【論 文
1
UDC ：624．
023．
85 日本 建 築 学 会 構 造 系 論 文報 告 集 第 370 号・
昭 和 61 年 12 月弾 塑 性 接 合 要
素
の
ト
ラ
ス
置
換
に
よ
る
定 式 化
一 有効 強度理 論
の一
応 用例
一
正 会 員 正 会 員 正 会 員加
日青
藤
高
木
史
郎
＊健
一
郎
＊ ＊孝
義
＊ ＊＊1．
序一
般に，
材 料に そ の弾性 限 を 越え て荷 重を加え てい く と塑 性変形が生じ，
い くつ かの ブロ ック に分か れ て すべ り が発生 し， 亀裂が進 展 する と ともに不 連 続 変 形が形 成 され， つ い には破壊が生じ る2） 。 この場 合，
例え ば，
低 い 強度の接着 材で接合さ れ た固い レン ガ状の構 造 物 ない し すべ り破 壊 面が あ ら か じ め あ る程度予 測で き る地 盤，
あ るい は，
地 盤と固い コンク リー
トとの接 触 面で の破 壊 問題 ではあ る程 度の精 度で そ の挙 動 を予 想できる ため， 破壊面に弾塑性接 合 要素を用いる解析が有 効である。
接 合 要 素は岩 盤 力学や土質力 学の分 野で開発，
研 究が 進め られ， 岩盤の不連続面，
地 盤の すべ り面，
構 造 物 と 地 盤の間の接 触 面にお け る非線形挙動を表現す る有 効な 方 法と して し ば し ば用い ら れてきた3，”
7 ）。一
方， コ ン ク リー
トの よ う な連 続 体 を トラ ス の集 合 体に分解す る方 法8｝”
’
IO）あ るい は，
逆に規 則 性の ある離 散 構 造 物 を 連 続 体 と し て扱う方法111艪
腫3） も研 究さ れ，
現 在で は，
座 屈 や 塑 性ま で含め た 理論展 開14 ｝・
15 ｝が進め ら れて い る。 本 論文では，
有効強 度理 論1［と連 続 体 を トラス に分 解 す る方 法に基づ い て，
二次元の接 合 要素の定 式 化注）・
IG）を 試み る。
提 案 す る トラス置 換に よる接 合 要 素は， 例えば， 固い レン ガ状のブロ ック が，
や や強 度の低い接 着 材で接 合さ れ た材料のよ うに，
破 壊 面があ らか じめ 予 想 される 場合に有効で あり，
こ の接 合 要 素を適 用し た解 析例と し て， 地 盤のすべ り問題が示さ れ る。2．
二次 元 接 合 要 素の トラ ス置換に よ る定 式化 本 章で は，
トラス置換によ る接合要素の定式化，
お よ び薄い モ ル タルあるいはコ ンクリー
トのための接 合 要 素 とモー
ル・
クー
ロ ンの降 伏 条 件に従う地 盤の た め の薄い 接 合要素の作 成 を 行う。
前 者で は，
接 合 要 素の トラス部 材 が 引 張 破 壊 したの ちは その応 力が0
と な り，
圧縮 降伏 し た のちは降 伏 応 力が維持さ れ る （引張破 断 型 トラス部 材の ）場 合 を想 定 してい る。 2．
1 トラス置 換 法に よ る接 合要 素の定式化 （モデル1
：引 張 破 断 型の トラ ス部材の場合 ） 図一1
（a）に示す よ う に， きわめ て強 度の高い材 料に は さ ま れ た薄い要素 （接 合 要 素 ）が，
図一
2に示 す よ う な3方 向の 直線 部 材の連な り （ト ラ ス部 材）か ら構 成さ れ てい ると仮 定す る。
トラス部 材 数 や 各 トラ ス部 材の履 歴 特 性は，
実 際の挙 動を適 切に表 現し う る も の が望ま し いが，
ここで は簡便の た め，
図一
2に 示す よ う な3本の トラ ス部 材，
お よ び 図一3
に示す履歴特性を 想 定する。
圧縮降伏あ るいは引張 破 壊 以 前は線 形 挙 動 を仮 定し，
圧 縮側で は降 伏 後の接 線こ う配は 0，
引 張 破 壊 後は急速に 耐力 を失う ものとする。
こ こ で，E
。。 ，Eev
は， 斜 材 お よ び 鉛 直 材のヤング係 数 σta，
atV は， 斜 材および鉛 直材の引 張 耐 力工
h 〔己） 〔b ） 図一
1 レンガ状 構 造 物 ｛a）におけ る接 合 要 素 （b） 注 〕 本論文の方法は，
トラス部材の強 度 を 考慮し た トラス置 換 法に基づ くもの であり，
基 本 的には日 置他によ り提案さ れ た 理論1 〕に含まれ るが， 日置が トラ ス構 造 物へ の応 用を 目的と し た も の で あ る の に対し，
本論 文で は， レンガ造 構 造 物の充てんモ ル タルや地 盤への適用を目的と し，
ト ラス 部 材の履歴 特 性 をくふう し，
モー
ル・
クー
ロ ン の降 伏 条 件 を満足させ ている点が新しい点 と考えられる。
零 豊 橋 技 術 科 学 大 学 助 教 授・
工 博 ＃ 筑 波 大 学 講師・
工博 i＃ 東京大学 大学 院生 （昭 和61年6月9日原 稿 受理 ）薩
h 図
一
2 3方 向の トラ ス部 材から な る接 合 要 素一
50
一
ε σ ω σ d 硫 薦 B
＝
σ σ り σ¢ W σ 鴨 砺 伍 斜め材1，
n 鉛囿 冴 皿 図一
3 仮 定し た履 歴 特 性宀
1
［
e
’
7
Y e〃
琴
侭
ノ 『丶
〃 li 様 匿 合 要 累 の 変 形 鞭 合要紫 に 作 用 す る 応 力 トラス部 材 内 応 力 図一
4 接 合要素に作 用 す る 応 力 と トラス部 材 内応 力 a。a，
σ，。
は，
斜 材お よび 鉛直材の圧縮 耐 力 である。
図一
4に示す よ うに， 微 小な接 合 要 素に応 力 σ，
τ が 作 用し，
変 位U ，
V が生 じ たとす る。
こ の時，
図一
2に 示す トラ ス部 材に生 ずる応 力 度 σ1，
σ四，
σ 田 と，
応力 度 σ，
τ の関 係は次 式で与え られる。
：
：
：
繖
臨
蕩
副
…・
・
……・
……
（1 ＞一
方，
トラス部 材に生 ずる ひずみ ε］，
εn，
ε田 は次 式と な る。ε1
＝
sin ψo cos g）oγ十 cosi ψo εεfi＝
