旗多様体の
$\overline{N}B_{+}/B_{+}$
以外の胞体でパラメト
ライズされる戸田格子の有理解について
.
池田
薫
熊本大学
理学部
e-mail:
ikeka@math
sci.kumamoto-u.ac.jp
September 27,
2000
\S 1
Introduction.
つぎの方程式系を戸田格子という
.
(1.1)
$\{$$\#_{dt}^{1}d^{2}=\exp(q_{2}-q_{1})$
$arrow_{dt}^{d^{2}}2=\exp(q_{3}-q_{2})-\exp(q_{2}-q_{1})$
:
$\frac{d^{2}q_{\tau\iota-1}}{\frac d^{2}q_{\iota}=’ dt^{2}dt^{2}},=\exp(q_{n}-q_{n-1})-\exp(q_{n-1}-\exp(q_{n}-q_{n-1})-q_{n-2})$
$p_{i}=\Delta^{\underline{j}}ddt$
’
$i=1,$
$\ldots,$$n$としたとき行列
$L(t)$
を
(12)
$L_{ij}(t)=\{$
$0$1
$p_{i}$$\exp(q_{i+1}-q_{i})$
if $j>i+1$
or
$i>j+1$
if
$j=i+1$
if
$i=j$
if
$i=j+1$
で定義する
.
このとき
$L(t)$
はラックス方程式
(1.3)
$\frac{dL(t)}{dt}=[L(t)_{+}, L(t)]$
,
をみたす
.
方程式
(1.3) を戸田格子のラックス表示という.
また
(1.2)
のよう
な
3
重対角行列をヤコビ元という
. 戸田格子の解は旗多様体上の点でパラメト
ライズされる
.
旗多様体は Bruhat
分解により胞体分割されている.
Kostant
らによりー番大きな胞今上の点でパラメトライズされる解は解析的に求めら
れることが示された
.
本講演ではその他の胞体上でパラメトライズされる解
を戸田格子の第
1 積分たちで定義される代数曲面上の軌道として求める.
Theorem.[K2]
$W_{\infty}(t),$
$W_{0}(t)$
をつぎのような行列とする
.
$TV_{\infty}(t)=(w_{ij}^{\infty}(t))_{1\leq i,j\leq n},$
$lf^{\gamma_{0}}(t)=(w_{ij}^{0}(t))_{t\leq i,\gamma\leq n}$,
表現論シンポジウム講演集, 2000
pp.72-87
で
$w_{ij}^{\infty}(t)=\delta_{ij},$
$i\leq j,$
$w_{ij}^{0}(t)=0,$
$i>j$
かつ
$w_{ii}(t)\neq 0,$
$i=1,$
$\ldots,$$n$
とする.
$W_{\infty}(t),$
$W_{0}(t)$
がつぎの
(1.4)
をみたすなら
$L(f)=W_{\infty}(t)L(0)W_{\infty}^{-1}$
$(t)$
はヤコビ元でラックス方程式をみたす
.
(1.4)
$W_{\infty}^{-1}(t)W_{0}(t)=\exp(tL(O))$
.
証明
上で定義した
$L(t)$
がラックス方程式をみたすことは明らか
.
$L(t)$
がヤ
コビ元であることを示す
.
$n\cross 7l$
行列
A
を
$(\Lambda)_{ij}=\delta_{i+1,j}$
で定義する
.
$W_{\infty}(t)$
は下三角行列だから
(1.5)
$W_{\infty}(t)\Lambda TV_{\infty}^{-1}(t)=\Lambda+$
下三角行列
を得る. (1.4)
により
$W_{\infty}(t)L(0)W_{\infty}^{-1}(t)=l\prime V_{0}(t)e^{-tL(0)}L(0)e^{tL(0)}lV_{0}^{-1}(t)$
$=W_{0}(t)L(0)W_{0}^{-1}(t)$
を得る.
$W0(t)$
は上三角行列だから
(1.6)
$W_{0}(t)L(0)\ddagger\eta_{1}^{r_{0}-1}(t)=diag[a(s)]\Lambda^{-1}+$
上三角行列
を得る
.
ここで
$(\Lambda^{-1})_{ij}=\delta_{i-1,j}$
で
$diag[a(s)]$
は対角行列
. (1.5)
および
(1.6)
より
$L(t)=$
を得る
.
よって
$L(t)$
は戸田格子のラックス作用素になる
.
(
証明終
)
(1.4)
は
Riemann-Hilbert(R-H)
分解と呼ばれている
. 以下つぎの記号を
使う
$G=GL(n, C),$
$g=gl(n, C)$
.
通常戸田格子は
$SL(n, C),$
$sl(n, C)$
で記述されるが, 重心座標以外の座標を
用いるため
$GL(n, C),$
$gl(n, C)$
を使った.
$n,\overline{n}$をそれぞれ
$g$の上三角
, 下三角の極大べきゼロ部分代数とする
.
$h$を
$g$のカルタン部分代数とする
.
さらに
$N,\overline{N},$$H$
を
$n,\overline{n},$$h$に対応する
$G$
の部分群
とする.
(1.4)
における
$W_{0}(t)$
の対角部分を
$T(t)$
とし
$\tilde{W}_{0}(t)=T^{-1}(t)\dagger’V_{0}(t)$
とする. このとき
(1.4)
は
(1.7)
$W_{\infty}^{-1}(t)T(t)\tilde{W}_{0}(t)=e^{tL(0)}$
と書き直せる
.
