微分積分学
2 No.6 2005.10.26
2.3
定積分の応用 担当:市原定理
22 (曲線により囲まれた図形の面積) a 5 x 5 b
において2
曲線y = f (x),
y = (x)
で囲まれた部分の面積は∫ b a
| f(x) − g(x) | dx
である.例題
9 2
つの円x 2 + y 2 = 1, x 2 + (y − 1) 2 = 1
で囲まれた部分の面積を求めなさい.曲線の長さ
¶ ³
平面上の曲線
C
上に2
点A, B
があるとする. このA
からB
までにある曲線の部 分が, 折れ線を限りなく細かくすることにより近似でき, しかも, この折れ線の長 さの極限値が存在するとき, この値を曲線C
のA
からB
までの長さと定義する.µ ´
定理
23 (曲線の長さ) a 5 x 5 b
において, 微分可能な関数y = f(x)
のグラフの 曲線の長さは∫ b
a
√
1 + { f 0 (x) } 2 dx
例題
10
半径1
の円の周の長さを求めなさい.10
定理
24 (
パラメータ表示された曲線の長さ)
曲線上の点(x, y)
がx = ϕ(t), y = ψ(t)
で表わされているとき, この曲線のα 5 t 5 β
における部分の長さは∫ β
α
√
{ ϕ 0 (t) } 2 + { ψ 0 (t) } 2 dt
例題
11
原点中心, 半径1
の円周の長さを, 円のパラメーター表示を利用して求めな さい.定理
25 (
断面積と体積)
空間内の立体V
をx
軸に垂直な平面x = t
で切ったと きの断面積をS(t)
とする. このS(t)
がt
について連続関関数であるとき,V
のa 5 x 5 b
の部分の体積は∫ b
a
S(t) dt
例題
12
底面積B,
高さh
の三角錐の体積はBh
3
であることを証明しなさい.定理
26 (回転体の体積) a 5 x 5 b
において曲線y = f(x)
とx
軸によって囲ま れる部分をx
軸のまわりに一回転させてできる回転体の体積はπ
∫ b a
{ f (x) } 2 dx
例題
13 − 1 5 x 5 1
において,y = cosh x
をx
軸のまわりに回転してできる立体の体 積を求めなさい.11
微分積分学
2 No.6 2005.10.26
2.3
定積分の応用 担当:市原問題
8
曲線y = 1
1 + x 2 ,
直線y = x
2
とy
軸で囲まれた部分の面積を求めなさい.問題
9 0 5 x 5 2
において, 関数y = 2
3 x
32 のグラフの曲線の長さを求めなさい.問題
10 0 5 x 5 π
において曲線y = sin x
とx
軸によって囲まれる部分をx
軸のまわ りに一回転させてできる回転体の体積を求めなさい.学籍番号 氏名