2次元状態観測器を用いた2次元システムの安定化について
下西二郎＊二元孝夫＊＊前川禎男＊＊
（昭和57年4月27日受理）
Stabilization of 2−D Systems Using 2−D Observers Jiro SmMoNism， Takao HINAMoro and Sadao MAEKAwA
（Received April 27， 1982）
In this paper， 2−D （two−dimensional） filters are considered using the 2−D state space model originally introduced by Givone and Roesser． The wellknown 1−D state space ideas of state feedback and state observers are extended to the 2−D state space model with the intention of providing a mean of stabilizing unstable 2−D systems． A synopsis of the paper is given as follows．
In section 2， the theory of rninimal order observers for 1−D systems originally proposed by Luenberger is ex−
tended to the 2−D case． ［hg resulting fundamental matrix relations are used in section 3 to develop a rnethod for the desiging a 2−D state observer． Finally， in section 4 the use of the 2−D observer in a 2−D feedback stabiliza−
tion scheme is investigated．
1． ま え が き
2次元ディジタルフィルターは各種画像処理などの2次 元信号の処理に有効とされ，主にその安定問題1），2），設計 問題3）などが取り扱われてきた。しかし，最近2次元フィ ルタに対する状態空間モデル（2次元システム）が提案さ れ4）〜6），その構造解析7）実現問題6）〜9）の解法と共に，2 次元フィルタの状態空間モデルでの安定化問題が重要視さ れ始め，状態あるいは出力フィードバックによる安定化へ の試みが見られるようになった。9）、11）
一般に2次元システムの状態は1次元システムの場合と 同様に未知である。したがって，2次元システムの状態を 推定するような，いわゆる2次元状態観測器12）が必要とな ろう。また，安定化に関していえば，文献9）では対象とな る2次元システムは特殊な係数をもつ2次元伝達関数から 実現されたGivone−Roesser型状態空間モデルであるし，
文献10），11）では状態あるいは出力フィードバックを施し た閉ループシステムの特性多項式の係数の一部を指定する ような方法であって，安定化可能に関する条件は与えられ ていない。
本論文ではGivone−Roesser型2次元状態空間モデルで 表現される2次元システムを考察対象として，よく知られ ている1次元システムにおける状態フィードバックおよび 状態観測器の考え方をこの2次元状態空間モデルへと砿張 する。そして，状態観測器から得られた状態ベクトルを
フィードバックすることにより，非安定な2次元システム を安定化する問題について考察する。
以下では，｝まず，Luenbergerによって提案された1次元 システムにおける最小次元観測器の理論を2次元システム の場合に拡張する。続いて，そこで導びかれた観測器の基 礎方程式を用いて，2次元状態観測器を構成する手順を示 す。最後に，2次元状態フィードバックによる安定化に，
ここでの状態観測器の利用を考える。
