The S c i e n c e  R e p o r t s  o f  t h e  Kanazawa U n i v e r s i t y ，  Vo 1 .     . n N o .  2 .   P P .   1‑6 March 1 9 5

The S c i e n c e  R e p o r t s  o f  t h e  Kanazawa U n i v e r s i t y ，  Vo 1 .     . n N o .  2 .   P P .   1‑6 March 1 9 5

00  the Remark of  La asonen's Theorem 

Tδru  AKAZA 

く

R e c i v e d J a u n a l ' Y   23 ，  1 9 5 4 )  

The p u r p o s e  o f   t h i s  p a p e r  i s   t o   i n v e s t i g a t e  t h e  a b s o l u t e  c o n v e r g e n c e '  o f   t h e   f o l l o w i n g   e x p a n s i o n  by s e r i e s  o f   t h e   fuchsoid  f u n c t i o n  g i v e n  by  L α α 3 o n e n . J )  

~ 1 .   L e t  G n  be a  Fuchsian  g r o u p  o f   g e n u s  z e r o  formed by  n  p a r a b o 1 i c ，  l i n e a r  g e n e ‑ r a t i n g  t r a n s f o r m a t i o n s ;  

ノ

(  1  )  7 ' . . :   _~

^{1  1}  r  / 

^ν/  =1 ， 

ν  f 記捌 e 伺 a l

ν v '   ‑ 1 τ す 窃 ご 弓 E 忌 ν

7τ‑( 芯 γ

1 ν=1 ， 2 丸 η f 

and y e t  be p r o p e r l y  d i s c o n t i n u o u s  on t h e  p r i n c i p a l  c i r c l e   H ( /   z /  =  1)  e x c e p t  t h e  s i n g u l a r   p o i n t s  o f   G n .  I f   we c o n s i d e r   t h e   poinc α 必 ' st h e t a  s e r i e s  o f   ‑ 2  d i m e n s i o n  with r e s p e c t   t o   G n 

(2 ) 

M 7  

2 ω  

ぬ リ

i

抗

ti s   a b s o l u t e l y  c ∞ o n v e r g e r 此 1 詑 tby t h e  w e l l   Next l e t   u s  c o n s i d e r  t h e  f u n c t i o n  

ん

(h‑jMZ)dz+Cn=‑Ff z

^{yd 山 +C n}

α n  un α n 

(3) 

ア

^{C n} 

‑1 ;:，

l . .  

( z ) 中 n ) . . J '  ~ n 

where α n  i s   any p o i n t  i n  t h e   f u n d a m e n t a l   r e g i o n   Bn  w i t h   r e s p e c t   t o  

n.  Bn  i s   s u r  

‑ r o u n d e d  by t h e  b o u n d a r i e s  which c o n s i s t  o f   t h e  a r c s  o f   H  and  n  p a i r s  o f   c i r c u l a r  a r

which a r e  o r t h o g o n a l  t o   H  and t a n g e n t  a t  t h e  p a r a b o l i c  v e r t i c e s .   (Fig 1 )   I f   we c h o o s e   C n  s o  t h a i  t h e  Lα u r a n t   s e r i

o f fn(  z)  may have  n o t  c o n s t a n t   t e r m   a t   t h e   o r i g i n .   where  fn(z)  h a s  a  s i m p l e  p o l e ，  ( 3 )  becomes 

1  ~'r 1  1 ，   . . . . . (叫 ん ( z )

一+三; _z  ~n l.. 8ν (z) I 一一一一一一一一 8 ν(O)J l ，  where  : : : 8 '   d e n o t 田 t h esummation e x t e n d e d  o v e r  t h e  a l l   t r a n s ‑ f o r m a t i Gn  o n s  e x c e p t   S o ・ ( 4 ) d e f i n e s  a meromorphic  f u n c t i o n   which  4 a s  p o l

a tt h e   e q u i v a l e n t  p o i n t s   t o   t h e   o r i g i n ，  i n   t h e  o u t s i d e  o f   s i n g u l a r  p o i n t s  o f   G n •

Then  fn(Z)  h a s  t h e   f o l l o w i n g  p r o p e r t i e s ;  

