分数計画法の最適水力地点選定法への適用

分 数計画法の最適水力地点選定法への適用

林

農・ 河 合

一

*l・

松 本

宗 久

*2

山 口

顕 司

*3.吉

野

章 男 。若

良 二

機械工学科・ ホ

ニ

社会開発 システムエ学科

*2鈴

_{木自動車い 。キ}

3米

_{子工業高等専門学校}

(1990年9月 1日 受理)

Fractional PrOgraHllning Apphed to Optilnal Sequencing

of]肛ydro‐

Power Stations

by

Tsutomu HAYASHI,Haiime KAWAI・

I,Attunehisa AttATSUMOTO*2

Kenii YAMAGUCHIキ

9,Fumio YOsHINO and Ryoii WAKA

Department of Mechanical Engineering

*l Department of Social Systelns Engineering *2 Suzuki h/1otOr Co,LTD.

*3 Yonago National CoHcge of Technology (Received September l, 1990)

At the first stage of a water survey for a river,it iS important to select the optinal 、vater power site.The most important condition to be satisfied is for he site to take

out he greatest and most economical amount of water energy as possible. A ne、 v

method of selectillg the optimum economic、 vater power site has been propOsed in a separate study,along、vih a fractional progranuning lnethod used in the real compu‐ tation by computer. lΓ his paper describes the fractional progranaming method in

detail,

上 はじめに

_nRx告

制

=λ

Ⅲ

…①

λの値に対 して 無公害・ 無尽蔵であ り

,古

くか らエネルギー源 として

とお くと,ある 雹 と議

,こ

景舟苺

1霊

罷縁≧3よ量黒皆

E整

七辞

gtta ttX的

=巾

―λ叩

… ① て重要である1'3)。 この水力資源は海面で蒸発 した水

とすると

,任

意の xに 対 して 露票岳ζ尾曇覺季七ヒ汽七羅盤手,テ万ゼ怠

gi4云

写 巾 ―λ

ttn≧

Ж β 一λⅨ

o

… ① イクル中に置かれた水力発電所は地球の環境を乱すこと

が成立する。 が少ないので

,環

境保全の見地か らも将来に渡つて益々

_λ=λtのときには,

毛

學

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言

そ

と

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七

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,こ

な

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=畑

一

租耐

=O

…ω

たがって, に重要なものとなるであろうと予想される。

が成立する。 し 疼 ど昼ぞ轟含セご二豪写宅亀冨桑繁与三≧套泳岳兎奪 巾 ―榊 湖 ≧蜘 ―租

n…

0

最大電力よりもむ しろ取得可能電力量を優先 した開発計

したがつて

,任

意の xに 対 して

層

逸

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≧

畑

…

0

著者 らは

,取

得水カエネルギーを最大にする最適水力

したがつて

,全

ての xに 対 して 警を身登電卓盈 憲τぞ理露言重迄素写憲憲冴窪蓬象を

_鉾

_!=″

≧ _鵠

_!

… ① ついて研究を進めてきて,その基本概念と計算法を確立 しようとしている。経済的最適水力地点の計算では

,取

が成立する。 得エネルギーと総費用の比を最大にする式を求めて

,分

教計画法を適用 して電子計算機援用による計算を行 う方

2.2

関数再帰方程式への適用

{看

奪種

F赤

数網 法そのものの焼 継 理 しヽ 道

t&8≡

留

8:諸

8 :ii脳

g低

言

1畳

海

岳

蓬

言

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Ⅲ

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亀

・

_[,:極

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二

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:猛

琵

1主

鳥

j色

、

ij,憲 求める問題は次のようにして解 くことが 法の計算を若千試みる

.

最大とするjを できる。すなわち,

2.

