1
1. 時間変化などの変化率を知りたい。
ex. 速度 = 距離 / 時間、電流 = 電荷 / 時間 2. 極大、極小点を知りたい
ex. 安定点、最小二乗法 3. 関数の n 次曲線での近似
ex. テーラー展開、マクローリン展開 4. 自然現象の記述と解析
ex. 微分方程式
物質科学解析 第 2 回 微分法
2009/4/8西田貴司 (@F511)高木貞治: 解析概論 (岩波)
微分法を使う場合
ex.1. 電子の有効質量 m*
22 2
1
* 1
dk E d m = h
ex.3. 数値微分 ( 差分 ): 各種シミュレーション、画像処理
微分法を使う場合 : 研究では ?
ex.2. 反応速度論 A →生成物 [ ] [ ]
A dt k
d 生成物 =
k
エッジ抽出 ( 微分 )
→粒径測定
→ 画像鮮明化
200nm 200nm
3
1000nm 1000nm 1000nm 1000nm
500nm500nm
-202010-100-202010-100
-20 -10 0 10 20
-20 -10 0 10 20
µ1m
FFT像 0.3T/sqi
AFM 像の解析
メモリ材料(強誘電体)の超微細化(ナノ化)による超大容量化
磁性体 誘電体
微分法を使う場合 : 微分方程式
r F a = 22 =
dt m d m
D j H
E B
B D
∂ =
− ∂
×
∇
∂ = + ∂
×
∇
=
•
∇
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂
∂
=
•
∇
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂
∂
t t
z B y
B x
B
z D y
D x
D
y z x
y z x
0
0 ρ
運動方程式 電磁方程式
シュレーディンガー方程式
ψ ψ
ψ ( )
2 2
2 2
x x V
m
i t +
∂
− ∂
∂ =
∂ h
h
5
⊿ x
⊿ y
接線
x
y y=f(x)
?x
x f
?x x
f
?x x ?y
f y dx y
dy
?x
?x
) ( )
) (
(
lim lim
0 0
−
= +
′ =
=
′ =
=
→
→
&
各種の表記
微分とは ?
微分の具体例
? x x
? y dx
dy
? x
? x x
? y
? x
? x x x
? x x
? y
? x x
? y y
x y
?xlim 2
2
2 )
(
) (
0
2 2
2 2 2
=
=
+
=
+
⋅
=
− +
=
+
= +
=
→
2 0
2 2
3 2
2
3 2
2 3
3 3
3 lim
3 3
3 3
3 3
) (
?x x
?y dx
dy
?x
?x x
?x x
?y
?x
?x x
?x x
?y
?x
?x x
?x x x
?x x
?y y
x y
x =
=
+
⋅ +
=
+
⋅ +
=
+
⋅ + +
= +
= +
=
→
∆
7
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
パスカルの三角形
3 0
3 2
2 3
4 3
2 2 3
4 3
2 2 3
4 4
4
4 lim
4 6
4
4 6
4
4 6
4 )
(
?x x
?y dx
dy
?x
?x x
?x x
?x x
?y
?x
?x x
?x x
?x x
?y
?x
?x x
?x x
?x x x
?x x
?y y
x y
x =
=
+
⋅ + +
=
+
⋅ +
+
=
+
⋅ + +
+
= +
= +
=
→
∆
x
4y =
解答
1 1
1
2 2
1 1
2 2
2 1
1 1
1 0
C
C C
C C
C
)!
1 (
C ! )! , (
! C !
