sin x + cos x (0 < x < π)

平成 30 年度 東京大学２次試験前期日程 ( ^数学問題 )150 ^分 理科 ( 一類，二類，三類 )  数 I ・ II ・ III ・ A ・ B 1

^関数

f(x) = x

sin x + cos x (0 < x < π)

の増減表をつくり，x

→ +0，x → π − 0

のときの極限を調べよ．

2

^数列

a ₁ , a ₂ , · · ·

を

a _n = ²ⁿ⁺¹ C _n

n! (n = 1, 2, · · · )

で定める．

(1) n = 2

とする．

a _n

a _{n − 1}

を既約分数

q _n

p _n

として表したときの分母

p _n = 1

と分 子

q _n

を求めよ．

(2) a _n

が整数となる

n = 1

をすべて求めよ．

3

^放物線

y = x ²

のうち

− 1 5 x 5 1

をみたす部分を

C

とする．座標平面上の原 点

O

と点

A(1, 0)

を考える．

k > 0

を実数とする．点

P

が

C

上を動き，点

Q

が 線分

OA

上を動くとき，

−→ OR = 1 k

−→ OP + k −→

OQ

をみたす点

R

が動く領域の面積を

S(k)

とする．

S(k)

および

lim

k → +0 S(k)

，

lim

k →∞ S(k)

を求めよ．

4 a > 0

とし，

f(x) = x ³ − 3a ² x

とおく．次の

2

条件をみたす点

(a, b)

の動きうる範囲を求め，座標平面上に図 示せよ．

条件

1

： 方程式

f (x) = b

は相異なる

3

実数解をもつ．

条件

2： さらに，方程式 f (x) = b

の解を

α < β < γ

とすると

β > 1

である．

5

複素数平面上の原点を中心とする半径

1

の円を

C

とする．点

P(z)

は

C

上にあ り，点

A(1)

とは異なるとする．点

P

における円

C

の接線に関して，点

A

と対 称な点を

Q(u)

とする．

w = 1

1 − u

とおき，

w

と共役な複素数を

w

で表す．

(1) u

と

w

w

を

z

についての整式として表し，絶対値の商

| w + w − 1 |

| w |

を求めよ．

(2) C

のうち実部が

1

2

以下の複素数で表される部分を

C ⁰

とする．点

P(z)

が

C ⁰

上を動くときの点

R(w)

の軌跡を求めよ．

6

^{座標空間内の}

4

点

O(0, 0, 0)

，

A(1, 0, 0)

，

B(1, 1, 0)

，

C(1, 1, 1)

を考える．

1

2 < r < 1

とする．点

P

が線分

OA，AB，BC

上を動くときに点

P

を中心とす る半径

r

の球

(

内部を含む

)

が通過する部分を，それぞれ

V ₁

，

V ₂

，

V ₃

とする．

(1)

平面

y = t

が

V ₁

，

V ₃

双方と共有点をもつような

t

の範囲を与えよ．さら に，この範囲の

t

に対し，平面

y = t

と

V ₁

の共通部分および，平面

y = t

と

V ₃

の共通部分を同一平面上に図示せよ．

(2) V ₁

と

V ₃

の共通部分が

V ₂

に含まれるための

r

についての条件を求めよ．

(3) r

は

(2)

の条件をみたすとする．V

₁

の体積を

S

とし，V

₁

と

V ₂

の共通部分 の体積を

T

とする．

V ₁

，

V ₂

，

V ₃

を合わせて得られる立体

V

の体積を

S

と

T

を用いて表せ．

(4)

ひきつづき

r

は

(2)

の条件をみたすとする．

S

と

T

を求め，

V

の体積を決 定せよ．

解答例

1 f (x) = x

sin x + cos x (0 < x < π)

より

f ⁰ (x) = 1 · sin x − x cos x

sin ² x − sin x = sin x(1 − sin ² x) − x cos x sin ² x

= sin x cos ² x − x cos x

sin ² x = cos x(sin x cos x − x)

sin ² x = cos x(sin 2x − 2x) 2 sin ² x

ここで，

g(x) = sin 2x − 2x (0 5 x < π)