なお，本稿で用いる主な記法は以下の通りである。
Rn， Rnxm：実数を要素とするn組，あるいはn×m行 列のベクトル空間
In ：nxnの単位行列 0 ：適当なサイズの零行列
AT， A＋ ：Aの転置行列，および，一般化逆行列
＊電気工学科
＊＊神戸大学工学部
2．2次元システムに対する線形関数観測器
この章では，Luenberger13）によって提案された1次元シ
ステムに対する状態観測器の理論を2次元システムの場合 に拡張する。
対象とする2次元システム．は次式で与えられる。4）
［茎：細H鑛］障：1；］・［窪；］咽）
y（切一［・・C・］［翻］・・≧・ （1）
ハただし，王色ノ）∈・Rn， X色力∈・R彿はそれぞれ水平状態お よび，垂直状態ベクトルであり，U（i，の∈R「， y（i，ノ）∈Rρ はそれぞれ入力および出力ベクトルである。また，Ai（ゴ＝
1，2，3，4），Bi，Ci（i＝1，2）は適当なサイズをもつ定数 行列である。
また，推定すべき状態の線形関数は次式で与えられる。
・（切一［K・・K・］［瑠］
（2）
ただし，w （i，カ∈Rq，κゴσ＝1，2）は適当なサイズをも つ定数行列である。
つぎに，w（（i，のの推定値を得るため，以下の2次元シ ステム（観測器）を考える。
Fz （i ＋1， 」 ） 1 F］F i F2］ rz （i，i） 1 ， rGil ．．． ，，
L・（らブ＋1）rLF， F4」L勿，ヵ」〒Lσ2」軸
・［睾］・（切
範ブ）一［N・・N2］［；ll：1：」一1−My（i ・） （3）
ハただし，牙σ，ブ）∈RV， Z（∫，の∈Rμはそれぞれ観測器におけ る水撃状態および垂直状態ベクトルであり，あσ，の∋R4 はωσ，ブ）の推定値となる観測器の出力である。また，郵 σ講1，2，3，4），Gi，璃， Ni（i；1，2）およびMはそれ ぞれ適当なサイズをもつ定数行列である。さらに、システ ム（1）式とシステム（3）式の状態ベクトルの間にはある変換 行列7▼1∈R・ n，T4∈Rpxmが存在して次の関係が満たさ れているものとする。
［翻］一「肉細ll」 （4）
さて，本稿での目的はシステム（1）式の係数行列Ai， Bi，
CiおよびKiを既知と仮定して，システム（1）の入出力デ
ータ ｛u（i，ブ），y（i，ブ）li＝0，1，2，……；ブ＝0，1，2，…｝か ら，その初期状態ベクトル｛x（0，の巨＝0，1，2，……｝，
｛x （i・o）Ii＝o，1，2，一・・｝が i）既知， ii）未知のそれぞ れの場合における状態ベクトルの線形関数ω（i，ノ）を推定 するような観測器（3）式を構成することである。
〈定義1＞ u（i，の（既知）および，x （i， e）， x（0，の
（未知あるいは既知）の値に関係なく 次の関係が満たさ れるとき，
lim ω（1，ノ）＝lim ω（らブ）
t）」一i．oo tJl−OO
システム（3）式はシステム．（1）式および線形関数ベクトル
（2）式に回する（v＋μ）次線形関数観測器であるという。
いま，観測器の誤差ベクトルを次式のように定義する。
［翻1一［瑠］一［；1￡1翻］
このとき，（1），（3）式より次式が得られる。
［瓢茸］一［謡1瑠］・［繋1］［
［21］ u （i，i）
ただし，
￠1＝：」FTI T1−T1 A 1十Ul C1 ￠2＝ F2 T4−Tl A2十Hl C2 ￠3＝ jE3 Tl−T4 A 3十U2 Cl Φ4 ＝＝ F4 T4−T4 A4十・U2 C2 A ． t ． pt n
■L1−u「1一」」1■■1 A2＝＝ G2−T4 B2
（5）
翻
（6）
（6）式で記述される2次元システムに対する状態遷移行 列はつぎのように与えられることが知られている。4）
コ︒馬 ヨOF﹇
勘＝
①F
﹈巧︒
ユFO﹇
陶＝
σF （7）
F（ゴ・ノ）＝F（1，0）F（i−1・ゴ）＋F（0・1）F（i・ゴー1）（ゴ，の〉（0，0）
F（o・o）病乃＋μ，F←i，ゴ）＝F（i，づ）魑O i，ノ≧1
ただし，任意の整数に対して半順序関係を次の記法によっ て定「義するものとする。
