1質点系RC構造物の衝撃非線形時刻歴応答の統計的変動について

【論　 文

l

UDO ；624

．

042

．

7 ：519

．

2 日本 建 築 学 会構 造系 論 文 報 告 集 第 392 号

・

昭 和 63 年10月

1

_質

点

_系

RC

_構

造

_物

の

_衝

撃

_非線

形 時刻歴 応

_答

の

_統計的変

動

に

つ

い

て

正 会 員

　 山

田

登 志 郎

at 　

1 ．

序 　 本 研 究は

，

構 造 物に作 用す る荷 重 および構 造 特 性 （特 に後 者 ） を， 確 率 過 程 あるいは確 率モ デル と してとらえ た場合の

一

質 点 系RC 構 造 物の衝 撃 非 線 形 時 刻 歴 応 答 を， 確 率

・

統 計 的に評 価する こ と を 目的 とし て実 施さ れ たもの である

。

　

一

般に_， こ の_種の_{研 究}は_{， 作 用荷}重の ランダム_性に_着 目 し た ものが非 常に多い

。

これは_， その ランダム性が， 構 造 物に介 在 する ランダム性 より比 較 的 大きい と さ れて い る か らと思わ れ るが

，

構 造 物に含ま れる不 確 定 要 因は

，

単に材 料 強 度の み ならず

，

構 造 物 を振 動 系と してとらえ れば

，

質量

，

剛性

，

減 衰とい っ た諸要因 に も ランダム性 は存在す る と 思 わ れ る し

，

こ のほ かにも解 析のモ デル化 や施工誤差に起 因する_不確定性等， 数多く の不確 定要因 が ある。 それ故， 作 用 荷 重 同 様， 構 造 物 も確 率モ デル と して と らえ ること が よ り合理的かつ必要と考え られ る

。

特に衝 撃 荷 重 （ソ フ トミサ イル ） を受ける構 造 物の動 的 応 答 設 計におい て は

，

その荷 重の性 質 お よ び 費 用の面 を 考慮 し， 大 破 壊 等に よ り構 造 物の中に格 納され た重 要な 機器等に_破損が生じ さえ し な け れ ば よい _， とい う考え方 に基づいてい ること か ら

，

上 記ラン ダム性 を 考 慮し た衝 撃 応 答設計を行う た めに は

，

大 変形 （非 線形〉領域に お ける_最大 応 答の_変動 を統 計 的に評価する こ と が必 要で あ ろう

。

さ らに は

，

その構 造 物の初 通 過 破 壊に基づ く動 的 信 頼 性まで論 じ る な らば

，

衝 撃 応 答が非 定 常 確 率 過 程と な るこ と な ど か ら

，

時刻 歴 応 答の_統計 的評価 が 重要と な ろ う。 　構 造 物 を確 率 質 点 系モ デル あるい は確 率 有 限要素モ デ ル （以 下こ れらを確 率 構 造と呼ぶ ）と して取 り扱っ た 研 究例と し て は，

Shinozuka

’） ， 星谷 2） ， 松 島 3） ， 中桐 4 〕 ， ら の ものが あるが， いずれも弾 性 領 域で の応 答 特 性 を 中心 に_考察が な さ れ ている 場合が多い

。一

方， 等 価線形化 手 法と摂 動法を併用し

，

確 率構造の非線 形領域に お け る応 答特性を評 価 し た例と して鈴木ら5） の_{研 究}が あ る

。

こ の 他 非線 形 挙 動を評 価し得る手法 と して は

，

摂

_動

法 を繰り 返 し用い る方 法が あ る が

，

これ ら の手法はいずれ も応 答 ’ _{鹿 島建設（株 ｝技術研究所第二研 究 部}

・

_{主 任 研 究 員} 　〔昭 和62年7月22日原稿受理） の_{非 線 形 性}が強く な る と誤 差が次 第に大き く なり

，

また 解 析 精 度 を 上 げよ う と す れば定式化が複 雑と な ゐ。 これ に対 し て

，Wolaver6

レ は剛性だけ が非線形で あ る構 造系 につ き_{， 作}用荷 重が ガ ウスホワイ トノイズである場 合に は_， 等 価 線 形 化 手 法 を用い る ことに よ り， 非 線 形 項の大 小に関 係なく

，

定 常 変 位に対し精 度 良 く解 が導かれるこ と を示してい る。 しか し ながら， 確率 構造系に対して は 実績は ない

。

さ ら に， 基 本確率変数と して， よ り具体化 された もの

，

例え ば

，

構 造 物の復 元 力 特 性に おける折れ 点 座 標 を採 用し て

，

非 線 形 応 答の確 率

・

統 計 的 評 価 をし た例 も見 当たらない。 　この よ う な背景の_下

_．

_{基 本確 率変数}と して

，

復 元 力特 性の_折れ点座標

，

さ らには質量

，

減衰 定 数を採 用し

，

衝 撃荷重 下で の_{確率 構}造の_{大変形領域}に至る まで の_応答の 統 計 的 変 動 を精 度 良く評 価し

，

併せ て作用荷重を も確 率 過程と して取 り扱い可能な簡 便な手 法を考 案し たので以 下に述べ る

。

　

H

．

提 案 解 析手法 　確 率 構 造系の非線 応 答評 価 を， 直 接解 析的に行うこ と は

一

般的には 困難と 思 わ れ る た め， 何ら かの近似 的な手 法が必要で あ る

。

本研究で は

，

衝撃荷重 下での構造 物の 応答特性を取り扱う とい う観点か ら

，

剛 性の非 線 形 性に 着目し_，

一

種の_{等 価線}形的な概念を導入 し た新た な非線 形 応 答 解 析 法 を考 案し7L8 〕 ， そ して これに摂 動 法 を適 用 し て

，

非 線 形 応 答の確 率

・

統 計 的 評 価 を可 能に した

。

　

U

−

1

．

非 線 形 応 答 解 析 （確 定 論 ）手 法の概 要 　 本 解 析 法につ い て は

，

その内 容は筆 者 らにより

，

文 献 7 ）

，

8 ）に詳し く述べ ら れて い るが

，

そ の考え方が本研 究に おいて_{重 要}な位置を占め る ので

，

こ こで は再 度その 内容の要 点を述べ _る 。 　本解析では非 線 形 ばね定 数

h

を次の よ うに取 り扱い

，

非線形応答変 位を求め た

。

今

，

系の応答 変 位x （t）が 非線形 領域に 入 る

，

あ るいは入っ て いる と予 想さ れ た時 点で

，

そ の 値を予 測し （こ れ を仮に 錦 とす る）

，

こ

．

れ を用い て図

一

1に示し たエ _ネルギ

ー

的に等 価な線 形ば ね 定 数。誘 （xA ）を計 算す る。 次に

，

こ の e誘 （妬 ）を用い てt 再 度 実 際の非 線 形 応 答 変 位 Xn を計 算する

。

そ し て X

’

n とXn との差 が あ る 微 小 量 （ε）よ り大き け れ ば轟 の値

一

₇₈

一

を更 新 し

，

1Xn

一

轟

1

＜ε を満足 す る まで収 斂 計 算を行う

。

し た がっ て

，

こ の よ う な 等 価線形 ばね定 数を用い以 上の ような計 算を逐 次 行えば，

一

_{連の非 線 形 応 答 変位 くx}

_。

“ x

。

．

t

，

　Xn

．

2

，

…

）を求め ること が 可 能と な り

，

例え ば

一

質 点 系に お ける非 線 形 応 答 変 位コC。（t

。

） （tnは系の 応 答 変 位が Xn に達っ し た時の時 刻 ）に対 応す る運 動 方 程 式は 次式で表 現 され ると考え ら れる。 　　 　7π讃十egC （Xn）

dr

十eak （x∂x

＝

F（翻

…………

（1） した がっ て_， Xn（tn）は次式により求ま る6 筋 （

肱

。

諏

∂

r

・（・）exp 卜β

・

綱

　　 　　　 　

