離散解析モデルにおける波動の分散性と最適整合質量比の提示

【論　 文】

UDC 　：624

．

042

．

7　：550

．

34

．

09

　 　 日本建築 学 会 構 造 系 論文 報 告集 第 433 号

・

1992_年3月 ∫oumal 　of 　Struct

．

　Constr

．

　Engng

，

　AIJ

，

　No

、

433

，

　Mar

、

，

1992

離 散

解

析

モ

デ

ル

に

お

け

る

_波動

の

分

散性

と

最

適 整

_合質

量

比

の

_{提 示}

ASTUDY

　

ON

　

THE

　

WAVE

　

DISPERSION

　

IN

　

THE

　

D

王

SCRETE

　

ANALYSIS

　

MODEL

　 　　　 　

AND

　

A

　

PROPOSAL

　

OF

　

OPTIMAL

　

CONSISTENT

　

MASS

　

RATIO

　　　　 福 和 伸 夫

＊ ，

．

勝 倉 　 裕

＊ ＊ ，

中 井

正

一

艸 ＊

NobUO

　

FUKUVVA

，　

ffiroshi

　

KIATUKURA

　and 　

Shoichi

？

VIA

　

KAI

　

The

　wave 　propagation 　in　the　analysis 　of　the　

discre

しe　method 　such 　as　

finite

　

61ement

　method 　

is

examined 　

for

　one 　

dimensional

　structure

．

　

The

　transfer　matrix 　method 　is　adopted 　and 　the　phase velocity

，　

group

　velocity 　and 　equivalent 　damping 　ratio 　are　explicitly 　solved 　from　the　eigenvalue 　of transfer　matrix

．

　

Fro

皿 this　examinatiQn

_，

　

it

　

is

_clarifiedthatthe_{propagating　waves 　show}

_魚

_e

disper

−

「

sion　even　

if

　the　continuum 　

body

　

is

　analyzed

．

　

In

　order　to　improve　the　wave 　

propagation

　_property

，

the　optimal 　consistent　mass 　ratios 　arti　

derived

，．

which 　give　the　same 　phase　velocity 　or　gToup

velocity 　as　those　of　the　rigorous 　solution

．

　K翊切 n晦 ：τリave 　

disPe

厂5ion

_，

　 one 　

dimensional

　stra‘ture

，

　

discrete

　analysis 　method

_，

　 maSS 　modeling

，

　　 　　　 　 transfet　matrix 　method

　 　 　 波 動の分 散 性

，

1次元 構 造 物

，

離 散 解 析法

，

質量行列作成 法

，

伝 達 行 列 法

1．

は じ め に

　

前 報1 ）で は_， 波 動 解と 伝達 行

_列

法を 用い て

，

1次元 連 続 体と集 中 質 点で構 成さ れ る 1

’

次元 周期 構 造 物の波 動 伝 播 性 状 を検 討した。 そ の結 果

，

集 中質 点の存 在によ り

，

構造 物内を伝

播

する波 動の位 相 速 度

・

群 速 度に分 散 性が 生 じ

，

付加質 点の 大 き さ お よ び 振 動数によっ て

，

波 動の 速度が変動す ること が明ら かになっ た。 こ の波 動の分 散 現 象は

，

連続体の質量 を ゼロ としたばね とマ ス の み で構 成され る構 造 物の _{場 合}にも認め ら れ た。 これ は

，

離 散モ デル における数 値 分 散 性と してと ら え ること がで き る。 　そ こ で

，

本 論で は

，

有 限要 素 法などの離 散 解 析モ デ ル におけ る波 動の分 散 性にっ い て

，

伝 達 行 列 法を用い て検 討す る。 解 析 対象と しては

，

集中質点と 1次 元 連 続 体で 構成さ れ る単 純な構造物 を採用 す る

。

こ れ は

，

上部構造 につ い て いえば

，

床を 集 中 質点 に， 耐 震 部材を連 続体に 置 換し たモ デル に相 当す る

。

また

，

集 中質 点 を 考 慮し な い場 合に は

，

地 盤の 1次 元 波 動 解析モ デルを考えた こと に も相当する。 　連 続 体 部 分を剛性 行 列と質 量 行 列を用い て離散化し

，

質量行列のモ デル化として

_，

整 合質量 モ デル

．

集中質量 モデル

，

お よ び整 合 質量 比に よ る 両者の線形結合モデル

，

を想 定 する

。

最 後の線 形 結 合モ デルは

，

動 的 問 題におけ る精 度 向上の た め に用い られるζ と が多く

，

汎用 構 造 解 析プロ グラム NASTRANZI な どで は 整合 質量 比 と して

1

／

2

の採 用を推奨して い る。 離 散 化に よ り得ら れ た振 動 モ デ ル か ら

，

隣り合う両 節点の状 態 量 を関 係 付け る伝 達 行列 を 求 める

。

伝 達 行 列は_， 構造 物 内の波動の伝 播

・

増 幅 を表す

。

し た がっ て， 伝 達 行 列の固有値の位相情 報か ら

，

構 造 物 内 を伝 播す る波 動の位 相 速 度

，

群 速 度 を求め る ことが で きる

。

ま た， 固有 値の振 幅 情 報か らは構 造物 内で生じ る減 衰 効果 を求め ること が で き る

。

得ら れ た離 散モ デルの_位相 速 度

・

群 速 度 を

，

前報1） で得ら れ た集 中 質 点

一

連 続体モ デルの結果 と 比較す るこ とに よ り

，

離 散 化 が 波 動 伝 播 性 状にどの ような影 響 を与える かを明確に する

。

　こ の検 討の結果

，

質 量 行 列の モデル化が波 動の伝 播 性 状に_大き な影 響を与え ること が明ら か と なっ た。 す なわ ち， 波 動が伝播でき る 振動数範囲 お よ び波動の速度が

