を, それぞれ ,2  とおくと, ③の重解が 1 ( ) 2 2 a c x= - - = c a- となることより, 1 ( ) 2 p a = - 1 ( ) 4 p q = -1 ( ) 2 q a = - 1 ( ) 4 p q = - + すると, C とl , 1 l で囲まれた図形の面積 S は, 2 0 2 2 0 ( ) ( ) S x ax b qx dxx ax b px dx  =

ò

+ + - +

ò

+ + -0 2 2 0 (x ) dx (x ) dx    =

ò

- +

ò

-

[

3

]

0

[

3

]

0 1 ( ) 1 ( ) 3 x 3 x     = - + -3 3 1( ) 1( ) 3  3  = - - - 1 ( 3 3) 3   = - 1 {( )3 ( ) }3 3 64 p q p q = - - - + ⋅ 3 1 ( ) 3 32 p q = -⋅ 3 1 ( ) 96 p q = -(3) l , 1 l が直交するとき, 2 pq = - より1 q= - となり, 1p S=961

(

p+1p

)

3 ここで, 相加平均と相乗平均の関係より, p+1p≧2 (等号はp = のとき1 )とな るので, S の最小値は, 1 23 1 96⋅ =12である。

[解 説]

放物線と2 接線に囲まれた図形の面積の最小値という超頻出問題です。 C l2 l1 O x y α β

(10)

2018 筑波大学(理系)前期日程 解答解説 © 電送数学舎 2018 -4- 3 問題のページへ (1) OA=OB=Lとおくと, OP1=L, OQ1=OP tan1 3 =2L 2 1 OP OQ tan 4 3 L  = = , OQ2=OP tan2 3 =8L, … 同様に考えると, OP 4n 1 n = - L, OQn = ⋅2 4n-1L よって, OP 4n 1 n= - a   , OQ 2 4n 1 n = ⋅ -b   である。 (2) 点 R が線分Q Pn n+1上にあるとき, 0≦ ≦ として, (1)の結t 1 果を代入すると, 1 OR=(1-t)OPn+ +tOQn    1 4 (1n t a) 2 4n-tb = - + ⋅ ………① また, 条件より, OR=xa+yb………② ①②から, aとbは1 次独立なので, 4 (1x= n -t), y= ⋅2 4n-1tとなり, 1 4 4 4 2 2 4 n n n n y x= - ⋅ - = - y ⋅ ………③ また, ③から y が整数のとき x も整数となるので, ③を満たす整数の組 ( ,x y の) 個数, すなわち S の点の個数は, 0≦ ≦y 2 4 n-1から2 4 n-1+ である。 1 (3) 点 R が△OP Qn+1 nの周または内部にあるとき, 0r ≧ , 0s ≧ , 1r s+ ≦ として, 1 OR=rOPn+ +sOQn    1 4nr a 2 4n- sb = + ⋅  ここで, OR=xa+ybとすると, (2)と同様に, 4n x= r………④, y= ⋅2 4n-1s………⑤ ④⑤より, 4xn r = , 1 2 4n y s= -⋅ となるので, 0r ≧ , 0s ≧ より, 0 x ≧ ………⑥, 0y ≧ ………⑦ さらに, 1r s+ ≦ より 1 1 4n 2 4n y x -+ ⋅ ≦ となり, 2 4n x+ y≦ ………⑧ したがって, ⑥⑦⑧を満たす整数の組 ( ,x y の) 個数, すなわち S の点の個数を N とすると, 1 2 4 0 ( 4 2 1) n n i N i -⋅ = =

å

- + ( 4 1)( 2 4 1 1) 2 1( 2 4 1)( 2 4 1 1) 2 n n- n- n -= + ⋅ + - ⋅ ⋅ ⋅ + 1 1 ( 4n 1 2 4n- )( 2 4n- 1) = + - ⋅ ⋅ + =( 2 4 n-1+1)2

[解 説]

ベクトルの絡んだ数列の応用問題です。ただ, メインではない(1)は, やや雑な記述 になっています。 O P Q P Q B (A) 1 2 4⋅ n-4n O x y i 4n-2i

(11)

2018 筑波大学(理系)前期日程 解答解説 © 電送数学舎 2018 -5- 4 問題のページへ (1) 0 x< < において,  1 : 1 2 sin C y x = ………① 2: 2 ( sin cos ) C y= x- x ………② ②より, C2 :y=2sin

(

x-4

)

となり, C , 1 C の概形2 は右図のようになる。 さて, ①②を連立すると, 1 2 ( sin cos ) 2 sinx = x- x 2

2sin x-2sin cosx x=1, (1 cos2 ) sin2- x - x=1 sin2x+cos2x=0, 2 sin 2

(

x+4

)

=0

すると, 2 9 4 x 4 4  < +< から2 , 2 4 x+ = となり, C と1 C の共有点の x 座2 標は 3 , 7 8 8 x=  となる。 (2) C と1 C とで囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転さ2 せてできる回転体の体積V は, 右図より, 7 7 8 2 8 2 3 3 8 8 1 2( sin cos ) 2sin V x x dx dx x       =