$y\in g$
にたいして
$G^{y}\subset G$
を
$G^{y}=\{g\in G|gy=yg\}$
で定義
する.
$e^{tL(0)}\in G^{L(0)}$
である.
[K2]
の記号を使うと
(1.7)
の左辺は
$G_{*}^{L(0)}=G^{L(0)}\cap\overline{N}HN$
に属している.
さらに
$W_{\infty}(t)L(0)i/t_{\infty}^{r-1}(t)$
は
Kostant
の論文
[K2]
の
Theorem
24
で得られた戸田格子の解になっている
.
$b=n\oplus h$
とし
$B_{+}$
を
$b$に対応す
る
$G$
の部分群とする
.
$X$
を旗多様体
$X=G/B_{+}$
とする.
$S_{n}$を
$n$
次対称群
とする
.
このとき
$X$
はつぎの分解をもつ
$X=u_{\sigma\in S},,\overline{N}s(\sigma)B_{+}/B_{+}$
,
ここで
$s(\sigma)$は
$\sigma$の行列表現とする.
Kostant
type
の解
$7l_{\infty}^{\Gamma}(t)L(0)iV_{\infty}^{-1}(t)$は上の
$X$
の分解の胞体
$\overline{N}B_{+}/B_{+}\circ-$上の点でパラメトライズされる
.
本講演で
は
$X$
の他の胞体上の点でパラメトライズされるような戸田格子の解について
述べる
.
$\sigma\neq 1$にたいして
$X$
の胞体
$\overline{N}s(\sigma)B_{+}/B_{+}$に対応する戸田格子の解
がみたすべき
R-H
分解は
(1.8)
$W_{\infty}^{-1}(t)s(\sigma)\nu V$
。
$(t)=e^{tL(0)}$
としてよいであろう
. もちろん
$W_{\infty}(t),$
$W_{0}(t)$
は前述のような行列である
.
(1.8)
より
(1.9)
$IV_{\infty}^{-1}(t)(s(\sigma)W_{0}(t)s^{-1}(\sigma))=e^{tL(0)}s^{-1}(\sigma)$
を得る.
$(1.8),(1.9)$
を含む
R-H
分解
(1.10)
$W_{\infty}^{-1}(t)W_{0}(t)=e^{t\xi}s(\sigma)$
を考える
.
ここで
$\xi$は定数かつヤコビ元とする
.
このとき
$L(t)=W_{\infty}(t)\xi M_{\infty}^{r-1}(t)$
は
$L(t)=\Lambda+$
下三角行列
というかたちをもちラックス方程式
$\frac{dL(t)}{dt}=[L(t)_{+}, L(t)]$
をみたす.
このタイプの
$L(t)$
は
full
Kostant-Toda lattice
と言われているら
しい
[S].
しかしこの
$L(t)$
はヤコビ元ではなく正確な意味での戸田格子の解で
る戸田格子の解について述べる
.
$\overline{N}B_{+}/B_{+}$以外の胞体でパラメトライズさ
れる戸田格子の解は必然的に極を持つ
.
Flaschka
と
Haine
は
[FH]
のなかで
戸田格子のラックス作用素
$L(t)$
が
$t=t_{0}$
で
Weyl
群の元
$\sigma$に由来する極をも
つとき
$\exp(t_{0}L(0))modB_{+}$
は
$G/B_{+}$
の
$\sigma$に対応する胞体に属していること
を示した
. 本講演ではその逆,
すなわち実際に
Weyl
群
$\sigma$に関する旗多様体
の胞体上の点でパラメトライズされる解を構成しその解が実際に
$\sigma$に由来す
る極を持つことを示す
.
\S 2
ボレル代数の座標環の変形方程式としてみた戸田格子
$V$
をつぎのような行列全体からなるアファイン空間とする
.
$V=\{$
$01..$.
$0$ $\backslash$ $0$.
$\cdot$.
$L_{n-1n-1}$
1
$L_{nn-1}$
$L_{nn}/$
$|L_{ij}\in\not\subset\}$.
$V$
上のアファイン代数
$C$を
$C=C[\mathcal{L}_{ij}, i\geq j]$
とする
.
ここで
$\mathcal{L}_{ij}$は
$V$
上の
座標関数で
$L\in V$
にたいし
$\mathcal{L}_{ij}(L)=L_{ij}$
となるものとする.
$\mathcal{L}$を
$\mathcal{L}_{ij}$
を
$i,$ $j$成分とした行列とする
.
すなわち
(2.1)
$\mathcal{L}=(..\mathcal{L}_{n1}\mathcal{L}_{n-11}\mathcal{L}_{21}\mathcal{L}_{11}$ $\mathcal{L}_{n2}\mathcal{L}_{n-12}\mathcal{L}_{22}1.$.
$.01$.
$.\mathcal{L}_{n-1n-1}$ $\mathcal{L}_{nn-1}1^{\cdot}.\mathcal{L}_{nn}00)$[K1]
により
$C$
は次の分解を持つ
.
(2.2)
$C=A\otimes C^{\overline{N}}$
,
ここで
$A$
は
$C$
の部分代数で
A
のアファイン代数に同型なもの
,
$C^{\overline{N}}$は
$C$
の
中で
$\overline{N}$の
adjoint
作用で不変なもの全体からなる部分代数とする
.
さらに行
列
$\mathcal{W}_{\infty}\in A\otimes\overline{N},$$\chi 0\in C^{\overline{N}}\otimes Mat(n, C)$
が
=意的に存在し
$\mathcal{L}=\mathcal{W}_{\infty}\chi_{0}\mathcal{W}_{\infty}^{-1}$
となる
.