，

質 量 行 列 作 成 時の整 合 質 量 比に依 存す る

。

そこで

，

構 造 物 内 を伝 播する波 動の伝 播

_運

度が_， 離 散モ デル と連 続 体 モ デル で

一・

致 する ように_， 最 適な整 合質量 比 を定め る。 こ れ を最 適 整 合 質 量 比と称 し て

，

その有 効 性 を構 造 物の 本論 文の

一

部は参 考 文 献 9 ）に発 表し たもの である

。

　＊ 名 古 屋 大 学工学 部 建 築 学 科 　助 教 授

・

工博 ＊ ＊ _{清 水 建 設 大 崎 研 究 室　主 任 研究員}

・

_工博 畔 零 清 水建設大崎研究 室　グル

ー

プ長 「工博

Assoc

．

　Prof

．

，

　Dept

．

　of　ArchitecIure

，

　Facuky　of　Engineeriロg

，

　Nagoya

Univ

．

，

Dr

_．

　Eng

．

Senior　ResearchEngineering

，

Ohsaki　ResearchInstitute

，

Shim且zu

Corporation

_，

　Dr

，

　Eng

．

Ohsaki　Research　Institute

，

　Shimizu　CQrporation

，

　Dr

．

　E皿g

．

一 83 一

周波 数 応 答 関数を用い て示す

。

得ら れ た最 適 整 合 質 量 比 は振 動 数と集 中 質 点の大き さに依存し た値と し て求め ら れ るq 　離 散モ デ ル に お け る数 値 分散性の_検討は

，

差分解法 を 多用す る空 気 流 体 力 学の分 野で は従来よ り な さ れ て き た31

。

しか し

，

有 限 要 素 法を主に用い る構 造解 析分 野で の検 討は非 常に少ない。 近年

，

地 盤の 波 動伝播解析に お い て_， 表 面 波の _{存 在}に よ る波 動の_分散性の_検討を離 散モ デル により行う例が増え て き てい る4〕

_。

_こ うい っ た離 散 モ デル に よ る波 動の分 散 性の検 討におい て は

，

離 散 化に 伴 う波 動の _{分 散 性}が内 在し ている こと を念 頭に お い て い ない と， 本 来 着目 すべ き表 面 波の分 散 現 象 を 誤っ て解 釈 す ることにな る

。

　

一

方

，

質量行列の_取り扱い につ い て は_， 従 来より種々

・

の_検討が行わ れ て き て お り5）

_，

質量 行 列の対 角 化の方 法

，

集中 質 量 行 列 と整 合 質 量 行 列の平 均 値を用い る方 法の有 効性の検 討6］

・

7） な ど が な さ れ て き た

。

こ れ は_， 動 的 問 題 に おいて

，

解の精 度に質量行列の モ デル化 が 大 き な影 響 を及ぼ すこと が認 識さ れて き た た め と考え ら れ る

。

近 年

，

波 動 解を内挿 関 数と して用い た非 対 称な質 量 行 列の作 成 法8〕 なども提 案さ れ てい る

。

こ うい っ た既 往の検 討 例の ほと んどは_， 変 位 解 や 固有 値の精 度とい う観 点で動 的 問 題の誤 差が議 論さ れ て い る。 し か し

，

本 来

，

構 造 物の動 的 現 象は

，

波 動が構 造 物内を伝播す ることによっ て生 じ る。 し た がっ て

．

離散化に伴う数 値 誤 差に関す る議 論 を 行う場 合には

，

離散解 析モデル に おける波 動の伝 播 性 状 が連続体の それ を どの よ うに模 擬し て い る かとい う観 点 で の議論が重 要で あ ると考え ら れ る

。

そこで

，

本 論では

，

波 動の伝 播 速 度に着目 して_， 質 量 行 列の作 成 法の検 討を 行う。

2．

伝 達 行 列の固 有 値 　図

一

1に示す ように

_，

n 十1 個の _{集 中質}点が_{等 間}隔で 存在す る1次元連 続 体 を対 象 とす る

。

各 質 点の 質 量 を m

，

質 点間 隔 を 1

，

連 続 体の弾 性 定 数

，

断 面 積

，

質量密 度 を 各々 G

，

A

，

_ρと する。 こ の時

，

構造物は同

一

の構 造 要 素が繰 り返 し現れ る

1

次 元 周期 構 造 物と な り， その mn 　　 　 　m 　　 　 　m O　 　 　 　 1　 　 　 　 2 − →

．

．

．

．

．

＿．

．

．

．

傑

●

＝ ・・… ：：・；；；・ ・＝

o

罕

_』 　 　 　 m 　 　 　 　吊　 　 　 m ！2 　 　 　 n

．

2　 　 　 η

一

1

．

．

．

＿．

．

．

＿

_＋

＿＿

L

非

  　1次 元連続 体

一

集 中質点で構成 さ れる周期 構造 物 　 　 　 　mn 　 　 　 m ρ 　 　 　 　 　G

，

ρ 恫 　 　 　 i　 　　 　 i＋1 」

］

（b）周 期 構造物の基 本 構 造 要 素 図

一

1 解 析 概 念 図

一

₈₄

一

基 本 構 造 要 素は両 端に質量 m ／

2

の質点 が存在す る長 さ

t

の 1次 元 連 続 体 （図

一

1b ）と な る

。

連 続 体 部 分に変 分原 理 を適 用して

，

線 形 要 素を用いた有限要素法に よ る 定 式 化 を行う と

，

連 続 体は以 下の 剛性 行列

K

と質 量 行 列

Mc

でモデル化さ れる

。

　