−
sin go cos ψoγ十cost ψo ε…・
…・
（2
） εlu＝
ε こ こ で，
ε ＝V
／h，
γ＝U
／h
である 。 ただし，
接 合 要 素は X 方 向 （図一
4）に は伸び ない と して い る。2．
Ll 傾 きg。，
斜 材 剛tgi
E
。d， 鉛 直材剛性E
。v につ い て 接 合要 素は等 方 性で， ヤ ング係数E
， ボ アソ ン比 り の材料と仮 定 する。 ただ し， x 方 向 （図一4
）に は伸び ない （εx＝0
）とする。
軸 方 向に一
様に負 荷さ れた長い柱体で， 平面ひずみ状 態 （ε．＝
O）と考えられる場 合には， ex；O
； εy＝
ε を仮 定す る と，
その応 力・
ひずみ関 係は式 （3 ）で与え ら れ る。平面ひずみ状態 （ε2
＝
O）：た だ し，
ε r＝0，
εy＝
E と仮 定・
一
，i
・tR9｝
1
、諤
1
、・ ・一 、（葺
、｝…一 …
（・） 式 （1
），
（2
）と 式 （3
）の 比較よ り，
εx＝
O，
εy＝
ε であ る よ う な 平 面ひずみ状態 （εt＝ 0）を満足 す る トラ ス部材の傾きφ。， 斜材剛性E
。d，
鉛直材剛性E
。v が決 定で き る。 1 2（1＋のtant
ψ。
＝ （1一
の（1＋の （1
−
2の一
v ・一争
r1
＋、。1
。、，，。）E
． v＝
了・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（4
）．
一
方，
その面 内に力 が 加え ら れ た薄い膜で，
平 面 応 力 状態 （σ．＝
・
O
）と考え られる 場 合に は，
εx＝
0，
εs＝
ε を 仮定すると，
そ の応 力・
ひずみ関 係 は 式 （5
）で与え ら れ る。 平 面 応 力 状 態 （σz＝O
）：ただし，
ex＝ 0，
εy＝
εと仮 定・
−
1至
。・，
・一
、（吾
の・一 ・
…−
1− …
（・） 式 （1）， （2 ）と式 （5 ）の比較よ り，
Sx＝
O，
εy＝
ε であ る ような平 面 応 力状 態 （σ。＝
0）を満足 す る ト ラス 部 材の傾き g。，
斜 材 剛 性 E。
d，
鉛 直材剛tt
E 。
v が決 定 できる。
12
（1＋のtant
q 。＝
1
一
v （1一
レ2）d
一争
「
1＋ 、。1
，（、。、＝−
EsvvE
一
……・
………
（6 ） さて，
式 （4）， （6 ）において， ボアソ ン比 り＝0，16，
トラ ス部 材の傾 斜 角 ep。＝
45°
の場 合を想 定すると，
平 面ひずみ状態 （ε。＝
0）の場 合，
d
一睾
・．
862，
v一
警
一
・．
634…一 ・
…
（・）〆 平 面応 力状態 （σz＝0
）の場合，
’
d一
争
一
・．
862，
・一争
一 ・．
595− …・
…
（6 ）・
が得られ る。一
方， ボアソ ン比 v＝O
の材料を仮 定 する と，
平 面ひ ずみ状態 （εt＝0
）と平 面応力状 態 （σ。＝
0＞の応力・
ひ ずみ関係は等し く な り，
式 （7 ）で与えられ る。 上 記 と 同様に して， 式 （1），
（2）と式 （7）の比 較 より，
ト ラス部材の p。 TE 。d，
E。v を決定する。・
−
E・，
・一
春
・ ・…一 ・
・
…一 ………・
…・
・
（・）’
tanZ
ψo＝
−一
2
E
． d＝
万＝
。血・（2
。。）E
． り＝
E
1−
v圏1
………・
・
…・
…
（8）一
51
一
さて
，
式 （8 ＞において， ト ラス部材の傾斜 角 g。＝45
°
の場合を 想定す る と，
E
． Esvd ＝
τ＝1
”・
v＝
i
「＝0・
5 ま た，
v＝E
．／E ＝o
の場合を想定す る と，
・
身
一
1．
12
・ ・6e が得ら れ る。 2．
1．
2 降 伏 条 件 （平 面 応 力 状 態 ）各 ト ラス部材の諸特性を任 意の変 数に し て おいて
，
降 伏 条件を一
般的に導くことも可 能とは考え られる が， こ こで は2．
2
節，
薄い モ ル タル ある い は コ ン ク リー
トの た めの接合要 素 （モ デルfi
）を想 定し，
坪 井・
末 永に よ る 薄 肉 円筒
か ら得ら れ た実験 式IT｝を近 似するよ うに ， きわ めて特殊な諸 条 件を仮 定して，
降 伏 条 件を導く（図一
8）。
平 面 応 力 状 態 （σ。＝0
）で， 式 （6
）’
よ り，
ボア ソ ン 比 v＝
O．
16， ト ラス部 材の傾 斜 角 p。＝
45°
，d
＝ O．
862，
v＝O．
595の場合の み考察の対 象とする。
た だ し，接合要素の強度の条 件 と して，引 張 耐 力at は，
一
軸圧縮 耐力 σ 。の1
／10
（σt＝
O．
1σc） を 仮 定し，
また 図一
2．
に示す鉛 直材．
斜め材に対する強 度 特 性を， a，d＝
0．
25
σct acv＝ 0
．
75σ ct σ昭言
0．
969 utt ato＝0．579
at と す る。 これ ら を ま とめて，
表一
1に示 す。
以 下，
上 記 の材料特性に応じて降 伏 条 件 を検 討す る。
（a ）σ＞0
，
τ＝
0が作 用し て， 皿材 （鉛直材 ）が引 張 破断し た の ち，
1
，
ll
材 （斜 め 材 ）が同 時に引張 破断 する場 合 ：皿材の 引張破 断 時の耐 力 （at，
τ）は，
ro＝O
at
−
（
1＋聖
・・S・例）
a，v’
…
’
”…
’
（9） と な る。 し か し，
こ の 時1
，
ll
材が引 張 破 断 耐 力 σ、V に 至っ ていない条件が 必要であ る か ら，
次 式 が 得ら れ る。・・〉
号
・ ・s…。・t。’
………・
…・
…一 ・
・
……・
・
（1・） ただ し，m
材 引 張 破 断 後，1
，ll
材が同時に引張破 断す る時の耐 力a
，は， δ【＜at であるの で，
a
ε＝2
σtd COS2 ψD＜σt…・
・
………
………
（11 ）一
52
一
表一
