代数学1 No.8 2006. 6.14
2.4 行列の累乗
担当:市原行列の累乗
¶ ³
正方行列Aについて,
AAA· · ·A (n個の積) をAnと表し,Aのn乗という.
µ ´
例題 9 行列A= (
1 −1
1 0
)
に対して,A2,A3,A7を計算しなさい.
¶ 対角行列 ³
正方行列Aの(1,1)成分, (2,2)成分,. . ., (n, n)成分を,Aの対角成分という. 対角成分以 外の成分が全て0の行列を対角行列という.
µ ´
定理 7 (対角行列の累乗) A= (
u 0 0 v
)
に対して,
An= (
un 0 0 vn
)
が成り立つ. また,一般のm行m列の対角行列に対しても同様の事が成り立つ.
定理 8 (ケーリー・ハミルトンの定理) A= (
a b c d
)
に対して,
A2−(a+d)A+ (ad−bc)I =O が成り立つ.
例題 10 以下の行列の4乗を計算しなさい. (1)
(
1 1
3 −1 )
(2) (
3 −2
−12 8 )
(3) (
1 3
5 −4 )
8
代数学1 No.8 2006. 6.14
2.4 行列の累乗
担当:市原問題 19 以下の行列の7乗を計算しなさい.
(1)A= (
1 0
0 −2 )
(2)B =
−2 0 0
0 3 0
0 0 1
(3)C = (
0 1 1 0
)
(4)D=
(−3 1
1 0
)
(5)E =
(−5 3
−8 5 )
(6)F =
0 0 1 0 2 0 3 0 0