・

（tn

一

τ｝

lsini

。9ω。（x，」

・

（t。

一

τ）｝

d

τ

…

（2｝ こ こ で

，

　　　

egC （xD ：減衰係 数 （＝ 2β

　。

譎 xm

，

） 　　 　　　β：減衰定 数 　　 　　 M 。 ：

一

質点 系の有 効 質 量

　　

e，W （Xn）：

一

_{質 点 系の 等 価 固有円振 動 数 （}

己

　　 　　　 　　 e σh｛x ／Me ）

　　

。

。ω粛 ∂：

百

＝

_戸

・

。。ω（xal 　 　 　 　F（t）：作 用 衝 撃 荷 重 　ま た_， Me は次式で評 価 可 能で ある

。

　

　　

Me

−

∬

M ・

il2

（x

，

　

y

）

dXdY …・

・

……・

………

（

3

） こ こで

，

　 　　　 mt ：_解析モ デル _（平板）の単 位 面 積 当た りの 　 　 　 質 量 　 　 φ（

X ，y

）；_解析モデル の_変位モ

ー

ド関 数 　 　 　 8 ：解 析モデル の存 在 領 域 　本 解 析 法の妥 当 性につ い ては

，

  広 範なパ ラメ

ー

タ を 有 した

RC

平 板の重 錘の 自 由落 下に よ る衝 撃 載荷実験91 に より得ら れ た結 果 （最 大 応 答 変 位Xm

，

それ に達する まで の時 間 扁 との 比較

，

  特に大 変 形 領 域に お ける 照 査につ い て は

，

既往の 解析法1°〕_に よっ て得られ た解 （　x，、

，

tm）との比較

，

の 2っの方 法に よ り以 下の解 析 条 件に て検 証し た71

・

8〕 。 復元力 （X1

_，

　

yl

_）

＼

（

・・，

y

・

）

_＼ ＼

（

．、

，

y、

）

面 積 等 価

　　：

　　

1

〆

十

・

qk

（

・

n．

）

  に関す る解析条件 　a

．

実 験の加 力 条件お よび供 試 体の仕 様は図

一

2お よ び表

一

1に示 した通りで ある

。

　

b．

供 試 体の変 位モ

ー

ドは図

一

3に示した よ うな降 伏 線が形 成され る と仮 定し たもの を用い た

。

これは実 験 結 果と良く

一

致し て い る

。

また

，

_φ（X

，

Y）も併せ て図

一

3

に示す

。

　 c

．

使 用し た復 元 力 特 性は並 行し て実 施された静 的 載 荷 実験か ら得られ た もの をTri

−

linearに近 似し_， こ れ をベ

ー

ス にひずみ速 度の増 大に よる鉄 筋 等の （降 伏 ）耐 力の上昇 を考 慮し

，

修 正した もの を用い た

，

な お

，

ひ_ず み速度の_値は_実験に よ り得ら れ て い る

。

　

d ．

作 用 衝 撃 荷 重 F（

t

）は

，

実 験に より得られた時 刻歴 を

，

図

一

4に示 し た よ うに F  を等し く し て力積 噸弐   尽 思 輜 F 髏 晦製ガ イ ド

．

漣

凹

口

皿 e

嘗

賄

嵯

1

PC 鋼 棒 ロ

ー

ドセル

騒

／ ノ 球 座 ロ

ー

ドセル 図

一

2　 実 験 加 力条 件 di｛X

，

　YH ・

一

_十｛IXL÷）Yl｝ 　 　 　Yl 。　 　 1　 　 。 Yi，1d

．

1

し／ne 　 ト ー

−

L

＿

＿

一＿

　 　 　

Io

　 　 　： 　 　 　

1

　 　 。 F（の 緩 衝 材 （タ

’

ン

ノ

ぐ

一

_） ロ

ー

ド セ ル 　RC 供 試 体 （180cmxIBOcm ）

「

ほ

L

声

Fma モデル化 さ れ たF〔の 実験 喧 図

一

3　 解 析モデル の降 伏 線 　 　 　お よ び変位モ

ー

ド関 　 　 　数

，

φ tm tt 図

一4

　F（t）の モ デル化 表

一

1　 解析対象供 試体

一

覧

Xn

図

一

1　eak （Xn）の考 え方

X

t 　 　 　 　 恢 厚 供 試体名

_．

（  ） PtPwSF 混 合 率 使 用 鉄 筋 備　 　　 　 考 鰯｝ ％ ） 鬮 曲　 げ せん断 A3 　

18

　 　 　 1 030 0DlO

一

B3 　

112

　　　圏

0

．

30 0

〃

一

衝 撃 加 ヵ 条件を変 えて 5体 B　6　 112

　　　幽

0

．

60 0 〃

一

Bg 　

h2

　 　 　 脚 090 0

〃

　

Bl2　

h21

．

2o 0

〃

BQ12

−

6112 上

．

20

，

6o

〃

D6 せ ん断 補 強

　　　　幽

BQI2

−

12i　 l21

．

21

．

2o

〃

D6 同　 上

　　　　

i

　

l

BSF3

　　　　

［

1210

．

30 2 ；

， 　一

，

SFRC 供 試 体 衝撃 加力条 吽を変え て 5体 BR

_訓

121

・

0

．

3009

．

5φ

一

丸 鋼使用

C

・

！

・・ 0

、

30 0DlO

一

一

₇₉

一

表

一

2　 実 験 値と の比 較 F_（ρ 載 荷 速度 （tf／ms ） 応 答 値 （解析 解 ）

　

1

　

実 験 値 ／理論 値 供 試 体 名

Fmax

（tf） ’，（ms ） 減衰定 数 （実 験値） ゐ （鮒 π

購

（

bm

） T ’  （ms ）ε跏 ／π 叨 8 ず／T ‘叨

A3

32．

08

4

ユ

8

265

14

3，

1118



，

82



　

11

．

12

r

1，

10

B3 − 1

5939

1．

15

237，

6 5

0．

45

₆₄₂

1



LO3 1

，

46

B3 − 2

51、

85

2．

95

47ユ

13

1，

27



9



．

55

　 11　

091

1．

23

B3

− 3

19

．

01

8．

57

4，

7

9

1．

42

12．

7giO

，

90

1

．

13

B3 −

4

83，

60

132

209．

0

9

0．

87

　

7．

　　　　

97

　 11　

0，

97

1

，

38

B3 − 5

15，

88

5．

92

7．

2

7

0

．

67

9

．

54

　 　 　