1 材料特性 （モ デル 1） 圧 矗 耐 力 σC≡
σC 引張耐 力 σし呂
o、
1σc ボア ソン比 V＝
0．
L5 側 斜 角 φ。・
45 ｛つ ヤン グ係数 d＝
0．
852 い石
0．
595 強 度 特 性 σcd冨
D，
25σG σcu＝
o．
ア5σ c σtd＝
O．
959σt σtり・
0．
579σt σ 皿 材 引 彊 破 断 σt 氈，
，
一
一唱
口
冒
959σt■
’
，
’
’
’
’
ノ’
口 図一
5 a ＞0，
τ＝
Oの場合の応 力・
ひずみ関 係 τ 王矼 引 彊 破 断 cr0−
．
一
959一
一
曽
σ噌
一
t 鳥一
一
579σt’
，
’
’
”虚
’
Y 図一
6 σ＝
0，
r＞0の場 合の応 力・
ひずみ関係 σ e瑟
驫
一
〇．
595q：・
aヒ 図一
7 σく0，
τ＝
0の場 合の応力・
ひずみ関係 と な る。 こ の場合の応力・
ひずみ関係は， 材料定数 （表一1
）を用い る と，
図一5
の よ う に与え ら れ る。 （b
） σ＝ 0，
τ＞0
が作用 し て，
工材 （斜め材）が引 張 破 断し たの ち， さ らに 皿材 （鉛 直材）が引 張 破 断する 場 合：1
材の引 張 破 断 時の耐 力 （σ，
τ。
．
）は，
禦
、ata。i
、、。e。。s計
一 …・
………
… 2 ・ と な る。
た だ し，1
材引張 破断後，
皿材が引張破断す る と きの耐 力 7。は， 7G〈：。アで あ る か ら，
牙o＝
crtVtan
：ψo くτcr…・
……
…・
…・
…辱
……
一
（13 ） ま た，
式 （12
），
（13
）よ り，
次 式 が得ら れ る。
勉 〈
2C
。S・ P 。………一鹽
P…一 ……−
P−
（14
） σ8d こ の場 合の応 力・
ひずみ関係は， 材料定数 （表一1
）を 用い る と，
図一
6の よ うに与え ら れ る。 （c ）σ〈0，
τ＝ Oが作 用 して，
1
，
皿材 （斜め材 ） が 圧 縮 降 伏し たの ち，．
皿材 （鉛直材 〉が 圧縮 降伏す る場 合 ：裏
咄 。醐副
・
……・
…・
……一
（15
・ こ の場合の応 力・
ひずみ関 係は， 材 料 定 数 （表一
1）を 用いると， 図一
7のよ うに与え ら れ る。
（d
）σキO， τ＞0が作用し て，1
材 （斜め材 ）が引 張 破 断し たの ち， 皿材 （斜め材 ）お よび 田材 （鉛直材 ） で荷 重 を負 担 するが，ll
およびm
材の みに よ る耐 力は，1
材の 引 張 破 断 時の耐 力よ りも小さい 場 合 ：1
材の引張 破断時の耐力は，
d
．
2−
Sln ψo COS ψo・
＝2
伽 ・’n
・… s…一
置
，d
。。s、．。。 ・………・
…・
・
……
」…・
…・
（16
） と な る。 し か し， この時ll
， 皿材が降伏耐 力に至っ てい ない条 件，
−
a，d≦σ。≦ cr，
d，
一
、acv ≦σm ≦’
Otv が必 要で あ る か ら， 次式を満た す 必要が あ る。T
一
σ・
・≦2s
助 。c。s ψ。d
、
2−
COS ψ〇＋ 1
毒
蜘 酬 σ一
σ cv≦ ≦σtv1＋2d 。 。s・、P。
・
・
・
・
・
…
（17） こ こ で，1
材の引 張 破 断 時の耐 力は，
ll
お よ び皿材の み による耐 力 より大きい必 要が あ る。 以 下，
こ の点の検 討 を行う。
さて，
1
材の引 張 破 断 後，
皿材が抵抗 し，
皿材 の引 張 破 断 耐 力 時の最 大 耐 力を考え る と，
T＝
（a、。一
σ）tan ψ。……・
………・
………t・
…・
（18） とな る。
た だし，
こ の時ll
材が 圧縮降伏耐力に至っ て い ない条 件，
一
σ、d≦σ、1が 必要であ る か ら，
次式 が得ら れ る。
一
、a。。≦ σ一
£
皰…………・
……一 ………・
一
（19 ） cqs 9・．
今 度は逆に，
1
材の引 張 破 断 後，
皿材が抵 抗 し，n
材の 圧縮 降 伏 耐 力 時の最大耐力を考え る と，
τ＝ σ Cdsi 皿ψocos ¢o
”…・
…・
…
∴・
・
…・
…・
…
（20 ） と な る。 た だ し，
この時皿材が降伏耐 力に至っ て い ない 条件，−
a。v≦σ皿≦砺 が 必要であ る か ら，
次式が得ら れ る。一
σcv≦σ＋σ、 。 COS2 ψ。≦σ 、v・
・
…・
…・
……一
（21
＞ （d
｝の条 件を満足 さ せ る た めに は，
今まで述べ て き た よ うに，
式 （18
｝r （21）に よ る最 大 耐 力 （σ，
τ）は， 式 （16
），
（17
）に よ る耐 力 （σ，
τ）の降伏 曲 線の中に含 ま れ る必 要 が ある。
（e ） a 〈0， τ＞0が作 用し て，il
材 （斜め材 ）が 圧 縮 降 伏した の ち，
1
材 （斜 め 材 ）が引 張 破 断 する場 合 ： 皿材圧縮 降伏後，1
材の引張破断時の耐力は，
r＝
（σ Ed十σcd）sin ¢o COS ψo・
・
…・
…・
…・
……
（22） と な る。 た だ し，
この時血
材が降伏 耐力に至っ て い な い 条件，
一 σ。。≦σm ≦砺 が 必要で あ る か ら，
次 式 が 得ら れ る。一
σ Cv≦σ一
（σtdM σcd）cos290 ≦σtV・
・
・
・
・
・
・
…
∴（23 ） （f
） σ＜O，
τ＞0
が作 用して，
ll
材 （斜め材 ）が圧 縮 降 伏し た の ち， 田材 （鉛 直材 ）が 圧縮 降 伏す る 場 合 ： 皿材 圧 縮 降 伏 後，
皿材の圧縮
降伏 時の 耐 力は，
τ
＝
2σ cd sin ψo cos go十tan go（σ十bcv
）…・
（24）と な る。 た だ し
，
こ の時1
材が降 伏 耐 力に至っ て いない 条 件，
一
σ，d≦σ 1≦crtdが必 要で ある から，次式が得 られ る。．
τ
一
acd≦σ td・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（25）
