<論文>確率的キャッシュフローの評価 利用統計を見る

著者

飯原 慶雄

著者別名

Iihara Yoshio

雑誌名

経営論集

巻

54

ページ

83-93

発行年

2001-11-30

URL

http://id.nii.ac.jp/1060/00005544/

Creative Commons : 表示 - 非営利 - 改変禁止 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.ja

確率的キャッシュフローの評価

飯　原　慶　雄 １　無危険利率が一定の場合 　(1)　Black=Scholes 型オプション価格モデル 　(2)　リスクの市場価格 　(3)　確率的割引因子 ２　無危険利率が確率的な場合 確率変動するキャッシュフロー、特に、その変動が幾何ブラウン運動で表現できる場合のキャッ シュフローの評価額（現在価値）を求めることを考えてみる。時刻ｔから t＋dt までの間のキャッ シュフローがDｔdt で、Dｔの変動が （１）　　 という形で表すことができるものとする。ここで、μとσは定数で、ｄW はウィーナー過程であ る。幾何ブラウン運動の性質から、 （２）　　 であるから、もし、適切な割引率でキャッシュフローの期待値を割り引くことによりキャッシュフ ローが評価でき、かつその適切な割引率ｒが一定であるとすれば、時刻０から T までのキャッ シュフローの評価額は （３）　　 となる。ｒ＝μのときには、上の値はD０T になる。 ここでは、適切な割引率として一定値ｒが存在すると仮定したが、これはどのようにして求めら れるのか。また、割引率として無危険利率を使用し、ドリフト・レートμを修正することも考えら れるが、その場合どのような修正を行ったらよいのか。さらに、無危険利率が確率的に変動すると dW D dt D dD_t =µ _t +σ _t         +         − =

∫

t t D t dW D 0 2 0exp µ σ₂ σ

(

)

[

µ

]

[

_µ( )

]

σ σ µ µ − − = − =                 +         − − =       − − −

∫

∫

∫

∫

r e D dt t r D dt dW t r E D dt D e E T r T T t T t rt 1 exp 2 exp 0 0 0 0 0 2 0 0

したら、キャッシュフローの評価はどのようになるのか。こうした問題について考えてみたい。第 １節では無危険利率が一定の場合について考察し、第２節では無危険利子率が確率的に変動する場 合について考察する。 １．無危険利率が一定の場合 (1)　Black=Scholes 型オプション価格モデル Black=Scholes のオプション価格モデルでは、株価のドリフト・レートを無危険利率におきかえ て、権利行使時のオプションのペイオフの期待値を割引くことによりオプションの価格を求めてい る。Black=Scholes 型のオプション価格理論を利用するために、問題にしているキャッシュフロー を生み出すような資産が存在し、その資産が市場で取引されていて、その資産の時刻ｔでの価格が Sｔであるとする。Sｔを株価と考え、配当がない場合の株価の変動が （４）　　 であるとする。株価に比例する配当が連続的に支払われ、配当株価比率がδであると、配当支払い があるときの時刻t での株価は Sｔe－δtとなる。時刻t での株価 Sｔの時刻０での危険中立的確率の 下での割引期待価値はS０となるので、時刻t での株価が Sｔe－δtであるときの時刻０での危険中立 的確率の下での割引期待価値はS０e－δtとなる。時刻t から t＋dt までの間の配当はδSｔe－δtdt であ るから、時刻０から時刻T までの配当の時刻０での危険中立的確率の下での割引期待値は （５）　　 となる。この場合の配当をキャッシュフローと考え、δSｔ＝Dｔとすれば、キャッシュフローの評 価額はD０(1‐e －δＴ_{)／δとなる。なお、D} ｔ＝δSｔの変動は （６）　　 となるので、(1)式と比較することにより、μS＝μ、σS＝σ、ｄWS＝ｄW であることがわかる。 ただし、ここで S０がわからなければδを求めることができないので、これでは問題の解決にはな らない。しかし、(5)式と(3)式を比較すれば、δ＝ｒ‐μであることがわかり、ｒあるいはμを修 正するときの指針を与えてくれることになる。 (2)　リスクの市場価格 気温のような、それ自体が取引の対象でないものであっても、それに対するディリバティブ（天 S t S t S t Sdt SdW dS =µ +σ ) 1 ( 0 0 0 T T t_{dt S e} e S δ δ δ − _{= −} −