1

．

03

1．

09

B6 41

．

95

3．

88 29

．

8

8 1

・

₃₄

₁₉

．

₅₀

1098

120

B9

3692

3

，

67

26．

2

7

1．

0518

．

98

［

_1，

₁₁

_1，

₁₈

B12

50．

57

4

．

10 35

、

4

7

1

，

40

8．

24

α

99

1

，

28

BQI2

− 644

．

38

3．

78

315

6

1．

16

8

ユ

7

1，

11

1，

26

BQ12

−

124489 4

．

08

29．

0

6

1．

30

8．

44

0．

98

L25

BSF3 − 1

77．

18

L23

193．

0

8

0．

62

66

毎

0．

82

1

，

16

BSF3 − 2

51，

98

286

43．

0

9

L14

8．

56

084

LO4

BSF3 − 322

．

46

7．

54

5

．

7

12

1．

2210

，

82

0．

72

0．

96

BSF3 − 4

67．

71

1，

01

17．

1

7

0，

39

5，

79

099

L14

BSF3 − 5

18．

00

4DO

9，

9

7

0．

4ユ 738

0．

95

LO1

BR

− 3

52．

79

337

39．

7

10 1

、

871153

0、

92

LO　1

C3

63

．

33

2．

70

廻

，

gl

　

5

0，

60

6

ユ

4

090

1

．

14

が

一

定と な る よ う な等 価な荷 重 継 続 時 間 teを有す る 三 角 波 とし た

。

  に関する解 析 条 件 　a

，

_{復 元 力 特 性}は Bi

・

linear（完 全 弾 塑 性 ）と する。 　

b．

減 衰は無視す る

。

　c

．

作用衝 撃 荷 重は

_，

二等辺 三角 形 とし， その最 大 値 （Fmax ）をパ ラ メ トリ ック に変化さ せ る

。

　以 上の _解析 条件によ り得られた結 果 を 表

一

2および表

一

_{3に示 す}

_。

　 以上の_結果か ら， 以下の ことが言え る。 　a

_．

減衰を無視し た場合に おいて， 本解析法に よ る解 （Xm

_，

　tm ）が

，

塑 性 率 μ をパ ラメ

ー

タ と し た

Biggs

の 解1°｝_と良く

一

_{致し たこ と か ら}

_，

eqk （Xm ）の考え方が妥当 であ るこ と が示さ れ た

。

　

b．

減 衰がある場 合の本 解析 法に よ る解 が， 板 厚

，

鉄 筋 比， 荷 重 載 荷 速 度 等 広 範な パ ラ メ

ー

_{タ を有 し た実 験} 値9； と 良 く

一

致 した。 　これ ら

2

つ の事_項を考え あ わ せ れば

，

_{衝 撃}荷重 下での 構 造 物の_最大 応 答 変 位に至 る までの _弾塑 性 挙 動は

_，

（2） 式に よ り表現可能 と考え られ る

。

　皿

一

2．

非線形不規 則 振 動解析法 　前 述の提案 手 法によ り， 非線形応 答 変 位 Xn（　

tn

）に関 し て

，

（1 ＞式の ごと く線形化 され た運 動 方 程 式が得ら れ た。 し た がっ て

，

こ こで は

，

（

1

）式に

一

次 摂 動 法 川 表

一

3　Biggsの解との比 較 捉

．

案 手 法によ る 解 （丑） 8掴 （猷 BLggsの_{解 ）} Fmax （Lf） 4 エ

”

（cm ）

貞

’

閣

（ms ） 81

旧

／沌

罪

闖

5 ’

田

／4隔 μ 10D

．

083

．

98LO60

．

98 240

．

244

．

061

．

02LO5 40　 　0

．

54 ！ ₅₈₂₁

_．

₀₄₁₀₉

虹

1

．

2D　 　 　 8

．

241

．

041

．

08 塑 性 率 μ

＝

8 跏 ／Xt 　 O

，

82 　 215 　 5

．

36 　 11

．

82 を 適 用 し， Me ，

。

。

k

（xn ，。aC （Xn）お よび F（t）が確 率変 数 （過 程 ）である場 合の

一

質 点 系 振 動モ デル に お け る x。（　

t

。｝の統 計量 （期待値， 分 散 値）を求め る ための 定 式化を行う

。

　い ま

，

eeh （x∂

，

　eqC （π∂， お よびM

。

をば らつ きが小さ な確率変数と ず れば， そ れ らは次 式で表 現で きる

。

　 　　egh （Xn）

＝

egh （コCn）十n ε1

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（4） 　 　　eaC （Xn＞； _egC （_コじ

η

）→

−

_nεc

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（5） 　 　　Me

＝

Mie十εnt

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（6） こ こ で

，

eqh （xal

，

　eqC （Xnj

，

痂 「e は

，

　eqic（xal

，

　eaC （：cO

，

　M 　e の

期 待 値

，

n εiC

，

　n εc

，

εm は

，

。eh （x∂

，

，eC （xO

，

7n。の期 待 値 O で ば らつ きの小 さ な 確 率変数である

。

　さ らに

_，一

次 摂 動 法の概 念 を導入 し_， x

。

（t

。

）を nek

，

n εc お よび εm を用いて

，

次 式で近似で きると仮 定 する。 　 　　コじ。（君

。

）≒轟 （彦

。

｝＋bXn （置

。

｝net ＋轟 （置∂

。

ε

、

＋mX 。（置。）ε况 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

…

　

一一一・

・

・

…

　（7） 　（

4

）

一

（

7

）式 を （

1

）式に代 入し， nεit，　nec および

一

₈₀

一

εm で整 理 すると

，

以 下の

一

連の運 動方程 式が得ら れ る。

　　

厄

θ

・

othn 十egC （Xn）

・

o訟π十egh （：n）

・

oXn 　’

F

（

to

　 　　 　 　 　　 　 　　

・

……・

・

…・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

……・

……

（8 ） 　 　 ラπ。

・

tX 。＋， 。

C

（τ∂

・

鹽

轟 ＋。ah （コcD

・

i、X。

＝

＝

一

。Xn

　　　　　　　　　

∵

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

一

・

・

・

…

　

（9

．

） 　 　

iiiJe

’

cx π十eqC （認∂

・

c臨十 d

’

qh （Xn｝

・

cXn ；

−

o露

π

　 　 　

……・

…………・

・

………

（10）

　 　 Me

・

mXn 十eqC （x∂

・

mthn 十eqh （x ）

・

mXn

ニー

oXn

　 　　 　 　 　　 　 　

・

−t←

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

i1

）

　

今

，

作 用荷重

F

（

t

）も確 率 変 数とすれ ば

，

xπ（tn）の 期 待値

E

［コCn（切］

，

お

_．

よび 分 散 値

V。

。［x。（t∂］は

，

（

7

＞ 式お よび

E

［n ε日

二E

［n ε。］

＝

E ［ε司

＝

0の関 係を用い て以 下の よ うに定 式 化さ れ る。 た だ し

，

作 用 荷 重とn εt

，

n εc

，

εm と は統 計 的に独 立な場 合 を例に とっ て示す

。

ま た

，

定 式 化さ れ る式が≒ と なる の は_， （7）式が

一

次 摂 動 法 に よ る近似式で あ る た め である

。

　　　E

［Xn（　

t。

_）］≒

E

_［ 。Xn（t∂］十E ［κXn（tri｝

・

n εk］

1

　　　　　　　　

十E ［_cXn （tD

・

n εc｝十E ［mXn （tn）

・

εm］ 　 　　 　 　 　　≒

E

［oXn （tn）｝

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（12 ） 　 　　 Var［

thn

（tn）］

＝

E ［謡 （tn）］

−

IE

［Xn（　tn_）］

12

　 　　 　 　 　　 ≒E _{［誠   ］}

・

。

σ二

。

＋

E

［

。

コc：（副 　 　　 　 　 　　 　

・

。σ乙c＋

E

』嬬（

t

∂］

・

σ

Zm

　 　　 　 　 　　 　 ＋

2E

［hXn （

t

。）

・

cコ：。（翻］

・

。ρ。 ，

・

。 （re．

・

n σεc

　　　　　　　　