　

　

・

一

甼［

21

三

1

］

脇

尋

［

ll

］

　 　 　 　

・

…一 ……・

…・

……・

・

………

（1） こ こ に

，

質 量 行 列の_{下 添字}

C

は整合 質量 行 列 （Consis

−

tent　Mass ）で あ ること を示す

。

有 限 要 素 法に よる動 的 解 析に おい ては

，

整 合質量行 列 Mc と

，

こ れ を対 角 化し た集中質量行列

M

。の線 形 結 合に より質量行 列をモ デル 化す ることが

，

し ば し ば行わ れ る。 本 論でも

，

質量行列 を 整 合質量比 θを用い て

，

　 　 　

M ＝

θ

M 。

十（1

一

θ）M，

　

　

　

　

一

_・

_{穿 ［}

ll

_］

_・・レ ・・ρ

書

‘

［

8

？

］

・

・

…

（・） と表すことにする

。

こ こ で_， 定 常 振 動 問題 を 対 象 と する ことにす る と

，

基本構 造 要 素の動 的 剛 性 行 列

S

は集中 質 点の寄与を加え る こ と により

，

下 式で_与えられ る

。

　

　

　

Iii

一

_劉

_三

11 ’

］

　

　

　

　

−

_wt

（

t

［

_臨

］

・ ・

響

［

ll

］

　　

　

　

・_（1

−

・_・

響

［

］

i

］

）

一 ・

・

・

・

……・

……

_（・_） なお

，

○ は前報皆 対 応させ る ために離散モデルに対す る量を表す ものと する

。

（3）式を整理 す る た めに

，

以 下の諸 量を導入 する

。

　 　 GA 　 　 　 m ，＝ pAt 砺環 　 　

1

・

−

k

β

÷

竪

t・b

一

傭

・

一

霧

一

a・・

1

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（4） こ こ に k，は連 続 体の静 的 剛 性， Mb は連 続 体の質 量

，

α は集 中 質 点と連 続 体の_質量比，

V

は離 散モ デル に お け る連 続 体部の等 価 速 度

，

ω。 は固 有 振 動 数

，

βは無 次元 振動数であ る

。

な お

，

θ

・

＝

Oは集 中質量モ デル に

_，

θ＝ 1 は整 合質量モ デル に

，

また a＝ 0 _は等 質連続 体の 離 散モ デル に 対 応 する。 さ ら に

，

fl

　

・

！

　

1

は要 素 長さが 波 長の 1／2π と なる振 動 数に相 当す る

。

（4） 式の諸 量 を 用い ることによ り

，

〔3） 式で与え られ る動 的 剛 性 行 列は

，

ー

　 わ 　 κ 　 ； 　

一

S

1

一

誓

1

（1＋・〉

−

9

｝

一

₁

−

9

β・

一

₁

一

_知

1

一

引

（

1

＋・｝

一

引

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（5）

］

と整 理さ れ る

。

質 点 位置 iと i＋1の状 態ベ ク トル間の

関 係は_{， （5}） 式の動 的 剛性 行 列か ら得ら れ る_伝達行 列，

　

　

　

・

一

［

．

認 論 墨』

　 　　　 　　　 　　6

−

fi213

（1＋ a）

一

θ｝

　

　

　

　

　

［

緊

謬

隔

，

　 　 　 1　 　 6 　　 　　　 　　　 　　 　　　 　　　 　 6＋

fiZe

　 　 　 　

− …・

…・

…一 ・

・

………

（6） を用い て以 下の よ う に表さ れ る。

謝

劃

監

ll

団

yl

］

一 ……・

…・

一 ・

…一 …・

…

（・） こ こ に

，

Ui お よび

fi

は質 点

i

の 変位お よび節点力 を示 す

。

上式で明 らかな よ うに_， 伝 達行列は_隣り合う節 点 問 での状 態 量の増 幅

・

伝 達 特 性 を表す

。

構 造 物 内の_波動の 伝 播 性 状 を検 討 する ために

，

伝 達 行 列の固 有 値 問 題

，

　 　　 T Φ＝ _Φ

A ・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（8 ） を考え る

。

ここ に

，A

は固 有 値 λ‘ （

i＝

1

，

2） を対 角に 含む行 列

，

Φ は 固 有ベ ク トル を 各 列に含む固 有 行 列で ある

。

固 有 値λ‘と固 有ベ ク トル ¢ ‘（i

＝

1， 2 ）は， 以 下 の よ うに求 めら れる

。

λ

一

6一

β

1

鞠

）− ’

el

　 ・　il

一

く

6一

β

箒

彦

轡

・・

一

　

［

．

轄

一

₁ ト

く

6一

β

欝

_彦

）

奪

］

　　 　　　 　　　 　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（9 ） 前報1） で述べ たよ うに_， 固有 値は_， λ_1λ2