（le，s）f｛g（i，」 ） 〈＝〉 le：i｛：i， s E｛；」
（k，s） ＝（i，D o le＝＝」， s＝」
（le， s）〈（i，1 ） co （k，s）S（i，1）， （k， s）＝＞f（i，1 ）
以上を考慮すれば，システム（3）式がシステム．（1）式の 観測器であるための条件としてつぎの定理を得る。
【定理1】 TlCilRvxn， T2∈Ptxmおよび，以下の（8），
（9）式を満たす行列が存在するとき，システム（3）式は（1）
および（2）式で記述されるシステムおよび線形関数ベクト ルに対する線形関数観測器である。
Fl Tl ＝＝ T1・A 1−flTl Cl． （8・の
］F 3 T4＝Tl A2−ff1 C2 （8・b）
IiT3 Tl ＝＝ T4 A 3−H2 Cl （8・c）
F4 T4＝T4 A 4−H2 C2 （8・d）
2
θド71β1 （8・e）
G2＝ T4 B2 （8・f）
Kl＝NI TI十MCI ． （9・a）
K2＝N2 N4十MrC2 （9・b）
また，もし，初期状態ベクトルが未知ならば，上記（8），
（9）式に加えて状態遷移行列が（10）式の関係を満たすなら ば，システム（3）式は上記同様線形関数観測器である。
lim F（i， ， ） ＝＝ O （1 ＝O， 1，2，・一・一・・…）
i一・oe （10）
lim ，F （i， 1 ） ＝＝ O （i m一 O， 1， 2，・・・…一一・）
ノ→。。
（証明） （1），（2），（3）式より推定ベクトルと真の関 数ベクトルとの差ベクトルは次式で与えられる。
toN
@（i， 」） 一w （i ， y） ＝一 ［Ni i iv2］ ［i． ［il 1 i．i ］
・［M・・一K・・MC・一剛醐］
（11）
まず，（9）式が満たされるとき，上式は（5）式で定義さ れた観測器の誤差ベクトルを用いて次式のように表現でき
ることに着目する。
輸一・ω一［欄［ll；：ll］ （12）
（12）式より，観測器の誤差ベクトルが零ベクトルであるな らば，推定ベクトルは真の関数ベクトルに一致することが わかる。
つぎに，（8）の各式が満たされるとき，観測器の誤差に 関する差分方程式は（6）式よりつぎのようになる。
［ll綱」一［離lll；：il］
（13）式の解が次式で与えられる．4）ことに注意すれば，
（13）
［瑠］一≦。F鱈『（劉㌧島F・切・［2（9，。）］
（14）
（10）式の関係が成りたつとき，観測器の初期誤差ベクトル
｛e（O，i）， e（i，o）［i，ノ＝0，1，2，……｝および入力u（ゴ，の に関係なく，誤差ベクトルは次式の関係を満たす。
顔翻］一・
一一fi，システム（1）式の初期状態ベクトル｛∫（o，カ，
x（i，o）iゴ，ブ＝0，1i 2，……｝が既知であれば（5）式からバ
観測器（3）式の初期状態ベクトルを決定でき，観測器の初
ム
期誤差ベクトル｛e（o，の，e（i，o）i ，ノ冒0，1，2，＿＿｝
をすべて零ベクトルにできる。すなわち，（14）式より入力 U（i，」）に関係なく，観測器の誤差ベクトルはすべての地点 において零ベクトルとなることがわかる。結局，線形関数 w（らのの正確な推定値を得るためには必ずしも（10）式を満
たす必要はない。
3．2次元状態観測器の構成
この章では，被対象2次元システム（1）式の入出力デー タからそのシステムの水平状態および垂直状態ベクトルを それぞれ推定するような2次元状態観測器を構成する問題 を考える。すなわち，ここでは（2）式における関数行列は 式次で与えられることになる。
角一P忽レ叫募］ン （15）
さて，行列Fの固有値の指定＊を容易にするためには次 のi），ii）の両方か，あるいはいずれか一方が満たされる ことが望ましい。
i） F2＝O，かつ，（A4， C2）：可観測対
（16）
ii） F3＝＝0，かつ，（！皇1， C1）：可観測対
ここでは条件i）を仮定して観測器の構成を進めることに する。もちろん，条件ii）を仮定しても全く同様に構成手 順を導びくことができる。
