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2.4 行列の累乗

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Academic year: 2021

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(1)

代数学1 No.8 2006. 6.14

2.4 行列の累乗

担当:市原

行列の累乗

³

正方行列Aについて,

AAA· · ·A (n個の積) Anと表し,An乗という.

µ ´

例題 9 行列A= (

1 1

1 0

)

に対して,A2,A3,A7を計算しなさい.

対角行列 ³

正方行列A(1,1)成分, (2,2)成分,. . ., (n, n)成分を,Aの対角成分という. 対角成分以 外の成分が全て0の行列を対角行列という.

µ ´

定理 7 (対角行列の累乗) A= (

u 0 0 v

)

に対して,

An= (

un 0 0 vn

)

が成り立つ. また,一般のmm列の対角行列に対しても同様の事が成り立つ.

定理 8 (ケーリー・ハミルトンの定理) A= (

a b c d

)

に対して,

A2(a+d)A+ (ad−bc)I =O が成り立つ.

例題 10 以下の行列の4乗を計算しなさい. (1)

(

1 1

3 1 )

(2) (

3 2

12 8 )

(3) (

1 3

5 4 )

8

(2)

代数学1 No.8 2006. 6.14

2.4 行列の累乗

担当:市原

問題 19 以下の行列の7乗を計算しなさい.

(1)A= (

1 0

0 −2 )

(2)B =



2 0 0

0 3 0

0 0 1



(3)C = (

0 1 1 0

)

(4)D=

(−3 1

1 0

)

(5)E =

(5 3

8 5 )

(6)F =



0 0 1 0 2 0 3 0 0



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