We will study the expliciHormulas of the L（％） s for these cases which have a decomposition with integral polynomial factors and are useful to calculate the class

Sci. Bull. Fac. Educ., Nagasaki Univ., No. 47, pp. 1 9 (1992)

Explicit formulas of L-functions of some hyperelliptic curves To the Memory of Professor Koichi Yamamoto

Tadashi WASHIO and Tetsuo KODAMA*

Department of Mathematics, Faculty of Education,

Nagasaki University, Nagasaki 852, Japan

(Received Feb. 29, 1992)

Abstract

Let F=GF(p) be a prime field of characteristic p>2. Let g be a positive integer.

Denote by P(x) a polynomial over F of the form P(x)=x2gF1+1 where (2g-f-1, p)

=1 or of the form P(x)=x(x2g+1) where (2g,p)=1 and by K= Q= (x, a hyperelliptic

function field defined by y2=P(x) over F. Assume that, in the case P(x)-=x2g+1+

1, there exists nEN satisfying —1 (mod 4g+2) and that, in the case P(x) = x(x2g+1), there exists nEN satisfying —1 or 1 +2g (mod 4g).

Then, it is shown that the L-function L(u) of K is given by

L(u).-= 1 + (pu2).,/2} b,

J=1

for suitable positive integers a, b, and even nj.

The proof is done by calculations of the number of points on the curves in suitable constant field extentions of K and by the MObius's inversion formula instead of using

the techniques of Weil.

I . INTRODUCTION

Let F=GF(ci) be a finite field of characteristic p>2. Let K be an algebraic function field of genus g>0 over F. We will denote by L(u) its L-function, i.e., the numerator

of its zeta-function Z(s). Then it is put in the form

L(u)=ao+aiu+a2u2+•••+a2gu2g — w

iu) (1-0)2u) ••• (1—w2gu) where a,EZ , a0=1, a2g_i=e-' a, (i=0,...g) and a),EC

The so-called Riemann hypothesis means that co, can be written as

Department of Mathematics, College of General Education, Kyushu University,Fukuoka 810, Japan

  ωε＝γ縄1／2， 1γ」＝1（∫＝1，2，．．．，2g）（see Eichler［1］，Ch．V，§4and Hasse

［2］，Ch．IV）．

  Let us assume thatκ＝「（T，y）is a hyperelliptic function fdd defined byッ2＝P（3じ）

where P（劣〉is a polynomial over「of the form

      P（記）；〆8＋1十αwith（28十1，ρ）＝1andα∈『×or       P（コじ）＝3じ（κ28十α）with（28，p）＝1andα∈「×．

  Then，in ［7］，we have proved that allγ1，γ2，．の．，γ28are roots of unity if and only ifthereexistsπ∈N satisfying pη…一1（mod4g十2）inthecaseP（3じ）ニr28＋1

十αor satisfy重ng pπ……一10r1十28（mod48・）in the case P（r）＝π（∫28十α）．

  We will study the expliciHormulas of the L（％） s for these cases which have a decomposition with integral polynomial factors and are useful to calculate the class

      L（鋤）一H｛1＋（P秘2）π∫／21δノ       ノニ1

for suitable positive integers α， ゐノ and even ηノ．

  In ［9］，・A．Weil has already considered curves of the form ye＝γπ「十δ，where γ，δ∈GF（p処〉satisfyingp／εブ，andshown

      L（％）一■五、，6（μ），whereLα，δ（％）一1＋ζノ〆        α，δ

with a root of unityζ and a Jacobi sumブfor suitable integers α，6，d．Our proof is done by calculations of the number of points on the curves in suitable constant field extentions of K and by using the Mδbius s inversion formula instead of using

  To do so，we will state several notaions and some lemmas concerned at them in

§2and prepare some lemmas for the Jacobi sums in §3．The desired results about

L（秘） s for P（T）＝記29＋1十1 and P（偲）＝T（￠29十1） will be given in §§ 4and5

respectively．       ， 2． Notations and Some Lemmas

  In this section we will give some notations and their properties which will be used

Moreover denote byゐthe minimum of such，ガsl thus2んmeans the order of p modulo

2五We write，for everyπ∈N，

       ε．＝（Pπ一1，2か，δ．＝（P』1，の．

Explicit formulas of L‑functions of some hyperelliptic curves 3 

It is clear that if n m(mod 2k) or n=  =e  and  =  . Moreover 

(m, 2k) then e 

the equality e =2  is equivalent to ord2 f, where ord2z means the (p"‑1) > ord2 

number of times 2 dividing z. 

Now we set 

D= {  ; ne J e =26 >2 } 

and o! = #D(the cardinal number of the set D). 

Furthermore, for each djeD, we denote by nj the minimum of n's such that e =  2  =2dj. By renumbering, we may assume that 

nl< n2<... < n  and we put 

N= {nl,  n2,..., n.} and D= {dl, d2,..., d.}, where dj= j (1 j  a ). 