( i )   fn(Z)  i s

t o m o r p h i cfu

c t i o n   w i t h  r e s p e c t   t o   1~4 G n ，  t h a t  i s ， 

fn  ( 7 ' k ( Z ) )   In ( z )   (V

k e G

F i g .   1 

< }  

4 一

T  AKAZA 

( i i )   Since fn(Z) 

s r

e g u la r α st h e   f u n c t i o n   of l o c a l   parameter t  a t   t h c   p a r a b o l i c   v c r t i c c 8

i t   i s   a s i r n p l e α u t o r n o r  p h i c  f u n c t i o

( ii i )   Since fn( z )   h αs  o n l y  O n C  p o l c  a t   t h e   o r i g i n 向 B" ，

t a k e s ω ny

l u e o n l y   o n c e  i n  Bn α nd t h e r e f o r e  i t   i s   t h e  p r i n c i  p a l  f u n c t i o

f On. 

( i v )  

h e   p r i n c i  p a l   d o r n α 向 。 f f

z ) ， t h a t   i s   t h e   i r n α g e   0  f B"  ， c o i n c i d e s   t h e   O u t ‑ s i d e  of α c i r c l e .  

( v )  

h e ^悦 f n ( z ) G

c O n v e r g c s  t o   t h e   f u n c t i o n   of t h e  fuchsoid group G  which i . s   a p p r o x i r n a t e d  b y  t h e   a b o

Fuehsi α n8 u b g r o u  p s  {G 

h e  pri n c i  p α 1  ' d o r n α印

of 六 z )

t f t eo u t s i d e   0  f t h e  c i  r c l e  wi I h   ~~aditl8 とO.

号 2 . Under what c o n d i t i o n  i s   t h e  s e r i e s   o f   fn(Z)  a b s o I u t e l y  c o n v e r g e n t  f o r   n

∞?  To

r e s o l v et h i s  problem we need t h e  f o l l o w i n g  Iemma and ・ b e r g ' s consequences.~)

L e m r n a .  B e t t v e e n   ( z ) α nd t h e  B l a s c h 1 c e

Product ( δ

H  n ( z )   =  I J   G'! 

」一~U}，i~

t h e r e  e x i s i s   t h e   r e l 窃 t

on

ニ

￨ α ν I( i a ν = 8 ν ( 0 ) )  

ニ

( α ν l e ‑ i d y

(6)  =九十 竺竺「

l I n 

i s   t h e  s i m p l e  a u t o m o r p h i c  f u n c t i o n  which maps  Bn  o n t o  t h e  u n i t  d r c l e .   S i n c e   H n  ( z )   and  fn  have t h e   same  Bn  and b e l o n g  t o   t h e  same  0" ，  t h e r e  e x i s t s   a  r a t i o n a l  r e l a t i o n  between Hn  ( z )   and  f ' n   And s i n c e  t h e  b o u n d a r i e s  o f   t h i s  p r i n c i p a l   domains a r e  c i r c l e s ，  t h e  r e l a t i o n  must be 1 i nea

h e n c ewe o b t a i n   q .   E .   D

Now t h e  p r i n c i p a l   domain 

o n t o   which  Hn  maps  Bn  1 S   o b t a i n e d  by removing  n  p o i n t s  from I  H"  I く 1 . These p o i n t s  i n  

n  c l u s t e r  t o  t h e  singularεndpoint s e t   3 )   on  J 1 ln  I  = 1  f o r  

→∞，  which c o r r e s p o n d s   t o  t h a t   on I  z  I  = 1 ，  t h a t   i s ，  t h e  c l u s t e r  s e t   o f   p a r a b o J i c  v e r t i c e s .  

Myrberg め p r o v e dt h a t  t h e  l i n e a r  measuτe o f   t h i s  s i n g u l a r   e n d p o i n t .  s e t  depends upon  t h e  c u t s   which make 

n  s i m p l y ‑ c o n n e c t e d .  and t h e  d i s t r i b u t i o n  o f   t h e s e  i n n e r  p o i n t s .  

