雑音を含むカオス時系列データの最小埋込み次元決定方法

主 思

A Method for Detellllining the Minilnum EInbedding Dilnension of Chaotic

Time Series Compted with Measurement Noise

Ken―

ichi ITOH

あ らま し カオス時系列 デー タの最小埋込み次元 を求める方法 として誤 り近傍法があるが,この方法 は雑

音 の影響 を受 けやす い とい う問題 が あ る。本論文 では,この問題解決 を図るため

,誤

り近傍法 を もとに した 雑音 にロバ ス トな方法 を提 案す る。Hこnon mapおよび Lorenz modclか ら生成 され るカオス時系列デー タにガ

ウス分布型雑音 を加 えたデー タ,ならびに指尖脈波のデー タを用いて評価実験 を行 い

,提

案手法 の有効性 を 確 認 した。 キー ワー ド カオス

,時

系列 デー タ

,埋

込 み

,誤

り近傍法

,指

尖脈波

一騰

伊

1。 ま え が き カオス時系列データの解析においては

,通

常 埋込みの手法 を用いて相空間上にア トラクタの 再構成が行われる[11,〔2〕。ある 1変 数の時系列 データから最小埋込み次元を求めるために

,こ

れまで多 くの研究が行われてきた。代表的な方 法 として

,GP法

[31,特 異値分解法[4],誤 り近 傍法〔5]などがある。 しか しなが ら

,こ

れ らの 方法は

,最

小埋込み次元の決定においてやや客 観性 に欠けるとい う問題がある。 この欠点をなくすために

,誤

り近傍法 を基に した改良手法が

,CaOに

より提案 された〔6〕。こ の手法は次のような利点を有 している。すなわ ち

,(1)埋

込みのための時間遅れ以外は

,何

ら主観的なパラメータを含んでいない

,(2)

利用で きるデー タの数 にあ ま り依存 しない,

(3)高

次元のア トラクタか ら生 じた時系列 データに対 しても適用できるなどである。 しか し

,実

在する時系列データにCaoの手法 を適用 する場合

,次

のような問題がある。すなわち, 最小埋込み次元の値は

,再

構成 した相空間にお けるある点 と

,そ

の点に最 も近いただ一つの点 との間の距離を用いて推定 されるため

,時

系列 データに含 まれる雑音 に大 きく影響 を受ける。 実データには通常雑音が含 まれているため

,そ

のようなデータの最小埋込み次元を正確に決定 す ることは困難である。 本論文では

,Caoの

手法 を基 に

,雑

音 を含む カオス時系列データの最小埋込み次元を決定す る方法を提案する。更に,Hё■on map[7]および Lorenz model[8〕 か ら生成 されるカオス時系列 データにガウス分布型雑音を加えたデータ

,な

らびに指尖脈波[9]のデー タを用いて評価実験 を行い

,提

案手法の有効性 を示す。

2.CAOの

手法 ここでは

_,時

系列データか ら最小埋込み次元 を決定するために

,Caoに

より提案 された手法

を説明する。 あ る

1変

数 の時系列 デー タχl,為,… ,れ か ら

,一

定の時間遅れτを用いて次のど次元ベク トルを作成することにより

,ア

トラクタの再構 成 を行 うことができる[11,[2〕。ど を埋込み次元 と呼ぶ。 ッ,(め=(〕身,x,十τ '・ ・・ '〕町+留

I"),

テ_=1,2,中●,Ⅳ_(ど -1)τ

(1)

まず

,誤

り近傍法[5〕の考 え方か ら類推 され る次式の量α(′,の を計算す る。 ゆ ゴ_=1,2,ぃ。_,Ⅳ―ど

_{T (2)}

2:レ

)と ・

J'昂

_{弐 鉱 爾 μ} 死 蒲 係 光(ど

+1)は

,埋

込み次元冴

+1に

おけるブ番 目の再構成ベク トルを表す。すなわち, ノ.(′

+1)=c,勇

.t,・・・,埼十ど■)で ある。 れ(′,の (1≦η(′,の≦N一流)は ある整数であ り

,再

構成 された′次元の相空間の中で

,最

大 ノルムで測った時の光(の の最近傍点が ノ刀t,の(の であることを示す。 次 に,α(′,め の平均値β(の を計算する。

β

(の

=占

督

τ

_α

。

,の

o

さらに,ど 次元か らど

+1次

元への変化 を定 量化す る指標 として

_,次

式 のβl(の _を計算す る。 βl(の_=β

O+1)/E(の

₍₄₎

時系列データがあるア トラクタか ら生 じた ものであれば,ど がある値′0よ り大 きくなっ た ときにβl(の _{が収束 し}

_,先

+1が

_{この時系列} デー タの最小埋込み次元 となる。 決定論的なデータと確率的なデータを区別 するために

,

もう1つ の指標βキ(の が用いら れる。 β・_{④ =石} 戸±巧焉士をす1考十れ 為 にrFl■Zτ

1 0

さらに

_,次

_{式 の指標ど}2(の _{が計算 され る。} E2(の =β・(ど+1)/E準(の

(6)