−
aCd≦ SM 9。 COS goな お
，
τ〈0
の場 合は省 略 する。
上 記の （a）一
（正〉の 条 件 を用い て降 伏 条 件 を図に示す と，
図一
8が得ら れ る。 こ こで， 図一8
中 （a）一
（f）の記 号は、
本 節で の条 件 分 類に対 応して いる。 た だ し，
実線
は接 合 要 素によ る降伏 曲 面，
破 線は薄 肉 円筒に よる実験1ηで得られた降伏 曲面 で， σ 軸に対して対 称 形と な る （一
点 鎖 線 〉。2
．
Z薄い モ ルタル あ るいはコ ンク リ7 トの た めの摎
i
合要 素 （モ デル 皿）レンガ状構造物の継目に充てん され てい る薄い モ ル タ ル やコンク リ
ー
トの破 壊 をモデル化す る た めの接 合 要 素 を作成す る。
接 合 要 素 内の各 トラス部 材 を履 歴 特 性と し て，Saenz
によ り提案され た式 （26 ＞18 ）E
。・
ε…・
……
（26 ） σ＝ 1十［（Eo
／Es
）− 2
］（ε／εc）十（ε／εc）2 こ こ で，
E。は応 力0の点に お け る接 線 係 数fl
，
ε、は最 大 圧 縮 強 度 とその時の ひずみ 圧鋸 降 伏 引 張 破 断lll
l
ll
lll
−
一
一
→
→
→
→
” 〆一
一
・
：〆…
：广一
，
’
「
一
”
「 F
アー
’
一
プ膊
’
…
冫，
’
／ ／’
’
”
曹
广『
’
，
ア’
一
”
ノ
』
・
凾
曹幽
一 一
幽
一
■冒
− 一一
．
一一
「「
冒¶
（ f ［ 〔e ） ｛d ｝囓
〔a 〕 皿 材謎全 1材 引 弭 破 断 H材圧鼇 降 伏 τ 1鬱．
c （f｝’
・
〆”
’
！ 1材 健 全 皿皿材圧縮降 伏曽
一
噌
噛
矼m材 鯉 全 1材 引張破 断 ｛d ｝ ｛b｝ 1」345σtO．
969σt a一
σC、
辷
m 材 瓲全 肛材 引 張 破 断 ノ 4，
σt＝
0，
且σt α．
冒
一
冒
匿
坪井・
束永 式 〔27 ） eu＝
4ec一
撞 合 要 竃 図一
8 コ ン クリー
トめ 降 伏 曲面 εC σt．
Sa已nz式〔26｝ Eo σ 図一
9 各ト ラス部 材の履 歴 特 性 s 1 こ f一 53 一
hLL
仁
，LL
10cm 10c［
ZT
−
M
−
Nl
援 合 竪 索 h＝
2cm，
tg2⊂m 図一
10 接 合 要 素の解 析モデル 表一
2 材 料 特 性 （モデルH
） ト ラ ス 都 材 圧 縮聾展 σG・
2LO 〔kgf／cm21 引 張 強 度 σt・
21 〔kgflc琳η ヤング 保 数 E昌
2．
lx105〔kgf！¢mつ ボ ア ソ ン比 V＝
0，
16 傾 斜 角 φ。・
45 （。
） 要素駆 t乙
o．
5 〔cml 要 齋 高 h＝
2、
0 ｛cm｝ ヤング 風 数 d；
0．
862v＝
0．
595 強 度特 性 σcd・
O．
25σ c σ‘サ昌
0．
75σc σtd＝
O，
945σt σtv・
0．
58σt εc＝−
0．
0025 Eu は圧 壊ひずみ，E
。＝
ノち／ε。 σ，
ε は，一
軸 圧 縮 応 力とそ の時の ひずみ で， 応 力・
ひずみ曲 線の最 大 耐 力まで の上 昇 部 を 表 現し た。 ま た，
下 降 部につ い ては，
（f2
，
∈。）と （0．
2 叢，
4Ec） の2
点を通る直線によ り近 似し た図一
9の もの を用い て い る。
た だ し，
接 合 要 素 （図一
10）の定 数お よ び各 トラ ス部 材の定 数を表一2
に示す。 図一10
に示 す 接 合 要素に一
様な σ，
τ を作用さ せ て得 られる降伏 曲 面を求めたものが， 図一
11（a）で あ る。 た だし， 実 線は薄 肉 円 筒に よる実 験 1ηで得ら れた実 験 式 （27＞ τ lOO 〔kg1 z｝一
坪 井 慌 永 式〔2η ● 接 合 要素 〔本 解 析 ） 50 ● ● ● ●一
200一
160一
120一
80・
40 0 σ （kg／ り （al 接 合 要 素の降 伏 曲 面 （kg／c 鶉 〔b ）応 力’
歪 闢 係 図一11
コ ンク リー
トの降 伏 曲 面亡
，計
一
・・
1・4（
＆
）
2 ＋ … 95（
t
）
・ ・… 89……
（・・） で， ・
印は本 解 析で求 めたもの であ る。 な お，
本 解 析で は，
荷 重 （σ，
T）は 比例 荷 重と して作 用さ せて いる。
次 に，
図一11
（b
）は一
軸圧 縮 （τ＝0
）の場 合の応 力・
ひ ずみ関係で あ り，
解析と実験値が比較的よ く一
致す るこ とが 分か る。
し たがっ てここで提 案し た トラス置 換 法は，
薄い コ ン ク リー
トの降 伏 条 件 を ある程 度 表 現する こと が で き る と考え ら れ る。
2．
3
モー
ル・
クー
ロ ンの 降 伏 条 件に従 う地 盤の た め の薄い 接 合要素 （モ デル 皿） 降伏条件と し て， 土の せ ん断破壊時の応 力状態 がモー
ル・
クー
ロ ン の降伏条件，
式 （28
）で表さ れ る薄い接 合 要 素を，
図一
12（a＞に示す 2組の トラ ス部 材で作 成 す る。
τ；
c一
σtan
φ・
一 ………・
…
（28
） la ｝トラス音WW σ一
一
σtd→
1111 εtd ε ノ φ τ 〔 b ）各トラス部材 の 履 歴 特 性 （c ）降 伏 曲 面 図一
12 地盤のた めの薄い接 合 要 素 σ こ こで，
τ，
σ はある面に作 用 する せ ん断 応 力お よ び垂 直応 力，
c，
φはそれぞれ土の粘 着 力，
内 部 摩 擦 角で ある。 今， せ ん断破壊の み考え る の で降 伏 条 件は， 式 （16），
（28
＞の比較よ り，
c＝
2sin
ψo cos ePeσtd2d 。血 ¢。C。S ・ Q。 tan Po
：
1＋
29
。 。s・、ep。・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（29 ）一
54
一