ここで
$\chi_{0}=(.\cdot.\varphi_{n}\varphi_{2}\varphi_{1}$ $00.1.$.
$0.1..$ $\cdot.$.
$.\cdot.000)$で
$\varphi_{1},$$\ldots,$$\varphi_{n}$は
$C^{\overline{N}}$の生成元
.
例
$\mathcal{L}=$
このとき上の記号で
$\varphi_{1}=\mathcal{L}_{11}+\mathcal{L}_{22}+\mathcal{L}_{33}+\mathcal{L}_{44}$,
$\varphi_{2}=\mathcal{L}_{21}-\mathcal{L}_{11}\mathcal{L}_{22}+\mathcal{L}_{32}-\mathcal{L}_{11}\mathcal{L}_{33}-\mathcal{L}_{22}\mathcal{L}_{33}+\mathcal{L}_{43}-\mathcal{L}_{11}\mathcal{L}_{44}-\mathcal{L}_{22}\mathcal{L}_{44}-\mathcal{L}_{33}\mathcal{L}_{44}$,
$\varphi_{3}=\mathcal{L}_{31}-\mathcal{L}_{11}\mathcal{L}_{32}-\mathcal{L}_{21}\mathcal{L}_{33}+\mathcal{L}_{11}\mathcal{L}_{22}\mathcal{L}_{33}+\mathcal{L}_{42}-\mathcal{L}_{11}\mathcal{L}_{43}-\mathcal{L}_{42}\mathcal{L}_{43}-\mathcal{L}_{21}\mathcal{L}_{44}$ $+\mathcal{L}_{11}\mathcal{L}_{22}\mathcal{L}_{44}-\mathcal{L}_{32}\mathcal{L}_{44}+\mathcal{L}_{11}\mathcal{L}_{33}\mathcal{L}_{44}+\mathcal{L}_{22}\mathcal{L}_{33}\mathcal{L}_{44}$,
$\varphi_{4}=\mathcal{L}_{41}-\mathcal{L}_{11}\mathcal{L}_{42}-\mathcal{L}_{21}\mathcal{L}_{43}+\mathcal{L}_{11}\mathcal{L}_{22}\mathcal{L}_{43}-\mathcal{L}_{31}\mathcal{L}_{44}+\mathcal{L}_{11}\mathcal{L}_{32}\mathcal{L}_{44}$ $+\mathcal{L}_{21}\mathcal{L}_{33}\mathcal{L}_{44}-\mathcal{L}_{11}\mathcal{L}_{22}\mathcal{L}_{33}\mathcal{L}_{44}$.
$w_{\infty}$を
$(w_{ij}^{\infty})_{i,j=1}^{4}$とおくと
$w_{21}^{\infty}=-\mathcal{L}_{22}-\mathcal{L}_{33}-\mathcal{L}_{44}$,
$w_{31}^{\infty}=-\mathcal{L}_{32}-\mathcal{L}_{43}+\mathcal{L}_{22}\mathcal{L}_{33}+\mathcal{L}_{22}\mathcal{L}_{44}+\mathcal{L}_{33}\mathcal{L}_{44}$,
$w_{41}^{\infty}=-\mathcal{L}_{42}+\mathcal{L}_{32}\mathcal{L}_{44}+\mathcal{L}_{22}\mathcal{L}_{43}-\mathcal{L}_{22}\mathcal{L}_{22}\mathcal{L}_{33}\mathcal{L}_{44}$,
$w_{32}^{\infty}=-\mathcal{L}_{33}-\mathcal{L}_{44}$,
$w_{42}^{\infty}=-L_{43}+\mathcal{L}_{33}\mathcal{L}_{44}$,
$w_{43}^{\infty}=-\mathcal{L}_{44}$.
となる.
Proposition 2.1.
$C^{\overline{N}}$の生成元
$\varphi_{1},$$\ldots,$$\varphi_{n}$
たちは
$\mathcal{L}$
の弱小行列式の和で
表わせる
.
すなわち
$\varphi_{i}=(-1)^{i+1}\sum_{I\subset\{1,\ldots,n\},|I|=i}\det((\mathcal{L})_{\mu\nu})_{\mu,\nu\in I},$
$i=1,$
$\ldots,$$n$
.
証明
ー般に $nxn$
行列
$x=(x_{\mu\nu})$
にたいして
$\det(\lambda-x)=\lambda^{n}+\sum_{k=1}^{n}\lambda^{n-k}(-1)^{k}\sum_{I\subset\{1,\ldots,n\},|I|=k}\det(x_{\mu\nu})_{\mu,\nu\in I}$
が成り立つ
.
他方
がなりたつことより上記の公式を得る
.
証終
Remark.
$\mathcal{W}_{\infty}$は対角成分が
1
の下三角行列だから
$\mathcal{W}_{\infty}^{-1}\in A\otimes\overline{N}$である
.
$C$
にはつぎで
Poisson
代数の構造が入る.
(2.3)
$\{\mathcal{L}_{ij}, \mathcal{L}_{k\ell}\}=\delta_{j,k}\mathcal{L}_{il}-\delta_{\ell,j}\mathcal{L}_{kj}$.
$C$上の
derivation
$\mathcal{X}$を
$f\in C$
にたいして
(2.4)
$\mathcal{X}f=\{\frac{1}{2}tr\mathcal{L}^{2}, f\}$で定義する
. 簡単な計算から
(25)
$\mathcal{X}\mathcal{L}=[\mathcal{L}_{+}, \mathcal{L}]$が従う
.