ラ ンダムデー タの場合

,過

去 の値 と将来の 値 とが独立 であるか ら

,い

か なるど に対 して もE2(の は

1に

_{なる。一方}

_,決

_{定論的 なデー} タの場合,E2(の は′ に関係があるため, β2(の≠1と _{なる′が存在す る。} ある時系列 デー タの最小埋込み次元 を決定 し

,同

時 に決定論的 デー タとランダムデー タ を区別す るため には,ど1(の と虚(の の両方 を 計算す る必 要が ある。

3.提

案手法 Caoの 手法 は

,ま

えが きで述べ た ように従来 の手法 に比べてい くつかの利点があ り

,人

工的 につ くられた時系列データの最小埋込み次元 を 決定す るには大変有効である。 しか し

,実

在す る時系列デー タにCaOの 手法 を適用す るのは困 難 と考 え られる。す なわち

,caOの

手法では再 構成 した相空 間 において

,あ

る点光(の に最 も 近 いただ一つの点が選択 され

,式

(2)のα(J,の の値が計算 される。 このため,α(′,の の値 は 実在す る時系列デー タに通常含 まれている雑音 に大 き く影響 を受け,El(め の値 を正 しく計算 す るのは困難 と考 えられる。 ここでは、caOの 手法 を基 に

,時

系列 デー タ に含 まれる雑音 にロバス トな最小埋込み次元決 定方法 を提案す る。ど次元の相空間において, あ る点労④ の近傍点 を近い順 にた個探索 し, これ をノヵデt,め(の (ブ=1,2,…,た)と す る。近傍 点 の探 索 には

,ユ

ー クリッ ド距離 を用 いる。 光の とノ打_デぐ,め(の との間のユークリッ ド距離の 平均値 を

,次

式 に よ り計算す る。 の ノ 一 の ノ 上 〒 盈 デ〓︲ １ 一 た 〓 (7)

次 に

,短

時 間∫を経 過 した後 の光十す(の と ノ″_デT,め.d(の との間のユ ー ク リッ ド距離 の平均 値 を

,次

式 に よ り計算す る。

1 0

β(の を計算

ｐ

 

て

_，

く ， ， ど ， 十     騨

﹁

 

難

④

 

こ次

︱

_・

_，

世

・

翔

々 Σ デ_〓︲   代 １ 一 た   の

行

 

一

岬

する。

PV― (′-1)τ 一S また

,式

(5)の代わ りに次式 を用いて,β ネ (の を計算する。 ゴ⑭ = N(2た S虐 1埼 +lFりτキd一為 ブt,ぉ十ば―Dτttdl(10) βl(の とβ2(め _{の計算 には}

,式

_(4)と式(6)を その まま用 いる。 以上の ように

,提

案手法で は

,再

構成 した 相空 間において複数個 の近傍点 を探索 し

,こ

れ を時系列 デー タの最小埋込み次元 の決定 に 用 い るため

,時

系列 デー タに含 まれ る雑音 に ロバ ス トであると想定 される。提案手法で は

,近

傍点の数たをい くつ に設定す るか につ いての検討が必要である。た力Ⅵヽさす ぎると βl(の _{の値 は雑音 に大 きく影響 を受ける。一} 方,た が大 きす ぎる と,光の か ら離 れた点が 光(め の近傍点 と して選 ばれるため

,脱

(め の 値 は

'の

値 に関わ らず ほぼ1にな り

,決

定論 的デー タとランダムデー タとを区別す ること が不可能 となる。たの最適値 は

,調

査対象 と なる時系列 デー タにある程度依存す る と考 え られ るため

,試

行実験 に よ りたの値 を決定す るこ とが重要 となる。

4.評

価 実験 提案手法の有効性 を確認す るため に,Hёnon

map〔7〕お よびLorenz model〔 8]から生成 される時 系列 デー タにガウス分布型雑音 を加 えたデー タ

_,な

らびに指尖脈波[9]のデー タを用 いて評 価実験 を行 つた。 Hёnon mapは

,次

の

2次

元写像である。 為.I=ノ″

+1 A婿

, ノ打+l=BX几

(11)

