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フーリエ変換

冨田知志 2007年4月27日（金） １．フーリエ級数、フーリエ変換とは何か ２．フーリエ級数を求めてみる ３．フーリエ積分、フーリエ変換をしてみる ４．物理例

０．この時間のスタンスとルールと目標

スタンス： 数学は道具 自分に対して使う、他人に対して使う 数学的な厳密性を多少犠牲にしてでも、 フーリエ級数、フーリエ変換の直観的な理解を目指す 私の問題、現実的な問題 ルール： １．数式を怖がらない 出てくるのはせいぜい三角関数、指数関数、∑、∫、程度 ２．自分の手を動かすことを厭わない 目標： f(t)=cos(

ω

₀t)のフーリエ変換ができるようになる

１．フーリエ級数、フーリエ変換とは何か？

１．１ フーリエ級数、フーリエ変換とは？ フーリエ級数： 周期関数を三角関数の級数として表す フーリエ変換（フーリエ積分） 周期関数でない、より一般的な関数への フーリエ級数の拡張 時間領域から周波数領域へ

関数の時間領域での性質が、

周波数領域でどう表現されるか？

物理学、化学、工学の分野で幅広く活用

１．２ フーリエ級数、フーリエ変換が使われる例 熱伝導 変調と検波： AMラジオ、信号波、搬送波 レンズによる像形成： フラウンホーファー回折、結像原理 結晶構造の解析： 結晶構造因子、X線回折、電子線回折 フーリエ分光法： FT-IR, FT-NMR 線形応答理論： 複素アドミッタンス、クラマース-クローニッヒ関係式 高速フーリエ変換（FFT）： サンプリング、離散フーリエ変換、信号処理

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − − = + − = + + 2 4 8 c b a c b a c b a (1.1a) 以下の連立方程式を解いてみる (1.1b) (1.1c) 以上より、a=5, b=2, c=1 2 + + = b c a (1.1c)より 1 = c (1.1b)に代入し 2 = b (1.1a)に代入し

１．３ 直観的なフーリエ級数の理解 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − − = + − = + + 2 4 8 c b a c b a c b a (1.1a) 以下の連立方程式を解いてみる 少し視点を変えて、 方程式を次のように書き替える そして と定義すると、連立方程式(1.1)は、af+bg+ch=Fと書ける。 (1.1b) (1.1c) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − × + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − × + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ × 2 4 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c b a ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ≡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ≡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ≡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ≡ 2 4 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 F h g f

これはf、g、h、Fをそれぞれ一種のデジタルな関数と考えてやれ ば、a、b、cという係数を用いることで、 Fという関数がf、g、hという三つの関数で展開された と考えることができる。 そして展開した時の係数a、b、cが、連立方程式の解に対応する。 このFをどのように換えても、連立方程式の解は求まるので、 任意の「関数」Fは、それに対応する係数a、b、cを用いて f、g、hにより展開可能

級数展開の直観的イメージ

2 4 8 F f g 1 1 -1 h 1 -1

１．４ 続・直観的なフーリエ級数の理解 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − − = + − = + + 2 4 8 c b a c b a c b a (1.1a) 以下の連立方程式に対して と定義し、連立方程式(1.1)をaf+bg+ch=Fと書いたうえで、 Fとf、g、hを既知のものとして、a、b、cを求めることができ ないか？ 残念ながらこのままではできない。

なんで？？

f、g、hの性質が原因 (1.1b) (1.1c) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ≡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ≡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ≡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ≡ 2 4 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 F h g f

少し発展させ、関数の個数を四つにし、それぞれ以下とする。 区間が四つになったことで、 それぞれの関数のグラフが対称な形になった（矩形関数） f₁ 1 -1 _⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ≡ 1 1 1 1 1 f f₂ 1 -1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ≡ 1 1 1 1 2 f f₃ 1 -1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ≡ 1 1 1 1 3 f f₄ 1 -1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ≡ 1 1 1 1 4 f

これを先ほどと同じように連立方程式に書き直せば、やはりFが 何であっても、解くことができる。 つまりF=a₁f₁+a₂f₂+a₃f₃+a₄f₄ というように、任意のデジタル関 数Fが矩形関数f_n(n=1,2,3,4)によって展開可能となる。 四個の矩形関数を用いたので、Fで表現される数値は４つ 更に今度の矩形関数fnは という関係を満たす。（直交関係） このような関係が満たされた場合は、連立方程式が解ける。 例えば、a₂を求めたい場合、Fにf₂をかけて、積分すればよい。

∫

f _j(x) f_i(x)dx = 0 （i≠jの場合） 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 3 2 3 2 2 2 1 2 1 2 4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 0 f F f a f a f f a f f a f f a f f a F f f a f a f a f a F = ⇔ + + + = + + + = ⇒ + + + =