Clearly njl2k, djlf, n.=2k and d.=f. These definitions lead to the following  lemma. 

LEMMA 2.1. (i) If njeN then nj is the minimum of n's satisfying p"=1 (mod 2d ) 

(iii) Let djeD and n e i; then d 1   < > n I n 

Since we can easily prove that njl 2k and 2njJ 2k for njeN, we see the followirg 

LEMMA 2.2. ord2nj=0rd 2k for all n EN especlally 2 1 n 

LEMMA 2 3 (1) If p I (mod 2  then p"/2 1 (mod 2d ) and e j/2=2 for all 

nj e N. 

(ii) If f=2g aud pk 1+f (mod 2h  for all njeN. 

then p"j/2 EI +dj (mod 2dj) and  j/2 =dJ 

PROOF. Because of 21ljX 2k, we can put 2k=2nju+2v (u, v e : , 0<v <nj). 

From njf 2k we get njl 2v and so v=nj/2; consequently pksp"j/2(mod 2dj). 

Case (i) Obviously p"j/2 ̲1 (mod 2dj). Also, since nj/2 1 k and ek=2, we have 

e  j/2 = 2 . 

Case (ii) Evidently p"j/2 1 +f (mod 2dj). Since djl f and nj is the minimurn of n's 

such that p" 1 (mod 2dj) we get p"j/2E:EI +dj(mod 2dj). Thus we see' djl j/2 16 j  and hence dj=  j/2 

We will now deflne the notatlon N(n) for n E I by  N(n) = {njeN; njln}. 

Then the following lemma follows from Lemma 2.1. 

LEMMA 2.4. If N(n)   

6  and N(n) = N(nj). 

and nj is the l arge s t 

We can regard the set N=(nl, n2,"', n.} as 

to the divisibility relation and so we can define 

i. e. , 

( i ) P (x,x) = I (xeN),  (ii) P (x,y) = O (x,yeN, xXy), 

(iii)   p (x,z) = O (x,yeN, x l 

'eN=* I ',' I y 

Then, by making use of the Mobius's inversion  lemma. 

number 

^contained 

a partially  the Mobius 

y, x   y). 

f ormula, 

in N(n) then 

ordered set with 

we obtain 

d= ^j 

respect 

on N, 

following 

LEMMA 2. 

" ' Xa)  X2, ' 

5. Let dl '  of a system 

da 

d 2 , " " 

of linear 

nie N( n j ) ' n 

‑  e a given real 

equations 

ixi = dj‑ (j=1,2 

numbers. 

,, ., ) 

_a 

Then the  solution (xl, 

is given by 

xj ‑

1  n j 

T 

njeN(nj) 

p(n,, nj) di‑ j=1 , 

3. Jacobi Sums 

In this section we will give some lemmas for the Jacobi sums. Let [  be a finite  field. Then a Jacobi sum in O  with respect to multiplicative characters o and ,, 

J(c,v)=   o(u)v(v) 

+.=1 

with the summation extended over all pairs (u, v) of elements of [  satisfying u+v=1. 

The general theory of the Jacobi sums may be found in B.C. Berndt and R.J. Evans  [1]. H. Davenport and H. Hasse[2], K. Ireland and M. RosenL5] and R. Lidl and H. 

Niederreiter[8]. In [7], we have known the following r sults. ([7],p.192 and p.196). 

LEMMA 3. I . 

Suppose that  character of 

LEMMA 3.2. 

Suppose that 

Let p  d>1 is 

order d 

Let p  d>1 is 

be  an 

o f 

be 

an 

a prime number and n a positive integer. 

odd integer satisfying p  ‑1(mod 2d). If A 

If t¥i then 

J(Aj, Aj) =p" for j=1,2,..., d‑1. 

a 

prime number and n a positive 

integer. 

or I +d 

Let O .¥ = GF ( p2 ). 

is a multiplicative 

Let  =GF (p2 ). 

(mod 2d). If A is 

Explicit formulas of L‑functions of some hyperelliptic curves 5  a multiplicative character of o.rder 2d and 7 is the ( uadratic character of [   then 

A2j 1(̲1) J(A2j+1,  )= " .. d‑1. p forj=0,1, ., 

4 L Functlon for P(x)=xf+ l 

Let rrl =GF (p) be a prime field of characteristic p>2 and K= IF(x;y) a hyperelliptic  function field defined by y2=xf+1 where f=2g+1 and (f, p)=1. We will denote by 

L (u) its L‑function and put 

L (u) =(1 ‑(vlu) (1 ‑w2u) "' (1 ‑a'2gu). 

Let L (u)=ao( ) +al( )u +a2( )u2+... +a2g( )u2g be the L‑function of the constant 

L (u) (1 a' u) (1 co u) (1 w2"u) (see L3], [4]). 