C )
(
−
−
−
−
−
−
−
=
−
=
=
=
+ +
=
+ +
=
=
− =
− =
=
= +
= +
=
∑
∑
n n
n
n n
n n
n n
n n
r r
n n
r
r n
n r
n
r r
n n
r
r n n
n
nx dx x
dy
?x x
?x x
?y
?x x
?x x
?x x
?y
n n n r
n r
n
?x x
?x x
?y y
x y
K
K ただし
微分の具体例
9
オイラーの公式
三平方の定理から 1
x
cos x
sin x x では
y = sin y + ?y = sin( x + ?x ) = ? 1 cos
sin
2x +
2x = x i
x
e
ix= cos + ⋅ sin x
x x
x ) sin , cos( ) cos
sin( − = − − =
) sin cos
cos (sin
) sin sin
cos (cos
sin cos cos
sin sin
sin cos
cos
) sin )(cos
sin (cos
) sin(
) cos(
) (
) (
y x
y x
i y x
y x
y x
i y x
i y x
y x
y i
y x
i x
e e e
y x i
y x e
iy ix y
x i
y x i
+
⋅ +
−
=
⋅ +
⋅ +
−
=
⋅ +
⋅ +
=
=
+
⋅ + +
=
+
+ オイラー公式から..① 指数法則から
オイラー公式から
②
①と②から加法定理が導出
y x
y x
y x
y x
y x
y x
sin cos
cos sin
) sin(
sin sin
cos cos
) cos(
+
= +
−
= +
sin 2 cos 2
2 sin
sin
sin cos 2 ) sin(
) sin(
sin cos
cos sin
) sin(
b a b
b a a
y x
y x y
x
y x
y x
y x
−
= +
−
=
−
− +
−
=
−
sin 2 sin 2
2 cos
cos
sin sin
2 )
cos(
) cos(
sin sin
cos cos
) cos(
b a b
b a a
y x
y x y
x
y x
y x
y x
−
− +
=
−
−
=
−
− +
+
=
− さらに
x
y = sin sin 1
lim
0=
→
x x
x
微分の具体例
ただし
ロピタル定理sin x < x < tan x or から (つまりcos x< sin x/x < 1)? x x
? x ? x dx x
dy
? x
? x ? x
? x x
? x
? x x
? x
? y
? x x ? x
x
? x x
y
? y y
? y
? x
cos
2 /
) 2 / ) sin(
2 / cos(
lim
2 /
) 2 / ) sin(
2 / ) cos(
2 / sin(
) 2 / cos(
2
2 ) sin(
2 ) cos(
2 sin
) sin(
) (
0
+ ⋅ =
=
⋅ +
+ =
=
+
=
− +
=
− +
=
→
x 1
x
y = cos
演習
11
解答 y = cos x
? x x
? x ? x dx x
dy
? x
? x ? x
? x x
? x
? x x
? x
? y
? x x ? x
x
? x x
y
? y y
? y
? x
sin
2 /
) 2 / ) sin(
2 / sin(
lim
2 /
) 2 / ) sin(
2 / ) sin(
2 / sin(
) 2 / sin(
2
2 ) sin(
2 ) sin(
2 cos
) cos(
) (
0
+ ⋅ = −
−
=
⋅ +
− + =
−
=
+
−
=
− +
=
− +
=
→
x 1
e
xcos x
sin x y
(4)e
xsin x -cos x
y
(3)-1/x
21/x
log x
e
xe
xe
x-cos x -sin x
cos x
-sin x cos x
sin x
n(n-1)x
n-2nx
n-1x
ny’’
y’
y
基本的な関数の微分
微分 微分 微分 微分
13
基本的な微分公式
) ( ) ( )
( ) ) (
) ( ( )
) ( (
) ( )
) ( ( )
) ( ( )
(
) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) (
) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) (
) ( ) ( )
( ) (
) (
) ( ) (
x g x f x
g x dx f
x x dg
f x
dx g x df dx
dy
?x
x f
?x x
x g f
?x x
?x g
x f
?x x
f
?x
x g x f
?x x
g x f
?x
?x x
g x f
?x x
g
?x x
f
?x
?y
x g x f
?x x
g x f
?x x
g x f
?x x
g
?x x