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ≡ 1 1 1 1 1 f ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ≡ 1 1 1 1 2 f ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ≡ 1 1 1 1 3 f ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ≡ 1 1 1 1 4 f 例：先ほどのf_nを用いた場合、 例えばa_nが、 a₁=2, a₂=3, a₃=5, a₄=1 という組み合わせで考えてみる。このときFは右の通り。 これにf₂かけて、つまりベクトルとして内積を取って _⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 3 5 1 11 F 12 3 5 1 11 3 ) 1 ( ) 5 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 11 1 2 ⋅ F = × + × − + − × − + − × = − + − = f 4 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 1 1 1 2 2 2 2 ⋅ f = f = × + × + − × − + − × − = f 3 4 12 2 2 2 2 = = = ⇒ f F f a ときちんとa 2=3が出てきた。

矩形関数をどんどん細かくすれば、すなわち振動数の大きな矩 形関数を考えれば、Fで表現できる数値aの個数はどんどん大き くなる。 最終的にはFはアナログ関数に近づくはず 矩形関数の変わりに三角関数を用いても、 似たような話は成立 三角関数の方がより性質が良い これがまさにフーリエ級数 の考え方 大事なのは、直交関係

２．フーリエ級数を求めてみる

２．１ 周期関数： 関数f(x)が、全てのxに対して となるような正の定数Tを持つ場合、 この関数を周期的であるという f(x)を周期関数 Tを周期 周期関数のグラフは、長さTの任意の区間のグラフの繰り 返し 例：三角関数

)

(

)

(

x

T

f

x

f

+

=

(2.1)

２．２ フーリエ級数 既知の関数f(x)は周期2Lを持つとする 目的：周期2Lをもつ関数の集まり を使って、f(x)を表してみる。 例：f(x)が2πの周期を持つとして、 を使ってf(x)を表す

⋅⋅

⋅

,

2

sin

,

2

cos

,

sin

,

cos

,

1

L

x

L

x

L

x

L

x

π

π

π

π

⋅⋅ ⋅ , 2 sin , 2 cos , sin , cos , 1 x x x x

結論を言ってしまうと、関数f(x)は と表せる（展開できる）。 これがフーリエ級数。 そして、既知のf(x)から未知の係数a_n,b_nを求めればよい。 どうすればf(x)から、a_n、b_nが求まるか？？

∑

∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ + = ⋅⋅ ⋅ + + + + + = 1 0 2 2 1 1 0 sin cos 2 2 sin 2 cos sin cos 2 ) ( n n n L x n b L x n a a L x b L x a L x b L x a a x f π π π π π π (2.2)

そのための準備として、三角関数sin(n

π

x/L), cos(n

π

x/L)と それらの積、それぞれの-LからLまでの積分を確認しておく。 （i）mが正の整数、または0ならば （ii）m,nが正の整数ならば つまり三角関数の積分は直交関係を持つ。 ⎩ ⎨ ⎧ ⋅⋅ ⋅ = = =

∫

− _{0 ( 1,2,3, )} ) 0 ( 2 cos m m L dx L x m L L π ) , 2 , 1 , 0 ( 0 sin = = ⋅ ⋅⋅

∫

− _L dx m x m L L π ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = =

∫

− _{0 ( )} ) ( cos cos n m n m L dx L x n L x m L L π π 0 cos sin =

∫

− _L dx x n L x m L L π π ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = =

∫

− _{0 ( )} ) ( sin sin n m n m L dx L x n L x m L L π π (2.3) (2.4) (2.5) (2.6) (2.7)

まずa_nを求めるために (2.2) の両辺にcos(m

π

x/L)(m=0,1,2,…)をかけて、 xについて、-LからLまで積分する

∑

∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ + = 1 0 _{cos sin} 2 ) ( n n n L x n b L x n a a x f π π

∑

_∫

_∫

∫

∫

∞ = − − − − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ₊ + = 1 0 sin cos cos cos cos 2 cos ) ( n L L n L L n L L L L dx L x n L x m b dx L x n L x m a L x m a dx L x m x f π π π π π π (2.8) m=0の時、(2.8)の右辺は第一項だけ残り、その値a₀L m=1,2,…の時、右辺第一項は(2.3)より0、{}の内は、 (2.5)、(2.6)より最初の積分がn=mの時だけ残り、後は0

以上、まとめると よって ) , 2 , 1 , 0 ( cos ) ( = = ⋅ ⋅⋅

∫

− _L dx a L m x m x f _m L L

π

) , 2 , 1 , 0 ( cos ) ( 1 ⋅⋅ ⋅ = =

∫

− _L dx n x n x f L a L L n

π

(2.9)