＝

1を満足 し， λi を

｝

λ，

1

≦

1

と な る よ う に採 用す る と， λ、は進 行 波に， λ， は逆 行 波に対 応す る

。

　参 考の た めに_，対応す る連続 体モ デル の動的剛性 行列， 伝 達行列

，

固有 値 を以 下に示す1 ）

_。

一

轟

ド

 

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

．

惑

司

T −

「

姻

簗

辮

：

島

｝

ヂ

1

誌

］

・t

−

（

一

誓

… _β… S _β

）

・il

−

（

ぞ

・m β… sβ

）

！

t・

……

_（

₁

_・）

3．

位 相

・

群 速 度 と等 価 減 衰 　基 本 構 造 要 素 内を伝 播す る波 動の位 相 速度

，

群速 度

，

等 価 減 衰 定 数は

，

（9）式に示し た_伝達 行 列の 固有 値か ら求 めることがで き る。 まず

，

位 相 速 度は

，

固 有 値の位 相 角か ら下 式で与えら れ る

。

　　　

−

ilPhaSe

＝



ω

1

_＿

　

＝v

　　

β

・

_＿

　 　　　 　　　arg （λ、） 　 　　　 　　　 　　　 　　 arg （λ、〕

　　　　　　

＝



βy



＿・

…＿

_（11）

　

　

　

　

　

　

　

・ ・s

−

・

〈

6

一

β

1

甥

一

el

＞

こ こ に

，

（11）式の位 相 速 度が存 在 する条 件は下 式で与 え られる

。

　　

　

β≦

23

（1＋

1

）

．

、θ

一 …・

……一 …・

……

_（・

₂

_） すな わ ち

，

（ユ

2

＞式を満 足 する振 動数 範 囲での み波動が 伝播す るこ と を意味し

，

（

12

）式は本問題 に お け る透過 振 動 数 域に対 応 す る

。一

方

，

群 速 度は

_，

　　　

−

VcreUP

−

∂ω

． 1

−

v

∂β

_．

　 　　　 　　　∂arg （λ1） 　 　　　 　　　 　　　 　　　 　∂arg （λ，）

　

　

　

　

　

　

−

mes6

， ’ ．

B

　

l

’

121

−

（

6一

β

li

講

）

醐

　 　 　 　

………・

・

………・

…・

…・

……・

（

13

） と な る

。

群速度の存在 条 件も （

12

）

・

式で与 え ら れ る。 （ll＞

〜

_（13）式か ら， 波 動は （12 ）式を満足 す る透過振 動 数 域の み で伝 播し

，

その位 相 速 度およ び群 速 度は無 次元振 動 数 β

，

質 量 比 α

，

お よ び整 合 質 量 比 θ に依 存し た 分散 性 を 示すこと が分か る。 　 次に

，

波 動の減 衰の大き さ を検 討する。 等 価 減 衰 定 数 は

，

　

　

　

ii

・

−

li

　

i

・gl

瓦

1

一

者

・・sh

’

_・

16

一

β

箒

壽

_夛

）

−

e

｝

1

　 　 　

………・

・

…・

…・

………一 …

（14） と求める こと が で き

，

（12）式 を満 足 し ない遮 断 振 動 数 域で の み_存在 する

。

すな わ ち， （12 ）式 を 満 足 し な い高 振 動 数 域では波 動は伝 播せず

，

減衰 効 果の み が生じ るこ とになる

。

　 対応する連 続体モデル の位 相 速 度， 群 速 度お よび等価 減 衰 定 数は

，

以 下のと おり で あるll。 　 　 　 β

VPhase

＝

v

　　　　

・ ・S

−

1

（

イ

… β… Sβ

）

協一 ・

14

−

_（

一

_{αβs正nβ十}

_2cos

_β）2

h

・

一

者

・ ・sh

−

’ （a 十2｝sin β十_卿9　cos β

ト

誓

… β… Sβ

・

・

・

・

・

・

…



一

・

…



tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・



・

…

_（15＞

一

₈₅

一

4 3 2 ε 沼 く 1 9

昌

0

．

0

　　 〜

　　

1

　 　’　e

＝

05 　〜　　 　　ec1 ，9

．

一

・

・

ノ　 　 　

，

／

1

　 　

，

・

’

『

’



s

・

xf 　 ’ （＿ t　　　、

，

丶 丶

こ

：

_こ 二：＝ ＝ 4 3 oo 　

　

2

｛

6 の P 《 1 O

．

5　 　 　 　 　1　 　 　 　 　1

．

5 　 　 　 　 防 　 　（a）固有値の絶対 値 2 ・・…

〃

ぽ 7 「 ー

凵

ア

゜

1

〃

一 畧i 　 　 　C加面

 

oo tN 　

、

辱

・

…監 縞

黠鵠・

一

躡．

r

．

：

＿＿一

．

一

幽

O

、

5　 　 　 　 　1　 　 　 1

．

5 　 　 　 　 段冨 　 　（ab固有値の絶対値 2 4 2 O ε 9 く

・

2 e

＝

0

．

5 4 　 　　 　 グ　　　　　

．

e

・

o

．

os_？

．

・

・

’

t

　 　

．

’

，

’

　 　 　 　 e

；

L

．

o h

■

隔

■

隔

b

哂

　

1、

，

、

　

、

　　　　　