と な る。 ま た
，
式 （1）に式 （2 ）を代入 し た後， 平面 ひずみ状態 （εi＝O
｝を仮定し，
式 （29
）下との比較に よ り，
次 式 が得ら れ るbta
・ φ・ta
・ 舮拮
｝………・
………
（・・） し た がっ て，
1
材 （斜め材 〉の 引 張 耐 力 σtd，
傾 斜 角g。 は，
次 式で与え ら れ る。 cσ一 2s 血 9。 cos ψ。
……・
・
…………・
（31
） 1−
2vn ψ・
＝
2
〔1一
のc°t
φ1
こ の モ デル で は，
皿材 （鉛直 材）が 用い ら れ てい ない か ら， v＝E
。。／E ＝0
と す る。 し た がっ て， 式 （29 ）下 よ り，
tan
φ＝tan
ψo……
し…・
…・
………・
・
…・
・
（32） と なる。
また， 土の内部摩 擦 角 φ＝
30
°
， ボア ソ ン比 ン＝O．
25を 想 定す ると ， 式 （4｝よ り次 式 が得 られ る。
d
＝Es
α／E ＝1．
067 ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（33）1
，ll
材の応 力・
ひずみ関係は， せ ん断破 壊の み考 慮 してい るので， 破 壊につ い て引 張 耐 力 atd 以 外の トラス 部 材の材 料 特 性は無 関 係と な り，
図一
ユ2（b
）に示 し た ように な る。
し たがっ て， 以 下に示す ト ラス部 材の材 料 定 数 q。！
・
φ σtd＝ c／（2 sin φcos φ）’
σCd＝
QQd
＝ 1．
067
を 与える と， 図一
12（c）の 降 伏 条 件 が 得 られ る。
3．
地 盤のすべ り解 析 例 本 章で は， 浅い基 礎よ り等 分 布 応 力 を 受け る均一
地 盤 に，
先に説明 し た接 合 要 素 を用い て弾 塑 性 解 析を行い，
その極 限 耐 力 を 推 定す る。
解 析 例は， 図一13
に示す ラ イス ナー
が 解 析 し た問 題］9｝ であり，
極 限つ り合い荷 重 が 求め ら れ てい る （付 録 参照）。
地 盤 内で は平 面ひずみ状 態 （ε。＝0
）を仮定し， 極限つ り合い理論に よっ て得ら れ た すべ り線 を利 用 して，
有限要 素お よび二次 元の トラ ス置 換に よる接 合 要 素 を配 置している。
3．
1』
均一
地 盤 上の浅い基 礎へ の適 用 例 t2k
，
K
』
唖胃
τxy b 皿 」 ne l I on 凵 x 図一
13 極 限つ り合い時の領 域 Y 均一
地 盤 が浅い 基 礎 よ り， 鉛 直 軸との 傾 斜 角が 20．
105° の等 分 布 応 力 を 受ける問題に対 して， 図一
14に 示 す よ うな有 限 要 素 分 割 を 施し たモデ ル を解析し， 理論 値との比 較を行 う。 3．
2 解 析モ デル 解 析の モデル化にあたっ て は， 理論との比較の た め土 の単 位 体 積 重 量は考 慮し ない。
また， 平面 問 題と して取 り扱 うた め に，
平 面ひ ずみ状 態 〔ε。
＝ O ）を仮 定し ， 降 伏 条 件には，
地 盤の弾 塑 性 解析で しばしば 用い ら れ てい る， モー
ル・
クー
U ン の 降 伏 条 件 式 を 考え た。
地 盤は， 均一
地 盤とし，
間 隙 水圧等の影 響は考えず，
変 位 境 界と し て側 面につ いて は水 平 方 向の 自 由度 を拘 束し， 底 面に つ いて は水平お よび鉛 直方 向の自由度 を 拘 束し た。 さ ら に，
基 礎か ら地 盤に伝わ る応 力は，
等分布に な る と考え た。
有 限 要 素 分 割 を 施し た解析モ デ ル を，
図一14
に示す。 こ こ で，
地 盤の諸 特 性 とし て表一3
の値 を用い た。
ま た．
式 （31）上 に表一
3の定 数 を代入 すると，接合要素 （2，
3 節， 図一
12（a） ）』
の材 料 特 性は， σtd＝
0．
289 （kgf
／cm2 ） εtd＝
atd／ESt＝
0．
001084 と な る。3．
3
解 析 結 果 本 論 文で提 案 し た接 合 要 素を用い た地 盤のすべ り解 析 b昌
7＝
5点ア イ ソ パ ラ メ トリック 弾 性 要粛 弾 塑 性 接 合 妛 素ー
1
1
8点 ア イ ソパ ラ メ トリツ ク弾 性 要 紫一
図一
14 メ ッ シュ分 割 図 表一
3 材 料 特駐 （地 盤 解析 用 ） 単位 （cm ｝ ヤ ン グ係 敬 E・
250，
0 （kgf！cmり ボ ア ソ ン出 V＝
0，
25 単 位 体 稘 窟 量 Y・
0，
0 ｛kgfκmη 粘 曽 力 C・
0．
25 ｛kgfκm り 内 部 摩 際 角 φ・
30．
o ｛°
1 傾 斜角 φ。・
30．
o〔°
） 要 紫 厚 tq．
o 〔c旧｝ 要素 高 h・
1．
o 〔c吋 ヤン グ係 數 d．・
Lo67 り≡
0．
0 強 度 特 性 σω＝
0・
2的 〔kgf〆 2｝ εtd己
o．
001D8弓一
55
一
λ
＝
1，
000 図一
15 変形の進 行 状 況 X零
1．
125 寞線は せ ん断 降 伏 し た 部 分 を 示 す 図一
16 せ ん断 降 伏 領 域の進 展状 況 表一
4 理論 値と解 析 値の比較 （図一
18，
19参照） 角度 画 限 釣 り合い理 論 解 析 緒 集 そ の 3e σ τ σ τ 額域 1 ★ L8291．
3061．
8131．
298一
〇．
q1 」251．
2461．
661．
21曹
8，
401．
404LO60La0．
95L｝
L6．
39L1310．
903L35LO3・
21．
050．
99L0．
822LO50．
860 詛 域矼一
29．
04o．
η9o．
6990．
649o．
625一
37．
030．
598o．
595O．
72’
o．
666 4L680506o．
5420587O．
589一
49．
5a0，
3660，
4610．
2720．
407一
57．
67o．
247o．