f
x g x f
?x x
g
?x x
f y
?y y
?y
x g x f y
+ ′
= ′ +
=
−
⋅ + +
+
− ⋅
= +
⋅
− +
+ ⋅ +
⋅
− +
⋅
= +
⋅
− +
⋅ +
+
⋅
− +
⋅ +
=
⋅
− +
⋅ +
=
− +
=
⋅
=
関数の積
合成関数
dx x dg du
u df dx
du du
dy dx
dy
x g u u f y
) ( )
( ) ( ),
(
⋅
=
⋅
=
=
=
逆関数
1
1
) (
) ( ),
(
−
−
=
=
=
=
dy dx dx
dy
dy y df dy
dx
x f
y y
f
x つまり
微分公式の使用例
) cos sin
3 (
cos sin
3 )
(sin sin
) (
sin
2
3 2
3 3
3
x x
x x
x x
x x
x x
x x
y
x x
y
+
=
+
′ =
′ +
′=
=
... 関数の積の微分
5 2
5 2
2 5
2 6 2
) 1 (
12
2 ) 1 (
6 )
1 (
) 1 (
6
) 1 (
+
=
⋅ +
′= +
⋅ +
′=
+
=
x x
x x
x x
y
x y
... 合成関数の微分
2 2
1
1 1 sin
1 1 cos
1 cos
sin ,
arcsin sin
x y y
dx dy dy y dx
y x
x x
y
= −
= −
=
=
=
=
= − つまり
... 逆関数の微分
注意:
特に sin-1xはarcsinを表す。
sin-1x≠1/sin x
15
基本的な微分公式
関数の商
2
2 1
)}
( {
) ( ) ( )
( ) (
) ( )}
( { ) 1 1 ( ) ) (
( 1 )
(
)}
( / 1 ) { ) (
( 1 )
(
)}
( ){
) ( (
) (
x g
x g x f x g x y f
dx x dg x
x g x f
g dx
x df
dx x g x d
x f g dx
x y df
x g x x f
g x y f
− ′
= ′
′
⋅
⋅
−
⋅ +
⋅
=
+
⋅
′=
=
= −
x x
x y x
x
x x
x x
x
x x
x y x
x x x
y
2 2
2 2
2 2
cos 1 cos
sin cos
cos
) sin (
sin cos
cos cos
) (cos sin
cos )
(sin
cos tan sin
+ =
′ =
−
= −
− ′
= ′
′
=
=
使用例
微分公式の使用例 演習
x y
x x
y
x x
y
1
10 2
cos
) 5 3
(
log cos
= −
− +
=
⋅
(1)
=(2) (3)
x y e
x
= cos
(4)
17
解答
x x
y = cos ⋅log
10
2 3 5)
( + −
= x x
y
x y = cos−1
x x x
x y
x x x
x x
x x
x y
log cos sin
cos 1 log
sin )
(log cos
log )
(cos
+
⋅
−
′ =
⋅ +
⋅
−
′ =
⋅ +
⋅′
′ =
) 3 2
( ) 5 3
( 10
) 5 3
( ) 5 3
( 10
9 2
2 9 2
+
− +
′ =
− ′ +
− +
′ =
x x
x y
x x
x x
y
2
2 1
1 cos
1 1 sin
1 sin cos
x y y
dx dy dy y dx
y x
− −
− =
−
=
−
=
−
=
=
解答
x y e
x
= cos
x x e x
y
x
x e
x e
x
x e
x y e
x
x x
x x
2
2 2
cos sin cos
cos
sin cos
cos
) (cos cos
) (
⋅ +
′ =
= +
− ′
= ′
′
19
その他の手法
対数微分法: 両辺のlogを取って微分 指数部にもxがあるときなどに利用
x x
x
x x
y dx x
dy
x x
x x dx x
dy y
dx x x
d dx
dy dy
y d
x
x x
x y
x x
y
) 1 (log
) 1 (log
1 log
) (log log
) 1 (
) log (
) (log
log log
log
) 0 (
,
+
=
⋅ +
=
+
′ =
⋅ +
⋅′
=
= ⋅
=
=
>
=
で微分 両辺を
ただし
x<0ではlog取れない
0
sin , >
= x x
y x ただし
演習
解答
x x
x
x x x x
dx x dy
x x x
x x
x x
dx x dy y
dx
x x
d dx
dy y
x
x x
x y
x x
y
sin sin
sin
log sin cos
log sin cos
) (log sin
log )
1 (sin
) log (sin
1
log sin
log log
) 0 (
,
+
=
+
′ =
⋅ +
⋅′
=
= ⋅
=
=
>
=
で微分 両辺を
ただし
21
基本的な微分公式 : まとめ