とおくと

g(0) = 0, g ⁰ (x) = 2(cos 2x − 1) < 0 (0 < x < π)

したがって

0 < x < π

のとき

g(x) < 0

f ⁰ (x) = g(x) cos x

sin ² x

により，f

(x)

の増減表は次のようになる．

x (0) · · · ^π ₂ · · · (π)

f ⁰ (x) − 0 +

f (x) & ^π ₂ %

また

lim

x → +0 f (x) = lim

x → +0

( x

sin x + cos x )

= 1 + 1 = 2

x → lim π − 0 f (x) = lim

x → π − 0

( x

sin x + cos x )

= ∞

2 (1) a _n = ²ⁿ⁺¹ C _n

n! (n = 1, 2, · · · )

より

a _n = (2n + 1)!

(n!) ² (n + 1)!

ゆえに

a _n a n − 1

= (2n + 1)!

(n!) ² (n + 1)! · { (n − 1)! } ² n!

(2n − 1)!

= (2n + 1)!

(2n − 1)! · { (n − 1)! } ² (n!) ² · n!

(n + 1)!

= 2n(2n + 1) · 1 n ² · 1

n + 1 = 2(2n + 1) n(n + 1)

連続する

2

つの整数の積

n(n + 1)

は

2

で割り切れるから

a _n

a _n−1 = 2n + 1

1

2 n(n + 1) · · · ( ∗ )

このとき

2n + 1 = 2 · n + 1

，

2n + 1 = 2(n + 1) − 1

2n + 1

と

n

は互いに素，また，

2n + 1

と

n + 1

も互いに素である．

よって

p _n = 1

2 n(n + 1), q _n = 2n + 1

(2) a ₁ = ³ C ₁

1! = 3

，

a ₂ = ⁵ C ₂

2! = 5

，

(1)

の結果から，

q _n

は奇数，

p ₃ = 6

．

n = 2

のとき

∏ n

k=2

a _k a _{k − 1} =

∏ n

k=2

q _k

p _k

ゆえに

a _n a ₁ =

∏ n

k=2

q _k p _k

したがって

a n = 3

∏ n

k=2

q _k

p _k = 3q ₂ q ₃ · · · q _n p ₂ p ₃ · · · p _n

n = 3

のとき，

p 2 p 3 · · · p n

は偶数であり，一方，

3q 2 q 3 · · · q n

は奇数である から，a

_n

は整数ではない．よって，a

_n

が整数となる

n

は

n = 1, 2

別解

q _n

p _n = 2(2n + 1) n(n + 1) = 2

n + 2

n + 1

より

n 5 3

のとき

q _n

p _n > 1， 4 5 n

のとき

q _n

p _n < 1．

したがって

a ₁ < a ₂ < a ₃ > a ₄ > a ₅ > · · · > a _n a ₃ = 35

6

，

a ₄ = 21

4

，

a ₅ = 77

20

，

a ₆ = 143

60

，

a ₇ = 143

112

，

a ₈ = 2431

4032

n = 8

のとき，

a _n < 1

となる．よって，

a _n

が整数となる

n

は

n = 1, 2

3 C

上の点

P(p, p ² )

に対して

( − 1 5 p 5 1)

，

−−→

OP ⁰ = 1 k

−→ OP

とおくと

−−→ OP ⁰ = 1 k

−→ OP = 1

k (p, p ² ) = ( p

k , k ( p

k ) 2 )

− 1 k 5 p

k 5 1

k

から，

P ⁰

は放物線

y = kx ² (

− 1

k 5 x 5 1 k

)

上にある．また，線 分

OA

上の点

Q(q, 0)

に対して

(0 5 q 5 1)

k −→

OQ = k(q, 0) = (kq, 0)