3930．
330o．
441額 域 皿 ★ o
．
2160．
3750．
2170．
357 阻 位 【kgf！cma ）一
56
一
結果を示す。 図一15
，16
は， 極限 状 態に至る地 盤の変 形と せ ん断降 伏領域の進 行 状 況 を示し てい る。
こ こで，
λ は 理 論 極 限荷 重に対す る外 荷 重の比 を示す。
図一17
は， 傾斜荷重 （傾斜応 力 と基 礎の幅との積 〉と， 基 礎 底 面の下 方に位 置す る すべ り線 上のD
点，E
点にお け る水 平 変 位の関係を示し た もの である。
非 線 形 性が大 き くな り始 めるの は，
傾斜荷重が145kgf
（図一17
の く 印 ） を 越え たあた りか らで，
この値は極 限つ り合い理 論 全 荷 重〔kg｝ oo2P1 150t 且oo 50 ソコ囗フ スキ
ー
の極 限 釣 り 合い理 諭 に よ る 極 限 翻 璽 値一
一
一
・
O−−
P点 で の水 畢 変 位一
・
→呻
E点での 水 平 変 位一…一
弾性解（ 0点 ｝一
一
一
弾性 解 （ E点 ｝ t e 8点 o 縦 軸で荷 電 と し て 屠いている値 は、
地 盤 裏 面 に 等 分 拓に加 え られ て いる荷 璽の紛 和であ る。
5 氷 平変位 δ 図一
17 荷重一
変位 曲線 塁 直 応 力｛kgf1 卍｝ σ o・
1 且o 〔en ）一
z O 1 2 垂 匱 歪 e 図一
1S 垂直応力 垂 直ひずみ関係せん 断 応 力｛kgf／aml ） 1
．
5 T Lo 0，
5 A点 のソコロフ スキー
の 極 限 釣 り 合い陞 膾 に よ る 極 隈せん 断応ガ一
B点＃
へ
萋
A一
一
t）
一
一
A点の応 力 と 歪・
ψ…
B点 の 応 力 と 強一
＋−
C点の 応 力 と歪 0 11
2 せ ん断 歪 Y’
図一
19 せ ん断応 カー
せ ん断ひずみ関 係 に よる極 限 荷 重 （145．
8kgf） とほ ぼ一
致してい る （付 録 参 照）。
図一
18， 19に は， すべ り線一
ヒのA
点，B
点，C
点に お ける せん断 応 力 とせん 断ひずみ， 垂直応 力 と垂直ひず み の関係を 示し ている が， 各応 力と も降 伏点は極 限つ り 合い時の応 力 （表一4
＞とか な り接近 し た所で生じ，A
点， B点で は降 伏 後，
応 力が次 第に減 少して いる。
4．
結 語 本 論 文で は，
二次 元 応 力 解 析に際して，
降 伏 時に生じ る不連続面をモ デル化す る ための接 合 要 素 を，
トラス置 換 法 によっ て定 式化し た。 さ らに，
この接 合 要 素を 地 盤 のすべ り解析の平面 問題に適 用し， 接合要素の有 限 要 素 法へ の適 用 可 能 性 を考 察し ている。
地 盤の すべ り問 題に 適用 し た結 果では，
全 般 的な せ ん断 降伏時の荷重お よ び 応 力分布が， 極限っ り合い 理論によ る極限荷重， 極限応 力にほぼ一
致 し た。
この接 合要素の利 点と して は，
破 壊 面が あ ら か じ め予 想さ れ る場合に有効であ ること，
ま た，
接触面に おける 弾塑性挙 動を表現す る た めの接 合 要 素が，
き わ めて力 学 的に単純で ある トラス部 材で比較的 容 易に得 ら れ ること で あ る。
し か し， 地 盤が せ ん断 降 伏する際に生じるダイ レイタン シー
等の変 形 性 状は， 今後の問 題 として残され て お り，
した がっ て こ の論文で示し た単 純な モデル を用 いて解析す る場 合には 注意を要する。 地 盤の すべ り解析か ら，
本論文で提案さ れ た方 法が，
事 前に破 壊 線 を予測でき る構 造 物や地 盤，
例えば岩 盤の 不連 続 面， 地 盤のすべ り面， くい基 礎周 辺の地 盤，
構 造 物と地 盤の間の接 触 面に お け る非線形 挙 動 を表現 す る の に非 常に有 効で あ る と思わ れ る。
今後は， 静 的 解析にと どまらず，
動 的 解 析が行え るように プロ グラ ム の改 良 を 行え ば，
本 論 文で提 案され た弾 塑 性 接 合 要 素は，
さ らに 適 用 性の高い もの となるであろう。
また， 三 次 元 接 合 要 素へ の拡 張も，
今 後の課 題の ひとつ で あ る。 5．
謝 辞 本 研 究は，
昭 和58，59
年 度 文 部 省 科 学 研 究 費 （昭 和58
年 度 ：構 造 解 析と同 時 代 史 料の調 査に基づ くル ネッ サン ス期の ドー
ム架構法に関する研 究，
昭 和 59年度 ： ル ネッサン ス期 大 ドー
ム建 築の建 設 過 程およびそ の構 造 解 析手法に関 する研 究，
研究代表 者 日高 健一
郎），
お よ び昭 和58，
59年 度 鹿 島 学 術 振 興 財 団 研 究助成の補助 の一
部によ り進め ら れ た。 ま た，
本 研 究を ま と め るにあ た り， 豊橋技術科 学大 学 大 学 院修了生，
前本尚二，
北村 敏 也の各 氏の協力 を頂き ま し た。
こ こ に謝 意 を表し ま す。
な お， 本計算は豊橋技術 科 学大 学 計算 機セ ン ター
の MELCOMM800
皿 ， お よ び名 古 屋 大 学 大 型 計 算 機セ ン ター
のFACOM
M382
を 用い ま し たの で，
こ こ に記し ます。’
付 録 極 限つ り合い理論に基づ く解 地表面に鉛直応 力と せ ん断応 力が作 用 する場 合，
自重の な い 地 盤の極限つ り合い問題 を考え る19， 。 図一
13に示し た よ う な地 表 面に作 用す る極 限つ り合い時の等分 布 鉛直荷重p，
qの関係を 求 める。
領 域1
では主働 状 態と考えられ，
ac＝
c・
tanφ…………・
…
…・
・
…
…・
・
・
…
…・
…・
…
…一
・
（34）el
−
・・n−
1（
tlP 十 ac）
………・
・
…
「…一
・
…・
…・
・
一
……一
（35）柚 n
−・
（
t3q 十σ c）
………・