式(11)にお い て

_,パ

ラ メー タftLA=1.4, β

_=0.3,初

_期値為

_=0.3,ノ

。=0.3と した とき のアを時系列 デー タと した。 Lbrenz mOdelは

,次

の

3変

数微分方程式であ る 。 元=一 σ(χ―ッ), )=―ノーえて十虜 , 之=メッーうて

(12)

式(12)に お い て

,パ

ラ メ ー タ値 σ

=10,

r=28,

♭

=8/3,

布D期4直X=0・1 , ノ

=0,

て

=0,時

間刻 みδ′=0.01と して

4次

の ル ン ゲ・ クッタ法でχの時間変化 を求め

,こ

れ を時 系列 デー タとした。 雑音 デー タを生成す るため に

,上

記 のHこnon

mapと Lorenz modelの時系列 デー タに, 10/0と

30/Oのガウス分布型雑音 を加 えた。時系列デー

タの デ ー タ長Ⅳ は,1,000と lo,oo01こ設定 し

た。時間遅れτは,Hёnon mapで は1に,Lorenz

modelでは10に設定 した。経過時 間∫は,τ と 同一 とした。 HOnon mapおよび これ にガウス分布型雑音 を 加 え た 時 系 列 デ ー タの相 図 を図1に示 す 。 Lorenz modelお よび これにガウス分布型雑音 を 加 えた時系列 デー タの相 図 を図2に示す。 指尖脈波のデー タについては

,こ

れまでの研 究[9]によ リカオス的特徴 を有す ることが指摘 されてお り

,最

小埋込み次元 は

4で

ある と推定 されてい る。 本実験では

, 3人

の健常者の指尖脈波 につい て

,各

々安静状態で測定 したデー タを用いた。 デー タのサ ンプ リング時 間は5msである。パ ラ メー タⅣ_,τ

_,dの

値 は,Lorenz modelの場合 と同一 とした。 指尖脈波 デー タの相 図 を図3に示す。 本実験 では

,ま

ず近傍点の数たの値 を決定す

るため に

,H6non mapお

よびLorenz modelの

β(の

=T〒

昇

N屯

府

ぃ ＋ ︻ 崇 う ぃ ＋ ヽ ム ぃ ＋ ヽ ｋ χ_{J χ】} 死_f

O ginal data +1%Gaussian whitc noise +3%Caussian whitc noisc

図l Hるnon mapの相 図

Fig.l Phase plots ofthe H6non map.

ぃ ＋ ︻ 状 ︶ キ 一 ム ， ＋ ヽ ｋ ︶ ＋ ヽ 崇 ﹁ ぃ ＋ 、 崇 ﹁ い 十 一 ︺ 一 ぢ `J onginal data 死j SubieCt A ズど

+1ワ5(〕aussian white noisc

図2 Lorenz modelの 相 図

Fig。 2 Phase plots ofthe Lorenz model.

死 】

+3%Gaussian white noisc

死J

SutteCt C

づri

SubieCt B

図

3

指尖脈 波データの相図

データ

,指

尖脈波データ

,ラ

ンダムデータを用 いて,E2(1)と たの関係 を調べた。なお

,指

尖 脈波データは

,図

3のSutteCt Bのデータを使用 した。結果を図4に 示す。ラングムデータの場 合

,近

傍点の搬 の値 に関わ らず

,E2(1)の

値 はほぼ1と なる。一方

,Hё

nOn mapお

よび Lorenz modelの デー タ

,指

尖脈波 デー タの場 合,た がデータ長

Nの

約10%以 下では,β2(1) の値 は1よ り小 さ くなる。たが

Nの

5%に

なる と

_,E2(1)の

値 は0.5か ら0.6の間 となる。本実 験では

,雑

音にロバス トであ り

,か

つ決定論的 データとランダムデータとを区別できるように するため,た の値 を

Nの

5%に

設定 した。 Hёnon mapの データについて

,n(の

と埋込 み次元どとの関係を求めた結果を図 5に 示す。 図 5に おいて

,従

来手法 とはCaOの手法 を意味 す る。 これ は

,以

降の 図で も同様 で あ る。 Lorenz modelの データについて,ど1(の とが と の関係を求めた結果を図 6に 示す。図

5,図

6 から

,雑

音 を加える前のオリジナルデータに対 しては

_,従

来手法および提案手法 ともに最小埋 込み次元を正 しく決定できることがわかる。す なわち,Hこnon mapの場合は

2で

あ り,Lorenz

mOdelの場合は

3で

ある。 しか し

,ガ

ウス分布 型雑音を加えたデータに対 して従来手法 を用い ると,El(の が収束するゴの値は正 しい値 より も大 きくなる。従って

,従

来手法は雑音を含む データに対 して有用ではない。一方

,提

案手法 は

,ガ

ウス分布型雑音を加えたデータに対 して も最小埋込み次元 を正 しく決定で きる。 指尖脈波データについて,El(の と埋込み次 元ど との関係を求めた結果 を図 7に 示す。提案 手法では