＋2E ［

。

x

。

（t

。

）

・

。Xn（t∂］

・

。P，。

’

。a，C

’

σ，。 　 　　 　 　 　　 　 ＋2E ［rnコCn（tD

・

轟 （t∂］

・

nP。

’

t

・

σ、m

’

。a、 κ 　 　　 　 　 　　 　 十

E

［。嬬 （

tn

）］

−

IE

［oXn（

tn

）］

lt

　 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

『

（13） こ こ で

，

既 尾， na 。c，　aEm は，　nε_k，　nε_{c お よ}び em の標 準 偏 差

，

nPke

，

　nP，m

，

　nA ，、、はnEk

，

　nε。お よ び εm の各々 の相 関 変 数で あ る

。

　

ま た

，E

［oXn（

t

−］，　

E

［o銘 （

．

tn）］，　E ［κx盞（　tn）］，　E ［c麟 （tn｝］

，

E

［m　c：〈　

tn

）］

，

　

E

［κ」σ

π

（齢

・

cXn （翻 ］

，

　E ［cXn （tn）

・

mXn （tn）］

，

　

E

［mXn （t

。

）

’

kXn （tO］につ い て は

，

助変数を含む 不定 積分の 微 分 公 式ゆ お よ び （8）

一

（11） 式の 関係を 用い て次 式で 表 現で き る。

　　

　

・［・…翻

一

・

±

1

’

”

n

．（tn

一

ξ）・［・（ξ）］・ξ 　 　　 　 　 　　 　 　

・

・

・

・

・

…

　

一

…

　

tt・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

14

）

　　

　

E

・_［・x_：（・

tn

_］一

毳

’

r

砿

一

e

，）

n

・（t・

−

e

！

）

　　　　　　　　 ・

E

［

F

（ξ，）

・

F

（

G

）］

d6

，

d

ξ、

・

………

（

15

）

　　

　

E 隅 剛 一

毒∬∬

∬

∬

臨

一

鼻 　 　　 　 　 　　 　

・

hn

（tn

一

ξ2）

hn

（畠

一

η1）hn（戞

一

ηe）

．

　 　　 　 　 　　 　

・

E

．

［F （η1）

・

F

（ηz｝］

d

η2d ηld ξ』

d

ξ1 　 　 　

・

…・

・

……・

…・

…・

・

…………

（16）

　　

　

嘱 （切

喘 ∫

玩

∫

輌

∬∬

n

・（tn

一

ξ・）

・

_h

_・（tn

− 9

・）

毒

砧

一

n］）

・

轟

礁

一

〇

」

班 （・・）

・

F（・2）］ 　 　 　 　　

・

d

ηhdη1d ξ』

d

ξ1

・

・

・

・

・

…

　∵

・

・

・

・

・

・

・

・

…

E ［mX ：｛t・）］

一

売 　 　

 

（t・_τ　

ei

） 　 　 　 　

一．

　 　 　 ∂2

一

（17）

　　　　　

・

_dthd

_η ，　

de

，

de

，＋

三

， 　 　 　 Me

　　　　　

・

万η（tn

，

一

ξ」）

万

n（tn∠ξ』）

E

［

F

（ξ，）

・

F

（ξ』）］

　　　

　　

・

de

・

de

，＋

毒

rr

∬

E

・（tn

−

e

，）

　

　

　

　

　

・

_En

_（

_tn−

_e

_・）

_暴

郵

一

・） 　 　 　　 　

・

E ［F（η）

・

F（

9

，）］dηdξ』dξい

・

・

…

《18） ・［hXn（翻

・

翻 ］

≒

暴

∬以

凸

∬

万・睹 ）

・

_万 ・〔

t

・

一

壺

孀

・ ・1）

鼻

（

e

・

一

・・）

’

_ん ・（t・

一

　

e

！〉

謝

ん・（ξ

　

ηρ

・

姦

孀

一

・・｝

E

［蹴

・

F

（・2）］

　　　　　　　　π

玩 　

・

E

［

F

（η1）

・

F

（η2｝］

d

η：

drPid

ξ』

’

_d

ξ

1・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（19 ）

E

・_［

・

x

・

（tdi

・

… （・tn）］一

昜

」

軌

∫

T

∫

亀万

・

（t

・

一

・

et

_）

・

倣

  戞〕

轟

礁

一

・］）

轟

臨

協 ）

・

_E

_［

_F

_（・ t）

・

醐 ］

d

・・

d

・，

d9

・

de

，＋

毒

rrr

・

_砿

二

鉱

（tn

−

9

・）

轟

臨

一

η） 　 　 　　

・

E

［

F

（η）

・

F

（ξ、）］

d

η

d

ξ』

d

ξ

L…

　　　　　　

7『

・

・

7『

…

　

一

（20）

　　　

・［・… （tn

・

… 剛 _「

諸

助

∬

∬

∫

働万・（・

−

e

，）

　

　

　

　

・

_n

・（属 ）

藷

輪

一

Vl）礁 _τ

碗

　　　

　

・

_{E ［}・（・1）

・

・鵬 ・

d

・，・

e

・・

e

，・

諞

玩

κ

　 　 　　

・

hn〔tn

−

e

、｝h．（tn

一

戞）hn（戞

一

η）E ［F（η）

・

F（ξ，）］ 　 　 　　

・

d

η

d

ξ』

d

ξ1

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

r・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（21） 　こ こ で_，

．hn

（

tn

）は ん（

t。

〉の期 待 値で_， 次 式で表 現さ れ る

。

　　

］

i

・

（・・）

一

謁

〔爾

．

exp ←

fi

・・di（xD t）・

i

・（・ ・oat・

al

t） 　 　 　 　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

．

・

…

　

tt・

・

∴

・

・

一・

一

_（22_）

　

た だ し

，

．

。両』（コじ∂

，

β

，

eq

−

dlXn）

・

は 。vlt ）d（Xn）

，

　19

，

　

L4

ω（Xn ） の期 待値であ る。 　 し たが つて_{， e。}

h

（」じ∂

，

　eeC （x∂

，

　Me お よび

F

（

tn

）の 各

’

統 計量 （期 待 値， 分散，相関係 数， 自己相関 関数 ｝が デ

ー

．

タ と して_与え られ れ ば

，

非 線 形 応 答 変 位 Xn（tn）の期 待

一 81 一

値と分 散が

，

（12）

〜

（2Z）式により求め ら れ ることにな る。 し か し なが ら

，

egk （Xn＞や eaC （Xn）は

，

　Xn_（tn）の関数と な る た め

，

そ れ らの統 計デ

ー

タ （分散 〉は容 易に は得ら れ ない。た だ し，

V

。r［eqC ｛xn ］は（

2

）式に お け る eqh （Xn） と eqC （Xn）の関 係よ り

，

　

V

。

。

［。ek （銅 ］が求ま れば算 定 可 能で あ る

。

し た がっ て

，

次に

V。

。

［eak （xn］の 評 価 法 を Tri

−

linear_型の復 元 力 特 性 を有 する構 造 系 を例に とっ て 説 明 する。 　

Tri・

linear

型の復元 力特性を持つ _{構 造 物}の e

。

h（コCn）は

，

図

一

1を参 考に して

，

次 式で表 現できる。 　 　 　Xl くXn ≦x2 （第

2

勾 配 ）で ・・

h

（Xn）

一

毒［

x・

Yl

＋

慟

豊

≡

塁

i

（ 

司

　　　　