∫

S t S t S t Ddt DdW dD =µ +σ

候ディリバティブ）が取引されていれば、ディリバティブの価格から気温のリスクの市場価格を求 めることができる。いま、ディリバティブの対象となる変数（上の例では気温）X の変動が （７）　　 であるとする。X についての２種類のディリバティブの価格をｆ１とｆ２とし、ｆ１とｆ２がX とｔ の関数であるとすると、伊藤のレンマにより、 となる。そこで、それぞれのディリバティブをσ２ｆ２単位と－σ１ｆ１単位売買するポートフォリ オを考えると、そのポートフォリオの収益は となり、収益は確定的なものになる。したがって、裁定利益が生じないためには、この収益は、こ のポートフォリオの価格に無危険利子ｒｆdt をかけたものに等しくなければならない。すなわち、 （８）　　 が成立しなければならない。この条件は （９）　　 と書きなおすことができる。X にたいするディリバティブの価格のドリフト・レートをμｄ、ボラ ティリティをσｄとすると、無裁定条件が成り立つならば、X に対するディリバティブである限り、 すべてのディリバティブについて、（μｄ－ｒｆ）／σｄは等しくなる。この値をλで表し、X のリ

スクの市場価格(market price of risk)と呼ぶ。リスクの市場価値が求まると、X に対するディリバ

ティブの価格は容易に求まる。すなわち、X のドリフト項μｘをμｘ‐λσｘに変更した上で、満期 時の X の確率分布を求める。X に対するディリバティブの価格は、満期時の X の関数として決ま るペイオフにたいして満期時の X の確率分布を使って期待値を求めこれを無危険利率で割り引け ばディリバティブの価格が求まる。 X X XXdt XdW dX =µ +σ ) 2 , 1 ( ) 2 , 1 ( 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 =       ∂ ∂ = =         ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + = + = i f X f i f t f X f X X f X dW f dt f df dW f dt f df i i x i i i i X i X i X X σ σ µ σ µ σ µ σ µ

(

σ₂µ₁−σ₁µ₂

)

f₁f₂dt

(

)

f f dt

(

)

f f dt r_f σ₂−σ_{1 1 2} = σ₂µ₁−σ₁µ_{2 1 2} 2 2 1 1 σ µ σ µ rf −rf = −

キャッシュフローはそれ自体キャッシュフローのディリバティブと考えることができるので、 キャッシュフローの市場価格λを知ることができれば、将来のキャッシュフローの変動が(1)式で 表されるときには、時刻 t からt＋dt までのキャッシュフローの危険中立的(risk neutral)期待値は D０e(μ－λσ)ｔdt となり、これを無危険利率ｒｆで割引いた D０e－（ｒ－μ＋λσ）ｔdt が時刻０でのキャッ シュフローの評価額となる。λが一定であれば、時刻０から時刻 T までのキャッシュフローの現 在価値は となる。したがって、この場合、ドリフト・レートμからλσを差し引いたものを修正ドリフト・ レートとし、この修正ドリフト・レートを使ってキャッシュフローの期待値を求め、さらに無危険 利率を割引率として現在価値を求めることにより、キャッシュフローの現在価値が求められること を示している。また、無危険利率にリスク・プレミアムとしてλσを加えたものを割引率としても キャッシュフローの現在価値を求めることができる。 (5)式と比較すれば （10）　　 となることがわかる。 (3)　確率的割引因子 投資家のｔ期の消費 Cｔ(t＝0, 1, 2,…)からの効用がＵｔ(Cｔ)で、投資家は各期間の消費からの 効用の期待値の合計を最大にするものとする。最初に簡単化のため２期間モデルで考える。ｔ期の 価格がＰｔで、ｔ＋１期にＸｔ＋１のペイオフ(配当)が得られる資産をξ単位購入する。投資家の最 適計画は の解となる。ここで、eｔと eｔ＋１は資産以外からの収入で、これは確定的で、Ｘｔ＋１は不確実であ るとする。最大化のための第１次条件は （11）　　 となる。