またJ一般性を失うことなく出力ベクトルy⑭ゴ）の各 要素は一次独立であると仮定する。すなわち，
rank ［Cl I C2］ ＝ p
（17）
rank CI S P， rank C2＝7＄． P
この仮定により，システム（1）式の入出力関係には何ら影 響を及ぼすことなく。2がつぎの形をもつようにシステム
（1）式を座標変換できる。（付録1参照）
俸［翻レ ．（・8）
t ） ｝7． r一
したがって、C2は（18）式の形をしているものと仮定する。
さて，以下では，定理1で与えられた観測器の基礎方程 式（8），（9）式を用いて状態観測器（3）式の各係数行列を決 定して行くことにする。
まず，M， N2， T4を（9・の式におけるK2の満たす条件 より求める。すなわち，（9・の式を次式のように表現し，
＊）これ侭システム（1）式の初期状態が未知のとき必要，
すなわち，（10）式を成立させるために必要となる。
KT2 ＝＝ IV／2 T4十M［ 1， I O］ （19）
ただし，
厳一M
T4をつぎのように定める。
T4 ＝＝ ［ S ： lm−r］ （2 0）
ただし，s∈…R（m一γ）x7はF4をべき零行列（全ての固有値 が零）にするように選ばれた定数行列である。
このとき，（19）式は次式のように書き換えられる。
K…＝［・ill・N2］ i一画 （・・）
ここで，K2の形（15）式に注目すれば，（21）式を満たす
［MiN2］は次式で与えられることがわかる。
晦闘）1（22）
結局，Mの定義（19）式に注意すれば， M『， iv2は上式より つぎのように決定できることになる。
皿一 P鵠］ll・N・一卜轟；］＞t＋「 （・・）
kだし，
Ml ＝O，
［麦］＋
﹁一 4⁝亀 一 十
ろ一S一 鷹
碗
﹈
メ
〜σ﹇
の 4
メa
卍0
4十
︵
＝
つぎに，Nl， Tlは（15）式のKlおよび上で求めたMを
（9・a）式に代入することによって決定できる。すなわち，
鮪をつぎのように分割すれば，
N・一
次式の関係が容易に求められる。
IVn Tl＝ln ， IV21 Tl 一M2 Cl
これより，IVI， Tlはつぎのように決定できる。
T・一い一
（24）
（25）
一一r IIr i O
［H2 ： F4］＝［一SI lm−r］ A4 1 lr一一n一一一
S IIm−r 結局，F4， H2はそれぞれ次式のように決定できる。
F4 ＝＝ A44 一 SA 24
H2＝（Aen−sA14＋liT4s） ［TtTri］＋ （31）
ただし，
鵡i捗，
続いて，Fl ， Hiの決定であるが，ここでは仮定i）（16）
式に注目する。すなわち，F2＝0とできる仮定から，ここ までに求まったT1， T4を（8−6）式に代入すれば，容易に わかるように，F2−oとできるための必要十分条件である 次式が成立している。
Range ［A 2T］C一： Range［C2T］ （26）
このことより，HlはA2−HI C2＝Oを満たす一般解とし て次式のように求まる16）。
Hl ＝＝A2 C＋＋Q （lp−C2 C2＋） （27）
ただし，Q∈RPxPは任意行列であり，
砺一園（・r・∂轟賭・義・］
である。
さらに，FlはTlと上で求まったHlを（8｛）式に代入する ことにより，つぎのように決定できる。
F1＝A1−A2C2＋C1−Q（・lp−C2C2＋）C1 （28）
特に，（2b）tt式において，対［（A、一A、0、・C、），（・p一σ、・
Cl＋）Cl）］が可罰問対であるならば， Flの安定性が保障 されることを注意しておく。
つぎに，F4， H2の決定にはC2の形（18）式に注目して
（8・d）式を用いる。すなわち，（8・d）式をつぎのように表
現し，
」FT4 T4＝ T4 A4−Lr2 ［1， I O］ （29）
ただし，
舳悶
T4（20）式をこれに代入すれば（29）式は次式で書き換えら れる。
［ i． ｛ 1 i／．9L ；一］ （30）
4一
圏二（ へ りIr十〇27「C2）＋［■riC2T］
最後に，F3の決定であるが，これはこれまでに求まっ た．T1， T4， H2を（8・c）式に代入することによって決定で きる。すなわち，