次にb_nを求めるために、同様に (6.3) の両辺に今度はsin(m

π

x/L)(m=0,1,2,…)をかけて、 xについて、-LからLまで積分する

∑

∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ + = 1 0 _{cos sin} 2 ) ( n n n L x n b L x n a a x f π π

∑

_∫

_∫

∫

∫

∞ = − − − − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ₊ + = 1 0 sin sin cos sin sin 2 sin ) ( n L L n L L n L L L L dx L x n L x m b dx L x n L x m a L x m a dx L x m x f π π π π π π (2.10) 右辺の第一項は(2.4)より任意のmに対して0、 {}の内は、(2.5)、(2.7)より２番目の積分がm=nの時だけが0でない

以上、まとめるとb_mについては よって ) , 2 , 1 ( sin ) ( = = ⋅ ⋅⋅

∫

− _L dx b L m x m x f _m L L

π

) , 2 , 1 ( sin ) ( 1 ⋅⋅ ⋅ = =

∫

− _L dx n x n x f L b L L n

π

(2.11) ※以上の計算では、(2.2)の右辺の級数がf(x)に一様に収束するとして、 和と積分の順序を入れ替えた。

) , 2 , 1 , 0 ( cos ) ( = ⋅ ⋅⋅ =

∫

− f x _L dx n L a L n (2.9) ) , 2 , 1 ( sin ) ( 1 ⋅⋅ ⋅ = =

∫

− _L dx n x n x f L b L L n π (2.11) によって定義されたa_n,b_nをフーリエ係数（もしくはスペクトル） と呼び、これらの係数を代入して得られる級数 をf(x)に対するフーリエ級数と呼ぶ。 f(x)に対するフーリエ級数が収束し、その和がf(x)であるなら ば、その級数をf(x)のフーリエ級数といい、以下のように書く

∑

∞ =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

+

1 0

_cos

_sin

2

_n n n

L

x

n

b

L

x

n

a

a

π

π

_(2.12)

∑

∞ =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

+

=

1 0

sin

cos

2

)

(

n n n

L

x

n

b

L

x

n

a

a

x

f

π

π

_(2.13)

例題１

) ( ) 2 ( ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) ( x f x f x x x f = + ⎩ ⎨ ⎧ < < < < − − = π π π 以下の式に示す周期2

π

の関数をフーリエ級数で表せ x f(x) -1 1 -π π 2π 周期2L=2

π

、すなわちL=

π

として、公式(2.9)、(2.11)を用いる

[

( 1)

]

0 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 ) ( 1 0 0 0 =

π

∫

₋ =

π

⎢⎣⎡

∫

₋ − +

∫

⎤⎥⎦ =

π

−

π

+

π

= π π π π f x dx dx dx a

例題１

) ( ) 2 ( ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) ( x f x f x x x f = + ⎩ ⎨ ⎧ < < < < − − = π π π 以下の式に示す周期2

π

の関数をフーリエ級数で表せ x f(x) -1 1 -π π 2π ) 0 ( 0 sin 1 sin 1 1 cos 1 cos ) 1 ( 1 cos ) ( 1 0 0 0 0 ≠ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− + ⋅} = = − − −

∫

∫

∫

n nx n nx n nxdx nxdx nxdx x f a_n π π π π π π

π

π

π

例題１

) ( ) 2 ( ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) ( x f x f x x x f = + ⎩ ⎨ ⎧ < < < < − − = π π π 以下の式に示す周期2

π

の関数をフーリエ級数で表せ x f(x) -1 1 -π π 2π

{

− −

}

= ⋅ ⋅⋅ = − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− + ⋅} = = − − −

∫

∫

∫

, 3 , 2 , 1 ) 1 ( 1 2 ) cos 1 ( 2 cos 1 cos 1 1 sin 1 sin ) 1 ( 1 sin ) ( 1 0 0 0 0 n n n n nx n nx n nxdx nxdx nxdx x f b n n

π

π

π

π

π

π

π π π π π π

例題１

) ( ) 2 ( ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) ( x f x f x x x f = + ⎩ ⎨ ⎧ < < < < − − = π π π 以下の式に示す周期2

π

の関数をフーリエ級数で表せ x f(x) -1 1 -π π 2π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ + + +⋅ ⋅⋅} = x x x x x f sin7 7 1 5 sin 5 1 3 sin 3 1 sin 4 ) (

π

従ってf(x)のフーリエ級数は(2.13)より、次式のようになる。

-3 -2 -1 1 2 3 -1 -0.5 0.5 1 n=1

例題１

) ( ) 2 ( ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) ( x f x f x x x f = + ⎩ ⎨ ⎧ < < < < − − = π π π x f(x) -1 1 -π π 2π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ + + +⋅ ⋅⋅} = x x x x x f sin7 7 1 5 sin 5 1 3 sin 3 1 sin 4 ) ( π -3 -2 -1 1 2 3 -1 -0.5 0.5 1 n=5 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -0.5 0.5 1 n=3 -3 -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 n=10000 Mathematicaでの計算例