°

Qantnuum ₂ O39 く

・

2

・

4 　00

．

5　　　　　1　　　　　1

．

5 　 　 　 　 口π 　 　 ｝固有値の位相 角 2

一

4 　 00

、

5　 　 　 　 　1　 　 　 1

．

5 　 　 　 　 印＝ 　 　（b｝固 有値の位 相角 2 ≧

甚

》 1

．

5 1 o

．

5 　 　

．

卩

一’岬

hEee1

層

，

9 ’ Condnuum 1

．

5 Oo

．

隔

隔

　

、

0 　 6

＝

o

．

5 脚 2 ≧

嵳

〉 1 o

，

5 51 　 　 顳

轟

躙 　 　   5a 9

＝

1 00

　、

e

＝

o　 e

＝

0

．

5 1

、

5 　 　

，

．

一

’

s

、

　　’

　’

₅

’

、 、 覧 　 　 　 （  血u… Comdnuum

ユ

コ

20 》

、

》 1 O

．

5 ノ 1

．

5 00 　 　 司

゜

°

」

°

曳 101

・

−

・

1

，

1 ー

_，

1

，

　 　 　 5 　 　 　 稠

゜

’

°

6

°

°

… 　 　

亀

50 　

亀

鴨

_．

_噛

　

圓

梱





血

コ

20 ＞

_、

　 　 〉 1 O

．

5 O

．

5　　　　1　　 　　 1

．

5 　 　 　 　 β’揖 　　 　（d）群速度 2 1

＝

e

駑

O

．

5　 　 　　1　 　 　　 1

、

5 　 　 　 　 餌π 　　 　（c〕位相遮度 　 　C 面皿u賦m 　 　 　 丶 9

＝

o

、

5 ＝ 1

．

5 1 O

．

5 00 2 　 　　 　0

＝

0

，

5 eo 　

。

・

’

’

’

”呻

層

駻

胴

’

”一

嚠

・

・

・

・

…

　　 ’　　／ etiL

−一

…一

・

一

一

　　 5　　　　　　　

「

0

．

5　 　　 　1　 　　 　 1

．

5 　 　 　 　 防 　 　 　｛の 等価 減 褒 2 図

一

2　伝 達行 列の固有値

・

位 相

・

位 相 速 度

・

群 速 度， 　　 　　（α

＝

0

，

C）

‘

00 1

．

5 1 o

．

5 O

．

5　 　 　 　1　 　 　 　 1

．

5 　 　 　 　 四π 　 　 　  群 速 度 2 等 価 減 衰 　 　 　 　

＝

o ズ

凾

；

1

丶 嫂 乏

ノ

6で丶 一

こ

こ

こ ：： ’　　　　　血凵

iI

　 　 　 　o 　 　 　 O　 　 　 　 　O

．

5　 　 　 　 　1　 　 　 　 　1

，

5　 　 　 　 　2 　 　 　 餌露 　 　 　 （e｝等 価 減 寰 図

一

3　伝 達 行 列の閲有 値

・

位 相

・

位 相 速 度

・

群 速 度

，

等価減 衰 　　 　　（a

＝

1

．

O）

一

₈₆

一

γ

陶

0

．

OLOo

．

50

．

O 　o 1

，

D （且

・

1）位 相 遮 度 （連続体モ デ ル_） 　 　 　0

．

0 　 　 　1

．

ovf 脚 　 　0

．

50

．

0 10 　βtπ₁

．

_s （レD群 速 度 （連 続 体モデル_）   1

．

0 1

．

5 （a

・

1）

「

位 相 速 度 （

α冨

0

．

0） 1

．

o y_幽

■

α L α 0 1

．

0 （a

−

2）位 相 速度 〔離 敵モデル ； θ

＝

O

．

O） 　 　 　o

，

0 　 　 　1

、

Ovjn

＋

₀

_，

_5o

，

（b

．

2）群 速 度 （雌 散モァル ；e

＝

0

、

0） 　 　 　 　 　 　   　 　 1

．

O 〔a

−

2）位 相 速度 （α

昌

1切   1

．

0 　 　 　 　

．

Ce

．

3｝位相速 度 （誰 散モデル ；θ

＝

O

．

5） y

_脚

（b

−

3）群 速度 ｛維 散モ デ ル ；θ

＝

O

．

5） 　 　 　 0

，

0 　 　 　1

．

0

．

γ 　

‘

脚

o

．

50

．

0 10 　 　 　 　L5 〔国 ）群速度 〔α

＝

o

・

  L

、

0 y 帥 （fi

．

4）位相速度 〔離散モ デ ル 　　　　　　　　 図

一

4 1

．

5 　 　 　0

．

0 　 　 1

．

ev

畠

脚

　 　 0

．

5O

．

0 1

．

0 βノπ ₁

，

₅ e

＝

L 　　　　　　　　　

．

〔b4）群 速 度 （離 散モ デル ：ee1

．

0） 連 続体モ デ ルと離 散モデル の 位 相 速 度

・

群 速 度 レ

宦

脚

　 　 　 （v2⊃群 遼 度 （a

＝

L劬

．

図

一

5　離散モ

．

デル の位 相 速 度

・

群 速 　　　　 度の整 合 質量 比 依 存 性

一

₈₇

一

　図

一

2

，

3に

，

（9 _＞

〜

（14） 式に示 し た離 散 解 析モ デル における固有値の絶対値

，

位 相 角， 位 相 速 度

，

群 速 度お よ び等 価減衰定 数を

，

連 続 体モ デルの結 果 （1G）式

，

（15） 式と比 較して示 す

。

ま た， 波 動の伝 播 性 状に及ぼ す付 加 集 中 質 点と質 量行列の_作成 法の影 響 をよ りよく理 解 する た め に

，

図

一

4お よび 図

一

5に位 相 速 度と群 速 度の付 加 質 点 質量 比 （a

〜

β） 依 存 性と整 合 質 量 比 （θ

〜

β）依存 性を示す

。

　図

一

2は付 加 集 中 質 点の存 在し ない場合 （α＝・

O

）を示 してい るが

，

本来

，

分散性が存 在し ない _等質 連 続 体の場 合に も， 離 散 化モデル に分 散 性が生じて お り， 波 動の伝 播で きる振 動 数が限定さ れ てい る