jFT3 ＝ ［一Si 1．一．］ A3一 （A34 一SAi4 ＋ F4S） ［一tl一 i ］ C＋1 （32）
以上，被対象システム（1）式の係数行列および任意行列 S，Qを用いて，観測器（3）式の係数行列を決定した。こ れら係数行列をまとめると以下のようになる。
F1＝A1−A2C2十C1一Q（■P−C2C2十）Cl F2＝O， F4＝＝A44−SApt
F3＝ ［一sl 1．一，］A3一 （Ast 一sA14 一1一 ］FT4s） ［一b．1，一 fi］ ＋cl
Gl＝Bl， G2＝＝［一S iIm−r］B2 Hl＝ A2C2＋ ＋Q（lp 一C2C2＋）
Hr2＝＝； （A34−SA；4＋IFT4S） ［一一ttt一］ ＋
M燗・嗣・叶ξ］1乙］÷
鮪一 k姦］・一N2一［∴］
ただし，
圏一（ろ＋c 2τc2）一・［・r・御］
財閥 C罐亀戸瞬］
さて，残る問題は任意行列SおよびQの選定である。ま ず，Pの固有値奉興の固有値とF4の固有値との和集合で あること＊＊，また，Flの固有値は行列Qの選択によりある 程度移動でき，さらに珊の固有値は，（A ，Am）が可観 測対であることより，行列Sの選択により任意に指定でき る14）ことに注目する。（F4をべき零にするようなsの構成 手順については付録丑を参照されたい。）
定理1の証明で示したように．システム（1）式の初期状 態ベクトルが既知の場合，観測器の初期誤差ベクトル バ｛δ（0，ゴ），e（i，0）レ設0，1，2，…，ブ脚劣；i＝o，1，2，…imax｝
はすべて零ベクトルにできる。したがって，Fの固有値と
は無関係に，観測器からは水平状態および垂直状態ベクト ルの正確な値が得られる。すなわち，行列SおよびQを任 意に選んでも観測器の応答には何ら影響を及ぼさない。
一方，システム（1）式の初期状態ベクトルが未知の場合 には行列S，Qの選定が観測器の応答に決定的な影響を及 ぼす。したがって，この場合の行列S，Qの選定について 以下で検討する。
観測器の誤差ベクトルは（13）式で示したオートノマスな 差分方程式に左右される。また，F2＝0のとき，この方程 式の状態遷移行列は次式のように与えられる7）ことに注目
する。
叫鵬］・一臨i蕩1
叫疎画掩・ （33）
ここでt行列SをF4がべき零行列になるように選択すれ ば，上式よりすべてのiに対して次式を満たすような正整 数hが存在することがわかる。
＊＊．F2＝0であることに注意。詳細は文献8）参照。
F（i・ブ）＝0 （ノ：⊇≧彦） for all i
このとき，（14），
のようになり，
臨胤、・一・團
これに（33）式の関係を代入すれば次式を得る。
i（i，ブ）＝F1嬉（0，ブ）
参（切＿ゴヨ F、i−s一・F、F、縁（o， s）
ε冨ブー々＋1
（34）
（34）式より観測器の誤差ベクトルは次式
（35）
（36）
つぎに，上式において行列QをF1の固有値がすべて単位円 に移動するように選択すればシステム（1）式の水乎状態お よび垂直状態ベクトルはiの増加に伴い漸近的に真値に収 束する。すなわち1このように行列S，Qを選定すれば，
定理1の（10）式が満たされることになる。
ただし，真滝への収束が著しく遅かったり，F1のいく つかの固有値を単位円内に移動できない場合にはシステム
（1）式の水平状態ベクトル｛x（O，のiノ；0，1，2． 》彫ηx｝
が既知であることが必要となる。このとき，観測器の初期 水平状態ベクトル｛2（0，のiノ＝0，1，2．…，ゴ伽∬｝は（5）式
の関係から決定でき，観測器の誤差ベクトル｛i（0，の1ブ＝
0，1，2，…ゴ脚κ｝をすべて零ベクトルにできる。すなわち，
（36）式より
障：i］］一g（i・・…k）f…all・i（37）
となる。
4．2次元シズテムの安定化
この章では非安定な2次元システムに前節で考察した状 態観測を用いて状態フィードバックを施し，安定化する問 題を考える。
再びシステム（1）を考える。もし，システム（1）式の初
ん
