大学院入試問題´測度論µ解答例¾º可測関数と積分 補遺
服部哲弥，石川洋一，市原洋文，小島康宏，竹田紗苗，松井真也
測度論の練習問題（大学院入学試験問題）解答例
２．可測関数と積分（補遺）
広島大．
とおく．初めに，非負整数に対して， の定義から ならば が成り立つことに注意する．
が可積分とする．
·½
が，任意の正整数に対して成り立つので， が可積分だから，
である．
逆に
とする．
·½
よって は可積分である．
が可積分なので より
だから，
すなわち，
と が可積分であることより，
となって，右辺はとなるから，
金沢大．
だから，単調な集合列に対する測度の連続性より，
大学院入試問題´測度論µ解答例¾º可測関数と積分 補遺
右辺は，
なので， である．
自然数 に対して，
とおく． が実数値関数だから
だから単調集合列に関する測度の連続性より，
よってある があって， このとき，
とおく． から
なので， に対して，
すなわち，
よって，
だから
は絶対収束，よって収束．これが に対して成り立つから，ほとんど全て の で収束する．
神戸大．
とおく． は可積分なので
½
¾
だから， ならば なので，
½
½
また，
だから
¾
¾
故に
Ê
½
¾
を任意に取り， とおく．
Ê
だから
他方，全ての自然数に対して だから
となる．
以上を合わせると， となる．は任意だったからを得る．
次に， とおく．
大学院入試問題´測度論µ解答例¾º可測関数と積分 補遺
なので に対して
Ê
すなわち，
また，既に証明したことより， だから，
Ê
よって，
Ê
大阪市大 ．Æとすると，
Ê Æ
Ê
Ê Æ
Æ Æ
Æ
Ê
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
右辺はによらないから，
Ê
Æ
Æ
ここでÆとすれば
Æ
Ê Æ
を得る．
東工大．
ܾª
とおく．
のとき．任意の正数 に対して このとき，
!"
!"
左辺は によらないから，左辺は すなわち，
のとき．まずの定義から，
次に，とし，
とおくと，
であって，
大学院入試問題´測度論µ解答例¾º可測関数と積分 補遺
を固定してとすると
!"
は任意だから
!"
以上より
ܾª
新潟大 ．
とする．
#$%& ならば，
#$%&
#$%&
よって，単調な集合列に関する確率の連続性から
#$%&
すなわち
#$%&
これは 概収束を意味する．
なる任意のに対して，
#$%&
#$%&
½
#$%&
½
よって， から
½一般には確率収束しても概収束しないが，確率収束のスピードが速ければ概収束する，という問題．