I f   each o f  t h e s e   n  p o i n t s   i n  

n  i s   c o n n e c t e d   with t h e   p e r i p h e r i e   by a  s t r a i g h t  l i n e   a l o n g  r a d i u s  s o  t h a t  any  two  o f   them  a r e   n o t   on  t h e   same  r a d i u s ，  t h e n  we o b t a i n  a  f i g u r e  c a l l e d   R α d i a l  8tar S" .  (Fig 2 )  

I f   t h e  i m a g e s '  o r   n  c u t s   a r e   d e f o r ‑ med i n t o  c i r c u l a r  a r c s   o r t h o g o n a l   t o   H  w i t h o u t  movIng t h e   e n d p o i n t s   00 

Fig.2 

H，  t h e  image o f   Bn  i s   c a l l e d   Nonnal Radial 8t α

S ' " .  (Fig 

$~

F i

3

1 n  Fig 1  d e n o t e  by  ( b n)  t h e  s e t  o f   s i d e s   and  (sn)  t h e  s e t  o f   c i r c u l a r   a r c s  o f   H 

complementary t o   ( b n  )  i n  t h e  boundary o f   Bn.  Now we c o n s i d e r  t h e  harmonic measure 

ω n 

= ω

，  (s"    ， )   ， ) which  i s   hannonic i o   Bn  ，  1  on  (sn)  and 0  0

(bn) ， 5 ) Of 

On t h e '  R e r n a r  k 0] L α

o n e n ' 8 7 '   h e o r e r n   ‑ 3 ‑ c o u r s e   0< ωn  ( z ) 手 1 ， and t h e  s e q u e n c e  { ωn  ( z ) }  i s   monotone d e c r e a s i n g  and converges  u n i f o r m l y  t o  a harmonic f u n c t i o n  ω ( z ，  (s) ，  B)  i n .  a wide s e n s e  by  Harna 、 側 ^{theorem ，}

where  B  i s   t h e   fundamental  r e g i o n  o f   t h e   f ' U C h 8 0 i d   group  G  1 i m  Gn ・ The l i m i t  

n

→田

f u n c t i o n ω ( z ，  (s) ， 

i s   c a l l e d   t h e  harmonic .  measure o f   t h e   fundamental  r e g i o n  B ，  and ω

ω

t h e  harmonic measure o f  t h e   8t α r s   8=lim  8n  and  8 ¹

s ' n  . 

n~ ∞ n→∞

By u s i n g  t h i s  harmonic measure ，  M y r b e r g   g o t  t h e  f o l l o w i n g  c o n s e q u e n c e s .  

Suppose  t h a t   8 i s   t h e   R α 出 α 1 8t α

o f   t h e   i n n e r   boundary  p o i n t s   (α) whose  c o o r d i n a t e s  a r e   r  v t i 9 v   ( ν=1 ， ス ‑ … . .)   .

( i ) 0   1] t h e  s e r i e s  

(7)  : L   ^{( 1}

i s  ] i n i t e ，  t h e  l w r r n o n i c  r n e α s u r e  0]  S  i 8   p 0 8 i t i v e .  

( i i ) O   L e t  q n   b e   t h e  r n o n o t O n e  i n c r e α s i n g   f ' u n c t i o n  0] n ，  t l ! a t   i s ，  q n →∞ ]or n →∞ ι nd  ( a )  i s   d i s t r i b u t e d  s o   r e g u l a r α8 

、 2 π i k

αnくの=

(1‑+‑)  、

^{n I}  e 

(o<k くれ)，

ω h e r e   Pn i 8   t h e  d i s t r i b u t i n g  ] u n c t i o n  0] ( α ) .   1] 

(8)  Urn 手 ι z ∞ ，

n

n 

t h e  h a r r n o n i c  me α 8 u r e  0] α ny Radial 8t α r  i 8   z e r o .   ( i i i ) O   1] 

q  晶

、J

(9)  p

一 く

∞2

4  

t h e  Radial 8tar  8  h α s  p o s i t i v e  "

r m o n i cm e a s u r e .   (9)  ] o l l o

] r o r n ( i ) o ，  ' t ' f

p u tr 1 t  

=  (l‑‑.!ー).

