Representations of Lie Superalgebras, II

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(1)Title. Author(s). Citation. Issue Date. Representations of Lie Superalgebras, II( Abstract_要旨 ). Furutsu, Hirotoshi. 京都大学. 1991-03-23. URL. https://doi.org/10.11501/3052915. Right. 本文は出版社の許諾条件により公開していません. Type. Thesis or Dissertation. Textversion. author. Kyoto University.

(2) 【2 6】 ふる. つ. ひろ. とし. 名. 古. 津. 博. 俊. 学 位 の 種 類. 理. 学. 博. 士. 学 位 記 番 号. 理. 学位授与の 日付. 3日 平 成 3年 3月 2. 学位授与の要件. 学 位 規 則 第 5 条 第 1項 該 当. 研 究 科 ・専 攻. 理 学 研 究 科 数 学 専 攻. 学位 論文題 目. Repr es e nt at i onsofLi e Super al ge br as ,Ⅱ ( 超 リー代数の表現 Ⅰ). 論文調査委員. 教 授 平 井. 氏. 博. 2 9 3号 第 1. ( 主 査). 論. 文. 武. 教 授 池 部 晃 生. 内. 容. の. 要. 教 授 岩 崎 敷 久. 旨. 超 Li e代数 ( Li es upe r a l ge br a) を含 む超対称性 の理論は,近年数学及 び物理学の両面 に於て重要 な役 割 を果たす ようになって来た。数学的側面 に於ては,V. G. Kac の仕事が大 きい。彼 は有限次元の単純超. Li e代数 を分類 し,更 にそれ らの有限次元表現 に関 して種々の結果 を与 えた。以来今 日まで多 くの人々が 超 Li e代数の表現 について研究 して来た。. e代数 とくに A型の ものについて, 申請者は年来 この方面の研究 を続 けて来たが,主論文では古典型超 Li その既約ユニ タリ表現の分類 と具体的構成 を取扱 っている。 この論文 に於て得 られた結果 を列挙す ると, ①ユニ タリ表現 とは何 か,その厳密 な定義 を与 えた。② A型 の超 Li e代数 s l ( m,n・ ,a; )( s pe c i a ll i ne a r. al ge br a)及 びその実型 に対 して, 自明でない既約ユニ タリ表現 を持つ ものを決定 した。③既約ユニ タリ 表現 は必ず最高 ウェイ トもしくは最低 ウェイ トを持つ ことを示 した。④ さらに,限定 された場合であるが,. s l ( m,1;α)及 びその実型のそれぞれについて,既約ユニ タリ表現 の分類 とその実現 を与 えた. ここで e代数のユニタリ表現 に関す る既知の結果 を有効 に利用す ることである の手法は,普通の Li. 。. これに引続 く仕事 として,参考論文 〔4〕 では,一般の s l ( m,n;α)及びその実型の各々に対 して, 既約ユニタリ表現の分類 を完成 し,それ らの実現 について も論 じた。 ここでは主論文 と異なった方法が用. 2 2,m ; R)( or t hos ympl e c t i ca l ge br a) の Os c i l l a t or表現 に関す る い られてお り,西 山享氏 による OSp( 結果 を本質的に使 っている。 その他の参考論文の結果 は主論文 に先行す る先駆的な ものであ り,重要な示 唆 を与えるものである。 以上のように,主論文 は参考論文 〔4〕と合せ ると, A型の超 Li e代数 に対す る既約ユニ タリ表現の分 類 を完成 してお り, これ らの表現の具体的構成 について も基本的には解決 している。 論 文 審 査 の 結 果 の 要 旨 超対称性 をめ ぐる理論 は,数学,物理学双方 に於てほ ゞ同時期 に始 ま り,現在 は重要な位置 を占めるま - 73 -.

(3) でになった。中で も,特 に超 Li e代数に関す る研究が盛 んである。 戎物理学者達 は特別な超 Li e代数の既 約ユニタリ表現 に,重要 な意味付 けを与 えている。彼等の言わん とす るところが,数学的には何 を意味 し, どう定式化 されるのか,は興味ある問題である。 こうした背景の中で,申請者の研究 は, まずユニタリ表現 の数学的定式化 を与 えたのち,古典型超 Li e 代数の既約ユニ タリ表現の分類 とその具体的な構成, を目指 している。主論文では,古典型の うち A型 と 呼 ばれ る もの :s l ( m,n;a) もしくはその実型,のユニ タ リ表現 を研 究 しているが, これ は参考論文. 〔4〕の結果 と合せ ると完結 した もの とな り, ( イ) 既約ユニ タリ表現 をその最高 (もしくは最低 )ウェイ トでパ ラメ トライズ し, さらに, ( ロ) これ らの表現 を具体的に構成 し,その構造 を調べている。 普通 の ( s upe rで はない)半単純 Li e代 数 の既約ユ ニ タ リ表現 の うち,最高 ウェイ トを持つ もの は Enr i gh卜Howe-W al l ac hによ り決定 されたが, 申請者の研究 に於て最終的には彼等の結果 を使 わな くて も済むことが分 った。 然 し乍 ら,西 山享 による OSp( 2 2,m ・ ,R)の Os c i l l a t or表現 に関す る結果 は,本質的に使 われている。 この表現 は,s ympl e c t i cgr oup Sp( 2 m,R)の W e i l表現 の類似物であ り,種々の興味ある性質を持 って hi wa r a-Ve r gneが,s ympl e c t i cgr oupsで実行 した " We i l表現 のテ ンソル積 の分 いる。 申請者 は,Kas 解" に類す る方法 を用 いた。 まずテ ンソル積 によ り,大 きな超 Li e代数 OSp( 2 L,M ;R)-9′の表現 J T を得 る。つ ぎに問題の超 Li e代数 9を 9 ′に自然 に埋め込 んで,制限 J TF gを考 え,その既約成分 を,最高 ウェイ トベ ク トルを与 えることによ り,拾い出 している。 こうして得 られた gの表現が,既約ユニタリ表 現全てをつ くしていることが示 される。 以上,( イ) ,( ロ) の結果の重要性 もさること乍 ら,上述のような " a nal ogy"が成立 していることは,意味 あ り気で,今後の研究方向の指針 として も注 目すべ き点であろう。 なお主論文及 び参考論文に報告 されている研究業績 を中心 とし, これに関連する研究分野 について試問 した結果,合格 と認めた。. - 7 4-.

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