偶関数と奇関数 f(-x)=f(x)ならば、f(x)は偶関数 ：例 cosax f(-x)=-f(x)ならば、f(x)は奇関数 ：例 sinax 周期2Lを持つ偶関数f(x)のフーリエ級数は、cosの項だけが残り、 フーリエ余弦級数 周期2Lを持つ奇関数f(x)のフーリエ級数は、sinの項だけが残り、 フーリエ正弦級数 ) , 2 , 1 , 0 ( cos ) ( 2 cos 2 ) ( 0 1 0 ⋅⋅ ⋅ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + =

∫

∑

∞ = n dx L x n x f L a L x n a a x f L n n n π π (2.14) ) , 2 , 1 ( sin ) ( 2 sin ) ( 0 1 ⋅⋅ ⋅ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = =

∫

∑

∞ = n dx L x n x f L b L x n b x f L n n n π π (2.15)

３．フーリエ積分、フーリエ変換をしてみる

３．１ フーリエ積分とは フーリエ級数： 周期2Lを持つ関数f(x)を、三角関数の無限級数で表した （展開した） では、周期的でない関数（無限に続かない関数、例えば 光や音など）に対してはどうすれば？ 「周期的でない」⇒周期2L→∞ L→∞のとき、フーリエ級数はフーリエ積分になる

３．２ フーリエ積分 周期2Lを持つ周期関数f_L(x)が、フーリエ級数により表さ れている。即ち、(2.9)、(2.10)、(2.11)より ただし、(3.2)では積分変数uとした。

∫

− = L L L n du L u n u f L a 1 ( )cos π (3.2)

∫

− = L L L n du L u n u f L b 1 ( )sin π

∑

∞ =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

+

=

1 0

sin

cos

2

)

(

n n n L

L

x

n

b

L

x

n

a

a

x

f

π

π

_(3.1)

(3.2)を(3.1)に代入する。 新しい記号 を導入。これらを使って、(3.3)は以下のようになる。

∑

_∫

_∫

∫

∞ = − − − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ + = 1 sin ) ( sin cos ) ( cos 1 ) ( 2 1 ) ( n L L L L L L L L L L du L u n u f L x n du L u n u f L x n L du u f L x f π π π π (3.4) L L n n n n π ω ω ω π ω = , Δ = ₊₁ − = (3.3)

∑

_∫

_∫

∫

∞ = − − − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ Δ + = 1 sin ) ( sin cos ) ( cos 1 ) ( 2 1 ) ( n L L L n n L L L n n L L L L udu u f x udu u f x du u f L x f ω ω ω ω ω π (3.5)

ここでL→∞の極限を考える。周期を2Lとしたので、 は周期関数ではなくなる。非周期関数f(x)は絶対積分可能、 すなわち は存在する、と仮定する。（

ただしこれは自明ではない。

） (3.5)の右辺第一項はL→∞では0である。残りの無限級数は、 L→∞で となる。

∑

∞

_∫

_∫

= ∞ ∞ − ∞ ∞ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ Δ = 1 sin ) ( sin cos ) ( cos 1 ) ( n n n n n L x x f u udu x f u udu f ω ω ω ω ω π ) ( lim ) (x f x f _L L→∞ = (3.6)

∫

−∞∞ f (x) dx

さらにL→∞では、

ω

_nは連続変数とみなせる、

Δω

→0である ことを考慮し、和を積分に変える。 (3.6)と(3.7)から、 すなわち、 これをf(x)のフーリエ積分表示と言う。

∑

∞

_∫

= ∞ → Δ Δ ⇒ 1 0 0 ( ) ( ) lim n n d F F ω ω ω ω ω ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ =

∫

∫

∫

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ ∞ − ∞ ω ω ω ω ω ω π x f u udud x f u udud x

f ( ) 1 cos ( )cos sin ( )sin

0 0 (3.7) (3.8)

[

]

∫

∫

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞

=

=

+

=

udu

u

f

B

udu

u

f

A

d

x

B

x

A

x

f

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

π

sin

)

(

)

(

cos

)

(

)

(

sin

)

(

cos

)

(

1

)

(

0

(3.8)は三角関数の加法定理より、 と書ける。(3.9)をフーリエ積分公式という。 (3.9) ※以上のフーリエ積分(3.9)の導出法は形式的なものであり、数学 的に厳密なものではない。厳密にはフーリエ積分(3.9)の収束性を 調べ、(3.6)を経由する手続きが正当であることを示す必要がある。

∫

∫

−∞∞ ∞

−

=

1

(

)

cos

(

)

)