' i n 

( i   v  )  0  7 '   h e  l i  n e a r  m e a s u r e  0] (

i n  t h e  r α d i a l  ]und α r n e n t α r  e g i o n  i s   z e r O   u n d e r  t h e   c o n d i t i o n   (8)αη d  positi~)6 under t h e   c O n d i t i o n  ( 9 ) .  

! 3

  3 .   Now l e t

p r o v et h e  a b s o l u t e  c o n v e r g e n c e  o f  t h e  s e r i e s   ( 4 )  for  n →∞，  which  i s   t h e  e x p a n s i o n  o f   ]n  ( z ) ，  by t h e  lemma and  Myr

r g ' s c o n s e q u e n c e s  ( i ) 。 ー ( i v O).

From t h e  p r o p e r t y  o f   t h e  group  G ，  two c a s e s  o c c u r  with r

p e c tt o   t h e  behav i . o r ，  of  ( 4 )  f o r  n →∞. 

(A)  The c a s e  where  G  has no l i m i t  c i r c 1 e ，  t h a t  i s ，  G  i s   p r o p e r I y d i s c o n t i n u o u s  on  E ! .  

In

i sca 田 ， s i n c e  t h e   line~r measure o f   ( の i so b v i o u s l y  p o s i t i v e ，  we ob 匂 i n ( 1 0 )   : L   (l‑J  z v ] ) く ∞

by t h e  well‑known  B u r n s i d e ' s   theorem の ， where z ν=8ν(0)  ( 8 ν e  G ) .  I t   leads t o

the

convergence o f  t h e   B l a s c h k e ‑ P r o d u c t .  

o l   8 ν ( z )   J  a t  o n c e .  From t h e  c o n d i t i o n  (10)and 

t h e  form 

‑ 4 ‑ T  AK

(11) 

I B

‑a;z‑

^{一 二 一} I 示子言j) ‑ ‑ ‑ 1 _{二 戸 ，} where 

α ν Z 斗ん

_{1 / ¥} (z)  _{. . . ‑ ‑ . /}   =

r J ) Z 十九 ^{( α J ν} ‑s νγν= 1 )  

i s   any t r a n s f o r m a t i o n   o f   G ，  we o b t a i n   t h e   a b s o l u t e   c o h v e r ε e n c e   o {   t h e   POinc(

r e ' s   t h e t a  s a r i e s  o f   ‑2 d i m e n s i o n  with 

e s p e c t  t o   G 。

T h e r e f o r e  

(12) 

1 J  

1

一 川町

﹁ L

Vω G 

ム

ー 一

z wハ

which canbe o b t a i n e d  from  f n  by  n →=，  i s   a l s o  a b s o l u t e l y  c o n v e

gen t .   S i n c e  t h e   c e n t e r   b n  = 

^{泊) o f  t h e}  boundary c i r c l e  o f   Dn  coav

t o b  an

t h el i n

rmeasu

。

ft h e  image o f   (向 i sa l s o  p o s i t i v e ，  Dn  c o n v e r 宮 田 t ot h e  p r i n c i  p a l  domain  D  o f  

^{( 吟 p}

t h a t  i s ，  t h e  o u t s i d e  o f   t h e   bound ョ r y c i r c l e  with r a d i u s  1 

1>  0  and c e n t e r   b .   Then by t h e  lemma t h e  r e l a t i o n  

f(z)=b →‑一一生‑

H(z) 

記

x i s t sbetween t  and  H  f o r   n →∞. 

(B)  The c a s e  where G has l i m i t  c i r c l e .  

By  M  y

b e r g ' s   c o n s e q u e n c e s  t h e  l i n e a r  measure o f   t h e   s i n g u l 旦 r end コ ， o i o t s e t   o f   t h e   Star  o f   I 1   ( z )   depends upon  t h e   d i s t r i b u t i o n   o f   t h e   i n f i n t e   i n n e r   i s o l a t e d   boundary  p o i n t s   ( α )  which a r e  images o f  t h e  p a r a b o l i c  v e

t i c e s .  