微分公式のくみあわせ
演習
x e
x
y =
3 2xsin
) sin
(
3 2′
′ = x e x
y
x) sin (
) sin (
)
(
3′
2+
3 2′
′ = x e x x e x
y
x x解答
g f g f
fg)′= ′ + ′
( 積の微分
) (sin sin
) (
) sin (
)
(
3′
2+
3 2′ +
3 2′
′ = x e x x e x x e x
y
x x xx e
x x
e x
x e
x
y ′ = 3
2 2xsin +
3(
2x) ′ sin +
3 2xcos
x e
x x
x x d
x de x
e x
y
xx
x
( 2 ) sin cos
) 2 sin (
3
3 2) 2 ( 3
2
2
+ ′ +
′ =
x e
x x
e x x
e x
y ′ = 3
2 2xsin + 2
3 2xsin +
3 2xcos
g f g f
fg)′= ′ + ′
( 積の微分
2
3) 3
(x ′= x 三角関数の微分 (sin x)′ = cosx
) / ) ( )(
/ ) ( ( ) )) ( (
( f g x ′ = df u du g x dx
合成関数の微分
x u = 2
x
x e
e )′=
( 指数関数の微分
23
高次の微分
微分演算子: D, s, p, iω
偏微分
∂/ ∂x, ∂/ ∂y 例:
dx f x df dx
d dx
x f
d = ′′
= ( ) )
(
2 2
高階微分、偏微分
1
2 2 4
2 + + +
= x xy y
f
3 2
4 4
2 2
y y xy
f
y x x
f
+
∂ =
∂
+
∂ =
∂
y dx D
y d
D y Dy
dx y d dx
dy
2 2
2 =
≠
=
= (交換則は使えない)
ベクトル微分演算子
grad V (gradient 勾配), div E (divergence 発散), rot E (rotation 回転)
・grad V= (∂V/ ∂x , ∂V / ∂y, ∂V / ∂z) = ∇V
・div E = (∂Ex/ ∂x , ∂Ey / ∂y, ∂Ez / ∂z) = ∇・E
・rot E
= ∇×E
ただし、∇=(∂/ ∂x , ∂/ ∂y, ∂/ ∂z) (ナブラ)
・div grad V =(∂2V/ ∂x2 , ∂2V / ∂y2, ∂2V / ∂z2)
= ∇・∇V= ∇2V=△V (ラプラシアン)
ベクトルの積(スカラー積、ベクトル積)については第4回
・意味: 2次元の場合: grad f=(∂f /∂x, ∂f /∂y)
ベクトル微分
) ,
,
( y
Ex x
Ey x
Ez z
Ex z
Ey y
Ez
∂
− ∂
∂
∂
∂
− ∂
∂
∂
∂
− ∂
∂
= ∂
25
テイラー展開、マクローリン展開
概要L L+ + +
+ +
+
= a a x a x a x anxn x
f ( ) 0 1 2 2 3 3
L L+ + +
+ +
′ = a1 2a2x 3a3x2 nanxn−1 f
L L+ − + +
⋅ +
′′ = 2a2 2 3a3x n(n 1)anxn−2 f
L L+ − − + +
⋅
⋅
′′′ =1 2 3a3 n(n 1)(n 2)anxn−3 f
L
L L
+
=
+
−
−
=
n
n n
a n
a n
n n f
!
1 ) 2 )(
1
) (
(
微分
微分 微分
微分
下式のようなべき級数を仮定する
→ 0 x
) 1
0
( a
f ′ = ) 0
0
( a
f =
2 2
) 0
( a
f ′′ =
2 3
3 ) 0
( a
f ′′′ = ⋅
n
n n a
f ( )(0) = !
微分して0を入れると
べき級数の係数anが求まる 関数f(x)をべき級数に置き換えることができる。
L L+ +
⋅ +
⋅ + ′′′
⋅ + ′′
+ ′
= n xn
n x f
x f x f
f f x
f !
) 0 ( 3
2 1
) 0 ( 2
1 ) 0 ( 1
) 0 ) (
0 ( )
(
) ( 3
2
近似式が求まる。→ (1) 計算可能 (2) 近似値
テイラー展開、マクローリン展開
i in
n =
−1)( −1)/2 (
0 x
x
f ( ) = sin
x x
f
x x
f
x x
f
x x
f
x x
f
sin )
(
cos )
(
sin )
(
cos )
(
sin )
(
) 4
( =
−
′′′ =
−
′′ =
′ =
=
=
=
−
′′′ =
′′ =
′ =
=
) 0 (
0 ) 0 (
1 )
0 (
0 ) 0 (
1 ) 0 (
0 ) 0 (
) (
) 4 (
f n
f f f f f
(偶数の場合) (奇数の場合)
L L+ − + +
− +
−
=
= −
) ! 1
! ( 7
! 5
! sin 3
)
( 1/2
7 5
3
n x x
x x x
x x
f
n
n (n=1,3,5,7,…)
2 = −1 i
L L+ + +
− +
−
= !