(

0

d

duf

u

x

u

x

f

ω

ω

π

３．３ フーリエ変換 フーリエ積分公式(3.9)は、 と書き直せる。(3.10)はフーリエ積分公式の複素表示。これより、 ならば (3.10)

{

}

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∞ ∞ − − ∞ ∞ − ∞ ∞ − − ∞ ∞ − ∞ ∞ − − − − ∞ ∞ ∞ − ∞ = = + = − = x i u i u x i u x i u x i e e u duf d e u duf d e e u duf d u x u duf d x f ω ω ω ω ω ω π ω π ω π ω ω π ) ( 2 1 ) ( 2 1 2 1 ) ( 1 ) ( cos ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 (3.11)

∫

−∞∞ − = f u e du F(ω) ( ) iωu (3.12)

∫

−∞∞ = ω ω π ω d e F x f ( ) i x 2 1 ) ( フーリエ変換 フーリエ逆変換 ※cosθ=(eiθ_+e-iθ_)/2を使う

例えば、電子波の平面波などを扱う場合、 変数u,xが変位xであるので、振動数

ω

に対応する波数k=2

π

/

λ

を 用いて このとき F(k)はf(x)のフーリエ変換、 f(x)はF(k)のフーリエ逆変換という。 ※孫引き注意。積分の前の係数は、その積が1/2πであるように分ければよい。 (3.13)

∫

−∞∞ − = f x e dx k F( ) ( ) ikx (3.14)

∫

−∞∞ = F k e dk x f ( ) ikx 2 1 ) ( π フーリエ変換 フーリエ逆変換

例題２

⎩ ⎨ ⎧ > < = ) | (| 0 ) | (| ) ( a x a x b x f 左図で与えられる関数f(x)（矩形パルス） のフーリエ変換F(k)を求めよ x f(x) -a 0 b 2a a (3.11)より

(

)

k ka b e e ik b e ik b dx be dx e x f k F ika ika a a ikx a a ikx ikx sin 2 ) ( ) ( = − − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = = = − − − − − ∞ ∞ − −

∫

∫

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 0.5 1 1.5 2 a=1, b=1での計算結果 2ab a/π

例えば、音や光の振動を扱う場合、 変数u,xが時間であるので、u,x→tと変数の名前を変えて、 また（物理学では慣習的に）指数の符号を逆にして このとき F(

ω

)はf(t)のフーリエ変換、 f(t)はF(

ω

)のフーリエ逆変換という。 ※孫引き注意。積分の前の係数は、その積が1/2πであるように分ければよい。 以降、最終目標へ向け、この定義を用い、使用する変数はtとする (3.15)

∫

−∞∞ = f t e dt F(ω) ( ) iωt (3.16)

∫

−∞∞ − = ω ω π ω d e F t f ( ) i t 2 1 ) ( フーリエ変換 フーリエ逆変換

３．４ 特殊な関数のフーリエ変換 ３．２で仮定したように、 関数f(t)のフーリエ変換が存在するための十分条件は、 f(t)が絶対積分可能ということ、即ち なのだが、例えばsin

ω

t, cos

ω

tはこの条件を満たしていない。 このような関数のフーリエ変換は、どのようにすればよ いか？

そのための準備として、

３．５ ディラックのデルタ関数

δ

(t)

３．６ たたみこみの定理（たたみこみ積分）

に寄り道する

∞

<

∫

−∞∞

f

(

t

)

dt

３．５ ディラックのデルタ関数

δ

(t-a) 物理学で、瞬間に働く撃力や、大きさを無視した点電荷を 表すために

δ

_{(t-a)が用いられる}

δ

(t-a)は、以下のような性質（特異性）を持つ １．t=aの点を除き0 ２．t=aでは非常に大きく ３．t=aを含む区間で積分すると1 1 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( = − ⎩ ⎨ ⎧ = ∞ ≠ = −

∫

−∞∞ t a dt a t a t a t δ δ (3.17) t t =a デルタ関数δ_(t-a)

(3.19)

[

]

[

( ) ( )

]

( ) ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ( a f a f f f dt t f f dt a t t f a t t f dt a t t f a = − − = − = − − − = −

∫

∫

∫

β β β θ θ δ β β α β α β α ディラックのデルタ関数は、以下に示すヘビサイドの階段関数 の形式的な導関数とみなせる すると部分積分を使って、 任意の（性質の良い）関数f(t)に対し、

α

<a<

β

として ⎩ ⎨ ⎧ > < = − ) ( 1 ) ( 0 ) ( a t a t a t θ _(3.18) t t =a 階段関数θ(t-a) ※積分区間に注意 これをデルタ関数

δ

(t)の定義と考える ※ δ′_(t − _a) =θ_(t − _a)