分 数 計 画 法 fn(j;λ )=Pn(j)― λ Cn(j) (gn(3)一 λ hn(3))

2.1

分数計画法の基礎

+(Pn-1(j)一

λ Cn_1(3)) (gn(3)― λ hn(j)}+fn_1(j;λ ) 一般に分教 _嗚装器 の最大値を求める問題は

, =

―。₍₁₀₎ f(x)=A(x)― λ

B(x)の

最大値を求める問題に置き 換えられる。すなわち

,鞘

に対 して

,

とおいて,その最大値を求めて, K fn(j;λ) λを道当に選び

,A(x)―

λB(x)=f(x,λ

)と

おき

, f nimox=n4

max f(x;λ

)=0が

成 り立つな らば,この時の x・,λ・

3

K[(gn(j)一

λ hn(j)) = nal は最適解である。なぜなら

, 3

+fn_1(j:λ )max] ―。₍₁₁₎

鳥 取 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第

21巻

最大値が

fn:mox=0の

ときの解,j・,λ・が最適解であり, 甲 報

;=器

!=″

を満足する。

3.経

済的最適水力地点選定法 ―。₍₁₂₎ ある川に沿つてnヶ 所の発電所を設けて

,そ

の河川か らできるだけ多 くのエネルギーを

,経

済的に成立する範囲で得 ようとする計算手法を最適水力地点選定法と呼ぶ

.計

算の使宜上

,流

域面積A(k)と 標高H(k)が 流路延長距離

L(k)の

関数として表すことができ

,且

つ_,その変数は

k=0か

ら始まる識散データ(0,1,2,… ………°i・

k)で

あるものとす る。発電所数がnヶ 所の場合の発電出力Pnおよび工事費Cnが

,流

域面積

A(k),標

高H(k)お よび流路延長距離 L(k) によつて表せるものと仮定 して,その比が最大 となる位置すなわちデータ点 kを 求める。 例えば

,発

電所数

n=1の

時

,デ

ータ点

k=1ま

での流域で得 られるエネルギーと工事費はそれぞれ

Pl(1)=PH(1,0), Cl(1)=CI(1,0)

―・(13) で表されるものとする。一般に

,デ

ータ点 kま での範囲にn箇所の発電所を下位か ら順に,

(放水口

,取

水日

)=(si, rl),(i=1,2,‥

・

,n),0=st<ri≦

s2<r2≦ …・≦Sn l<rn_1≦ sn<rR≦k・… (14)

の地点にとつた時の総エネルギー量及び総工事費をそれぞれ,Pn(k,sl,rt,… ,sn,rn),Cn(k,sl,rl,・・・_{,Sn,rn)とする}. このとき, Pn(k,sl,rl,・ ¨,sn,rn) き き と と の   の 一 一   ｋ ． ｒｎ く 〓 ｒｎ ヽ_ゎ 一︲ ｒｎ ｌ， 昨 で_ｓ   ” ｉ，   Ｐ   ︲_， １ 田 Ｐ ゞ Ｆ ∫ ｔ 一 一       〓 蝋 H飢 庁 輛 ″お

=笙

l CHCr凸)

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'ポ

ェ呈

濡 …

'吐

n≦

篇

び放水回の位置を最適水力地点と定義する。 総エネルギー量と総工事費との比

,す

なわち電力費用率を定義し 田よ 賄 ″ _・

snprn)=

Pn(k,sl,rl,… ,sn,rn)を 総エネルギー量の評価関数としてその最大を求めた結果から決定される発電所の取水口及 …・(17) PCn(k:sl,rl,・・・,Sn,rn)を経済性の評価関数として,その最大条件よ り求めた地点を経済的最適水力地点と定義する。

4.分

数計画法の最適水力地点と定法への適用 ―。₍₁₆₎ …・(181 …。(19) 発電所数 n〓 1の とき

,一

般にkの 範囲では, PI(k,0,j)=PH(」,0),(j=1,2,い 。,k Cl(k,0,j)=CH(j,0),(j=1,2,― ・,k

1 10

楚法へ房娼澪合 ―・松本宗久・ 山口顕司・吉野章男 。若 良二 :分数計画法の最適水力地点選

￨

である. PCl(k;0,3)max=Hlax(PH(k,0)/CH(k,0),PCi(k‐

130,j)max)

―。(20) である。ここで λ・

1,j= cH(3,0)

…°(21) とお くと, fl(k;λ

)=PH(k,0)一

λ

CH(k,0)