(

µ λσ

)

λσ µ _{− +}     − − − + f T r _r e D ( f ) 0 1 λσ µ δ = r− +

( )

[

( )

]

ξ ξ ξ 1 1 1 1 1 + + + + + + = − = + t t t t t t t t t t t X e C , P e C C U E C U imize max

[

' 1 1 1

]

'_{( ) ( )} + + + = t t t t t t tU C E U C X P

（12）　　

とすると、(11)式は

（13）　　

となる。ｍｔ＋１は資産から生じる将来のキャッシュフローにこれをかけて期待値を求めると資産価

格が得られることから確率的割引因子(stochastic discount factor)と呼ばれる。また、限界代替率 (marginal rate of substitution)あるいはプライシング・カーネル(pricing kernel)と呼ばれることもある。

資産からの将来のキャッシュフローが、ｄｔ＋１，ｄｔ＋２，…であると から、期待効用最大化の第１次条件は （14）　　 となる。 （15）　　 とすれば、上の条件は （16）　　 となり、資産価格は、将来のキャッシュフローに確率的割引因子ｍｔ＋ｉをかけて合計したものの期 待値となる。 連続時間モデルでは、時刻ｔからｔ＋dt までの配当が Dｔdt で、その間の消費 Cｔdt からの効用 がe－ρｔ_Ｕ(Ｃ ｔ)dt で表すことができると、(14)式に対応する式は （17）　　 となる。 （18）　　 ) ( ) ( ' 1 ' 1 1 t t t t t C U C U m₊ = + +

[

+1 +1

]

= t t t t E m X P ) 2 1 ( 0 ⋅⋅ ⋅ = + = + =         + + + ∞ = + +

∑

, , i d e C , P e C ) C ( U E imize max i t i t i t t t t i i t i t t ξ ξ ξ

[

]

        =

∑

∞ = + + + 1 ' '_{( ) ( )} i i t i t i t t t t tU C E U C d P ) ( ) ( ' ' t t i t i t i t U C U C m₊ = _{+ +}

[

]

        =

∑

∞ = + + 1 i i t i t t t E m d P

∫

∞ − − ₌ t s s ' t t t ' t te U C E e U C Dds P ρ ( ) ρ ( ) ) ( ' t t t =e−ρU C Α

とすると、上の条件は （19）　　 となる。(19)式の右辺は となるので、(19)式は となり、両辺をPｔΑｔで割ることにより （20）　　 という関係が得られる（添字のｔは省略）。 いま、無危険資産が存在し、時刻ｔからｔ＋dt までの無危険利率がｒtfdt であるとする。利子の 支払があれば、ｔ＋dt でのこの無危険資産の価格の時刻ｔでの期待値は時刻ｔでの価格に等しい ので、(20)式の資産を無危険資産とすると、 から、 （21）　　 となる。(18)式に伊藤のレンマを適用すると

∫

∞Α = Α t s s t t t E Dds P

[

_{t dt t dt}

]

_{t t t t t}

[

( _{t t})

]

t t t t s s t Dds Ddt E P Ddt P E d P E

∫

∞Α =Α + ₊ Α₊ =Α + Α + Α

[

]

[

t t t t t t

]

t t t t t t t t d dP dP d P E dt D P d E dt D Α + Α + Α + Α = Α + Α = ( ) 0     Α Α + + Α Α + = dt E d dP_P dP_P d P D 0

[ ]

0 , = = tf t t t t _{dt r dt E dP} P D       Α Α − = t t t f t dt E d r 2 '' ' '' ' _{( )} 2 1 ) ( ) ( _t t _{t t} t _{t t} t t e U C dt e U C dC e U C dC dΑ =−ρ −ρ + −ρ + −ρ