この
section
では
$C$
を無限次元の多様体とみなし
(2.5)
を無限次元多
様体
$C$
上の
Hamiltonian
系としてとらえる
.
さて
$C$
上の
orbit
$\mathcal{L}(t)$を
$f\in C$
にたいして
$f( \mathcal{L}(t-|-\Delta|t))=f(\mathcal{L}(t))+\{\frac{1}{2}tr\mathcal{L}^{2}(t), f(\mathcal{L}(t))\}\triangle t+o(\triangle t)$
となるようにさだめる
. orbit
$\mathcal{L}(t)$をさだめるベクトル場を
$\mathcal{X}(t)$とする.
す
なわち
$\mathcal{X}(t)=\{\frac{1}{2}tr\mathcal{L}^{2}(t), *\}$
とする
.
Lemma
22.
ハミルトニアン方程式系
(2.6)
$\frac{d\mathcal{L}(t)}{dt}=\mathcal{X}(t)\mathcal{L}(t)$は
$(C\otimes C[[t]])\otimes Mat(n, C)$
のなかでー意的に解を持つ
.
証明
$\mathcal{L}(t)=\mathcal{L}+tB^{(1)}+t^{2}B^{(2)}+\cdots$
とする
.
このとき
$B^{(1)}= \frac{d}{dt}|_{t=0}\mathcal{L}(t)=\{\frac{1}{2}tr\mathcal{L}^{2}, \mathcal{L}\}$さらに
$\frac{d}{dt}tr\mathcal{L}^{2}(t)=\{tr\mathcal{L}^{2}, tr\mathcal{L}^{2}\}=0$より
”/9.)
1
$d^{2}$,
$-’\backslash$,
1
$B^{(2)}= \frac{L}{2}\frac{tl}{db^{2}}|_{t=0}\mathcal{L}(t)=\{\frac{1}{2}tr\mathcal{L}^{2}, \{tr\mathcal{L}^{2}, \mathcal{L}\}\}$
を得る.
このように
$B^{(i)},$
$i=3,4,$
$\ldots$
たちも
=
意に定まっていく
.
証終
以後
$C(t)$
という記号を
$C\otimes C[[t]]$
の代わりに用いる
.
Lemma
22 は
$(2.6)arrow$
で定義される
orbit
が存在し
$t=0$
での
$\mathcal{L}(t)$の初期値
$\mathcal{L}$で
=
意的に定まるこ
Lemma 2.3.
orbit
は
Poisson
関係式を保存する
.
すなわち
(2.7)
$\{\mathcal{L}_{ij}(t), \mathcal{L}_{k}i(t)\}=\delta_{jk}\mathcal{L}_{i\ell}(t)-\delta_{\ell i}\mathcal{L}_{kj}(t)$がなりたつ
.
証明
Lemma 22
と同様に
$\frac{df(b)}{dt}=\mathcal{X}(t)f(t)$
は
$C(t)$
に
=
意的に解を持つことがわかる
.
$F(t)=\{\mathcal{L}_{ij}(t), \mathcal{L}_{k\ell}(t)\}$
とし
$G(t)=$
$\delta_{jk}\mathcal{L}_{i\ell}(t)-\delta_{\ell i}\mathcal{L}_{kj}(t)$
とする. このとき
$\frac{d}{db}F(t)=\{\frac{d\mathcal{L}_{ij}(t)}{dt}, \mathcal{L}_{kl}(t)\}+\{\mathcal{L}_{ij}(t), \frac{d\mathcal{L}_{k\ell}(l)}{dt}\}$
$=\{\mathcal{X}(t)\mathcal{L}_{ij}(t), \mathcal{L}_{k\ell}(t)\}+\{\mathcal{L}_{ij}(t), \mathcal{X}(t)\mathcal{L}_{k\ell}(t)\}$
$=\mathcal{X}(t)\{\mathcal{L}_{ij}(t), \mathcal{L}_{k\ell}(t)\}=\mathcal{X}(t)F(t)$
を得る
. =
方
$\frac{d}{dt}G(t)=\mathcal{X}(t)G(t)$
は明らか
. $F(0)=G(0)$ より初期値に関する
=
意性から $F(t)=G(t)$
を得る
.
証山
Proposition 2.4.
ハミルトニアン方程式
(2.6)
はつぎのラックス方程式を
導く
(2.8)
$\frac{d\mathcal{L}(t)}{dt}=[\mathcal{L}_{+}(t), \mathcal{L}(t)]$.
証明
Lemma
2.3 と簡単な計算から
$\mathcal{X}(t)\mathcal{L}_{ij}(t)=\{\frac{1}{2}tr\mathcal{L}^{2}(t), \mathcal{L}(t)\}=([\backslash \mathcal{L}(t)_{+}, \mathcal{L}_{\backslash }^{(}t)_{J}^{\rceil})_{ij}$
を得る
.
証終
$\mathcal{I}$
を
$\mathcal{L}_{ij},$
$i-j\geq 2$
で生成される
$C$
のイデアルとする.
Poisson
括弧の定義
より
$\mathcal{I}$は
Poisson
括弧に関してもイデアルになっていることがわかる.
すな
わち
$\{C, \mathcal{I}\}\subset \mathcal{I}$
この事実より
quotient
algebra
$C/\mathcal{I}$上にも
Poisson
代数の構造が入る
.
$\rho$
:
$Carrow C/\mathcal{I}$
を自然な上への準同型とする
.
$\rho$は
Poisson
代数の準同型にもなっ
ている
.
