,vn：V の基底． ∀v ∈V はv=c1v1

はじめに (線形代数IIA)

線形代数II^{＝ 線形代数}I^のつづき

教科書 「やさしい線形代数，Ｈ．アントン著，山下純一訳」現代数学社 講義の情報  http://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/˜hoshi/teaching-j.html シラバス LINK

▶ ノートを取りながら講義を聴くこと．

(ノートを回収して確認する可能性があります)

▶ 講義−→^小テスト(理解度確認テスト，学務情報システム内)

4.10 座標；基底変換

.定理24

.. ...

V：線形空間，v1, . . . ,vn：V の基底．

∀v ∈V はv=c₁v1+· · ·+c_nvnの形に一意的にあらわされる． (証明) v1, . . . ,vnはV の基底より，V = Span{v1, . . . ,vn} ∋v. 一意性は，v1, . . . ,vnが1^{次独立より，}

v=c₁v1+· · ·+c_nvn=c^′₁v1+· · ·+c^′_nvn

⇒(c₁−c^′₁)v1+· · ·+ (c_n−c^′_n)vn=o ⇒c₁=c^′₁, . . . , c_n=c^′_n. .定義(座標ベクトル，座標行列)

..

...

定理24のc₁, . . . , c_nを 基底S={v1, . . . ,vn}^に関するv^の座標； (v)_S:= (c1, . . . , cn)^{を 基底}S^に関するv^{の座標ベクトル；}

[v]S :=



 c₁

... c_n



^{を 基底}S^に関するv^{の座標行列という．}

4.10 座標；基底変換

.定理24

..

...

V：線形空間，v1, . . . ,vn：V の基底．

∀v ∈V はv=c₁v1+· · ·+c_nvnの形に一意的にあらわされる．

(証明) v1, . . . ,vnはV の基底より，V = Span{v1, . . . ,vn} ∋v. 一意性は，v1, . . . ,vnが1^{次独立より，}

v=c₁v1+· · ·+c_nvn=c^′₁v1+· · ·+c^′_nvn

⇒(c₁−c^′₁)v1+· · ·+ (c_n−c^′_n)vn=o ⇒c₁=c^′₁, . . . , c_n=c^′_n. .定義(座標ベクトル，座標行列)

..

...

定理24のc₁, . . . , c_nを 基底S={v1, . . . ,vn}^に関するv^の座標； (v)_S:= (c1, . . . , cn)^{を 基底}S^に関するv^{の座標ベクトル；}

[v]S :=



 c₁

... c_n



^{を 基底}S^に関するv^{の座標行列という．}

4.10 座標；基底変換

.定理24

..

...

V：線形空間，v1, . . . ,vn：V の基底．

∀v ∈V はv=c₁v1+· · ·+c_nvnの形に一意的にあらわされる．

(証明) v1, . . . ,vnはV の基底より，V = Span{v1, . . . ,vn} ∋v.

一意性は，v1, . . . ,vnが1^{次独立より，} v=c₁v1+· · ·+c_nvn=c^′₁v1+· · ·+c^′_nvn

⇒(c₁−c^′₁)v1+· · ·+ (c_n−c^′_n)vn=o ⇒c₁=c^′₁, . . . , c_n=c^′_n. .定義(座標ベクトル，座標行列)

..

...

定理24のc₁, . . . , c_nを 基底S={v1, . . . ,vn}^に関するv^の座標； (v)_S:= (c1, . . . , cn)^{を 基底}S^に関するv^{の座標ベクトル；}

[v]S :=



 c₁

... c_n



^{を 基底}S^に関するv^{の座標行列という．}

4.10 座標；基底変換

.定理24

..

...

V：線形空間，v1, . . . ,vn：V の基底．

∀v ∈V はv=c₁v1+· · ·+c_nvnの形に一意的にあらわされる．

(証明) v1, . . . ,vnはV の基底より，V = Span{v1, . . . ,vn} ∋v. 一意性は，

v1, . . . ,vnが1^{次独立より，} v=c₁v1+· · ·+c_nvn=c^′₁v1+· · ·+c^′_nvn

⇒(c₁−c^′₁)v1+· · ·+ (c_n−c^′_n)vn=o ⇒c₁=c^′₁, . . . , c_n=c^′_n. .定義(座標ベクトル，座標行列)

..