−→ OR = −−→

OP ⁰ + k −→

OQ

より，Rは点

P ⁰

を

x

軸方向に

kq

だけ平行移動した点であ る．このとき，

0 5 kq 5 k

であるから，次のように場合分けを行う．

(i) k − 1 k < 1

k

，すなわち，

k < √

2

のとき

S(k) = 2 × 1 k · k − 2

∫

^k

2

0

kx ² dx = 2 − 2 [ k

3 x ³ ]

^k

2

0

= 2 − k ⁴ 12

O y

k x

− ¹ _k

1 k

k − ¹ _k ¹ k

x = ^k ₂

k + _k ¹ (ii) 1

k 5 k − 1

k

，すなわち，

√

2 5 k

のとき

S(k) = 1

k {

k + 1 k −

(

− 1 k

)}

− 2

∫

¹

k

0

kx ² dx = 1 + 4 3k ²

O y

− ¹ _k x

1 k

k _k + _k ¹

1 k k − ¹ _k

(i)

，

(ii)

の結果から

lim

k → +0 S(k) = 2

，

lim

k →∞ S(k) = 1

4 f (x) = x ³ − 3a ² x

より

f ⁰ (x) = 3x ² − 3a ² = 3(x + a)(x − a) f (x)

の増減表は

x · · · − a · · · a · · ·

f ⁰ (x) + 0 − 0 +

f(x) % 2a ³ & − 2a ³ %

 

O y

x

α β γ

b 1 f (1)

− a a

2a ³

− 2a ³

y = f (x)

f (x) = b

の解

α < β < γ

について，

β > 1

であ るから

1 < a, − 2a ³ < b < f (1)

したがって

− 2a ³ < b < − 3a ² + 1 (a > 1)

点

(a, b)

の満たす領域は，右の図の斜線部分で，

境界線を含まない．

 

O b

a 1

− 2

b = − 2a ³ b = − 3a ² + 1

1

5 (1) θ = arg z

とし，2点

A，Q

をそれぞれ原点

O

を中心に

− θ

だけ回転させた 点をそれぞれ

A ⁰

，

Q ⁰

とすると，

A ⁰ (z)

を点

1

に関して対称位移動した点が

2 − z

で，この点を

x

軸に関して対称移動した点が

Q ⁰ (2 − z)

である．

O y

x Q(u) A(1) P(z) w

w

2 − z 2 − z

Q ⁰ (2 − z) O

y

1 x A ⁰ (z)

` ⁰

`

θ − θ

C

Q(u)

は

Q ⁰ (2 − z)

を原点

O

を中心に

θ

だけ回転させたものであるから

u = z(2 − z)

ゆえに

w = 1

1 − u = 1

1 − z(2 − z) = 1 (z − 1) ²

さらに

w = 1

(z − 1) ² = z ²

z ² (z − 1) ² = z ²

(1 − z) ² = z ² w

よって

w w = z ²

したがって

| w + w − 1 |

| w | = 1 + w

w − 1 w

= 1 + z ² − (z − 1) ² = 2 | z | = 2

(2) (1)

の結果より

arg w = − 2 arg(z − 1)，

w + w 2 − 1

2

= | w | · · · ( ∗ ) 2

3 π 5 arg(z − 1) 5 4

3 π

であるから

− 8

3 π 5 − 2 arg(z − 1) 5 − 4 3 π ϕ = arg w

とおくと

− 2

3 π 5 ϕ 5 2 3 π

O y

x R(w) H

1 2

m

ϕ

O y

1 x z

1 2

arg(z − 1)

複素数平面上に

R(w)

をとり，点

1

2

を通り，

x

軸に垂直な直線

m

に

R

から 垂線

RH

を引く．r

= | w |

とすると，(

∗ )

より

RH = w + w

2 − 1 2

= r OR cos ϕ + RH = 1

2

であるから

r cos ϕ + r = 1

2 · · · 1

よって

r = 1

2(1 + cos ϕ) (

− 2

3 π 5 ϕ 5 2 3 π

)

· · · ( ∗∗ ) w = x + yi

とおくと，x

= r cos ϕ，r ² = x ² + y ²

であるから，

1

より

x + r = 1

2

ゆえに

r ² = ( 1

2 − x ) 2

整理すると

x = 1 4 − y ² ( ∗∗ )