(lB)  I f   t h e  d i s t r i b u t i o n  o f   (必) s a t i s f i e s  t h e  c o n d i t i o n   o r

when t h e  d i s t r i b u t i o n   i s   s o  i r r e g u l a

t h a t  t h e  s e t  ( α )  may not  s a i i s f y   t h e   c o n d i t i o n  ( 9 ) ，  i f   i t   s a t i s f i e s   t h e   c o n d i t i o n  ( 7 ) ，  we o b t a i n   ( 1 0 )   j u s t   t h e  same  a s  ( A ) .  ( 1 0 )  i s   t h e   n e c e s s a r y  and s u f f i

c i e n t  c o n d i t i o n  f o r  t h e  e x i s t e n c e  o f   t h e   Green  f u n c t i o n  on  D  and a 1 1 3 0   f o r  t h e   a b s o l u t e   c o n v e r g e n c e  o f  t h e  t h e t a  s e r i e s  o f   ‑2  dimension o r   G 7 ) .   I n  t h i s  c a s e  t h e   Green  f u n c t i o n   w i t h  a  l o g a r i t h m i c  p o l e   a t  t h e  o r i g i n   i s   g i v e n  by ‑ l o g   I I   G  1 8 ν 。 ) 1 ^{8 )} 

T h e r e f o r e  t h e  s e r i e s   ( 4 )   i s   a b s o l u t e l y   c o n v e r g e n t  f o r  

= ，   and t h e   r e l a t i o n   ( 1 3 )   e x i s t s   between 

^{(z)  and 1 I   ( z )} ，  and t h e   p r i n c i p a l  domain o f  

^{c o n s i s t s  o E   t h e  o u t .}  

s i d e  o f   t h e  c i r c l e   with r a d i u s   J  a  1  >  ⁰  and t h e  c e n t e r  b .  

The c a s e   (1s)  c o n t a i n s  (A) a s  t h e  s p e c i a l  c ョ s e

Becaus

(A)may be c o n s i d e r e d  a s   t h e  c a s e  where i n   ( l   t h e  o r d e r  o f   Pn  ( 1 ^・ o rt h e  g

ade o f   d i s t r i b u t i o n   o f   ( α )   ( i r r e g u l α i s   s o  s m a l l  i n   c o m p a r i s o n   with t h a t   o f   qn  0

t h a t  o f   approach  o f   (ω) t o   t h e  p e r i p h e r i e  t h a t  t h e  s e r i e s  i n   ( i ) 0   i s   c o n v e g a n t  a t  O l l c e .  

(2B )  When t h e  c o n d i t i o 日明) o r   : 8   ^{(1‑1' ν)= ∞ f o r  i r r e g u l a r  d i s t r i b u t i o n  i s   s a t i s f i e d}  

w i  t h  r e s p e c t  t o   t h e  s

t( α ) ，  we need t h e  f o l l o w i n g  c o n s i d e r

a t i o n

Though  t h e  l i n e a r  measure o f   (s)  i s   z e r o  under  (8)  by  ( i i ) o ，  t h e   c o n d i t i o l l   ( 1 0 )  

。

。

may C C C u r  f o r  some  group ，  But  t h e   s e r i e s  

υ‑Izν1) i s   d i v e r g e

ti n   t h i s   c a s e .  

ν~l

0 1 1  t h e  Remarlc 0  f  L ω

. " o n e n '   . g

h c r

1 3 m  

B e c a u s e  t h e  boundary o f   D  i s   e i t h e r  t h e  l i m i t i n g   circl~ with r a d i u s  

0  o f   t h e  b O U l l d

ary c i r

E s   o f   {Dn}  o r  t h e  l i m i t i n g  p o i n t  o f  t h e  i n f i n i t e  i s o l a t e d  p o i n t s  from the c o n s t i ・

i u i i o n  o f   Gn ，  and i f   t h e   boundaτy i s   {orm

f ，  t b e  l i n e a r  measure o f   (s)  i s   p o s i t i v e  and  i t   i s   i n c o n s i s t e n t  w i t h  t h e  f a c t  t h a t  t h e  measure o f   (的 i sz e r o .   S i

c e t h e   boundary o f   D  must be t h e   o n l y  o n e  l i m i t   p o i n t  and  hence t h e   G