。

こ の透 過 振 動 数 域は （12） 式で示さ れ る よ う に整 合 質 量 比 θが大 きい ほど 広 くな る。 ちな みに， 集中質量モデル で ある θ

＝

0の場 合に は_β≦

2，

整 合質量 モ デ ルの場 合 （θ

＝

1）に は _β≦2 語 と な る。 また

，

波 動 伝 播 速 度につ い て は， 集 中 質 量 モデル では遅 めに

，

整 合 質 量モデル では早め に評価さ れ て お り

，

両 者の 平 均値 （θ

＝1

／

2

）が最も よい近似 値を 与えて いる。 こ うい っ た傾 向は位 相 速 度よ り も群 速 度に よ り顕著に_現れ て いる

。

θ

＝

0や θ

＝

1の場 合に は_{， β／}π が

1

／

6

を超え る （要 素 長さが 波 長の約 1／12に相 当 ） と 離 散 化に伴う波 動の分 散 性の影 響が生じて い るこ とにな る

。

また_， 透 過 振 動 数 域を 超 える振 動 数では 波 動 は 伝 播 せず

，

減 衰 効 果の み が生 じ る。 この減衰の大き さは， 整 合 質量比 θ が小さいほど大きい

。

　

一

方， 図

一

3の よ うに付 加 集 中 質点 が存 在す る 場 合に は_， 連 続 体モ デル におい て も波 動の_分散性が生じ， 波 動 が伝 播 する透 過 振 動 数 域と波 動が伝播し_ない遮 断 振 動 数 域が交 互に現れ る

。

これに対 して

，

離散モ デル では

，

透 過 振 動 数 域は （12）式に示し た振 動 数 域の み で あ り， こ れを超え る振 動 数 域はすべて遮 断 振 動 数 域と な る。 付加 集中 質点の_存在しな い 図

一

2と比 較す ると

，

透 過振動数 域 が 狭く なっ ており

，

整 合 質 量モ デル （θ

＝1

）が連続 体モ デル を最 もよ く模 擬して い る。 　 こ う いっ た傾 向は

，

図

一

4お よ び 図

一

5に おい て顕著 に認め ら れ る。 す な わ ち， 理 想 的な質 量の モデル化 方 法 は

，

集 中質点の_{存 在} （a_）に依 存する ことが理 解で き る。 す な わ ち

，

地 盤の よ うな連 続 体を解 析す る場 合に は_{整 合} 質量 と集中 質 量の平 均 値を用い るこ と が

，

建築 構造物の よ う に連 続 体 と集 中 質 点が混 在 する問題で は整合質盪モ デル を用 いる こ とが よ り好ま し い。

4．

最適 整合質量 比の誘 導 と その有 効 性 　前 節の_議論 か ら

，

離 散 解 析モ デル に お ける波 動 伝 播 性 状に は

，

質量の モデル_{化 方}法が大き な影 響を与え るこ と が明ら か と なっ たe そこで， （ll） 式と （15）式 第 1式 と を 等 置 す るこ とによ り

，

離 散モ デル の位 相 速 度と連続 モ デル の位 相 速 度が等しく な る 整合 質量 比

e

。。tを 算 定 す

一

₈₈

一

る

。

これは_，

　

　

　

e

・Pt− ・

鐸 誇

器

ξ

譯謝

評

・

・16・ と求め る こ とができ

，

最 適 整 合 質 量 比 と称 する こと と す る

。

また

，

（13）式に （

16

）式を代入 し， dθ／

dll

を考 慮 する と

，

運 続モデルの群速度 （

15

）式 第2式に

一

致 する。 こ の と きの波動 伝 播 領 域は_， （16） 式を （12） 式に代入 す るこ とに よ り得られ る

。

付 加 集 中 質点 が ない場 合 （a

＝

_＝O

_）に は，

0

≦β≦πの振 動 数 範 囲で

，

付 加質点が存 在 す る場 合 （α_＞0）には

，

振 動 数

0

か ら

　

　

　

誓

・an

書

・

・1

（・〈_β・ ・）

……・

…・

…一

（

17

） を満 足す る振 動数の範 囲で波 動が伝 播す る。 （

17

）式で 定 義さ れ る 振 動 数 は

，

前 報1切 （18）式 第2式で得ら れ る振 動 数に

一

_致する

。

したがっ て

，

最 適整合 質 量比 θ

。

_pt を用い た離散 解析モデル は

，

1つめの透過振動 数域に お い て連続 体モ デル の波 動 伝 播 性 状 を完 全に模 擬す る

。

な お_， （16）式の_{静 的 収束値}は_， テ

ー

ラ

ー

展 開を利用 する ことに よ り

，

　　