...

定理24のc₁, . . . , c_nを 基底S={v1, . . . ,vn}^に関するv^の座標； (v)_S:= (c1, . . . , cn)^{を 基底}S^に関するv^{の座標ベクトル；}

[v]S :=



 c₁

... c_n



^{を 基底}S^に関するv^{の座標行列という．}

4.10 座標；基底変換

.定理24

..

...

V：線形空間，v1, . . . ,vn：V の基底．

∀v ∈V はv=c₁v1+· · ·+c_nvnの形に一意的にあらわされる．

(証明) v1, . . . ,vnはV の基底より，V = Span{v1, . . . ,vn} ∋v. 一意性は，v1, . . . ,vnが1^{次独立より，}

v=c₁v1+· · ·+c_nvn=c^′₁v1+· · ·+c^′_nvn

⇒(c₁−c^′₁)v1+· · ·+ (c_n−c^′_n)vn=o ⇒c₁=c^′₁, . . . , c_n=c^′_n. .定義(座標ベクトル，座標行列)

..

...

定理24のc₁, . . . , c_nを 基底S={v1, . . . ,vn}^に関するv^の座標； (v)_S:= (c1, . . . , cn)^{を 基底}S^に関するv^{の座標ベクトル；}

[v]S :=



 c₁

... c_n



^{を 基底}S^に関するv^{の座標行列という．}

4.10 座標；基底変換

.定理24

..

...

V：線形空間，v1, . . . ,vn：V の基底．

∀v ∈V はv=c₁v1+· · ·+c_nvnの形に一意的にあらわされる．

(証明) v1, . . . ,vnはV の基底より，V = Span{v1, . . . ,vn} ∋v. 一意性は，v1, . . . ,vnが1^{次独立より，}

v=c₁v1+· · ·+c_nvn=c^′₁v1+· · ·+c^′_nvn

⇒(c₁−c^′₁)v1+· · ·+ (c_n−c^′_n)vn=o ⇒c₁=c^′₁, . . . , c_n=c^′_n. .定義(座標ベクトル，座標行列)

..

...

定理24のc₁, . . . , c_nを 基底S={v1, . . . ,vn}^に関するv^の座標； (v)_S:= (c1, . . . , cn)^{を 基底}S^に関するv^{の座標ベクトル；}

[v]S :=



 c₁

... c_n



^{を 基底}S^に関するv^{の座標行列という．}

4.10 座標；基底変換

.定理24

..

...

V：線形空間，v1, . . . ,vn：V の基底．

∀v ∈V はv=c₁v1+· · ·+c_nvnの形に一意的にあらわされる．

(証明) v1, . . . ,vnはV の基底より，V = Span{v1, . . . ,vn} ∋v. 一意性は，v1, . . . ,vnが1^{次独立より，}

v=c₁v1+· · ·+c_nvn=c^′₁v1+· · ·+c^′_nvn

⇒(c₁−c^′₁)v1+· · ·+ (c_n−c^′_n)vn=o

⇒c₁=c^′₁, . . . , c_n=c^′_n. .定義(座標ベクトル，座標行列)

..

...

定理24のc₁, . . . , c_nを 基底S={v1, . . . ,vn}^に関するv^の座標； (v)_S:= (c1, . . . , cn)^{を 基底}S^に関するv^{の座標ベクトル；}

[v]S :=



 c₁

... c_n



^{を 基底}S^に関するv^{の座標行列という．}

4.10 座標；基底変換

.定理24

..

...

V：線形空間，v1, . . . ,vn：V の基底．

∀v ∈V はv=c₁v1+· · ·+c_nvnの形に一意的にあらわされる．

(証明) v1, . . . ,vnはV の基底より，V = Span{v1, . . . ,vn} ∋v. 一意性は，v1, . . . ,vnが1^{次独立より，}

v=c₁v1+· · ·+c_nvn=c^′₁v1+· · ·+c^′_nvn

⇒(c₁−c^′₁)v1+· · ·+ (c_n−c^′_n)vn=o ⇒c₁=c^′₁, . . . , c_n=c^′_n.