行列
$P=(P_{ij})$
にたいして
$\rho(P)$
を
$\rho(P)=(\rho(P_{ij}))$
とする.
(2.8)
の
$\mathcal{L}(t)\daggerh$
$\mathcal{L}(t)=\mathcal{L}+tB^{(1)}+t^{2}B^{(2)}+\cdots$
と展開されるから
となる
. 我々は
$C/\mathcal{I}$をも無限次元多様体と考える.
orbit
$\mathcal{L}(t)$の
$C/\mathcal{I}$への射
影を考える
.
Proposition 2.5.
$i-j\geq 2$
のとき
$\rho(\mathcal{L}_{ij}(t))=0$
がなりたつ.
証明
$\mathcal{L}(t)$を
$\mathcal{L}(t)=\mathcal{L}+tB^{(1)}+t^{2}B^{(2)}+\cdots$
,と展開する
.
もちろん
$B^{(i)}\in C\otimes\Lambda/Iat(n, C)$
とする
.
つぎがなりたつ
(2.10)
$B^{(k)}= \frac{1}{k!}\frac{d^{k}\mathcal{L}(t)}{dt^{k}}|_{t=0}$.
つぎの
lemma
を示す
.
Lemma 2.6.
$\frac{\mathfrak{U}L(\iota\prime}{*k},$,,
$k=1,2,$
$\ldots\downarrowh$$(^{\underline{9}}.11)$
$[\Pi_{1}(t)_{+}, [\Pi_{2}(t)_{+}, [\cdots[\Pi_{\mu}(t)_{+}, \mathcal{L}(t)]\cdots]]]$
のかたちの線型和でかかれる
.
ただし
$1\leq\mu\leq k$
で塒
$(t)\in C(t)\otimes A- Iat(n, C)$
とする.
証明
Proposition
2.4
より
$\mathcal{L}(t)$は
(2.8)
をみたす
.
この
lemma
を
$k$に関
する帰納法で証明する.
$k=1$ のときは
(2.8)
からなりたつことはただちに
わかる
.
$\frac{d^{k}\mathcal{L}(t)}{dt^{k}}$.
は
(2.11)
のかたちの項の線型和でかかれているとする
.
した
ヵ
’
って
$\frac{d^{k+1}.\mathcal{L}(t)}{dt^{k+1}}$よ
$\frac{d}{dt}[\Pi_{1}(t)_{+}, [\Pi_{2}(t)_{+}, [\cdots, [\Pi_{\mu}(t)_{+}, \mathcal{L}(t)]\cdots]]]$
$=[( \frac{d\Pi_{1}(t)}{dt})_{+}, [\Pi_{2}(t)_{+}, [\cdots, [\Pi_{\mu}(t)_{+}, \mathcal{L}(t)]\cdots]]]$
$+ \cdots+[\Pi_{1}(t)_{+}, [\Pi_{2}(t)_{+}, [\cdots, [(\frac{d\Pi_{\mu}(t)}{dt})_{+}, \mathcal{L}(t)]\cdots]]]$
$+[\Pi_{1}(t)_{+}, [\Pi_{2}(t)_{+}, [\cdots, [\Pi_{\mu}(t)_{+}, [\mathcal{L}(t)_{+}, \mathcal{L}(t)]]\cdots]]]$
の線型和になる
.
これは
(2.11)
のかたちの線型和である
.
Lemma
26 の証終
Lemma
26
および
(2.10)
より
$\mathcal{B}^{(k)}$はつぎのかたちの線型和
(2.12)
$[\Pi_{1}(0)_{+}, [\Pi_{2}(0)_{+}, [\cdots, [\Pi_{\mu}(0)_{+}, \mathcal{L}]\cdots]]]$
でかける. 帰納法で
$i-j\geq 2$
のとき
$B^{(k)}$
の
$i,$$j$
成分は
$\mathcal{I}$に属していること
を示す
. 今垣
1
を
$C\otimes Mat(n, C)$
の元とする
.
このとき
$[\Pi 1+’ \mathcal{L}]$の
$i,$ $j$成分は
の
$i,j$
成分である.
ここで
$E_{k\ell}$は
$(k, \ell)$
行列単位
.
よって
$([\Pi_{1+}, \mathcal{L}])_{ij}\in \mathcal{I}$.
つぎに垣
1, .
. .
,
$\Pi_{\mu}\in C\otimes Mat(n, C)$
とし
$i-j\geq 2$
としたとき
([
$\Pi_{1+},$
[
$\Pi_{2+},$
$[\cdots, [\Pi_{\mu}+’ \mathcal{L}]$.
. .
肌
j
$\in \mathcal{I}$とする.
$\Pi_{\mu+1}\in C\otimes Mat(n, C)$
とすると
(2.13)
$([\Pi_{1+}, [\Pi_{2+}, [\cdots, [\Pi_{\mu+1}\mathcal{L}]+’]\cdots]]])_{ij}$
$=([ \Pi_{1+},\sum_{k-p\geq i-j}([\Pi_{2+}, [\cdot\cdot, [\square _{\mu+1}\mathcal{L}]+’\cdots]])_{k\ell}E_{k\ell}])_{ij}$
.
$i-j\geq 2$
ならば
$k-\ell\geq 2$
よって
$([\Pi_{2+}, [\cdots, [\Pi_{\mu+1}\mathcal{L}]+’\cdots]])_{k\ell}\in \mathcal{I}$
となる.
よって
(2.13)
は
$\mathcal{I}$の元であることがわかる
.