Now we assume that there exists me i such that p ;‑1 (mod 2h and denote  by k the minimum of such m's. 

LEMMA 4.1. Let notations be same as in S 2 and let n er }  (i ) If N (n) =   then al( ) =0. 

(ii) If N (n)   then al( ) =(‑1) "/ ‑1(d‑1) p"/2  where m is the largest number contained in N(n) and d=6 . 

PROOF Put q=p" and  =GF(q). Then, as is well known, al( ) is given by 

d ‑ 1 

al( )=   V (vf+1)=  ' Aj(‑4)J(Aj,Aj) 

'e , j=1 

where 7 is the quadratic character of O  and A is a multiplicative character of [  

Suppose that N(n)  . Since Lemma 2.4 Ieads to d= =  we obtain 

J(Aj,Aj) = (‑1) /  I J((1J (T')"/  

where (1 is a multiplicative character of GF(p ) of order d such that o is lifted 

Then, from Lemmas 2.2 and 2.3, we see 2 1 m and p /2= ‑1 (mod 2d). So it  follows from Lemma 3.1 and cj(‑4)=1 that 

(rj(‑4) J (cj,Cj)=p /2  Therefore we get 

A'( 4)J(AJ Aj) = (‑1)"/ ‑1{oj(‑4)J(cJ crJ)}"/  

= ‑1)"/ ‑1 p"/2 

and hence 

al( ) = (‑1)"/ ‑1 (d‑1) p"I2 

6  Tadashi  WASHIO and 

Tetsuo 

THEOREM 1. Let Jf"=GF(p) be a prime field of characteristic p>2 andK= fJ'(x; y) 

N= { nl, n2,..., 

n. } aud D= { dl, d2,"',  d. } 

be same as in S 2. Then the L‑function of K is given by  L(u) = II { 1+(pu ) 7 } j, _{2  /2 b} 

j=1 

where bj= I p (n,, n ) (d 1) (J 1 2,...,a ) 

l   

n j 

"ieN( j) 

PRooF. From Lemma 3.5 and the definition of bi, we see 

' bi ni=d j ‑ I (J I ,2. . . , a). 

"ieN( j) 

For ner 1 we will define c  by 

O if N(n) =  , 

( 1)"/ i‑1bini if N(n)    . 

c‑^"   "/2   ‑

"ieN( ) 

In the case N(n)    , if we denote by nj the largest number contained in N(n), 

ord2 nj for nieN(nj) we get n/ni E n/nj (mod 2). Thus  c = (‑1) "/ j‑1 p"/2   .bi ni 

"ieN( j) 

= 

‑1) "/ j‑1 (dj‑1) p"/2. 

Thus Lemma 4.1 shows that c =al( ) for ne 1 Hence It follows that  log L(u)= ‑   (a'l"+ "'+ co2g") u"/n * 

=1 

= 

 al( )u"/n =  c  u"/n 

=1  =1 

= 

_j=1 ,=1 

= 

 log {1 +(pu2)"j/2}  

j=1 

and so we have the desired formula. 

The notations being as in Theorem 1, 

Numerical 

example. 

the 

following 

p= 61. Then 

results 

f = 539, 

follow at 

k = 105, 

once  ^f rom 

a 5 N={6, 10, 

Explicit formulas of L‑functions of some hyperelliptic curves 7 

30, 42, 210}, D=}, D= { 7, Il, 77, 49, 539}, and so 

L(u)=(1 +p3u6) (1 +p5uro) (1 +pl5u30)2 (1 +p u ) (1 +pro5u210)2 21 42 

COROLLARY l. If k=2'(r 0), then a =1, N { 2k } D { f } aud 

L(u) = { I +(pu2)k} glk 

COROLLARY 2. If f is a prime number satisfying f   p and the ord r of p modulo  2f is even, then k is the half order of p modulo 2f, a=1, N= { 2k } , D= {f}, and 

L(u) = { I +(pu2)k} g/k 

COROLLARY 3. If f=2'(2 : odd prime, r>0) and p is a primitive root modulo 2f,  then k= (2‑1) 2'‑1/2, a=r, N= {2‑1,..., (2‑1)2j‑1,..., 2k}, D= {2,...,  j 

..., f} and . 

j=1 

where nj= (  ‑1) 2j=1 

5. L‑Function for P(x)=x(xf+ I ) 

Let   =GF(p) be a prime field of characteristic p>2 andK= O'(J,;y) ahyperelliptic 

by L (u) its L‑function. 

Let L (u)=ao( )+al( )u +a ( )u2 +...+a2 (*)u2g be the L‑function of the  constant field extension of K of degree n. 

Throughout this section, we assume that there exists m e  ¥ .1 such that p ;‑1 or 

LEMMA 5.1. Let notations be same as in S 2 and let n e[¥¥1. 