.定義(座標ベクトル，座標行列) ..

...

定理24のc₁, . . . , c_nを 基底S={v1, . . . ,vn}^に関するv^の座標； (v)_S:= (c1, . . . , cn)^{を 基底}S^に関するv^{の座標ベクトル；}

[v]S :=



 c₁

... c_n



^{を 基底}S^に関するv^{の座標行列という．}

4.10 座標；基底変換

.定理24

..

...

V：線形空間，v1, . . . ,vn：V の基底．

∀v ∈V はv=c₁v1+· · ·+c_nvnの形に一意的にあらわされる．

(証明) v1, . . . ,vnはV の基底より，V = Span{v1, . . . ,vn} ∋v. 一意性は，v1, . . . ,vnが1^{次独立より，}

v=c₁v1+· · ·+c_nvn=c^′₁v1+· · ·+c^′_nvn

⇒(c₁−c^′₁)v1+· · ·+ (c_n−c^′_n)vn=o ⇒c₁=c^′₁, . . . , c_n=c^′_n. .定義(座標ベクトル，座標行列)

..定理24のc₁, . . . , c_nを 基底S={v1, . . . ,vn}^に関するv^の座標；

(v)_S:= (c1, . . . , cn)^{を 基底}S^に関するv^{の座標ベクトル；}

[v]S :=



 c₁

... c_n



^{を 基底}S^に関するv^{の座標行列という．}

4.10 座標；基底変換

.定理24

..

...

V：線形空間，v1, . . . ,vn：V の基底．

∀v ∈V はv=c₁v1+· · ·+c_nvnの形に一意的にあらわされる．

(証明) v1, . . . ,vnはV の基底より，V = Span{v1, . . . ,vn} ∋v. 一意性は，v1, . . . ,vnが1^{次独立より，}

v=c₁v1+· · ·+c_nvn=c^′₁v1+· · ·+c^′_nvn

⇒(c₁−c^′₁)v1+· · ·+ (c_n−c^′_n)vn=o ⇒c₁=c^′₁, . . . , c_n=c^′_n. .定義(座標ベクトル，座標行列)

..定理24のc₁, . . . , c_nを 基底S={v1, . . . ,vn}^に関するv^の座標；

(v)_S:= (c1, . . . , cn)^{を 基底}S^に関するv^{の座標ベクトル；}

[v]S :=



 c₁

... c_n



^{を 基底}S^に関するv^{の座標行列という．}

4.10 座標；基底変換

.定理24

..

...

V：線形空間，v1, . . . ,vn：V の基底．

∀v ∈V はv=c₁v1+· · ·+c_nvnの形に一意的にあらわされる．

(証明) v1, . . . ,vnはV の基底より，V = Span{v1, . . . ,vn} ∋v. 一意性は，v1, . . . ,vnが1^{次独立より，}

v=c₁v1+· · ·+c_nvn=c^′₁v1+· · ·+c^′_nvn

⇒(c₁−c^′₁)v1+· · ·+ (c_n−c^′_n)vn=o ⇒c₁=c^′₁, . . . , c_n=c^′_n. .定義(座標ベクトル，座標行列)

..定理24のc₁, . . . , c_nを 基底S={v1, . . . ,vn}^に関するv^の座標；

(v)_S:= (c1, . . . , cn)^{を 基底}S^に関するv^{の座標ベクトル；}

[v]S :=



 c₁

...



^{を 基底}S^に関するv^{の座標行列という．}

.例 ..

...

v1= (1,2,1),v2 = (2,9,0),v3 = (3,3,4)∈R^{3 は}R^{3の基底．}

(∵ ¹²₃ ²⁹₃ ¹⁰₄ =−1̸= 0)

v= (5,−1,9)のS ={v1,v2,v3}に関する座標ベクトル，座標行列は (v)_S= (1,−1,2),[v]_S =



 1

−1 2



. (∵ v=v1−v2+ 2v3)

.定理25

..

...

V：内積空間，dimV =n,S={v1, . . . ,vn}^：V の正規直交基底， (u)_S = (u₁, . . . , u_n),(u^′)_S = (u^′₁, . . . , u^′_n).