…。(22) は,fl(k;λ

)max=0の

ときの λが λ・1,kとなる。 したがつて, PCt(k,0,3)max=max(λ ・1,k,λ・1.k_1,…,λ・1,2,λ・1,1) 〓_nEx(λ・

_{1,j) (j=Ⅲ}

2,3,,・

,,k)

…°(23) 」 改めて, fl(k;λ )mox=max(PI(k,0)一 λ CH(k,0),fl(k‐1:λ

)max)

…。(24)

とおけば,fi(k,λ

)max=0か

ら求めた λ=λ・1.kは PCl(k,0,3)mox=max(λ ・1,k,λ`1,k_1,…,λ・1,2,λ・1,1)

を満足する。

￨

fl(k-1,λ)ma x=0か ら求め られた λ=λ・1,k-1は 唯一決まつているので,fi(k:λ)mex〓

0の

解を求めるには,

λを少 しずつ変えなが ら解を捜す必要はな く,PI(k,0)一 λ CH(k,0)=0か ら求めた λ・1lkと λ・1,k-1の 大小関係を 比較 して大きいほ うを fl(k;λ

)nax=0の

解 と決めればよい。 発電所数

n=2の

とき,同様に, P2(k'0,■1,s2,j)=PH(j,s2)+PI(rl,0) (j=1,2,3デ …

,k)

…。(25) C2(k,0,■1,s2,j)=CH(j,s2)+CH(■ 1,0) (j=1,2,3,,い

,k) "。

(26) PC2(k:0,■ 1,s2,j)膊Ox=nηx 3 (PH(k,1)+Pl(1,0)〕 /(CH(k,1)+CH(1,0)} (PI(k,2)+Pl(2,0,j))/(CH(1,2)+Ct(2,0,j)) (PH(k,k‐1)+Pl(k■,0,3)}/(CH(k,k…

1)+Gl(κ

…1,0,3)} P2(k・1'0,rl,s2,j)/C2(k…1'0,rl,s2,3) 中0(27)

ここ

4聴

_=綿

お 鵠 式

90と

同様に 長 に

D ttx猿

議すれば

(PH(k,1)+PI(1,0)〕 一 λ(CH(k,1)+CI(1,0)} (PH(k,2)+Pl(2))一 λ (CH(k,2)十 Ci(2)) : (PH(k,k‐1)+Pl(k‐1)〕 一 λ (Cl(k,k‐1)+Cl(k∼1)〕 P2(k‐1)―λ C2(k‐ 1) f2(k:λ

)max=nax

鳥 取 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第

21巻

(PH(k,1)― λ CH(H,1)}+fl(1,λ )耐aX (PH(k,2)― 先Cl(k,2)}+fl(2,λ)max (PH(k,k‐ 1)― 先CH(k,k‐1))+fl(k‐1,λ )mex f2(k■ 'λ )ma x

=Ψ

I貿

注ゞ

it∬

醐

hG転

IG札

“ 劇 … ⑩ f2(k'λ

)max=Oよ

り 求めた λは λ・2.Jの最大値と一致するので,PC2(k'0,rl,s2,j)mex=λ ・2,kを 求めることが できる。 一般に

,発

電所数

n=nの

とき(但しn≦

k),同

隷に PCn(k,0,rl,・・・,Sn,j)= mηス J = n4x 」 (PH(k,n■)十Pn-1(n‐1,0,■ 1,s2,・…,Sn-1,rn_1)) (CH(k,n‐1)+Cn_1(n■50,rt,s2,…,Sn-1,rn-1)) (PI(k,n)+Pn"(n‐1,0,rl,S2,・・・,Sn-1,j)) (CI(k,n)+cn-1(n‐ ■0,■1,s2,中●,sn 1,3)) : (PH(k,k‐1)+Pn_1(k‐1;0,■1,s2,,中,sn 1,rn-1)) (CH(k,k■)+Cn_1(k■,0,ri,s2,…,Sn-1,rn_1)) Pn(k‐110,PI,S2,…,Sn,j)/Cn(k■,0,「1,s2,… ,Sn,3)) (PH(k,j)十Pn-1(j))/(CH(k,j)+Cnコ (j)) PCn(k‐ 1,0,■1,S2,・・・,Sn,3)) … (29) (j=n‐1,n,nⅢl,… ,k■) 上の方程式は比較すべき各項が割算であるので