期状態ベクトルのすべて｛x（0，の，κ（i，O）li，ゴ＝O，1，…｝
が零ベクトルであるならば，その出力はつぎのように与え
られる4）。
〃σ，の＝・ΣΣ cwて々，3）聞（i一尾ブーε）
（O，O）E｛（le，S）〈（i，S ）
ただし，
rv（k， S） ＝A（k−1，S）B（1，0） 十A（k，S−1）B（O，1）
B（1，0）．． ［：1］ ， B（o，1）＝＝ ［；2］
rAl A21 A（o．1）＝． ［O O I Lo
A（1，0）．．＝1 n ． A（O，1）＝
o」 LA・列
∠1（ ，ゴ）＝A（1，0）A（ガー1，ゴ）十A（0，1）A（ゴ，ゴー1）
∠4（0，0）＝ln＋m， 五（一∫，ゴ）調孟（ゴ，り）＝o
（38）
（t，ノ）〉（0，0）
，ノ》1
C＝［CliC2］
さて，1次元システムにおける有界入カー有界出力安定
（BBO一安定）の概念と同様に2次元システムにおける安 定性をつぎのように定義する。
＜定義2＞ 2次元システム（1）式は次の関係が満たさ れるとき，安定であるという。
1im O伊（i， の ＝0 （」 ＝0， 1， 2， ・・… ．）
i−oo
11 mCW（i， D−O （i一一〇， 1， 2，・・…t）
」．ee
つぎに、状態ベクトルの線形結合である（39）式の入力を 考える。
u（i， i ）一一［Ki K2］［：T（（1： ll］］ ＋v（i， ］ ） （3g）
ただし，v（i，の∈R「
このとき，システム（1）式はつぎのように書き換えられ
る。
［1：綴：］ 一＝［謡翻1：誰］［1：；：1：1
＋ ［￡1］ v（i・ i） （4b）
卿）一［・・ ・・］ m調
さて，ここでの問題はシステム（1）式が非安定であると き，閉ループシステム（40）式を安定にするようなフィード バック則，すなわち，フィードバック行列Kl， K2を見つ けることである。悶題を明確にするためにつぎの定義をす
る。
＜定義3＞ 2次元システム（40）式が安定になるような 行列Kl， K2が存在するとき，システム（1）式は安定化可 能であるという。
2次元システム（1）式が安定化可能であるための十分条 件はつぎの定理によって与えられる。
〔定理2〕 つぎのi），ii）の条件のいずれか一方が成 り立つとき，2次元システム（1）式は安定化可能である。
i） A4−B2 K2の固有値を単位円内に配するような，
A2＝Bl K2の二二が存在し，かつ，（Al， Bl）が可 安定対である。
ii） A1−Bl K1の固有値を単位円内に配するような，
A3＝B2 K1の解K1が存在し，かつ，（A4， B2）が可 安定対である。
（証明） 条件i）とii）は互いに双対の関係にあるか ら，i）が満たされるとき，2次元システム（1）式が安定 化可能であることを示せば十分である。
さて，条．件i）が満たされるとき，A2＝Bl K2であるか ら，w（ゴ，のは以下のようになる。7）
照の
C熟二撃＝1−1．il一！．
Jv（o， i） 一 ［k−II：i SU．O S5 ，MLI B 一E一］ （4i）
照・）一㊧鼇m角）一y司
i，ブ：≧1
さらに，条件i）が満たされれば，A4−B2」K2， Al−BIKI の単位円外にある固有値をそれぞれすべて，単位円内に移 すようなKl， K2が存在する。すなわち，フィードバック システム（40）式は定義2の意味で安定である。
6
なお，A2＝BIKT2を満たす一般解は，
K2＝Bl＋A2＋（■r 一Bl＋Bl）r （40）
ただし，r∈R xmは任意行列， Bl＋はBlの一般化逆行列 で与えられるから，結局，A4−B2 K2はつぎのように表現 できる。
A4−B2K2＝A4−B2Bi＋A2−B2（lr−Bi＋Bi）r （43）
すなわち，A4−B2 K2の固有値を単位円内に移し，かつ，．
A2＝BIK2を満たすようなK2が存在するtcめの必要十分条 件は［（A4−B2 B1＋A2）， B2（lr−B1＋・Bl）］が可安定評で あることである。
5．あ と が き
本論文では，状態フィードバックを用いた2次元システ ムの安定化の問題を考察した。