I J e n   f u n c t i o n  on  D  c a n n ' t   e x i s t ，  and t h e  s e r i e s   : : 8   ( 1 ‑ 1   z ν 1 )   i s   d i v e r g e n t .   T h e r e f o r e  t h e   p O

c t r e ' S  t h e t a  s e r i e s  o f   ‑2 

ν~-l

dime

s : o nand t h e  s e r i e s  ( 4 )  c a n n ' t  be a b s o l u t e l y  c o n v e r g e n t  f o r   n

a n d   the r e l a t i o n   ( 1 3)  d o e s  n o t  e x i s t  between 

( の and I I   ( z ) .  

From t h e  a b o v e  c o n s e q u e n c e s   (A)  and (B) ，  we o b t a i n  t h e  E o l l o w i n g  t h e o r e m .  

h e o r c r n .   Lct ( )   b c   t h e   f l l C h s o i d  grou  p 

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( 1 3 )   c l O C 8   n o t   e : a s t .  

R e r n a r l c .   1 n  t h e   i n v e s t i g a t i o l l  o f   t h e   a b s o l u t e  c o n v e r g e n c e  o f  t h e  s e r i e s   ( 1 2 ) ，  t o   l l s e   t h e  p r i n c i p a l   domain o f   I I  ( の ， which i s   t h e  w e l l ‑ k n o w n ，  g e n e r a l ，  and standard  a l l t o . .   morphic f u n c t i o n  with  r e s p e c t  t o   0 ，  i s   more c o n v e n i e n t   t h a n   t h a t   o f  

( z ) .   For the  r a d i u s  and t h e  c e n t e r  o f  t h e   boun c 1 ary  c i r c l e   o f  

z )   vary and  c o n v e r g e  t o  t h o s e   o E   t h e  1 i m i t i n g  boundary c i r c 1 e  o f  

(z) 

1 n  t h e   f u e h s o i c l   group ，  t h e  r e l a 丘 0 1 1 which  e x i s t s  i

t h e   Ftlchsum  subgroup ，  a s  the  lemma i n  t h e  s e c t i o n  2  shows ，  1 c 0 e s  n o t  always I e a d  t o   t h e  same r e l a t i o n  f o r 均 一 歩 ∞ .

‑> 

‑ 6 ‑ _AKAZA 

References 

1) 

P.  "Bei i 1 ' a ! J e  ZW'  Theo l " I e   d e ， '   J u c h s o i d e n   ， ! J ' u p p e n  und zum Typen

o o l e m ， d e   ， ' R ， : e m a   n n 8 c h e n  Flach 叩 ぺ AnnalesAbad. S c i .   Fenn. No. 2 5  

9 4 4 )  

2)  P. 

YRBERG ， Ub ^町 d e nFund αm 肉 α f l b c ， ' c i c hd e 1 ・ Autom01 ・ p h c nFunktionen" ，  Annales Acad. 

Sc

Fenn. NO. 2

1

4 1 )

3 )   J y lYRBERG  c a l l e d  i t   " d i e  Men ! J c  d o '  H i n

l a! ' c n   E  e k p 1 t n k t e "   i n   め 4)  P. J

MYRBERG

J o c .  

2 )  

め R.NEV  A N Ll NNA ，  Analyt ふ ， / 吋 F" ^{' I l} k t i ^町 lm"

思 3 6 )

品) EURNSIDE ， On α c l α SS  0 1  d i s e n n t i n n o " s  9 ' ・ 0 " P 8 " ， Proc

LondonMath. S o c .

8 9 2 ) 7 )  

POINCAR 立 fi8'1ιγ lJun~ ゐ剛山:ä.ion r l e s ο 附 側 α l y t i q " e ぺ ^{ActaMath. 股 j}

1 骨 0 8 ) S )   P. J ，  MYRBERG ，  "Ub

r l i e E~:istfn" r l

G 問 酎 wehen F n n . '  t i o n e n αvf e I  n e '   ， g c g e b e n e n   Ri 師 同 n ' n

s e h c n   F  l i i c h e " ，  Act

Math ， Bd引く1 ( 3 3 )

叶 旨