・

（x・

−

Xl＞

］

・

………・

………・

一 ・

…

（23 ） XtくXn （第 3勾配）で eek （・

al

一

毒［

XIYi ＋（Yi＋_幽

一

覇 ）

　

　　　

・

｛

・_Yi・

耋

i

≡

塁

i

（x・

一

・・〉

｝

（x・

−

x2）

1

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



曾

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（24） 　故に_， V_{』。［。。}k （X_。）ユを求める た め に は_，　 V。。［副 お よ びXn とXi，　 y、 （i

・

＝

1， 2

．

3）の各々 の相 関 係 数の値が

，

前 もっ て必 要と なる

。

こ こ で は

，

とりあ えず結 果に大き な影 響 を与え ると 思わ れ る Var ［_副 に注 目し （上 記の各 相 関係 数は既 知 とし仮 定 し）， これに

一

_{次 近 似の概 念}12［ を 導入 し た収 斂 計 算に よ り， 以 下の ごとく Var［

。

gh （x∂］ を求め た。 　弾 性領 域に お け るばね定 数

h

は， 応 答 変 位の関 数と は な ら ない た め

，Var

［

k

］は容 易に求め られ_， 応 答 変 位 の分散 Var［コじ日も_， （13） 式 等に より算 定 可 能で あ る。 し た がっ て， 応 答 変 位が非 線 形 領 域に入っ た第 1Step 目 （xK 　t 。））の

Va

。［x。（t。）］の初 期 値と し て

，

弾性応答変 位の分 散 値を利 用して

，

例え ば 次 式 を 採 用 し

，

これ に（

13

） 式 等を用いた収斂計算に よ り

V

。r［。ek （X

。

）］を求め， 問題 の解 決 を図っ た

。

　 　　

Var

　_［x

’

K

　

tr

）］＝

3

　

Var

_［Xr

−

1（

tr−

1＞］

−

3　

Var

_［Xr

−

z（

tr−

！）］

　 　　 　 　 　　 　 →

−

Var［Xr

−

3（tr

一

ヨ）］

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（25 ） こ こ で

，

Xr

一

匸（

t。

−

1）

，

　Xr

−

z（

t，

一

，）

，

　x

。

−

3（

t。

．

3）は弾 性 応 答 変 位であ る。 　すな わち

，

（

25

）式により

Var

［cK　

t

_。）］の_初期値が与え ら れ れ ば

，

（

23

）式に

一

次近似の概念を導入 す るこ と に ょり V。 。［eqk （浦 ］が 次 式の ご と く求ま る

。

　 　　

Var

［eqh ｛エ

9

］≒

IC

_｛　ti）

12

　

Var

［コCl］十

IC

（x2）

li

　

Var

［x2］ 　 　　 　十_｛

C

（y匸）｝

2

　Var［y1］十｛

C

（y2）｝2Var 〔y1］十｛

C

〔エ多）

lt

　 　 　 　

・

Var［

　

コ

　

Cr

’

］十2　C_（コCT）C（コc2）

・

C

。

v［x1

，

コc2］十2C （xI） 　 　　 　

・

C（

Yi

）Cev［Xl

，

　

Yi

_］十2C （Xl）

C

〔

Yz

）

・

Cov［x1

，

_駈］ 　 　　 　十

2C

（x，）

C

（認ひ）

C

。v［Xl

，

エ争］十

2C

（Xt）

C

（Yi）

一 82 一

　　　　

・

C

σv［x2

，

　y］］十2C （x2）

C

（y：＞

C

。v［x2，　y：］

　　　　

十2C （x：）C（」匚キ｝

・

C。v［

　　　ノ

∬ 2SXr ］＋2C （Yi）C（y：t）

　　　　・

Cev

［yl

，

副 ＋2　

C

_（

y

，）

C

（爵 ）

・

C。 v［Yi，副

　　　　

十

2C

（Y2）

C

（x ；）

C

。v［

y

：

，

τ ］

・

・

…・

…・

………

（26） 　 　 　 　∂eqh （爵 ） た だ し， 例えば

C

（Xl）

＝

　 　 　 　で あ る。 　 　 　 　∂Xl 　そ し て， この式から求ま る値 を （13）式に代入 す れ ば

V

。。［即叔爵）］に対 応 した y説ヱ靴 。）

1

が算 定さ れ る

。

こ こ で

，

ε ＝

1

_覧

．

険_抱

。

_）］

一

一

Var

_［x_：（t ，）］

）

を計 算 し， 次に

Var

［x：（

t

．）］を 新た な初 期値と して同 様な計 算 を行 う

。

以 下こ の よ うな計算を

，

εが十分小さ くな る ま で繰り返

し行え ば

，

Var

［egh （x

。

）］

，

　