………一
∴・
・
一 ・
……・
（36） と す る と，
境界 条 件と して次 式が与え ら れ る。
ax；
P TXs＝一
（P十σ ご）tan δ1 ま た，
地 盤の表 面の傾き と外 力 荷 重の方向か ら，
θ＝
O，
〔ε＝
O） α＝
δ，
，
n＝
0 と な り，
し たがっ て次式 が 得られ る。
・・1
− 一
・・
一
・・n−
・（
si皿 δ、 sine
）
P十σc｛COS δ1
−
siniφ一
sin2 δ，）σ 巴
＝
CO ＄ δ1 cosl φ…・
・
……・
・
…一・
一……・
………・
…・
（37）一
方 ， 領 域 皿では受働状 態と考え ら れ，
同時に ax、・
＝
、q， rxy＝
一
｛q十σ c＞旋m δ2，
θ＝
O，
a＝
a、，
n＝
Oとすると，
…
一一
・・一
・＋・・n−，
（
sin δ2sin φ）
q十〇c｛COS δ2十 silt φ
一
sint cr2）σ 皿
＝
COS δ：COS2 φ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（38） とな る。
こ こ で，
δ，を 既 知とし て荷 重 強さ q を求 めると，
次式 が得ら れ る。
q
− 一
・・＋・・＋ a・）（
COS δ3 COS δ1
−
V厂sini φ一
sin ：δlCOS δI COS δ2十 sh12φ
一
sin2 δ2）
×exp
［
一
｛
・一
・，…一
・一
1（
…
i
bl ， L）
一
・in−
t（
S 洫 02s 血 φ）
｝
ta・ φ］
・
・
…・
・
………・
一……
・39・ 式 〔39）は，
図一
13，
0点に お け る 鉛 直 茴 重の関 係であり，
p もq も境 界値で あ る。
ま た，
tI，
t：は，
図一
13に示さ れ る極 限 つ り合い時の領 域L
皿の表 面に作用し てい る せ ん断力で あ る。 今，
q‘
O，
ti＝ O，
δ，＝
18°
，
δ，＝O，
c＝ 0．
25，
φ＝
30°
の場 合 を 想 定す る と，
ac＝
ctan φ＝
0．
433 （kgf／cmZ ） となる。
したがっ て，
式 （39｝ より， P＝
3．
423 （kgf／cm2 ） が得られ る。
さ ら に，
式 （35）よ り，
t［＝ 1．
253 （kgf／cm2＞ とな る。 以上より，
傾斜し た全荷重に対する極 限 荷 重 〔P∂ を 求 め る。
P。r＝
40（cm ）Xl （cm ）× （3．
423）： ＋（1．
253）t （kgf／cm2 ）；
145．
8 （kgf） 参 考 文 献 1） 日置興一
郎：個材の弾性座 屈で定 まる 剛節ラ チス構 造の 有 効 強 度，
日本 建 築 学 会論 文 報告 集，
第325号，
昭和 58．
3，
PP．
1〜
8 2） 川井忠彦 ：不連続体 力 学のすす め 〔その 1｝一
固体力学非 線 形 問 題へ の挑 戦一，
生 産研 究，
第32巻，
昭55．
6，
PP．
1−
6’
3） 土岐 憲三，
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三浦 房 紀 ：強 震 時に お け る 地 盤 と 構造物の間の剥離と滑 動，
土 木 学 会 論 文 報 告 集，
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1980．
10， pp．
31−
41 4＞ R．
E．
グッ ドマ ン著；赤 井 浩一
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川本眺万 訳 ：不 連 続 性 岩 盤の地 質工学，
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19785＞
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833−
8486〕Francois E
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Tinothy G．
Barbour ；New Modelsfor Rock
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1982．
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Vo正．
108．
pp．
757−
776 ） 7 ） 8 ） 9 10） 11） 12） 13） 14｝ 15｝ ユ6） 17） 18） 19）GE XIURUN ：Non
−Linear
Analysis
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Element and Its ApplicationIn Rock Engineering，
Int．
Numerica且 and Analytical Methods in Geomechanics，
1981， VoL 5
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229−
245 園 田 恵一
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土木学会論文報告集，
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57 岩 下 恒雄：置 換 トラス 法に よ る耐震壁の研究 （第一
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日 本 建 築 学 会 論 文 報 告 集，
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昭 和39．
U，
pp．
14〜
19 岩下恒雄 ：鉄 筋コ ンク リー
ト造構 造 物の二次 元 弾 塑 性 解 析に対す る一