,分

数計画法を適用 して,これを差の形に変換 した方程式の関数 fn(k;λ)を導入すれば, fn(k,先 )max =nax (PH(k,n… 1)一

λ

CH(k,n‐1)〕 +(Pn‐1(■‐1,0,「 1,S2,・・・,Fn…1,Sn‐1)‐λ Cn_1(n‐1,0,■1,s2,…',rn_1,snコ)) (PH(k,n)一 λ CI(k,■ )) +(Pn-1(n,o,rl,s2,・ ・・_{,rn-1,sn-1)‐}λ Cn_1(n30,Tl,s2,・ “,Tn-1,Sn-1)) (PI(k,k‐ 1)一 λ CH(k,k‐1)) +(Pn-1(にい_{1,0,■1,s2,… ,rn_1,sn-1)…λ Cn…1(k‐40,ri,s2,…} ,rn_1,sn-1)) Pn(k■,0,■ 1,s2,・…,rn-1,sn-1)‐λ Cn(k‐ 1,0,rt,S2,・中,rn 1,sn‐1)

= nax (PI(k,n‐ 1)―λ CH(k,n‐1))十 fド1(n‐1,λ )na* (PI(k,n)一 λ CH(1,n))+fn_1(ni λ)nax (PH(k,k‐ 1)一λ CH(に,k‐1))十fn―t(k‐1,λ )nax fn(1■;λ)max = B14X 3 (PH(k,j)一 λ CH(k,j))+fn_1(3,λ )max fn(k‐ 1,λ )nax (j=n‐l,n,■+1,…,k‐

1)

…。(30) この関数再帰方程式を fn(k;λ)mex=0とおいて,λについて解いた解 λ=λ tn,kはPCn(k)mex=IlaX l λ・_n,k, λn,k l,中●,λn,nIを 満足する。但 し λ・

n,j=cρ

(k,0,■1,Sa,・・・

,Sn,3)

…°(31) である

,実

際の計算では fn(k■,λ)mBx〓

0よ

り求めたλin,k_1を fn(k,λ )れ。

xの

各項に代入 してそれ らの項が全 て負であれば,fn(k,λ)mex=fn(k‐1,λ)maxで,λ・ぃ,k=λ・n,k_1が 成 り立つているので,λ =λ 'n,k_1を 解と することができ,それ以上の繰 り返 し計算の必要がな く

,計

算時間を節約することができる。 5。 具 体 的 計 算 例 計算のために取 り上げた河川は

,飛

藤山脈に沿つて岐阜県を縦断し

,木

曽川に流下す る飛脚川である。図 1は 流れ込 み式水力発電所の概念図を示す。標高

60nの

木曽川との合流点か ら山頂の標高3000mまでの流路延長は147。94kn,総 流 域面積は2120。74kmρで

,流

路に沿 う総デー タ点数は326点である。流路長L(km)と 流域面積A(km2)及 び標高H(■)の関 係は図 2に 示す. 計算条件 としては無圧水路の勇合 とし

,a=c=1/1000,b=1/200,

θ=45°と仮定 した。 この飛藤川のデータを用いて

,最

下流発電所標高Hoを300mと し

,最

上流側取水 口を121111nまでの範囲とした時

,発

電 所数

nが

1から4ま_{での範囲の場合について発電所を途中空きを置かず連続に配置するものとして電力費用率}PCn=P/Cの 値が最大 となる水力地点の選定を行つた。また

,各

段の出力Pと工事費Cも計算 し,その結果を図

3,図

4,図 5,図

6に 示す

.図

6中 丸印は最下流側発電所標高Hoを

,+印

は取水口標高を示す。 この場合

,発

電所数

nが

違つても電力費用率P/Cの値はさほど違わないが

n=2の

場合のP/C=(Pl+P2)/(Cl+C2)が 154.45で最大となつている

.即

ち

,発

電所を2箇所設置することが経済性の面か ら最良であると言 うことができる。こ の時

,図

4,図 5,日

6に 示すように

,下

流側取水口標高は 954.31ln,上流側取水 口標高は1190。61mであ り

,総

出力 ΣPは 116225,7(kW),総 工事費ΣCは 752.49(億円うである。 しかし

,各

段毎にみると

n=2の

義合の上流側発電所の電力費用率P/Cの値は,162.72で 他よ り大きい。この時の取 水口標高と放水口標高はそれぞれ■90.61m,954。311凰である。 しか し