Var

［egx ，（t。｝］が求 まる

。

　Var

［Xr

＋

自（

t。

．L）］，　

Var

［Xr． ，（t， ． ，）］

，…

等の 場 合につ い ても 以 上の よ う な操 作 を繰り返せ ば逐 次

，

所 要の解が求 めら れ る

。

な お，

Var

［eqxK 　

t。

）］等 を求める際の （23）

，

（24 ）式 の_使い分 けにつ い ては_， （12 ）式によ り求 まる E ［Xn（　tO〕 の 値か ら判 断した。 残る問 題は

，

エ”（翻 とXi

，

　y

，

（

i＝1，

2

，

3＞との各々 の_相関係数を どの よ うに_評価す る かで あ るが

，

こ れにつ いて は［皿

一

2で述べ _る 。 　皿

．

提 案 解析手法の妥 当性お よび適 用性の検討 　皿

一

1

．

妥 当性の検 討 　提案解析手法の_妥当性につ い て は_， 表

一

4に示 し た条 件で，モンテ カル ロシ ミュ レ

ー

_シ ョン （以 下

，

シ ミュ レ

ー

ショ ン_）に よ り応 答 変 位x（

t

）の変 動 係 数

Cx

（t）お よ び期待 値

E

［x（

t

）］を算定 し， それ と提 案 手 法に より得 ら れ た解を比較す ることに よ り検証し た

。

こ こで， 前 述 の Xn｛　tn）とxl

，

　y‘（

i

＝ 1

，

2

，

3 ）との 各々 と相 関 係 数 の値は

，

とりあ えず

，

提案手法の_{妥 当性検討}とい う立 場 か ら

，

シ ミュ レ

ー

ショ ンに よ り得ら れ た解を 用いた

。

た だ し

，

x。（t。）は

一

般に非定常応 答 とな る た め， 各々 の 相 関 係 数も時刻

t

の_{関 数}と なる

。

した がっ て_， こ こ で は_， 各々 の_相関係 数の値 を， 復 元 力 特 性における各 勾 配 （第 2お よ び第 3勾 配 ）ご とに グル

ー

_プ分け し

，

各々のグル

ー

プの_平均 値を提 案 手 法の入力デ

ー

タ と して用い tl

。

ま た， シ ミュ レ

ー

ショ ン回 数は，ほ ぼ解が収斂す る 300と した

。

　提 案 解 析手法お よ び シ ミュ レ

ー

ショ ン法に よっ て得 ら れ た

E

［x（t）］お よ び

Cx

（

t

）の時 刻 歴 変 動 を図

一

5（a），（

b

） 表

一

4 解 析 条 件 解 析 対 象 モ デル _{復元 力 特 性}の（　）内 数値 は 期 待“ 確 率変数；第L 折 点座 標（Xl

，

　_yL）

，

_変動係数 ；

乂

1

，

　_y［共 1％

，

ρxlyl

＝−

O

、

5 復元力 特性（Tri

−

Ilnear型） 復元 力（tt） 静的 載 荷に よ る 破 壊 点 2

，

1D

．

8 6

、

3 　x（cm） 有 効 質 鼠 （me）；2

．

8x10　dtonf

・

sec2／cm 作 用 衝 撃荷蟹 F（t）（ti） （50 　0

，

4　04｝ （0

，

S

．

57）t（ms） 減 衰 定 数Uβ_）

，

0

，

1〕9 ；主｝ 復元 力 特 性 について は 文 献7 ）

，

8）で用いた ものよ り抜粋

0 2 4

°

6 B 510 　 　 15　 　 2D 　 　 　 時 刻 （ms ）

一・

…

提案手 法 に よ る 理論 解

一

_{シ ミ}ュ レ

ー

シ ョ ン に よ る解（300回 ） X（t）の期 待 値 E〔X（t）〕（crn_） 　 　図

一

5〔a） x（t）の期 待 値

，

E〔x（t）］の 時 刻 歴変動

民

〔t）の変動係 数 　Cx〔×10

−

1 ）〔％＞ 1

』

1

．

00

．

8O

．

60

．

4o

，

？ 00回 ） 弾性 限界 　 第2折 点 （第1折 点 ） 粛3折 点 点 待応 答変位 　E〔Xω 〕〔Cm） 図

一

一

5

（b） x（t）の変 動係数

，

Cエ（t）の時刻歴変動 に_示す。 こ の結果か ら明ら か な よ うに x（

t

）が大変形 領 域に至っ て も

，

両 者はほ ぼ完 壁に

一

致し たこと か ら

，

提 案 手 法の妥 当性が検証 さ れ た

。

図

一5

（a_）

_，

（

b

）において， 破 線が示さ れ て い な いが_， こ れ は_{実線 ζ}ほぼ完全に重 なっ た ためで ある。 また

，E

［x（

t

）］の時 刻 歴 変 動につい て は

，

以 後の 解 析 例に お い てすべ て図

一

5（a）とほ ぼ同 様な性 状を示すため

，

そ の図 示を省 略する

。

．

_［

_H

−2．

_{適 用 性}の検 討 　こ こで は

，

_{以 下}に示され た問題点を検 討す る ことに よ り

，

提案解 析 手 法の適用 限 界お よ び実 用性を探る。 　a

．

提案解 析 手法は

，

等 価 線 形 化 され た応 答 解に _{（4 ）}

〜

_{（7 ）式の ご と く摂 動 法 を 用い て い る ため}

_，

_{各 確 率 変} 数の ばらつ _{き が大き く}な る と， 提 案 解 析 手 法により得ら れる解 Cτ（t）に誤 差が生 じて く ると思わ れ る

。

　 b

，

V。 。［。 ，h（xn ］を計 算する ために はt 前 述の ご と く x。

On

）とx、

，

　yi（

i＝

・

1

，

2

，

3）との各々 の相 関 係 数を あ ら か じめ算定してお くこ と が

，

実 用 的な見地 か ら必要と な る

。

これに つ い て は

，V。

．

［Xn（t∂］同様 収 斂 計 算に よ り求める方 法があると思わ れ る が

，

未 知 数の数が多く

一

般に は困 難である。 そこ で

，

何らか の方 法で各 相 関係 数 の近 似 値 を設 定す る ことに な る が

，

そ の 時 生ず る解

Cx

〔t）の誤 差が問 題と なる。 　まず

，

a_項につ い て はn εk に注 目 し

，

表

一

4に示 され たもの と同 様なモ デル を用い

，

Xl

，

　

Yi

の 変 動 係 数

CXI，

CYI

の みを1

〜30

％変化さ せ ； シ ミュ レ

ー

ショ ン よ り得 られた数値 実験解 （以 下

，

実験 解 ）と比較し た

，

な お

，

Cx〔％141852953 2211100D MP C乂1

＝

Cy1

冒

20％ ρ其 ly1

＝−

0

．

5

丿

E〔X（【）〕（cm ） 0　　　 　　1

＿

0　　 　　2

．

0　　 　　3

．

0　　　 　4

、

0　　　　5

，

0　　 　　60 　　 　7

．

D 　 第1折 点 　 第2折 点 　 　 　第3折 点 　 　 　 　 　図

一

6　M と Pの比 較 （その 1_＞ Cx〔％ ） 3

，

53

．

02

．

52e1

．

5

，

0O

．

5 MP

・

／

C又1

≡

CyL

＝

30％ PKly1

昌一

〇

．

5 E〔Xω 〕〔

。

m） D　丶　　　1

．

O　＼　　2pO　　　　3

．

0　　　　4

．

0　　　　5

．

D　　 ／E

．

0　　　　7

＿

0 　 第1折 点 　 第2折 点 　 　 　 第3折 点 　 　 　 　 図

一

7　M

_，

と P の比 較 （そ の 2） Xn〔翻 とXl

，

　Yiとの各々 の相 関 係 数は

，

前 節 同 様 実 験 解に よ り得られ た値 を用い た

。

得られ た結 果 を 図

一

6

，

7 に示す。 　これ らの結 果 より次の こと が言える。 　 i ） CXI

，

　CSI_が 15_{％ 程}度_まで は

，

提案解析手 法に よ る解

P

と実 験 解

M

は

，

x（t）の 全領 域にわ たっ て ほ ぼ 完 壁に

一

致す る。 　ii）

CXt，

　

Cyi

が

20

％以 上に な る と

M

と

P

の 差 違が 次第に大き く な り， 30％で， 例え ば

Cx

（の が最 大 値を 取 る時の

PIM

の値は約

0．

93 と

．

な る

。

こ の よ う な傾 向 は他 論 文2LS ｝に おい て も 同様に み ら れるe 　次に

b

項につ い ても， Xl，　YLが確 率 変 数である場 合 を 例に とっ て， Xn（

t

）と x、，　Yiの 各々 の 相関 係 数 ftXl， A．Si の近似値 を

，

以 下の ごと き方 法で定め た

。

　まず

，

  x

。

（齢 と Xl，　YTの相互の確 率 変 数間に， 明 ら か に 正 の相関が あ る 場合は

o．

5

を，   その逆の場 合に は

一

〇

．

5

を

，

  それ らの こと が不 明 瞭な場 合に は 0を

，

廐

エ

h 伽 1 に与え る こ と とする

。

し た が っ て

，

例えばXt

，

と Ylの相 関 係 数ρ

。

lyl

＝−

O

．

5の時は

，

　x，と

Yi

の変 動 領 域が図

一8

に示し た よ う に な る た め， π。（

tn

）と Xl に は 正の相 関が

，

tn（　tn）と Yiに は負の相_関が そ れ ぞ れ あ る こ と は明ら かで あ る か らilir：

＝

O

．

5，　Il

　