まず，このフィードバックに必要な状態ベクトルを得る ために，2次元システムの入出力データから水平状態およ び垂直状態ベクトルを再構成するような2次元状態観測器 を提案した。すなわち，ここでの状態観測器は1次元シス テムにおいて提案されているLuenbergerの状態観測器を 一般化したものである。
続いて，2次元状態観測器を構成するtめの基礎方程式 を導びいた。そして 状態観測器が存在するための十分条 件を示し，その構成アルゴリズムを与えた。
なお，本論文における2次元状態観測器の理論は，カル マンフィルターを2次元の場合に拡張するための基礎理論 となり得るもので，ノイズに汚染された入出力データから 水平状態および垂直状態ベクトルを推定するようなフィル タの構成へと発展が期待できる。もちろん，このようなフ ィルタから得られた状態ベクトルの推定値はノイズに汚染 された2次元システムの出力を画像とする画質の向上に利 用できよう。 ．
最後にt本研究の遂行にあたり懇切な御教示を賜わっ た，筆者の一入の留学先であるCanada Queen sUniversity 教授Fairman先生に深く感謝の意を表します。
文 献
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4， 484／492 （1976）
7 ） T．Hinamoto Realization of a State−Space Model from Two−D imensional lnput−Output Map ， IEEE． CAS−27．
1． 36／44 （1980）
8）国元・下西・前川；ttある種の2次元フィルタに対する 状態空間モデルの実現について ，第26回システムと制 御研究発表講演論文集，169／170（昭57．5）
9） R．Eising Realization and Stabilization of 2−D Sys−
tems． IEEE． AC−23， 5， 793／799 （1978）
10） P．NParaskee vopouls； Characteristic Polynomial As−
signment and Determination of the Residual Polynomial in 2−D Systems ， IEEE． AC−26， 2， （1981）
11） P．N．Paraskevouls； Eigenvalue assignment of linear multivariable 2−dimensional systems ， Proc． IEEE． 126，
11， 1204／1208 （1979）
12）下西・雛元・前川； 2次元システムの状態観測器 ， システムと制御，25，9，576／577（1981）
13） D．G．Luenberger； An lntroduction to Observers ， IEEE． AC−16， 6， 596／602 （1971）
14）H．Kwakeranaak and RSivan； Linear Opti皿al Con・
trol Syste皿s ， John Wily and Sons，334（1972）
15）須田・児玉； 制御工学者のためのマトリクス理論 （23） ，シスラムと制御，17，7，429／440（1973）
16）児玉・須田；tt制御工学者のためのマトリクス理論 （26） 、シスラムと制御，17，10，621／629（1973）
付 録 工
2次元状態空間における座標変換
2次元状態空間モデル（1）式の座標変換は（1−A）式の変 換行列を用いて行なわれる。
［：AES・1？，］＝一［：i．2］［1・［IIIii］
（1−A）
ただし，v1∈Rnxn， v2E！RMxmはそれぞれ正則な行列で
バ
あり，a（i，」）∈Rnxn， ij （i，」）∈Rmは新しい座標の下での 水平および垂直状態ベクトルの表現である。
このとき，互いのシステ．ムの入出力関係には何ら影響はな いことが知られている。4）