,こ

れまでの研究[9]の結果 と同様 に 最小埋込み次元はほぼ 4と なる。一方

,従

来手 ０ ・ ８     ０ ・ ６     ０ ・ ４ → 百 ﹃ 1 10

Number of nearest neighbors(%Of Ⅳ )

図

4

近傍点 の数 とE2(1)の 関係

Fig。 4 E2(1)vs.number of nearest neighbors. Hこnon map(N=llX30) ― " OW=lCXXXl) ――B……Lorcnz modc1 9V=1000) ― J ?V=llJt100)_{Pulsation data(Ⅳ} =1000) J ?V=10000) ―●―Random data(Ⅳ=10CXl) ―■― “ ば =10CX10)

― PrOpOSCd method ω =1000J ― " ω =10000D -0-Convendonal method(rV=lα_Ю) -4- J 17V=100001 ―O PЮposed method?V=llXXl) A― " ?v=laXXl) -0-Conventional method(Ⅳ =1000J _も_ 中 _?v=icml) 貶 １ ∝ ０６ ∝ ψ ０ ︵ ← ︻ 噌 ︵ ｅ Ｈ 晴 08 母06 中 04 2 3 4 5 6 7 8 9 Embedding dimellsion(ど)

(a)O ginal data

「 ,・・・ ぉ ……‐・ ‐ r r rr rぉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Emttding dmellsion(ど 〉 (b)+19/p Gaussian white noise

3 4 5 6 7 8 9 Embedding dmension(ど ) (a)Original data

ヨ

06 噛 04 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Embedding dimension(tr)

(b)+1%Caussian white noise

「、二==Tと “・

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Embeddhg dimension(ど)

(c)+3%Gaussian white noise

図6 Lorenz modelに _{お ける埋込み次元 とE4(d)}

の関係

Fig.6 El(d)VS.embedding dimension forthe

Lorenz model. 朦 １ ∝ ０６ ” ０２ ０ ︵ ← ︻ 哨 聰 １ ∝ ０６ ０４ 屹 ０ ︵ ヽ ▼ ﹃

/rr″

汗

r十

r●` 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Embedding dimension(ど )

(c)+3%Gaussian white noisc

図5 Hるnon mapに _{お ける埋込み次元 とEI(d)}

の関係

Fig.5 _{日 (d)vS.embedding dimension forthe}

HるROn map. ″ イ Ｔ ， ． ，，” ” ”・ ，・ ／ ′ ︲   ︲ ， イ Ｆ

１ ０８ “ ∝ ︵ ヽ ▼ 菊

― PЮ pOSed method uv=llxD) 一 " ?V=10000) -0-Conventional method(/V=ICXXJ) -4- " (N=lCXXXJ) 法 を用 いる と,El(の が収束す るどの値 は4よ りも大 きくな り

,誤

つた結果 となる。 この誤 り は

_,指

尖脈波デー タに含 まれている雑音 に起因 す る もの と考 え られ る。 以上の評価実験 よ り

,提

案手法 は時系列デー タに雑音が含 まれる場合で も最小埋込み次元 を 正確 に決定 で きることを確認 した。

5.む

す び 本論文では

,CaOの

手法 を基 に

,雑

音 を含 む カオス時系列データの最小埋込み次元 を決定す る方法 を提 案 した。更 に,Hёno■ mapお よび Lorenz modelか ら生成 されるカオス時系列 デー タにガウス分布型雑音 を加 えたデータ

,な

らび に指尖脈波のデータを用いて評価実験 を行 い, 提案手法の有効性 を示 した。 今後の課題 は

,提

案手法 を他の実デー タに も 適用 し

,評

価 を行 うことである。 文 献

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″

酒

r'IFFi'1「

予

L´

を

P' メ・・´

「

子

イ

(b)SubiCCt B (C)Sub」ect c 図

7

指 尖 脈 波 デ ー タに お け る埋 込 み次 元 と

fI(d) [6]

の 関係

Fig.7 fl(d)VS.embedding dirnension for the

pulsation of human finger capiIIary vesseis.

︵ し ︻ 噛 ︲２ １ ０８ ０６ 伽 ︵ し Ｈ 瑣 ８   ど ７   ・Ю 膵 ６   ｍ ５   肥 ４   ｅｄ ３   一 Ｅ ｍ [21 [4] [5] ７   ・Ю 西 ６   ｍ ４   ｅｄ ３   ・ Ｅ ｍ

．メ

一

∵

／

〆′′′

／ 中・止

一十∵・

〔7]

[8]

[9]

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