yi

＝−

O

．

5が近 似 値と な る

。

こ の場 合に得ら れ る近 似 解 と実 験 解の比 較 を 図

一

9に示す

。

な お， 参 考 まで に相 関 を 全く無 視し た場 合 （ile』1； A．yl； O ）に得られ る近 似 解も図

一

9に示し た

。

　これ らの結 果か ら， ほぼ次の ことが言え る

。

　i

）近似 解

P

，は Xn（t。）の すべ て の領 域にわ たって

，

実験 解

M

に良く

一

致し てい る。

一

一

dr〔％） 1

．

21

．

Oo

．

80

．

6o

，

4o

．

2

0

図

一

8　第1折点の変動領域

X

PA ；提 案 手法によ6近 似 解 〔PAI

・

］

・

Hox

．

｝ Pパ

．

_{提 案 手}法 に よ る_近似 解 （た だ し

，

pxx

／

＝

ρ xy1

＝

0

，

相関簫視） CXI

＝

Cy

■

旱

10％ ρ 属Lylz

雫

0

．

5 ρxx1

＝

o

．

5 ρ

瓦

yl

高門

0

．

5

丿

誌

E〔X（t）】（cm〕 0 丶　 　 1

．

0 ＼　 2

．

D　 　 　3

．

0　　 4

、

O　 　 　S

．

e　　 　G

、

0　 　 7

．

0 　 第1折 点 　 　第2折 点 　 　 　 第3折 点 図

一9

　M と P，の比較 　ii）Xn〔tn）と Xl

，

　yt_との相 関を無 視し た 場合に_得ら れ る近 似 解

P

＾1 で も実 験 解

M

との誤 差は そ れ程 大き く な ら ない。 　ま た

，

S｝　 lyl が

0

や正の場 合 も紙 数の制 約 上 省 略 する が同様な結果が_得られ て い る

。

　

IV．

数値計 算 例 （総 合 的 検 討 〉

　

こ こ では， 解 析 対 象とし て

Tri−linear

型 復 元 力特性を 有す る

一

質点 系

RC

構造物を選 定 し， また基 本 確 率 変 数を

，

復元力特性に お け る各折 点 座 標 （Xe，　y、1　

i＝

1

，

2

，

3）

，

減衰定数 βお よび有効 質 量 me （ケ

ー

ス 2の み）と して

，

以 下の仮 定お よ び方 針に よ り表

一5

， 6の ごとく 確 率変数の統計値を決 定し た

。

ま た， 確 率 変 数の期 待 値 や そ れ以 外の確 定 値につ い て は

，

表

一

4に示 し た値と同 じ ものを 用い る

。

　a

．

_折れ点 座 標 （Xt

，

　Y‘；

i≡

1

，

2

，3

）の 変動 は， 構 造 物の_変形が大き く な る ところ程

，

大き く な るとす る

。

　

b．

剛性の大 きい もの程 g‘は大きく な る もの とする （す な わ ち Xt と ytは負の相 関 を 持つ もの と す る）。 た だ し

，

折れ点 座 標相互 の相関は

0

と す る

。

　c

．

_βと第

一

剛 性 （y，／x，）の 相 関PfiMは

一

〇

．

5

と する

。

ま た

，

βとeek （Xn ）との相 関Pfi

、

kは あ らか じ め知る こと は困難である た め0 と仮定する。 　

d．

弾 性時に おけ

・

る減 衰 係 数 C と第

一

剛 性 （

y

，／x、＝

k

）の相関ρ。κ巳は両 者の関 係

C ＝

2fis／

jE

：

−

iiil

をベ

ー

ス に

，

一

₈₄

一

表

一

5 確 率変数 と をの統 計 値 （ケ

ー

ス 1＞ 変 動係数

，

C（％） 相 　関　 係 　 数

，

ρ

CXI

_，

Cy15 ρxixi（i‡

i

_） 0 ρ xyi

一

〇

．

5 Cx2

，

Cy210 ρyiyi（i‡j） 0 ρβkl

一

〇

．

50 ρxiyi

一

〇

．

5

ρβk C乂3

，

Cy3T5 ρxiyKi≠

j

＞ 0 ρck1

一

〇

．

06 Cβ 10 _ρxxi0

．

5 ρck

．

0

表

一

6　確率変数とその統 計 値 （ケ

ー

ス2_） 変 動係 数

．

C（％ ） 相　 関 　係　数

，

ρ Cx1

，

Cyl5 ρxixj（i幸i_） 0 ρβkL

一

〇

．

5

ρβk0 ρyiyj（iギi） G Cx2

_，

　Cyz10

_一

〇

．

5

ρch

一

_G

_．

₀₅ ρ xiy1 ρ ck 0 C民隷

，

Cy睾 15 ρxiyj（i罕

j

） 0 ρmklo Cβ 10 ρ xxi0

．

5 ρ mko

一

_〇

_，

₅ ρxyi ρcmLO

．

37 Cm 5 ρβm0

．

08 _ρcm 0 シ ミュ レ

ー

ショ ン により求め る

。

ま た

，

非弾性 時におけ る 。gC （エ n）

．

とeqh （Xn）との相 関 p。k はρPk 同様あ らか じ め知 ることは困 難で ある ため

0

と仮定する。 　e

，

Me と第

一

剛 性 （Yi／X，）の相 関 A”ic］は

0

と する

。

また

，

Me と 。諏ヱπ）との相 関thitもあ ら か じ め知る こ と が困 難で あ る た め

0

と仮 定す る

。

　

f． C

と M 。との相 関ρ、

飢

、

お よび

。

。

C

（Xn） とMe の 相関ρ。m は

d

項に お ける ρCitt，ρCh と同 様に し て算定 す る

。

　

9

．

_{β と}Me の相 関PSm は

，

　Aeκi

，

　Pn　klの値を満足す る ように M 。 ，βの統 計サンプル を多数発生 さ せ れば， そ れ ら2つ の統 計 サンプル よ り必 然的に求ま る。 　

h．

Xn（翻 とXi

，

　yt （

i；1，2，3

）と の各々 の相関 係 数の値は_，

M

−

2で示 し た方 法に よ り定め る。 　以 上の値 を用い_， 提 案 解 析 手 法および シ ミュ レ

ー

ショ ン手 法に よ り

C．

（

t

） を 計 算 し

，

その 結 果を図

一

10

，ll

に_示す。 　こ の結 果よ り

，

特に最 大 応 答 変 位 付 近で

C

、（t）が 急 激に増 加して い る

。

・

最 大 応 答 変 位 付 近で の

Cx

（t ）の増 加の傾 向は他の例 （図

一

5（b）

，

6

，

7

，

9）で もみ られ る

。

この よ うに

，

構造設計に_対し特に_{重 要}な要因 とな る最 大 応答 変位付 近で

Cx

（

t

）が 急 激に増 加 する ことは注 目す べ _きであ り， した がっ て作 用 荷 重 同 様

，

構 造 系 も確率モ デル と して と らえ る必 要が ある と考えられる

1

、 ま た

．

，

me を 確 率 変 数 と して加え たケ

ー

ス 2（図

一11

）に着目 する と

，

C粛 ）の値が他の ケ

ー

ス と異な り

，

最 大 応 答 変 位 付 近を除い ては

，

ほぼ

一

定 値と なっ て いる

。

　