あるいは、 （22）　　 となる。 効用関数がべき型で、U(C)＝C１－γ_{／(1－γ)であり、C} ｔの変化が （23）　　 で表すことができれば、(22)式は となり、(21)式を考慮すれば （24）　　 となる。 無危険利率が一定値ｒｆであれば、 （25）　　 となり、Dｔの変動が と表すことができ、時刻０から時刻T までキャッシュフローが発生するときには、(19)式は （26）　　 となる。ここで、βC dt＝σσC dW dWCである。したがって、γβCが先のリスクの市場価格を使用 したときの修正項λσに対応することになる。 2 2 2 ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( t t t ' t '' ' t t t t ' t '' t t t C dC C U C U C C dC C U C U C dt d + + − = Α Α _ρ C t C t C t Cdt CdW dC =µ +σ C C C C t t _{( ) dt dW} d γσ σ γ γ γµ ρ  −      _{+ − +} − = Α Α ₁ 2 2 1 2 1 2 1 C C f t C C f t t t _{r dt dW , r ( )} d σ γ γ γµ ρ γσ = + − + − − = Α Α

( )

_   − −       + − Α = Α

∫

s t C C C f t s exp r ₂1γ2σ2 s t γσ dW dW D dt D dD_t = µ _t +σ _t

(

)

[

]

(

)

C f T r T C f T t t C C C f r e D dt t r D dt dW dW t r E D P C f γβ µ γβ µ σ γσ σ γ σ µ γβ µ + − − = − − =                 + −         − − − = + − −

∫

∫

∫

∫

1 exp 2 1 2 exp 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0

２．無危険利率が確率的な場合 無危険利率ｒtfの変動についてVasicek 型を仮定する。 （27）　　 キャッシュフローの変動については、前節と同様 であるとする。新しい変数として、 を考える。 となるので、 となり、X０＝ｒ０であることから （29）　　 となる。 まず、キャッシュフローを無危険利率で割引いた期待価値を求めてみる。当然、リスクを考慮し なければならないのであるが、前節で無危険利率が一定の場合にはμを修正することにより、リス クを考慮することができることがわかっているので、ここでもμを修正することによりリスクを処 理できるものとして、（28）式のμはリスク修正後のものであるとして、割引計算を行う。ｒtfが 変動する場合、割引因子は exp(‐ｒtf)の代わりに、exp(‐∫0tｒtfｄτ)となるので、∫0tｒtfｄτを 先に求めておく。積分の結果は

となる。利率a、期間ｔの年金の現在価値を表す（１－e－aｔ_{）／a を B(t)で表し、Vasicek モデルで}

(

tf

)

r r f t b ar dt dW dr = − +σ dW D dt D dD_t =µ _t +σ _t at f t t r e X ₌

(

r r

)

at at f t f t at t e dr ar e dt e bdt dW dX = + = +σ

( )

_∫

∫

∫

+ = + − + + = at r t as r t r as r t _as t X b e ds e dW X be a e dW X 0 0 0 0 0 σ 1 σ

(

−

)

_∫

− ( )− − _{+ − +} = t o r s t a r at at o t re b e a e dW r 1 σ r t at r at at t f t d r _ae _ab t _ae e_a dW r

∫

∫

− − _+ − − −       ₋ − + − = 0 ) ( 0 0 1 1 1 τ σ τ

無危険利率の長期的な回帰水準となるb／a をrで表すと上の式は （30）　　 と表せる。キャッシュフローが永久に続くものとすれば、キャッシュフローの割引期待値は （31）　　 となる。 であるから、σｒσdWdWｒをβｒdt で表すことにすると、(31)式は （32）　　 となる。Vasicek モデルでは、満期までの期間がｔで、現在の無危険利率がｒ０のときのゼロ・ クーポン債（割引債）の価格をＢ０(ｒ０,ｔ)とすると、 （33）　　 となるので、これを使ってプロジェクトの評価額を表せば、 （34）　　 となる。したがって、キャッシュフローの期待値D０e μｔ_をＤ ０exp(μt‐βr(ｔ‐B(t))／a)に修正し た上で、これに割引債価格をかけで合計したものがプロジェクトの評価額になる。a は正の値をと ると考えられるが、a が正であると B(t)はｔより小さくなるので、利子率が上昇するときにキャッ シュフローが増加するようであれば、キャッシュフローの修正額は減少し、キャッシュフローが減

∫

trfd =rBt +r t−Bt + r

∫

tBt− dWr 0 τ τ 0 () ( ()) σ 0 ( τ)

(

)

[ ]

∫

∞ _      − −         + − − − = 0 2 2 2 2 0 0 0 () ₄() 2 ) ( exp dt a t B t B t a a r t B r t D P µ σr βr σr