$\mathcal{L}_{ij}(t)=\mathcal{L}_{ij}+\sum_{k=1}^{\infty}t^{k}B_{ij}^{(k)}$
より
$i-j\geq 2$
ならば
$\mathcal{L}_{ij}(t)\in \mathcal{I}$よって
$\rho(\mathcal{L}_{ij}(t))=0$
を得る
.
証終
Proposition2 .7.
$\mathcal{L}(t)$を
$C$
上のハミルトニアン方程式 (2.6)
の解とす
る
.
このとき
$\rho(\mathcal{L}(t))$はラックス方程式
(2.14)
$\frac{d\rho(\mathcal{L}(t))}{dt}=[\rho(\mathcal{L}(t))_{+}, \rho(\mathcal{L}(t))]$をみたす.
さらに
(2.14)
は
$\frac{1}{2}tr\rho(\mathcal{L}(t))^{2}$に関するハミルトニアン方程式である
.
証明
$\rho$の定義により
$\rho(\frac{d\mathcal{L}(t)}{dt})=\frac{d\rho(\mathcal{L}(t))}{dt}$がなりたつ
.
ここで
$\rho$が代数準同型であることから
$\frac{d\rho(\mathcal{L}(t))}{dt}=\rho(\frac{d\mathcal{L}(t)}{dt})=\rho([\mathcal{L}(t)_{+}, \mathcal{L}(t)])$ $=[\rho(\mathcal{L}(t))_{+,\rho}(\mathcal{L}(t))]$を得る
.
ー方
$\rho$は
Poisson
代数の準同型でもあったから
$\frac{d\rho(\mathcal{L}(t))}{dt}=\rho(\frac{d\mathcal{L}(t)}{dt})=\rho(\{\frac{1}{2}tr\mathcal{L}^{2}(t), \mathcal{L}(t)\})$ $= \{\frac{1}{2}tr\rho(\mathcal{L}(t))^{2}, \rho(\mathcal{L}(t))\}$を得る
.
証終
\S 3
リーマンヒルベルト分解
$\mathcal{L}$
を
(2.1)
の行列とする
.
\S 2 では分解
$\mathcal{L}=\mathcal{W}_{\infty}\chi 0\mathcal{W}_{\infty}^{-1}$を考えた
.
$\mathcal{W}_{\infty}\in$ $A\otimes\overline{N}$でありかつ
$\chi_{0}$はその第
1
行目に
$C^{\overline{N}}$の生成元がならびその他は
$0$で
あった
.
$\sigma\in S_{n}$とする
.
次の
R-H
分解を考える
.
(3.1)
$\mathcal{W}_{\infty}^{-1}(t)\mathcal{W}_{0}(t)=\exp((t-t_{0})\chi_{0})_{-}^{-}-s(\sigma)$
ここで三
$=\mathcal{W}_{\infty}^{-1}(0)$とする. もちろん
$\mathcal{W}_{\infty}(t)$は
$\overline{N}$の中の行列で
$\mathcal{W}_{0}(t)$
はす
べての対角成分が
$0$でない上三角行列になる
.
$\mathcal{L}(t)=\mathcal{W}_{\infty}(t)\chi 0\mathcal{W}_{\infty}^{-1}(t)$とす
ると
$\mathcal{L}(t)=\Lambda+$
下三角行列
というかたちになりラックス方程式
$\frac{d\mathcal{L}(t)}{dt}=[\mathcal{L}(t)_{+}, \mathcal{L}(t)]$をみたすことがわかる
.
$\mathcal{W}_{\infty}(t)=(w_{ij}^{\infty}(t))_{ij}$とする
.
もちろん
$i\leq j$
にたい
して
$w_{ij}^{\infty}(t)=\delta_{ij}$となる
.
(3.1)
より
(3.2)
$(\mathcal{W}_{\infty}(t)\exp((t-t_{0})\chi_{0})_{-}^{\neg}-s(\sigma))_{-}=0$
を得る.
$m(t)=\exp((t-to)\chi 0)_{-}^{-}-s(\sigma)$
とおく
.
(3.2)
より
(3.3)
$(w_{j1}^{\infty}(t), \ldots, w_{jj-1}^{\infty}(t))$
$=-(m_{j1}(t), \ldots, m_{jj-1}(t)),j=2,$
$\ldots,$$n$を得る
.
$m_{ij}(t)$
は
$m(t)$
の
$i,j$
成分である
.
(3.4)
$\tau_{j}(t)=\det$
とする. クラメルの公式より
$..\cdot m_{1j}(t)m_{jj}(t)),$$j=1,$
$\ldots,$$n-1$
$w_{jk}^{\infty}(t)= \frac{-\tau_{j-1,k}(t)}{\tau_{j-1}(t)},$
$k=1,$
$\ldots,j-1$
を得る.
ここで
とおいた.
$\exp((t-t_{0})\chi_{0})=(e_{ij}(t))$
とする
.
$\exp((t-t_{0})\chi_{0})|_{t=t}$
。
$=1$
より
(3.6)
$e_{ii}(t)=1+(t-t_{0})g_{ii}(t),$
$i=1,$
$\ldots,$$n$
および
(3.7)
$e_{ij}(t)=(t-t_{0})g_{ij}(t),$
$i\neq j$
を得る
.
ここで
$gij(t)\in C[\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}]\otimes C[[t]]$
とする.
$\sigma\in S_{n}$
にたいして
$_{\sigma}$
を
$\Theta_{\sigma}=$
{
$1\leq j\leq n-1|1\leq\exists i\leq j$
such that
$\sigma(i)>j$
}
で定義する
.