３．６ たたみこみの定理（たたみこみ積分） いま、f₁(t)のフーリエ変換をF₁(

ω

) 、 f₂(t)のフーリエ変換をF₂(

ω

)とする。 ここでf₁(t)とf₂(t)のたたみこみ（convolution）というものを、 で定義する。 これのフーリエ変換を考えてみる。 (3.15)

∫

−∞∞ = f t e dt F(ω) ( ) iωt (3.16)

∫

−∞∞ − = ω ω π ω d e F t f ( ) i t 2 1 ) ( (3.20)

∫

−∞∞ − = f τ f t τ dτ t f t f₁( )* ₂( ) ₁( ) ₂( )

[

]

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * ) ( 2 1 2 1 ) ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ω ω ω τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ ωτ ωτ τ ω ω ω ω F F F d e f d e dt e t f f d dt e t f f dt e d t f f dt e t f t f i i t i t i t i t i = ⋅ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ =

∫

∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − つまり、 f₁(t)*f₂(t)のフーリエ変換は、F₁(

ω

)F₂(

ω)

である と判る。すなわち、 たたみこみのフーリエ変換は、フーリエ変換の積 これをたたみこみの定理と言う。 ※積分の順序を交換した

３．７ デルタ関数

δ

_{(t)と関数f(t)のたたみこみ} これより、 デルタ関数

δ

_{(t)と関数f(t)のたたみこみは、f(t)そのものに等しい。} ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * ) ( t f d t f d t f t t f = − = − =

∫

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − τ τ δ τ τ τ δ τ δ ※デルタ関数の定義(3.19)で α=-∞、β=∞と考えて ※デルタ関数は偶関数、δ(-t)=δ(t) (3.21)

例題３

たたみこみの定理を用いて、デルタ関数

δ

(t)のフーリエ変換を求めよ。 (3.15)より とする。まず、たたみこみの定理より、 f(t)*

δ

(t)のフーリエ変換は、フーリエ変換の積F₁(

ω

) F₂(

ω

)となる。 また(3.21)より これよりf(t)*

δ

(t)のフーリエ変換は、F₁(

ω

)になる。 以上より、 ) ( ) ( * ) (t t f t f δ =

∫

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − = = dt e t F dt e t f F t i t i ω ω δ ω ω ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1

∫

−∞∞ = = = 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 dt e t F F F F t iω

δ

ω

ω

ω

ω

⇔ デルタ関数の フーリエ変換は１ (3.22)

３．８ デルタ関数のフーリエ変換の絶対値は１、の意味 フーリエ級数の係数列及び、 フーリエ変換後の関数をスペクトルと呼ぶ デルタ関数

δ

(x)の、フーリエ変換F(k)=1

F

[

δ

(x)]=1 逆に言うと、 あらゆる波数kのフーリエ成分を同じ割合で含んでいる関数 F(k)(=1)のフーリエ逆変換が、デルタ関数

δ

(x)

F

-1 _[1]=

_δ

_(x) である。

３．９ 続・特殊な関数のフーリエ変換 フーリエ変換の定義の式(3.16)に、逆変換の式(3.17)を代入する。 ただし、積分変数はt’ に変換する。 また、積分の順序は形式的に交換できるとする。 (3.19)式のデルタ関数の定義でt→t’、a→tとして 以上の二つを比較し、デルタ関数が偶関数であることを用いると、

∫

∫

∫ ∫

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − − ′ ∞ ∞ − − ∞ ∞ − ′ ∞ ∞ − − ′ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ′ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{′ ′} = = t d d e t f d e t d e t f d e F t f t t i t i t i t i ω π ω π ω ω π ω ω ω ω ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( t d t t t f t f =

∫

∞ ′ ′− ′ ∞ − ( ) ( ) ) ( δ

{ }

∫

∫

−∞∞ − ′ ∞ ∞ − − ′ ₌ = ′ − = − ′

_ω

π

ω

π

δ

δ

ω ω ω d e e d e t t t t i t t i t i t 2 1 2 1 ) ( ) ( ( )

(3.23)をフーリエ逆変換の定義式(3.16)と比較する F(

ω

)は(3.23)の｛｝の中に対応し

δ

(t-t’)のフーリエ変換： すなわち任意のaに対して、

∫

−∞∞ − = ω ω π ω d e F t f ( ) i t 2 1 ) (

{ }

∫

−∞ − ′ = ′ −

ω

π

δ

ω ω d e e t t i t i t 2 1 ) ( (3.23) (3.16) t i t e F_′(ω) = ω ′

∫

−∞∞ − − = −

ω

π

δ

ω d e a t i (t a) 2 1 ) ( _(3.24)

ω₀ 2ω₀ ω -2ω₀ -ω₀ 0 F(ω)

例題４

これまでの結果を用いて、f(t)=cos(

ω

₀t)のフーリエ変換を求めよ。

(

)