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日本 建築学会論文報 告集，
第141号，
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ユ1，
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11〜
18 松下富士雄 ：鉄骨シェ ルの研 究 （第一
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日本 建 築 学 会 研究 報 告，
第29−
1号，
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96 日 置 興一
郎 ；異 方 性 合 平 板の応 力解 析理論と その応 用 （そ の1：基 礎理 論，
そ の 2：応 用 ），
日本 建 築 学 会 論 文 報 告 集，
第137，
ユ38号，
昭42，
7，
8 松 岡 理， 加 藤 史 郎， 小 出 弘 之 ：格子状シェ
ル構造 物の 連 続体理 論，
日本建築 学 会 論文 報 告 集，
第184号，
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71 日置 興一
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村 田 雅 枝 ：有 効 強 度と有 効剛性 に よ る組 立柱の弾性 安定限 界 荷 重の算 定 （その 1，
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1062 日置 興一
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坂 寿二， 朝 山二 三男 ：平板状畏方形 直交 公差 型 ト ラス梁の構 造 特 性につ い て，
日本 建 築 学 会 大 会 梗 概集，
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ユ028 加 藤 史 郎，
前 本 尚二，
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末 永 保 美 ：Experimental Study on Failure ofplain Concrete wnder Combined Stress（Part 3＞
，
日本建 築 学 会 論 文 報 告集
，
第64号，
昭35．
2，
pp．
25−
36 W．
F．
Chen ：Plasticity in Reinforced Concrete，
McGraw
．
Hill Book Cempany，
1982大草重康
，
赤井 浩一
：フ ロー
リン の土 質 力 学 （第 田巻 》，
森 北 出版，
1971SYNOPSIS
UDC:62g. 023.85
･'
'
A
STUDY
ON
THE
FORMULATION
OF
A
ELASTIC-PLASTIC
JOINT
ELEMENT
BY
TRUSS
ELEMENTS
.
-An
application of the theory of effectiveby Dr.SHIRO KATb, AssociateProf.of Toyohashi
versity ofTechnology,Dr.KENICHIRO HIDAKA,
er of
University
of Tsukuba and TAKAYOSHI AOKI,GraduateStudentof Universityof Tokyo,
Members
of4･
i.J.
The
purpose of this paperis
to'formulate
a two-dimensional elastic-plasticjoint
element through three trusselements, The
joint
element consists of three membersforming
a truss strttcture :one vertical and twodiagonal
elements with
clifferent
stress strain relations.The
yielding
condition of thejoint
elementis
determined
by,
twofactors
:one takesaccount of possiblecombinationin
theorder of the members turningtotheplasticphase, andthe other givesappropriate propertiesof the three elements
in
comparison with experiments or theories:Young's
'modulus,
compressive strength and tensile one. The presentelement ismuch simpler than others to express a
discontinllous
planein
theplasticPhase
based
on mathematical formulations,'
Resuks of numerical analyses are as
fo]lows
:1) Incase of plainconcrete under combined stress, the yieldingcondition
from
the presenttheory is/
tent with cllrvegiven
by
experiment.,
2)
According
to analysis of'stresses and maximumload
in
soildue
to slippagefailure
under afooting,
theanalytical results correspond well to the theoretical values given
by
Reissner.
'