一

方， シ ミュ レ

ー

_シ ョ ン手 法に よる解との比較につ い ては

，

基本確 率の数 をふ や すことに よ り両 者 間の誤 差は 多少大き く な る が， いずれ のケ

ー

ス もお おむね良い

一

_致

　 Cx（％ ） 80 　 7

，

05

．

05

．

04

、

03

．

O　 　 　 E 〔X（t〕〕（cm） ° ＼ 。1

鼎

＼

藷

1

折点 3

・

° 4

・

_° 。

謂〆

6

・

° 7

．

° 　 　 　 図

一

10　数値 計算例 〔その 1｝ 000000DOO 987654321 CK〔％ ｝

r

’

」

一

一

．

．

提 寨手法による理論解　　　　　　X

隅

　 　 　 Xp 　 シ ミュ レ

ー

ション による解 〔300回 ） E朕 （t）〕（

じ

m）

｝

゜ ＼ 第1

撫

第

茎撫

3° q

『

D 第

茎

撫

／ 6D 　 7

・

° 　 　 　 図

一

11　 数 値 計 算 例 （その2） を示 し て い るとい え る。 た だデ ケ

ー

ス 2 （図

一11

）にお ける両 者 間の 多 少の誤 差は

，

Ps・iC

，

ρcκ

，

ρc

皿

等非線 形 領 域にお け る構 造パラメ

ー

タ間の相 関 を無 視し た こ と に よ るもの が そ の主な原 因と思わ れ る。

　

なお_， シ ミュ レ

ー

シ ョ ン法により得ら れ た解は

，

応 答 変 位に関 する複 数の サン プル を統計 処理し た結果であ る

。

し たがっ て

，

提 案手法 働 的解析手法）の性 格 上_， 応答 変 位の 取り扱え る 範 囲はいずれ のサン プル につ い て も最 大応答変位まで であ る た め， 統 計 処 理 可 能な範 囲 も 応答変位の 種々のサンプルの う ち， 最 も早く最 大 応 答 変 位に達 する時 刻 （tM）ま で に限定さ れ る。 こ のこと は

，

特に第三折れ点 を確 率 変 数 とした場 合_に多 少その影 響が で る

。

した がっ て

，

tM以 後の シ ミュ レ

ー

ショ ン に よ る 解は記 述で き ない。 し か し な が ら

，

tHに対 応す る期 待 応 答 変 位 XM と提 案 手 法に よ り求ま る期待最 大応答 変位 Xp の比 （XM ／Xp ）は

，

ケ

ー

ス 1 （図

一

10 ＞で_{約 O}

．

　98であ り， また確 率 変 数をふ や し ても同じ理論

，

同様な考え方 で処 理で き ること か ら

，

理 論 解との差 違が XH 以後急激 に広がる こと は考え ら れ ない 。

一

方

，

M 。 を確 率変数と し て新た に追 加 し た ケ

ー

ス （図

一

11）の場合は

，

XM／Xp が約

0．

93

と や や小さ く な るが

，

me は eek （πn）や eeC （Xn） と は異な り

，

非 線 形 領 域に おい て もそ の統 計 性 状は変 化 しな い （既 存の考え方11｝_{をそ の ま ま用い て定式 化し たも} の である）こと

，

及び弾 性 領 域におい て両 者 （理論 解と シミュ レ

ー

ショ ン による解）が ほ ぼ完 全に

一

致し ている ことか ら

，

M 。 を新たに確率 変数と して追 加し たことに よ り

，

XM 以 後 両 者の差 違が急 激に増 加す る と は考え ら れ ない。 事 実

，

紙 数の制 約 上割愛す る が

，

Me の みを確 率 変 数 （M 。の変 動 係 数

5

％；こ の場合x“≒Xp）と し て， 両 者の解 を 比 較し た場 合， ρCm 等 各 構 造パ ラメ

ー

_タ間の 相 関 を正 確に考 慮すれば， 非 線 形 領 域 を含め た すべ て の 領 域で両 者はほぼ完 全に

一

致 する

。

つ _まり ， 図

一

_{ll に} おい て x”以 後に生 ずる誤 差は

，

そ れ以 前に生 じてい る 誤 差と同 様な原 因に よ るもの _（非 線 形 領 域 間に おける各 構 造パ _ラメ

ー

タ間の相 関 無 視 ） と 判 断で き る

。

また∫他 の ケ

ー

ス （図

一

5（

b

＞等 ）につ いて は XM ≒Xpで あり特に 問題な は い

。

　

V

．

ま とめ 　 非 線 形 領 域に おい て

，

各 変 位

Step

（Xn｝ごとにエ ネ ルギ

ー

的に等 価な線 形ばね定 数eqh （Xn ）を設 定し た

一

種 の等 価 線 形 化 手 法 を 考 案し

，

さらに は 。bh（Xn ＞の分 散 値 を収 斂計算に よ り そのつ ど求め ることによっ て

，

摂 動 法 の導入 を可能に し た新た な非 線 形 不 規 則 振動解 析 法を提 案 し た。 そ し て構 造 系のみ な ら ず作 用 （衝 撃 ）荷 重をも 確 率モ デル （過 程〉と し た 場合の定 式化 を試み， その理 論の妥 当 性お よ び提 案解 析手 法の実用 性 を検討 す る と 共 に_{， 復}元 力特性に おける全て の_折れ点 座標等， ほぼ全て の構 造パ ラメ

ー

タを確 率変数と し て 取 り扱っ た 場合の数 値 計 算 例を示し た

。

以 上の結果 を要約 す る と 以 下の よ う にな る

。

　

i

） 提案 解 析手 法は摂 動法をべ

一

ス と し たもので あ り

，

た だ

一

回の応算計算に よ り応 答変位等の変 動の_統計 的評 価が可 能で あ る。 　

ii

） 提 案 解 析 手 法は非 線 形 運 動 方 程 式の線 形 化に際し て

，

摂 動 法や従 来か ら ある等 価 線 形 化 手 法 を用 いていな い の で_， 大 変 形 領 域に至るまで の応 答の統 計 的 変 動をよ り精 確に評 価で き る

。

iii） し か し ながら

，

線 形化された応 答 解の統 計 的 評 価 に摂 勤 法 を 用い て いる た め

，

基本確 率変数の分 散 値 が 大 き く な る と

，

実験 解との間に誤 差が生ずる。 本解 析モデ ル の場 合は

，

例えば

，

復 元 力特性にお け る折点座 標の う ち， 第

一

折れ点を確 率変数と し た場 合

，

その変 動 係 数の 値が

30

％程 度ま で な ら十 分 実 用に供 する と思わ れ る。 　

iv

） 本手法は

，

。qh （x。）が非 線 形 応 答 変 位Xn（t｝の関 数 と なっ てい る た め

，

eqh （Xn）の分 散 値の み な らず

，

復 元力特性に お け る各折点座 標と苫π（翻 の各 相 関 係 数の 値が必 要と な る

。

こ の_相関係数につ い ては

，

皿

一

2で示 し た近 似 値を与え れば 十 分であ り， ま たこれ らの相 関 を 無 視して もそ れ程 大き な誤 差は生 じ ない

。

　v ＞ 構 造 系の パ ラ メ

ー

タ にぱ らつ きを与え る と応 答 変 位の _変動幅は

，

最 大 応 答 変 位 付 近で急 激に増 大する

。

　vi）解決すべ _{き問題点は幾}っ か あ る と_思わ れるが

，

衝 撃応答設 計へ _の確率論 的_アプ_ロ

ー

_{チ の途が開か れ たもの} と思われる

。

　ま た， 今 後の 検討 課 題と しては以 下の よ うなもの が考 え ら れ る

。

一

₈₅

一