ò

- -

ò

7 8 2 1 3 8 ( sin cos ) Vx x dx  =

ò

- , 7 8 2 3 2 8 1 sin V dx x   =

ò

と お くと, V =2V1-12V2となり, 7 8 1 3 8 (1 sin2 ) Vx dx  =

ò

- 78 3 8 1 cos2 2 x x   é ù =êë + úû 1 1

(

1

)

2 2 2 2  = + + 2 2 2  = + 7 8 2 3 8 1 tan V x   é ù = -êë úû 1 1 7 3 tan8 tan8 = - + 7 3 cos8 cos8 7 3 sin8 sin8     = - + 7 3 7 3

cos sin sin cos

8 8 8 8 7 3 sin sin 8 8       - + =

(

)

(

)

(

)

7 3 2sin 8 8 7 3 7 3 cos cos 8 8 8 8       -= - - + 2 1 2 = =2 2 よって, 2

(

2

)

1 2 2 2 2 2 V =   + - ⋅ =2となる。

[解 説]

回転体の体積を求める問題ですが, その計算はやや面倒です。 3 4 2   2 1 2 2 2 -x O y C C 3 8  2 -x O y C C 7 8

(12)

2018 筑波大学(理系)前期日程 解答解説 © 電送数学舎 2018 -6- 5 問題のページへ (1) 2 2 0 4 ( )x x dt t   = +

ò

f に対して, 2 2 0 4 ( ) dt t   = +

ò

f となる。 tan t= 

(

)

2 2   - < < とおくと, 2 2 (1 tan ) cos dtd   d  = = + より, 4 2 2 2 0 4 ( ) (1 tan ) ( tan 1) d         = ⋅ + +

ò

f 4 0 4 d   =

ò

= ⋅4 4= また, ( )x 24 2 x   ¢ = + f となり, x≧のときx2+2≧22から, 2 1 2 12 0 2 x +  < ≦ , 0 ( ) 12 4 2 2 x    ¢ ⋅ = <f ≦ (2) 数列 {a がn} a1= ≧c , an+1= f(an)を満たすとき, すべての自然数 n に対して n a ≧が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する。 (i) n = のとき 1 a1= ≧ より成立。 c(ii) n= のとき k ak≧と仮定する。 このとき, (1)より = f( ) で, しかも ( ) 0f¢ x > からf( )x は単調増加するので, 1 ( ) ( ) 0 k k a + - = f a -f  ≧ よって, ak+1≧ となり,  n= + のときも成立。 k 1 (i)(ii)より, すべての自然数 n に対してan≧が成り立つ。 (3) まず, an = のときは an+1= f( ) = となり, an+1- ≦2 an- は成立。 次に, an> のときは, 平均値の定理より,  (an)- ( ) = ¢( )(bn an-) f f f ( <bn<an) すると, an+1- = f(an)-f( ) と合わせて, 1 ( ) ( ) ( ) n n n n a + - = f a -f  = f¢ b a - (<bn <an) ここで, (1)から0<f¢( )bn2なので, f¢( )bn an- ≦2 an- となり, 1 2 n n aa   + - ≦ -以上より, すべての自然数 n に対して, an+1- ≦2 an- が成り立ち,

( )

1

( )

1 1 2 n ( ) 2 n n aac    - -- ≦ - = -すると, n  ¥ のとき(c )

( )

2 n 1 0  --  となるので, lim n 0 n¥ a - = より, lim n n¥a =

[解 説]

平均値の定理を利用して, 数列の極限を求める有名問題です。

(13)

2018 筑波大学(理系)前期日程 解答解説 © 電送数学舎 2018 -7- 6 問題のページへ (1) 3 点 O( 0 ) , A ( ) , B(2)に対して, △OAB は直角三角形より, (a) AOB 2   = のとき arg = とおくとarg2=2となり, n を整数として, 2 - =2+n, 2 n   = +  ところが, これはが純虚数でないことに反する。 (b) OBA 2   = のとき 辺OA が斜辺となるので, OA>OBとなり, 2 2  >  =  , 1>  ところが, これは  > に反する。 1 (a)(b)より, OAB 2   = である。 (2) OAB 2   = より, OB2=OA2+AB2となり, 2 2 2 2 2  =  +  - すると,  2 2=+(2- )( 2-)から,

{

}

2( )2 ( 2 ) ( )2   =+  -  - =  + 2( )2-   2 - ( )2+ これより, 2    - 2 - ( )2= となり, 0 ( 2 ) 0  - -  = 0 > より, 2- - = となり,   0 1 2  + = よって, の実部は 1 となるので, 全体を図示すると 右図の直線である。ただし, 1= は除く。 (3) (2)より, 0 でない実数 k をとり, 1 ki= + とおくと, 2 (1 ki)2 1 k2 2ki  = + = - + (k ¹0) ここで, 2= +x yiなので, x= -1 k2, y=2kとなり, 2 1 4 y x = - (y ¹0) よって, 点 ( ,x y の軌跡を図示すると, 右図の放物線となる。) ただし, 点 (1, 0 ) は除く。

[解 説]

複素数と図形についての標準的な問題です。(2)はいろいろな方法が考えられます が, 解答例では三平方の定理を利用しました。 O 2 B( ) A( ) x y O x y 1 1 2 -2 O y x

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