さて，（1−A）式の変換を（1）式に施せば次式が得られ
る。
匿調一圓隠1・［矧噸）
一7一
u（切一［c…一・…媚匡1；：到
ただし，
ノ皇1コVIAIV「1−1 ， A2＝VIA2V2−1 A3＝V2A3Vl−1 ， V4＝V2A4V2−1
（2−A）
つぎに，本文（17）式の行列階数の関係に注目すれば，σ2 の最初のγ行が独立になるように出力y（i，のの要素庖並 び換えることができる。すなわち，c2はつぎの形にでき
る。
砺俵］ 圃
ただし，c2∈fRrxmは。2のγ個の独立な行からなる行列で ある。
第3章において、2次元状態観測器の構成に用いられた C2（ここではC2V2−1）の形はV2を（4−A）式のように選ぶ ことによって得られる。
v2一 ［JtT−2r一］ （4 A）
ただし，Ω∈R（Tn−tyr）xmはv2を止則にするように選ばれた 任意行列である。
すなわち，2．次元システム（1）式を座標変換｛（2−A）｝式 することによって得られる。2の形は以下となる。
一「謡レ
tNM＿ノ r
付 録 コ：
F4をべき零にするSの構成アルゴリズム
（5−A）
第3節における仮定，すなわち，（A4， C2）は可観測対で あるという条件が満たされているものとする。このとき，
C2の形（（18）式）に注意すれば，（31）式のように分割され tc A4のブロック行列の対（A44， A24）もまた可観測対とな
る。13）
（31）式において（A44， A24）が可観測対であれば，適当 に行列Sを選ぶことによって，F4の固有値を任意に（複素 数の場合は共役対）指定できることが保障される。13）した がって，F4の固有値をすべて零に指定するようなSの構成 法を以下で示す。
さて，（31）式におけるAMの独立な行がp Aあるとしよ う。すなわち，
rank ［A24］＝p＄7 （1−B）
このとき，五匹はつぎのように表わされる。
A24＝＝PA24 （2−B）
ただし，P∈Rr×Pであり． A24∈Rρ×（m−O「）はA24の独立な 行からなり，最大階数をもっている。
つぎに，対（A44， APt）をLuenbergerの正準形15）に変換す る。すなわち，適当な正則変換行列uが存在し，対（A44，
A24）はつぎの形に変換できる。
UA44U−1＝［edl十2， ed1＋3，・… ■・， edl十a1， α1，・… 9ρ
……．edρ＋2， ed。＋3，……， ed，＋σρ， aρ］
A241アー1．．・［二〇一・O el…0・。・… O θ2i・・・… iO。。・・ ・0 θρ］
詔［剥 圃
ただし，α∫εE胎7σ＝1，2，……，ρ）は適当な要素をもつ 列べクトルであり，θi∈Rρは対角上が1であるような下 三角行列θ∈RPXPの第ゴ番目の列べクトルである。また，
ei∈RM一γは単位行列Im＿rの第i番目の列べクトルを示 す。さらに，
i−1
dl＝O， di＝Σgi（i一一2，3，……，ρ＋1）， dρ＋1＝m一γ ノ＝1
であり．σブの総和は対（A44， A24）の可観測性指数となる。
さて，（2−B）式に注目すれば，（31）式におけるF4はつ ぎのように表現できる。
F4＝ U−IF4U （4−B）
ただし，
り
F4 ＝＝ UA4U−1一 USPA24σ一1
＝［edl＋2， edを＋3，… ，ed1＋α1，α1一θb… ，edρ＋2， edp＋3，
……，edρ＋σρ， ap一θP］
θ声σSPθゴ（猟1，2，……，P）
ガ
（4−B）式において，もし，θi＝ai （i 一T 1，2，…，ρ）であれ ば，角は明らかにべき零行列である。すなわち，
1㍉α＝0（α＝mm｛α1，α2，……，αρ｝） （5−B）
したがって，θi＝aiとするようなSは次式で与えられるこ とがわかる。
S＝＝ U−1［α1，a2，……，αρ］θ一1P＋ （6−B）
ただし，
P＋＝（PTP）一IPT
以上，F4をべき零にするようなSの構成手順を与えた。
なお，Luenbergerの正準形を導びくような変換行列Uの構 成法については例えば文献（15）等を参照されたい。
8 一