(

)

[ ]

        − −         − − − =         = −

∫

t Bt B_at a r t B r e E t r B r d r r t f 4 ) ( ) ( 2 ) ( exp ) , ( 2 2 2 2 0 0 0 σ σ τ τ

(

)

∫

∞       _{− −} = 0 0 0 0 D B(r ,t)exp t _a t B(t) dt P µ βr                 − − − − − +         − =         =

∫

∫

∫

∫

∞ ∞ −

_∫

0 0 0 0 2 0 0 0 ) ( )) ( ( ) ( 2 exp 0 dt dW t B t B t r t B r dW t D E dt D e E P t r r t t d r t _f τ σ σ σ µ τ τ

[ ]

      _{− −} =         ₋ + − − = + − =               − − − − − −

∫

∫

2 2 2 2 0 2 ) ( 2 ) ( 0 ) ( 2 ) ( 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 ) ( exp t B a t B t a a e a e t a d a e e dW t B E at at t at at t r τ τ τ τ

少するようであれば、修正額は増加する。キャッシュフローの変動と利子率の変動が独立であれば、 キャッシュフローの期待値と利子率の期間構造だけからプロジェクトの評価額を求めることができ る。キャッシュフローの変動と利子率の変動が独立で、μが零であれば、キャッシュフローの期待 値 D０に単位時間当たり１単位の金額をクーポンとする永久債の価格をかけたものがプロジェクト の評価額となる。 次に確率的割引因子の利用について考える。前節の(25)式に、無危険利子率についての Vasicek モデルでの利子率(29)式を代入すると、 （35）　　 となり、これにキャッシュフローをかけて合計したものの期待値を求めると、 （36）　　 となる。ただし、σ_CσｒdWCdWｒ＝βCrdt である。このモデルでは割引債の価格は （37）　　 となり、先の（33）式と比較すると指数関数のべき項がγβ_Cr(t‐B(t))だけ異なっている。しかし、 利子率モデルを実際に利用するときには、実際のイールド・カーブと一致するようにパラメータを 決定する場合が多いので、rの推定が異なるだけであると考えることができるであろう。満期まで の期間ｔの割引債の価格をB(r,ｔ)とすると、 （38）　　 となるので、確率的割引因子によるプロジェクトの評価は、無危険利率が一定の場合と同様にμを μ‐γβ_Cに修正した上で、無危険利率が変動することによる効果として時刻ｔでのキャッシュフ       − − − − − − − Α = Α

∫

C C

∫

t C t r r t r Bt r t Bt Bt dW t dW 0 2 0 0 0exp () ( () σ ( τ) ₂1γ σ γσ

(

)

[ ]

(

t Bt

)

(

t B t

)

dt a t t B a t B t a t B t r t B r t D dt dW t B dW dW t t B t r t B r t E D P Cr r C r r r t C C t C   − + − − −           _{− −} + − − − =        − − − +         − − − −         − =

∫

∫

∫

∫

∫

∞ ∞ ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( exp ) ( 2 1 )) ( ( ) ( 2 xp e 0 2 2 2 0 0 0 0 2 2 0 2 0 0 0 γβ β γβ σ µ τ σ γσ σ σ γ σ µ 　　 　　　　　　 　　　 　　　　　　

(

)

[ ]

        − −         − − − − = t Bt B_at a r t B r t r B r _Cr r 4 ) ( ) ( 2 ) ( exp ) , (_{0 0} σ2 γβ σ2 2

(

)

(

)

∫

∞  − − −  = 0 0 0 0 D B(r,t)exp t _a t B(t) dt P µ γβ_C βr

ローにexp[-βr(t-B(t))/a]をかけた上で、イールド・カーブに従った割引を行うことにより、評価

額が得られることになる。

参考文献

Cochrane, John H. (2001) Asset Pricing, Princeton University Press.

Bjork, Tomas(1998) Arbitrage Theory in Continuous Times, Oxford University Press. Hull, John C. (2000) Options, Futures, and Other Derivatives, 4th _{ed.,Prentice-Hall.}

Neftci, Salih N. (2000) An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives, 2nd _{ed., Academic Press.}