(i) If N(n) =  ' 

hen al( ) = O. 

(ii) If N(n)   then al( ) = (‑1) "/ ‑1 d p"/2 

where m is the largest number contained in N(u) and d    . 

PROoF. Put q=p" and  =GF(q). Then, as is well known, al( ) is glven by the 

Jacobsthal sum 

al( ) =  ' 7 (v(vf+1)) 

e *, 

where 7 is the quadratic character of i . Thus if N(n) =   then al( ) O and if  N(n)     then 

al( ) =  ' A2j+1(‑1)J(A2 +1 7 ) 

where A is a multiplicative character of l}  of order 2d=2 . 

In the case N(u)    , Lemma 2.4 gives us d= =  and so we have 

J(A2j‑1,7)= (‑1) "/ ‑1 J(02jtl v) "/  

where v is the quadratic character and o is a multiplicative character of GF(p )  of order 2d such that o is lifted to A ; A = cF' Norm. 

Then, from Lemmas 2.2 and 2.3, we see 2lm and p /2= I or 1+d (mod 2d)  So Lemma 3.2 Ieads to 

62j+1(‑1) J((7 2j 1 v ) p 12  Therefore we obtain 

A2j+1(‑1) J(A2j+1,7 ) = (̲1)"/ ‑1 {c2j 1(‑1) J (02j 1 v) } "/  

= ‑1)"/ ‑1 p"/2 

and so we get the desired assertion 

al( ) = ( 1) "/ =1 d p"/2 

The proof of the following theorem is same as the proof of Theorem I with the  exception of replacing Lemma 4.1 by Lemma 5.1. 

THEOREM 2. Let   =GF(p) be a prime field of characteristic p>2 and K= If(x,y)  a hyperelliptic function field defined by y2=x(xf+1) where f=2g and (f, p) =1 .  Assume that there exists meT J such p :‑1 or 1+f (mod 2h. Let the notations 

, ', n.} aud D={ dl, d2,..., d.} 

N= {nl, n2 .. 

be same as in S 2. Then the L‑function of K is given by  L(u) = 11 {1 +(pu2)" /2} b 

j=1 

where bj = i  ' p(ni, nj) di (j=1 2 a ) 

nj  ieN( j) 

Let the notations be as in Theorem 2. Then we can also get easily the follo ving  results. 

COROLLARY I If k=2"(r O); then a=1, N= { 2k }, D= { f} , and  L(u) = { 1+ (pu2)k}g/k. 

COROLLARY 2 If 2g=p2" 1, (r>0), then k=2" and 

L(u) = { I + (pu2) k} glk. 

COROLLARY 3. If g=P (  odd prlme) and k>1 then a 2 N { 2 2k} D 

{ 2, f }, and 

L(u) = (1+pu ) { 1+ (pu2)k } (g 1)lk 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8  9 

Explicit formulas of L‑functions of some hyperelliptic curves 9  CoRoLLARY4. If 2g=pg'‑1, (  : odd prime, r>0), then k=2･, a r+1 N {2 

2pi,..., 2k }, D= { p‑1,..., pP'‑1,...f}, and 

L(u)= h { I +(pu2)2'}b  where b (p ‑ pPi 1) /22 i.  i=0 

Remark. The fact that the numbers bj (j=1,2,..., a) which appear in Theorems 1  and 2 are positive integers follows from the fact that L(u) is a polynomial and from 

References 

B.C. Berndt and R.J. Evans, Sums of Gauss, Jacobi, and Jacobsthal, J. Number 

Theory 11 (1979), 349‑398. 

H. Davenport and H. Hasse, Die Nullstellen der kougruenzzeta‑fwaktionen in gewissen  zyklischen Fallen, J. Reine Angew. Math. 172 (1934), 151‑182. 

M. Eichler, "hltroduction to the theory of algebraic numbers and functions," Academic  Press, New York‑London, 1966. 

H. Hasse "The Rlemann hypothesls In algebronc functwa flelds over a fmlte constauts  field," Pennsylvania, 1968. 

K Ireland and M Rosen "A classlcal rntroductlon to modern number theory," 

Springer, New York‑Heidelberg‑Berlin, 1982. 

T. Kodama and T. Washio, On class numbers of hyperelliptic function fields with  Hasse‑Witt‑invariant zero. Arch. Math. 49 (1987), 208‑213. 

T. Kodama and T. Washio, A family of hyperelliptic function fields with Hasse‑

Witt‑invariant zero, J. Number Theory 36 (1990), 187‑200. 

R Lldl and H. Niederreiter, "Finlte flelds " Addlson Wesley Readlng MA 1983 

A. Weil, Jacobi sums as "Grossencharaktere" Trans. Amer. Math. Soc. 73 (1952), 

487 495