[

]

[

]

[

]

[

( ) ( )

]

) ( ) ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ) cos( ) ( 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ω ω δ ω ω δ π ω ω δ ω ω δ π π π π ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω − + + × = + − + − − × = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ₊ × = + = + = + = =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∞ ∞ − − ∞ ∞ − + ∞ ∞ − − + ∞ ∞ − − ∞ ∞ − − ∞ ∞ − dt e dt e dt e e dt e e e e dt e e e dt e t F t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i ※オイラーの 公式を用いた ※（3.24）で t-a→ tとし ω→ ω-ω₀とした

４．１ 物理例１ フラウンホーファー回折

開口面 観測面 x₀ y₀ x y R S P O r f(x,y) dxdy r i ikr A u s P =

∫

λ ) exp( _(4.1) 光源も観測点も無限遠 ＝入射波も回折波も平面波 スクリーン上の観測点P(x₀,y₀)に おける回折波の振幅 開口の形を現す開口関数は ⎩ ⎨ ⎧ = ) S ( 0 ) S ( 1 ) , ( の外側 開口 の内側 開口 y x f (4.2)

[

ik R x x y y

]

dxdy y x f R i A dxdy ikr y x f R i A y x u_P

∫∫

∫∫

− + − + = = ∞ ∞ − 2 0 2 0 2 0 0 ) ( ) ( exp ) , ( ) exp( ) , ( ) , ( λ λ (4.3) (4.1)は この式は開口面に垂直な平面波が入射したときに起こる回折波の振幅分布を与える ※ホイヘンスの原理

2 0 2 0 2 ) ( ) (x x y y R r = + − + − (4.4) 開口面の一点から観測点Pまでの距離 Rは(x-x₀)や(y-y₀)に比べて十分大きいので以下のように近似できる。

[

− + −

]

−

[

− + −

]

+⋅ ⋅⋅ + = ₂ 2 0 2 0 3 2 0 2 0 ( ) ( ) 8 1 ) ( ) ( 2 1 y y x x R y y x x R R r _(4.5) ここでRの条件として ( ) 2 1 _{2 2} y x r R >> + λ (4.6) とすると、

[

]

[

]

) ( 2 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 2 2 0 2 0 y x R yy xx R R yy xx R y x y x R R y y x x R R r + + + − ≈ + − + + + + = − + − + = (4.7) (4.7)を(4.3)に代入し、 dxdy yy xx R ik y x f y x R k i ikR R i A y x u_P = ⋅ ⎡_⎢⎣ ( + )_⎥⎦⎤×

∫∫

( , )exp⎡_⎢⎣− ( + )⎤_⎥⎦ 2 exp ) exp( ) , ( _{0 0 0}2 ₀2 _{0 0} λ (4.8) ※物体が10cm四方、 波長500nmで、R>>5km

(4.10)はまさにフーリエ変換そのものである フーリエ変換そのものが光の強度分布として直接観測される 数学的な抽象的概念ではなく、 フーリエ変換そのものが一つの物理的意味を持つ ⎩ ⎨ ⎧ = = R y R x y x λ ν λ ν / / 0 0 (4.9) と置くと(4.8)よりPでの振幅強度は

[

i x y

]

dxdy y x f A u_P(ν_x,ν _y) = ′

∫∫

∞ ( , )exp − 2π ( ν _x + ν _y) ∞ − (4.10) が得られる。ただし、 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ ⋅ = ′ ( ) 2 exp ) exp( x₀2 y₀2 R k i ikR R i A A λ (4.11)

開口面 観測面 x₀ y₀ x R S P r O y D_y D_x 大きさがD_x×D_yの矩形開口の フラウンホーファー回折を考える 0 0 0 0 2 / 2 / 2 / 2 / 0 0 0 0 2 2 sin 2 2 sin ) ( exp ) , ( y R kD y R kD x R kD x R kD D D A dxdy yy xx R k i A y x u y y x x y x D D D D P x x y y ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡_{− +} ′ =

∫ ∫

− − (4.12) (4.10)より観測面での回折の振幅は -4 -2 2 4 D x0 ･･････････････ lR 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ･₀ -4 -2 2 4 D x0 ･･････････････_l R -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ･₀ 矩形開口のフラウンホーファー回折（振幅分布） 矩形開口のフラウンホーファー回折（強度分布）

４．２ 物理例２ 結晶構造解析

∑

− ⋅ = h c c e F h ih r v r r r r r r 1 _{( )exp( )} ) ( ρ _(4.18) 結晶構造因子F_c(h)は、結晶の周期的な電子密度分布ρ_e(r)のフーリエ係数に比例 X線回折から|F_c(h)|2を測定し、それからρ e(r)を決めれば、結晶構造が求まる X線の電子による散乱を考える。 X線の入射波を平面波とする。 原点からrの位置にある多数の電子群（静的な電荷の雲）による散乱 X線の散乱の角度分布 周期的な結晶構造の場合、bが逆格子点の一つhに一致したときのX線の散乱強度 ) exp( ) ( ₀ 0 r A ik r u r = r⋅ r _(4.13)