　

り

囎

転

一

彖

詈

昔

・

一 ・

・

…・

………・

…一 一

…

（18） と求める こ と がで き る

。

し た がっ て

，

文 献4L5 〕_で 提 案さ れて い る整 合 質 量 比 1／2は

，

等質 連 続 体 （α

＝

o）の静 的な波 動 伝 播 速 度に適合さ せ た もの に相 当する、

、

　ちなみ に

，

最適整 合 質量比 θゆ。t を （5）式に代 入し た 時の 動 的 剛 性行列

S

。 ρt は連 続 体モ デル の動的剛性 行列 S との間に

，

s

。Pt

ニー

1十 a

多

血・

書

・・

S ・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

19

） の 関 係がある。 （

19

）式の係数は

1

以 下 と なるの で

，

最 適 整 合 質 量 比 θ。ρtを用いた離 散 解 析モ デルは連 続 体モデ ルと比 較 して動 的 剛 性 を 小 さ めに評 価する傾 向が ある。 　図

一

6に最 適 整 合 質 量 比 を 示す

。

（16） 式か

・

ら明ら か な よ うに

，

最 適 整 合 質 量 比は集 中 質点質量 比 a と無 次 元振 動 数 βに依 存する。 図 か ら

，

集 中 質 点の 質 量 比が 大き く振 動 数が高い ほど

，

最適整 合質量 比は大き く なる o 1

．

5 1 O

．

5 Oo t

　

0

．

2　　　0

，

4　　　0

．

6　　　0

．

8　　　　1 　 　 　 βノπ 図

一

6　 最 適 整 合 質盪 比

o=s =; 100 10 1 OAo O.5 (a-D 1Piza=o, e=o 1.5 e]s. [= too 10 1 O.1o O.5 (tu1)Plna=l,e=o 1 I.5' ' e=s [-1OO 10

･1

OAo･ O,5 1

Pfn(a-2)

cz=O,e=O.S t.5 e]x [= 1OO 10 1 o,io O.5

'

fo-2) 1

fii"{z=1,

e=o.s 1:5 e=s =] 100 10 1 O,1o O.5

twx(a-3)

cz=O,e=1 1 1.5 o=s c= 1OO 10 1 O.1e O.5 (tr3)plscor=1,e=1 1 1.5 o=s == 1OO 10 1 O.1o O15 Stz(a4) a=O, e=e 1 ept 1.5

pa-7

o=M. == eenttwnt;asmax too 10 1 O.1o O,5 (M)

rv=a=1,e=e

1 ept 1.5

-89-こ と が 分 か る

。

　最 適 整合質量比 を用いた解 析の有 効 性 を示 すた めに

，

10個の基 本 構 造 要 素からな るユ次 元 周 期 構 造 物を 想定 し

，

端 部 に強 制 変 位 u。を与え た場 合の他端の変 位応 答 Un を求め た結 果 を周 波 数 応 答 関 数の か た ちで示す。 た だ し

，

内 部 減 衰

h

　

＝

O

．

　02_{を考 慮 する} 。 図

一

7に集中質点 の _質量 比 が α

＝

0_とα

＝

1の場 合につ い て

，

整 合 質量比 θ

＝0，

θ

≡1

／

2

， θ

＝1

， θ

…

θ。pc を採 用して ， 連 続 体モ デ ルの_結果 と比 較して示す

。

図か ら明らか な ように等 質 連 続 体の場合に は_， 集 中 質 量モ デル は ピ

ー

ク振 動 数を低め にピ

ー

ク振 幅 を小さめに与え る傾 向が あ り

，

整 合 質 量モ デル は逆の傾 向を持つ

，

_{両 者 共}に， β／π

＝1

／

3

を超え る 振 動 数で顕 著な差 異を示してい る

。

こ の振 動 数は要 素 長 さが波長の 1／6に対応し て お り従来か ら指摘さ九て いる 要 素 分 割の基 準に ほ ぼ対 応し てい る

。

こ れ に対 して

，

θ ＝ 1／2 の 場 合に は _β／π

＝

1／2程 度 （要 素 長が波 長の 約 1／

4

に_{相 当 ）}まで運 続 体モ デルと よい対 応を示し て いる。 最適 整合 質量 比 を 用い た場 合に は

，

ピ

ー

ク振 動 数は β／π＝

1

ま で連 続 体モ デル と完 全に

一

致 する_。 た だ し

，

β／π＝ 2／3 （要素長が波 長の 1／3に相 当 ）を 超 え る と 振 幅が過 小 評 価さ れ る傾 向 が 認 めら れ る。

一

方

，

集 中質点 が存在す るα＝ 1の場 合に は

，

整 合 質 量モ デル は連 続モ デルと よい 対応を示し て い る もの の

，

θ

＝

o

，

1／2の _{場 合} に は， ピ

ー

クをか な り低 振 動 数に評 価 する。 特に

，

集 中 質 量モデル の採 用は好ま し く ない こと が 理解で き る

。

最 適 整 合 質量 比 を用いた 場合に は 連 続 体モ デル を 非 常 によ く模 擬して い る。 　以 上 の結果 と し て

，

最 適 整 合 質 量 比 を用いた質 量 行 列 の_作成の有 効性 が検 証され た

。

応 答 解 析に周 波 数 応 答 解 析 法を用い る場合に は_， 振 動 数ご とに （16）式で示 した 整合質量 比 を与え て解析 すれ ばよい。 し かし