) ( 1
! 7
! 5
! 3
7 5
3
n ix i x
x x x
n
(n=1,3,5,7,…) 虚数単位 i
sin x 1項 (x)
2項まで
3項まで
4項まで O
1
-1
+π -π
例
x
27
0 ) 1
(− n/2 = in x
x
f ( ) = cos
x x
f
x x
f
x x
f
x x
f
x x
f
cos )
(
sin )
(
cos )
(
sin )
(
cos )
(
) 4
( =
′′′ =
−
′′ =
−
′ =
=
=
=
′′′ =
−
′′ =
′ =
=
) 0 (
1 ) 0 (
0 ) 0 (
1 )
0 (
0 ) 0 (
1 ) 0 (
) (
) 4 (
f n
f f f f f
(偶数の場合) (奇数の場合)
L L+ − + +
− +
−
=
= ( 1) !
! 6
! 4
! 1 2
cos )
( /2
6 4
2
n x x
x x x
x f
n
n (n=0,2,4,6,…)
L L+ + +
− +
−
= !
) (
! 6
! 4
! 1 2
6 4
2
n ix x
x
x n
解答
ex
x f ( ) =
x x x x x
e x
f
e x
f
e x
f
e x
f
e x
f
=
′′′ =
′′ =
′ =
=
) (
) (
) (
) (
) (
) 4 (
1 ) 0 (
1 ) 0 (
1 ) 0 (
1 ) 0 (
1 ) 0 (
1 ) 0 (
) (
) 4 (
=
=
′′′ =
′′ =
′ =
=
f n
f f f f f
L L+ + +
+ +
+ +
=
= 1 1! 2! 3! 4! ! )
(
4 3
2
n x x
x x
e x x
f
n
x (n=1,2,3,4, …)
解答
29
テイラー展開、マクローリン展開
L L+ + +
+ +
+ +
=1 1! 2! 3! 4! !
4 3
2
n x x
x x
e x
n
x (n=1,2,3,4, …)
L L+ + +
− +
−
= !
) (
! 6
! 4
! 1 2
cos
6 4
2
n ix x
x x x
n
L L
L L
+ +
+ +
+ +
=
⋅
+ +
+
− +
−
=
! ) (
! 7
) (
! 5
) (
! 3
) sin (
! ) ( 1
! 7
! 5
! sin 3
7 5
3
7 5
3
n ix ix
ix ix ix
x i
n ix i x
x x x
x
n n
(n=1,3,5,7,…)
(n=0,2,4,6,…)
L L+ + +
+ +
+ +
= !
) (
! 4
) (
! 3
) (
! 2
) (
! 1 1
4 3
2
n ix ix
ix ix
e ix
n ix
オイラーの公式 e
ix= cos x + i ⋅ sin x
オイラーの公式
数式処理ソフトウェアによる微分、微分方程式
数式処理ソフトウェア
Mathematica (Wolfram research社) ・高機能、高価
・ITC共用パソコンに入っています。
MAPLE (Maple soft社)
・高機能、高価
MuPAD (Sciface Software社)
・安価 Maxima
・オープンソースGPL
くわしくはこちらhttp://www.bekkoame.ne.jp/~ponpoko/Math/Math.html 数式処理電卓 (TI社 TI-89 titanium, Voyage200など)
・安価、携帯型
31
数式処理ソフトウェアによる微分
Mathematicaで微分の計算
数式処理電卓による微分
TI-89 titaniumで微分の計算
33
Excel による数値微分
電位 : V
電界 : E= - grad V
電荷 : ρ =div E=- div grad V= - ∇・∇ V = - ∇
2V = - △ V 電荷 =0 の真空 : ∇
2V= △ V =0 ( ラプラス方程式 )
V(+1,+1) V(0,+1)
V(-1,+1)
V(+1,0) V(0,0)
V(-1,0)
V(+1,-1) V(0,-1)
V(-1,-1)
差分近似: △V @(0,0) ={V(-1,0)+ V(+1,0) + V(0,-1) + V(0,+1)}/4
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
S1 S3 S5 S7 S9 S11 S13 S15 S17 S19 S21
0.8-1 0.6-0.8 0.4-0.6 0.2-0.4 0-0.2 -0.2-0 -0.4--0.2 -0.6--0.4 -0.8--0.6 -1--0.8 1
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
S1 S3 S5 S7 S9 S11 S13 S15 S17 S19 S21
0.6-1 0.2-0.6 -0.2-0.2 -0.6--0.2 -1--0.6