より

ϕ = ± 2

3 π

のとき

r = 1

 

O y

x

√ 3 2

− ^√ ₂ ³

− ¹ ₂ ¹ ₄

2 3 π

ϕ = − 2

3 π

のとき

(

− 1 2 , −

√ 3 2

)

，

ϕ = 2

3 π

のとき

(

− 1 2 ,

√ 3 2

)

よって，求める軌跡の方程式は

x = 1 4 − y ²

(

−

√ 3

2 5 y 5

√ 3 2

)

R(w)

の表す軌跡は，右上の図のようになる．

補足

( ∗∗ )

および

ϕ = arg w

より，wは次式で与えられる．

w = cos ϕ + i sin ϕ 2(1 + cos ϕ)

(

− 2

3 π 5 ϕ 5 2 3 π

)

別解

θ = arg z

とすると，条件から

π

3 5 θ 5 5 3 π

w = 1

(z − 1) ²

により

w = 1

z ² − 2z + 1 = z

z + z − 2 = cos θ − i sin θ

2 cos θ − 2 = − cos θ + i sin θ 2(1 − cos θ)

ここで，

θ = π − ϕ

とおくと

w = cos ϕ + i sin ϕ 2(1 + cos ϕ)

(

− 2

3 π 5 ϕ 5 2 3 π

)

r = | w |

とおくと，

( ∗∗ )

が得られる

(

以下の計算は同様

)

．

6 (1)

点

P

が線分

OA

上を動くとき，点

P

から平面

y = t

までの距離は

t

点

P

が線分

BC

上を動くとき，点

P

から平面

y = t

までの距離は

1 − t

したがって，平面

y = t

が

V ₁

，

V ₃

双方と共有点をもつような

t

の範囲は

t 5 r

かつ

1 − t 5 r

すなわち

1 − r 5 t 5 r · · · ( ∗ )

線分

OA

上の点

P(c ₁ , 0, 0)

を中心とする半径

r

の球

(内部を含む)

は

(x − c ₁ ) ² + y ² + z ² 5 r ²

これと平面

y = t

の共通部分は

(x − c ₁ ) ² + z ² 5 r ² − t ² , y = t

上式は，平面

y = t

において点

(c 1 , t, 0)

を中心とする半径

√

r ² − t ²

の円の内部 である．点

P

が線分

OA

上を動く，す なわち，

0 5 c 1 5 1

のとき上式が通 過する図形が，平面

y = t

と

V ₁

の共通 部分である．この図形を平面

y = t

上 に描くと右のようになる．境界を含む

(r ₁ = √

r ² − t ² )

．

 

O z

x r ₁

− r ₁

− r ₁ 1 1+ r ₁

線分

BC

上の点

P(1, 1, c ₃ )

を中心とする半径

r

の球

(

内部を含む

)

は

(x − 1) ² + (y − 1) ² + (z − c ₃ ) ² 5 r ²

これと平面

y = t

の共通部分は

(x − 1) ² + (z − c 3 ) ² 5 r ² − (t − 1) ² , y = t

上式は，平面

y = t

において点

(1, t, c ₃ )

を中心とする半径

√

r ² − (t − 1) ²

の円 の内部である．点

P

が線分

OA

上を動 く，すなわち，

0 5 c ₃ 5 1

のとき上式 が通過する図形が，平面

y = t

と

V 3

の 共通部分である．この図形を平面

y = t

上に描くと右の図のようになる．境界 を含む

(r 3 = √

r ² − (t − 1) ² )

．

 

O z

1 x 1

1+ r ₃

1+r ₃ 1 − r ₃

− r ₃

r ₁ = √

r ² − t ²

，

r ₃ = √

r ² − (t − 1) ²

であるから，これらの大小により

t

の 値の範囲は次のようになる．

(i) r ₁ = r ₃

のとき

√ r ² − t ² = √

r ² − (t − 1) ²

これを解いて

t 5 1 2

このとき，

( ∗ )