∫

− ⋅ = ikR r ib r dr R A r u_s(r) ₀ ϕ(θ) exp( ) ρ)_e(r)exp( r r) r (4.14)

∑

− = j j e(r) (r r ) r r r ) _δ ρ ：電荷密度分布 (4.15) k k b r d r b i r b F r =

∫

)_e r r⋅ r r r = r′− r 系全体 ) exp( ) ( ) ( ρ (4.16) 系の構造因子 ) ( ) ( ) ( ) (h 2 F h 2 N₁N₂N₃ 2 F h F r = _c r _c r ：結晶構造因子 (4.17)

４．３ 物理例３ AM変調

例えばAMラジオ

浜村淳の声（信号波f(t)、様々な周波数含む）を遠くに送りたい

周波数一定（MBSなら1179kHz）の高周波（搬送波）cosω_ctを

信号波によって変調（modulation）したものであるf(t)cosω_ctを送信

振幅変調（amplitude modulation, AM）

[

( ) ( )

]

) cos( ) ( c c t i c c t e dt F ω ω δ ω ω δ π ω ω ω − + + × = =

∫

∞ ∞ − 搬送波cos

ω

_ctのフーリエ変換F_c(

ω

) 物理現象のフーリエ解析 65pより

３．６より、積のフーリエ変換はフーリエ変換のたたみこみなので、 f(t)cosω_ctのフーリエ変換は AM信号が送られてきたら、検波（detection,demodulation）すれば、 元の信号f(t)を分離することが出来る。 各家庭で浜村淳の声が聞こえる。

[

]

[

]

[

( ) ( )

]

2 1 ) ( ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( * ) ( 2 1 ) ( * ) ( c c c c c c c F F d F F F F ω ω ω ω π ω ω ω ω δ ω ω ω δ ω π ω ω δ ω ω δ ω π ω ω − + + = ′ ′ − − + ′ − + ′ = − + + =

∫

−∞∞ ※前頁図右下参照

参考文献

フーリエ変換について １．岩波物理入門コース10 物理のための数学 和田三樹（岩波） ２．物理現象のフーリエ解析 小出昭一郎 （東大出版会） ３．岩波講座 応用数学 Fourier-Laplace解析 木村英紀 （岩波） ４．物理数学の直観的方法 長沼伸一郎 （通商産業研究社） ５．光とフーリエ変換 谷田貝豊彦 （朝倉） 物理数学全般について ６．数学 -物理を学び楽しむために- 田崎清明 暫定版 （学習院物理学科WEBよりPDF入手可能） は、ぜひ入手し、第１章だけでも良いので読んでみることをお勧めする。 本講義資料 http://mswebs.naist.jp/LABs/optics/tomita/jpn/lec_j.htm

) , 2 , 1 , 0 ( cos ) ( = ⋅ ⋅⋅ = ∫ − f x _L dx n L a L n (2.9) ) , 2 , 1 ( sin ) ( 1 _{= ⋅ ⋅⋅} = _∫ − _L dx n x n x f L b L L n π (2.11) ∑∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ + = 1 0 _{cos sin} 2 ) ( n n n L x n b L x n a a x f π π _(2.13) ) , 2 , 1 , 0 ( cos ) ( 2 cos 2 ) ( 0 1 0 ⋅⋅ ⋅ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + = ∫ ∑∞ = n dx L x n x f L a L x n a a x f L n n n π π (2.14) ) , 2 , 1 ( sin ) ( 2 sin ) ( 0 1 ⋅⋅ ⋅ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ∫ ∑∞ = n dx L x n x f L b L x n b x f L n n n π π (2.15) フーリエ級数 フーリエ余弦級数 フーリエ正弦級数 (3.8) [ ] ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ = = + = udu u f B udu u f A d x B x A x f ω ω ω ω ω ω ω ω ω π sin ) ( ) ( cos ) ( ) ( sin ) ( cos ) ( 1 ) ( 0 フーリエ積分表示 (3.15) ∫−∞∞ = f t e dt F(ω) ( ) iωt (3.16) ∫−∞∞ − = ω ω π F e ωd t f ( ) i t 2 1 ) ( フーリエ変換 フーリエ逆変換 (3.19) ) ( ) ( ) (t t a dt f a f − = ∫αβ δ (3.20) ∫−∞∞ − = f τ f t τ dτ t f t f₁( )* ₂( ) ₁( ) ₂( ) デルタ関数 たたみこみ積分