Proposition
3.1.
(3.4)
で定義された乃
$(t)$
が
t=t。で
$0$になるための必
要十分条件は
$j\in\Theta_{\sigma}$となること.
証明
$(3.6),(3.7)$
より
$\exp((t-t_{0})\chi_{0})\equiv$
$mod (t-t_{0})$
が従う
.
$\tilde{A}$を
$w_{ij}^{\infty}(0),$
$i>j$
で生成される代数とする
.
以下
$w_{ij}^{\infty}(0)$を
w
謬と
略記する
.
三
$\in\tilde{A}\otimes\overline{N}$より
$\exp((t-t_{0})\chi_{0})_{-}^{-}-\equiv(.\cdot.001$
$01...$ $\cdot.$.
$\cdot.\cdot 001)mod (t-t_{0})$
を得る
.
よって
$\exp((t-t_{0})\chi_{0})_{-}^{-}-s(\sigma)\equiv(e_{\sigma(1)}, \ldots, e_{\sigma(n)})mod (t - t_{0})$
を得る
.
ここで
$e_{j}$は第
$j$単位ベクトルである
.
行列三」を
で定義する
.
よって
$\tau_{j}(t)=\det(t---j\exp((t-t_{0})\chi 0)_{-}^{-}-s(\sigma)_{-j}^{-}-)$
$\equiv\det(^{t-}--j(e_{\sigma(1)}, \ldots, e_{\sigma(j)}))1nod(t-t_{0})$
を得る
.
$\det(^{t-_{j}}-- (e_{\sigma(1)}, .
.
.
, e_{\sigma(j)}))\neq 0$
の必要十分条件は
$\sigma|_{\{1,\ldots,j\}}\in S_{j}$である
.
よって
$\tau_{j}(t_{0})\neq 0\Leftrightarrow j\not\in\Theta_{\sigma}$を得る. 証終
$j\in\Theta_{\sigma}$
とする
. このとき
$\tau_{j}(t)=(t-t_{0})^{\ell(\sigma,j)}(c+\cdots)$
となる
.
ここで
$c$は
定数で
$\ell(\sigma, j)=\#\{i|1\leq i\leq j, \sigma(i)>j\}$
とする.
$c=0$
か
$c\neq 0$
かは
=
概にいえない
.
しかし $c=0$
でも乃
$(t_{0})=0$
で
ある.
$k=j-1$
の場合
$\tau$子数表示
[UT]
により
$w_{jj-1}^{\infty}(t)= \frac{-d\tau_{j-1}(t)}{dt}/\tau_{j-1}(t)=\frac{-d\log\tau_{j-1}(t)}{dt}$
を得る.
よって
$j-1\in_{\sigma}$
かつ
$c\neq 0$
ならば
$w_{jj-1}^{\infty}(t)= \frac{-\ell(\sigma,j-1)}{t-t_{0}}+$
regular
part
となる.
$\sigma\neq 1$ならば
$_{\sigma}\neq\phi$.
よって
$\sigma\neq 0$ならば (
$c\neq 0$
でも $c=0$ でも)
$\mathcal{W}_{\infty}(t)$
は極を持つ
.
$\tilde{\mathcal{L}}(t)=\mathcal{W}_{\infty}(t)\chi_{0}\mathcal{W}_{\infty}^{-1}(t)$とする. 前述のよっに
$\tilde{\mathcal{L}}(t)$は
$\Lambda+$
下三角行列
というかたちを持っている
.
$\tilde{\mathcal{L}}(0)$を
$\tilde{\mathcal{L}}$と略記する
.
$\tilde{c}$を
$\tilde{\mathcal{L}}_{ij},$
$i\geq j$
で生成さ
れる代数とする
.
$\mathcal{W}_{\infty}^{-1}(0)\tilde{\mathcal{L}}\mathcal{W}_{\infty}(0)=\chi 0$より孟および
$C[\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}]$は
$\tilde{c}\sigma$)
部分代数で
$C[\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}]=\tilde{C}^{\overline{N}}$であることがわかる. また次の分解
(3.9)
$\tilde{C}=\tilde{A}\otimes\tilde{C}^{\overline{N}}$を得る. (3.9)
より
$w_{ij}^{\infty},$$i>j$
および
$\varphi_{i},$$i=1,$
$\ldots,$$n$は
$\tilde{\mathcal{L}}_{ij},$
$i\geq j$
の多項式であ
ることがわかる
.
$\tilde{\mathcal{I}}$を
$\tilde{\mathcal{L}}_{ij},$
$i-j\geq 2$
で生成されるイデアルとする
.
$\rho$:
$\tilde{C}arrow\tilde{C}/\tilde{\mathcal{I}}$を自然な準同型とすると上の議論から
$\rho(w_{ij}^{\infty}),$$i>j$
および
$\rho(\varphi_{i}),$$i=1,$
$\ldots,$$7\iota$
が定義できる
.
さて乙
(t)
$=\mathcal{W}_{\infty}(t)\chi 0\mathcal{W}_{\infty}^{-1}(t)$より
$\mathcal{L}(t)$はラックス方程式を
みたす
. このことから
$\tilde{\mathcal{L}}_{ij}(t)\in\tilde{C}\otimes C[[t]]$を示す
.
$\mathcal{W}_{\infty}(t)$は
(3.2)
をみたすの
で
$\mathcal{W}_{\infty}(t)$は $t=0$
で正則
.