，

時 刻 歴 解 析な ど を 用い る場 合に は質 量 行 列の振 動 数 依 存 性を考 慮 すること が で き ない の で_， 例え ば （17）式に示した静 的 な整 合質量 比 を用いて解析 を行えばよい と考え られ る

。

5．

ま と め 　離 散解析モ デル の動 的な数 値 誤 差 を検 討 する た めに

，

波 動 伝 播 速 度に着目し て連 続 体 解 析モデルの_結果と 比較 検 討し た

。

特に

，

離 散 解 析 手法にお け る質量の モ デル 化 に着 目して最適な質量行列の_作成 法につ い て検 討し た

。

1次元モ デルの 範囲で の検 討ではあるが

，

以 下の結 論を 得 た

。

1

） 離 散 解 析モ デルでは

，

離 散 化に伴 う数 値 分 散 性が存 在す る

。

波 動 が伝 播する速 度と振 動 数 範 囲は

，

集 中質点 の存 在， 質 量の モ デル化 方 法

，

振動数に依存し た形と な る

。

一

₉₀

一

2

） 地 盤などの連 続 体を解析す る場 合に は

，

整 合 質 量と 集中 質 量の平 均 値を用い た質量の モ デ ル化が

，

建 築 構 造 物の ように集 中 質 点が存在する場合に は整 合 質量モ デル が好ま しい。 3 ）連 続 体モデル と離 散モ デル の波 動 伝 播 速 度を等 置す ることにより

，

最 適 整 合質量 比が_得ら れ る。 最適 整合 質 量 比は

，

振 動 数と集 中質点の質 量 比に依 存し た形と して 得られ_， 振 動 数が高く集中質 点 質量 が大きい ほど大き な 整 合 質 量 比 となる。 4） 従 来 よ り提 案さ れ ている整 合 質 量 と 集 中 質 量の平 均 値を用い た質量の モ デル化は

，

等 質 連 続 体かつ _{低 振 動 数} に おい て妥当なモ デル である

。

5

） 最適 整合質量 比 を用い て質 量 行 列を作成 す ること に よ り

，

解 析 精度を大 幅に向上さ せ る こと ができ

，

また解 析可能 振 動 数 範 囲を広げ るこ と が 可 能 と なる

。

謝 　 辞

　

本 論を ま と め るに当た り

，

ノ

ー

スウェ ス ダン大 学の

T ．

Igusa助 教 授と貴 重な議 論を行い ま し た

。

記し て謝意 を 表し ます。 参 考 文 献 1｝ 福 和 伸 夫

，

勝 倉　裕

，

中 井正

一，

Igusa

，

　T

．

：伝 達 行 列法 　 　を用いた線状周期 構 造 物の振 動 特 性に関 する研 究

一

1次 　 元連 続 体 と集 中 質 点で構 成さ れ る周期構 造の_波動伝播特 　 性に関 する基 礎 的 考察

一，

日本建 築 学 会 構造 系 論 文 報 告 　 集

，

第 421号

，

pp

．

101

−

108

，

1991

2） MacNeal

，

　R

．

　H

．

：The　NASTRAN 　Theeretical　Manual

，

　 　the　Macneal

−

Schwendlei　CoTporatiQn

，

1972

3＞ 例 え ば

，

Anderson

，

　 D

，

A

．

．

　 TannehiLl

，

　

J，

C

．

_，　 and

　 　Pletcher

，

　R

．

H

．

：Computational　Fluid　Mechanlcs 　and

　 　Heat　Transfer

，

　McGraw

・

Hill

，

　lg84

4） 例え ば

，

佐 藤 俊 明

，

川瀬 博 ：不 均 質な表 層 地 盤 を 伝播

　 　す る弾性 波 動の散乱 と 減 衰 特性に関 する研究

，

日本建築

　 　学 会 学 術 講 演梗 概 集B

，

pp

．

217

−

218

，

1990

5） Hughes

，

　T

．

_」

，

　R

．

，

The　Finite　Element　Metheti_：Linear

　 　SLatic　and 　Dynamlc　Finite　Element　Analysis

，

　Prentice

・

　 　Hall

，

1987

6） MacNeal

，

　R

．

　H

．

：

Electric

　

Circuit

　Analogies　fot　E】astic

　 　Stτuctures

，

　

John

　Wiley＆ Sons

_，

1962

7）Goudreau

，

　G

，

　L

．

：Evaluation　of　Discrete　Methods　

for

　 the　LinearDynamicResponseofE 】asticand 　Viti

．

coelastic

　 Solids

_，

　UC　SESM 　Report　69

−

15

，

　University　of　Califor

・

　 　皿ia_，　Berkeley

，

1970

8） Melosh

，

　R

．

　

J．

　and　Smith

，

　H

．

　A

．

；New　ForrnuLation　for

　 　Vibration　Analysis

，

　

J．

　Eng

．

　 Mech

．

，

　Proc

．

　 ASCE

，

　 　Vol

．

115

_，

　No

．

3

，

　_pp

．

543

−

554

，

1989

9）福 和 伸 夫

，

勝 倉　裕

，

中 井 正

一

；離 散 化 解析 手 法に おけ

　 　る波 動の ゆ が み と質量行列作 成 法に 関 す る提 示

．

」日本 建

　 　築学 会 学 術講 演 梗 概 集B

，

pp

．

741

〜

742

，

1991