に注意して

1 − r 5 t 5 1

2 (ii) r ₁ < r ₃

のとき

√ r ² − t ² > √

r ² − (t − 1) ²

これを解いて

t > 1 2

このとき，

( ∗ )

に注意して

1

2 < t 5 r

(i),(ii)

の場合について，平面

y = t

と

V ₁

の共通部分および，平面

y = t

と

V ₃

の共通部分を同一平面上に図示すると次のようになる．

O z

1 x 1

1+r ₁ r ₁

− r 1

− r ₁ 1+r 3

O z

x r ₁

1 1+ r ₃

1+ r ₃

− r ₁ 1

− r ₃

r ₁ = r ₃ (1 − r 5 t 5 ¹ ₂ )

のとき

r ₁ < r ₃ ( ¹ ₂ < t 5 r)

のとき

(2) (1)

の結果から，V

₁

と

V ₃

の共通部分を平面

y = t

上に図示すると

O z

1 x 1

1+r ₁ r ₁

− r ₁

− r ₁ 1+r ₃

O z

x r 1

1 1+ r ₃

1+ r ₃

− r ₁ 1

− r ₃

r ₁ = r ₃ (1 − r 5 t 5 ¹ ₂ )

のとき

r ₁ < r ₃ ( ¹ ₂ < t 5 r)

のとき

P

Q Q

P

また，

P(1, t, 0)

をとり，

P

から領域内の点までの距離が最大となる点を

Q

とすると

PQ ² = r ₁ ² + r ₃ ²

= (r ² − t ² ) + { r ² − (t − 1) ² }

= 2r ² − 2t ² + 2t − 1

V ₁

と

V ₃

の共通部分が

V ₂

に含まれるとき

PQ 5 r · · · 1

ゆえに

r ² − PQ ² = 2t ² − 2t + 1 − r ²

= 2 (

t − 1 2

) 2

+ 1

2 − r ² · · · 2 1

2 < r < 1

であるから，

t = 1

2

は

( ∗ )

の範囲に含まれる．

1

，

2

より

1

2 − r ² = 0

これを解いて

r 5 1

√ 2

与えられた

r

の値に注意して

1

2 < r 5 1

√ 2 (3) V ₁

の体積

S

から

V ₁

と

V ₂

の共通部分の体積を

引いた体積，

V ₃

の体積

S

から

V ₃

と

V ₂

の共通 部分の体積を引いた体積はともに

S − T

，

V ₂

の体積が

S

であるから，

V ₁

，V

₂

，V

₃

を合わせ て得られる立体の体積は

2(S − T ) + S = 3S − 2T

 

S − T T

V ₁ V ₂ S V ₃

S − T

(4) S

は半径

r

の半球が

2

つと底面の半径

r，高さ 1

の円柱の体積の和より

S = 4

3 πr ³ + πr ² · 1 = 4

3 πr ³ + πr ²

球面

(x − 1) ² +y ² + z ² = r ²

の平面

z = u

による断面は

( − r 5 u 5 r)

，円

(x − 1) ² + y ² = r ² − u ²

であり，この円の半径を

r _u

とすると

r u 2

= r ² − u ²

したがって，

T

の平面

z = u

による断 面は，右の図の斜線部分である．

 

O y

1 x 1

1+ r _u r _u

− r _u

− r u

1+ r _u

右の図の斜線部分の面積は

3

4 πr _u ² + r _u ² = ( 3

4 π + 1 )

r _u ² = ( 3

4 π + 1 )

(r ² − u ² )

よって

T =

( 3 4 π + 1

) ∫ r

− r

(r ² − u ² )du = ( 3

4 π + 1 )

· 4 3 r ³ =

( π + 4

3 )

r ³

(3)

の結果により，V の体積は

3S − 2T = 3

( 4

3 πr ³ + πr ² )

− 2 (

π + 4 3

) r ³

= (

2π − 8 3

)

r ³ + 3πr ²