(a) ||u||=√

u²₁+· · ·+u²_n; (b) d(u,u^′) =√

(u₁−u^′₁)²+· · ·+ (u_n−u^′_n)²; (c) ⟨u,u^′⟩=u₁u^′₁+· · ·+u_nu^′_n.

(証明) 略．

.例 ..

...

v1= (1,2,1),v2 = (2,9,0),v3 = (3,3,4)∈R^{3 は}R^{3の基底．}

(∵ ¹²₃ ²⁹₃ ¹⁰₄ =−1̸= 0)

v= (5,−1,9)のS ={v1,v2,v3}に関する座標ベクトル，座標行列は (v)_S= (1,−1,2),[v]_S =



 1

−1 2



. (∵ v=v1−v2+ 2v3)

.定理25

..

...

V：内積空間，dimV =n,S={v1, . . . ,vn}^：V の正規直交基底， (u)_S = (u₁, . . . , u_n),(u^′)_S = (u^′₁, . . . , u^′_n).

(a) ||u||=√

u²₁+· · ·+u²_n; (b) d(u,u^′) =√

(u₁−u^′₁)²+· · ·+ (u_n−u^′_n)²; (c) ⟨u,u^′⟩=u₁u^′₁+· · ·+u_nu^′_n.

(証明) 略．

.例 ..

...

v1= (1,2,1),v2 = (2,9,0),v3 = (3,3,4)∈R^{3 は}R^{3の基底．}

(∵ ¹²₃ ²⁹₃ ¹⁰₄ =−1̸= 0)

v= (5,−1,9)のS ={v1,v2,v3}に関する座標ベクトル，

座標行列は (v)_S= (1,−1,2),[v]_S =



 1

−1 2



. (∵ v=v1−v2+ 2v3)

.定理25

..

...

V：内積空間，dimV =n,S={v1, . . . ,vn}^：V の正規直交基底， (u)_S = (u₁, . . . , u_n),(u^′)_S = (u^′₁, . . . , u^′_n).

(a) ||u||=√

u²₁+· · ·+u²_n; (b) d(u,u^′) =√

(u₁−u^′₁)²+· · ·+ (u_n−u^′_n)²; (c) ⟨u,u^′⟩=u₁u^′₁+· · ·+u_nu^′_n.

(証明) 略．

.例 ..

...

v1= (1,2,1),v2 = (2,9,0),v3 = (3,3,4)∈R^{3 は}R^{3の基底．}

(∵ ¹²₃ ²⁹₃ ¹⁰₄ =−1̸= 0)

v= (5,−1,9)のS ={v1,v2,v3}に関する座標ベクトル，座標行列は

(v)_S= (1,−1,2),[v]_S =



 1

−1 2



. (∵ v=v1−v2+ 2v3)

.定理25

..

...

V：内積空間，dimV =n,S={v1, . . . ,vn}^：V の正規直交基底， (u)_S = (u₁, . . . , u_n),(u^′)_S = (u^′₁, . . . , u^′_n).

(a) ||u||=√

u²₁+· · ·+u²_n; (b) d(u,u^′) =√

(u₁−u^′₁)²+· · ·+ (u_n−u^′_n)²; (c) ⟨u,u^′⟩=u₁u^′₁+· · ·+u_nu^′_n.

(証明) 略．

.例 ..

...

v1= (1,2,1),v2 = (2,9,0),v3 = (3,3,4)∈R^{3 は}R^{3の基底．}

(∵ ¹²₃ ²⁹₃ ¹⁰₄ =−1̸= 0)

v= (5,−1,9)のS ={v1,v2,v3}に関する座標ベクトル，座標行列は (v)_S= (1,−1,2),

[v]_S =



 1

−1 2



. (∵ v=v1−v2+ 2v3)

.定理25

..

...

V：内積空間，dimV =n,S={v1, . . . ,vn}^：V の正規直交基底， (u)_S = (u₁, . . . , u_n),(u^′)_S = (u^′₁, . . . , u^′_n).

(a) ||u||=√

u²₁+· · ·+u²_n; (b) d(u,u^′) =√

(u₁−u^′₁)²+· · ·+ (u_n−u^′_n)²; (c) ⟨u,u^′⟩=u₁u^′₁+· · ·+u_nu^′_n.

(証明) 略．