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22 (曲線により囲まれた図形の面積) a 5 x 5 b

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Academic year: 2021

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(1)

微分積分学

2 No.6 2005.10.26

2.3

定積分の応用 担当:市原

定理

22 (曲線により囲まれた図形の面積) a 5 x 5 b

において

2

曲線

y = f (x),

y = (x)

で囲まれた部分の面積は

b a

| f(x) g(x) | dx

である.

例題

9 2

つの円

x 2 + y 2 = 1, x 2 + (y 1) 2 = 1

で囲まれた部分の面積を求めなさい.

曲線の長さ

³

平面上の曲線

C

上に

2

A, B

があるとする. この

A

から

B

までにある曲線の部 分が, 折れ線を限りなく細かくすることにより近似でき, しかも, この折れ線の長 さの極限値が存在するとき, この値を曲線

C

A

から

B

までの長さと定義する.

µ ´

定理

23 (曲線の長さ) a 5 x 5 b

において, 微分可能な関数

y = f(x)

のグラフの 曲線の長さは

b

a

1 + { f 0 (x) } 2 dx

例題

10

半径

1

の円の周の長さを求めなさい.

10

(2)

定理

24 (

パラメータ表示された曲線の長さ

)

曲線上の点

(x, y)

x = ϕ(t), y = ψ(t)

で表わされているとき, この曲線の

α 5 t 5 β

における部分の長さは

β

α

{ ϕ 0 (t) } 2 + { ψ 0 (t) } 2 dt

例題

11

原点中心, 半径

1

の円周の長さを, 円のパラメーター表示を利用して求めな さい.

定理

25 (

断面積と体積

)

空間内の立体

V

x

軸に垂直な平面

x = t

で切ったと きの断面積を

S(t)

とする. この

S(t)

t

について連続関関数であるとき,

V

a 5 x 5 b

の部分の体積は

b

a

S(t) dt

例題

12

底面積

B,

高さ

h

の三角錐の体積は

Bh

3

であることを証明しなさい.

定理

26 (回転体の体積) a 5 x 5 b

において曲線

y = f(x)

x

軸によって囲ま れる部分を

x

軸のまわりに一回転させてできる回転体の体積は

π

b a

{ f (x) } 2 dx

例題

13 1 5 x 5 1

において,

y = cosh x

x

軸のまわりに回転してできる立体の体 積を求めなさい.

11

(3)

微分積分学

2 No.6 2005.10.26

2.3

定積分の応用 担当:市原

問題

8

曲線

y = 1

1 + x 2 ,

直線

y = x

2

y

軸で囲まれた部分の面積を求めなさい.

問題

9 0 5 x 5 2

において, 関数

y = 2

3 x

32 のグラフの曲線の長さを求めなさい.

問題

10 0 5 x 5 π

において曲線

y = sin x

x

軸によって囲まれる部分を

x

軸のまわ りに一回転させてできる回転体の体積を求めなさい.

学籍番号 氏名

参照

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