,い

たず らに高い標高の地点に発電所 を設置 して もP/Cの値は大き くならない。

n=3の

場合の最上流側発電所 と

ng4の

毎合の最上流側発電所はP/Cの値が小さ く, 取水口標高が殆ど1200mであ り

,落

差は1肺程度である。 発電所数

n=2と

n=3で

最適位置が異なつている。 しか し

,n=2の

島合のP/Cが154。45に対 して

n=3の

鍔合 の下流側2個の発電所の総P/C,即 ち(Pl+P2)/(Cl+C2)は 154.44で儘かに

n=2の

場合よ りも小さい。

n=2の

場合の 取得エネルギーPの総和(Pl+P2)が 116225,7(kW)であるのに対 して,ュ

=3の

場合の下流側2個の発電所の政得エネル

鳥 取 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第

21巻

ギーの総和(Pl+P2)は 129964(kW)であ り,こちらの方が 大き く

,取

得エネルギーの観点か ら言えば

n=3の

下 流側 2個 の発電所の選択の方が良い,また、

n=3の

場 合の3箇所全てのPの総和および

Cの

総和か ら求めた P/C=(Pl+P2+P3)/(CⅢC2+C3)は 153.87であ り

,n=2の

場合の上流側に同じ位置に3個目の発電所を設置 した場 合は153.81であ り

,殆

ど変わ らない。電力費用率P/Cが 同じ程度であればできるだけ取得エネルギーが大きい方 が望ましいと思われるので

,n=2の

場合の発電所の最 適位置よりも

n=3の

場合の下流側2つの発電所を選 ボ方が良いと言うことが分かる

.従

つて

,経

済性のみで 判断す るのは少 しばか り危険であ り、 同時に取得エネル ギーの量も考慮 してい く必要があることがわかる。

6.お

わ り に 経済的最適水力地点の選定に際 しては

,総

出力を総工 事費で除 して得 られる電力費用率を評価関数 として導入 した。その評価関数を最大にする計算では割 り算が含ま 180 130 堅₁₄₀ 100 120 110 100 0

0 1 2 3 4

N 図3 Hc=300n,落差に制綴無 しの場合の 電力費用率 P/C れているので多大な計算時間を要する場合が多い。そこ で本論文では割 り算を減算に変換 して演算する分数計画 法を導入 して

,経

済的最適水力地点の選定法に適用する 尋合について詳 しく述べた。またその具体的適用例も示 した,

(1)IAYASII T。 , YOSIINO Fl, VA【 A R., YAIAHOTO Y. 'OPTIIAL SEQUENCINC OF IICRO HYDRO‐ POWER STAT10NS " Proceeding of The Third Asian Congress of Fluid Mechanics, Sept. 1‐5 (1986)

507‐510 (2)林 農

,吉

野章男

,若

良二

,最

適水力地点の選定 法,ターボ機械 15巻 12号 (1987)743‐ 749 (3)林 農

,吉

野章男

,著

良二

,松

本宗久

,水

力発電 所の最適位置

,第

4回 ソフ トウェア コンフアレン ス プロシーディングス (1988)163-166 0 20 4tl∞ 801∞ 1201悧 L tk日 ' 図

2

飛廓川 H‐ A―

L線

図 Paax・ 131360 0 1 2 3 4 N 図

4 HD=300m,落

差に制限無 しの場合の 取得エネル ギー

P

醐 Ш 醐 ∞ ︹ い ０ 一 紫 ︼ ∝ 図

1発

電所晉こ置図 ね。so aloo 2.50 2.00 1.60 1.00 0,SO O

2300 2000 lg00 1000 S00 0

o1281

. N 図5 Ho=300n,落差に制限無 しの場合の 工事比

C

0 200300 m SOo 80乳

100012W

図

6H9=800n,落

差 に制限無 しの場合の 取水 口標高

H

●   〓 GRは末々 ]58。888