よって
$\tilde{\mathcal{L}}(t)=\mathcal{W}_{\infty}(t)\chi 0\mathcal{W}_{\infty}(t)^{-1}$も
$t=0$
で正則
だから
$t$に関し次のように展開できる
.
$\tilde{\mathcal{L}}(0)=\mathcal{W}_{\infty}(0)\chi_{0}\mathcal{W}_{\infty}^{-1}(0)=\tilde{\mathcal{L}}$
より
$\mathcal{E}_{0}\in\tilde{C}\otimes Mat(n, C)$
を得る
.
$\tilde{\mathcal{L}}(t)$がラックス方程式をみたすことから
Lemma
22
と同じ論法でら
$\in\tilde{C}\otimes Mat(n, C),j=1,2,$
$\ldots$
を証明できる
.
$\mathcal{W}_{\infty}(t)\tilde{\mathcal{L}}(t)\mathcal{W}_{\infty}^{-1}(t)=\chi 0$より
$w_{ij}^{\infty}(t)\in\tilde{C}(t)$を得る
.
したがって
$\rho(w_{ij}^{\infty}(t))$は
定義可能である
.
$\rho$は代数準同型であるから
(3.10)
$\rho(\tilde{\mathcal{L}}(t))=\rho(\mathcal{W}_{\infty}(t))\rho(\chi 0)\rho(\mathcal{W}_{\infty}(t))^{-1}$および
(3.11)
$\frac{d\rho(\tilde{\mathcal{L}}(t))}{dt}=[\rho(\tilde{\mathcal{L}}(t))_{+,\rho}(\tilde{\mathcal{L}}(t))]$を得る
.
さらに
$\rho(\mathcal{W}_{\infty}(t))$は
(3.12)
$(\rho(\mathcal{W}_{\infty}(t))\exp((t-t_{0})\rho(\chi_{0}))\rho(_{-}^{-}-)s(\sigma))_{-}=0$
をみたす.
$\rho(\tilde{\mathcal{L}}(t))$はヤコビ元であり
, (3.10)
より
$\rho(\mathcal{W}_{\infty}(t))\in\tilde{C}/\tilde{\mathcal{I}}(t)\otimes\overline{N}$は
$\rho(\tilde{\mathcal{L}}(t))$
の
dressing
operator
であること
,
および
(3.12)
より
(3.10)
の
$\tau$函数
が
$\tilde{C}/\tilde{\mathcal{I}}(t)$で得られることがわかる
.
ここで
$\tilde{C}/\tilde{\mathcal{I}}(t)=\tilde{C}/\tilde{\mathcal{I}}\otimes C[[t]]$とする.
\S 4
モーメント写像
$V$
は次のようなアファイン空間であった.
$V=\{$
$|L_{ij}\in C\}$
$Z$
をヤコビ元全体からなる
$V$
の部分空間とする
.
すなわち
$Z=$
$\{(.\cdot.0L_{21}L_{11} .L_{22}1..
0.L_{nn-1}1..
.\cdot.L_{nn}^{\cdot}....\cdot)|L_{ij}\in C\}$
とする.
$\gamma={}^{t}(\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{n})\in C^{n}$とし代数多様体
$Z(\gamma)\subset Z$
を
(41)
$Z(\gamma)=\{L\in Z|\varphi_{j}(L)=\gamma_{j}, j=1, \ldots, n\}$
で定義する
.
section
3
において
$\mathcal{W}_{\infty}(t)$は
(3.2)
をみたしたこと,
$\tilde{\mathcal{L}}(t)=$ $\mathcal{W}_{\infty}(t)\chi_{0}\mathcal{W}_{\infty}^{-1}(t)$であったこと
,
であったことを思い出そう
.
$L\in V$
にたいして代数準同型
$\mu_{L}$:
$\tilde{C}arrow C$
を次
で定義する
.
$\mu_{L}(\tilde{L}_{ij}):=\tilde{\mathcal{L}}_{ij}(L)=L_{ij}$
.
$\mu_{L}$
を
$L$
におけるモーメント写像といおう
.
モーメント写像をもちいると
(4.2)
$Z(\gamma)=\{L\in Z|\mu_{L}(\varphi_{i})=\gamma_{i}, i=1, \ldots, n\}$
となる.
$\tilde{\mathcal{L}}_{ij}(t)\in\tilde{C}\otimes C[[t]]$より
$L\in V$
にたいして
$\mu_{L}(\tilde{\mathcal{L}}_{ij}(t))\in C[[t]]$とな
る.
$\mu_{L}(\tilde{\mathcal{L}}(t))=L(t)$
とする
.
$\mu_{L}$をラックス方程式
(2.8)
の両辺に作用させ
ると
$\mu_{L}(\frac{d\mathcal{L}(t)}{dt})=\mu_{L}([\tilde{\mathcal{L}}(t)_{+},\tilde{\mathcal{L}}(t)]$より
,
$\mu_{L}$が代数準同型であることおよび
$\mu_{L}$と
$t$に関する微分が可換なこと
から
(4.3)
$\frac{dL(t)}{dt}=[L(t)_{+}, L(t)]$
を得る.
さらに
$\tilde{C}/\tilde{\mathcal{I}}$上のモーメント写像
$\tilde{\mu}_{L}$:
$\tilde{C}/\tilde{\mathcal{I}}arrow C$を
$L\in V$
にたいして
$\tilde{\mu}_{L}(\rho(\tilde{\mathcal{L}}))=(..\cdot 00L_{21}L_{11}$ $0^{\cdot}L_{32}L_{22}1.$
