二値選択モデル

二値選択モデル

報告日：2009年11月4日 報告者：寺脇 拓

1. 確率分布

1. 確率分布

2 1. 確率分布

二値選択モデル 2009年度演習II(10)

1 1 標準正規分布

1.1 標準正規分布

•

密度関数 数

•

分布関数

•

平均

0

分散

1

•

平均

0

、分散

1

。

• 0について対称。

が標準正規分布に従うとき

+

は平均 分散

z z

が標準正規分布に従うとき、

μ+σz

は平均

μ

、分散

σ²

の正規分布に従う。

3 1. 確率分布

二値選択モデル 2009年度演習II(10)

1 0 8 1

0.6 0.8

0.4 0 6

0.2

0

-6 -4 -2 0 2 4 6

密度関数 分布関数

4 1. 確率分布

図1 標準正規分布

1 2 標準ロジスティック分布

1.2 標準ロジスティック分布

•

密度関数 数

•

分布関数

•

平均

0

分散

: π² /3

•

平均

0

、分散

: π /3

。

• 0について対称。

が標準ロジスティ ク分布に従うとき

+

は平

z z

が標準ロジスティック分布に従うとき、μ+φz は平 均

μ

、分散

π²φ² /3

のロジスティック分布に従う。

5 1. 確率分布

0 8 1

0 6 0.8

0.4 0.6

0.2

0

-6 -4 -2 0 2 4 6

密度関数 分布関数

6 1. 確率分布

図2 標準ロジスティック分布

二値選択モデル 2009年度演習II(10)

共に0について対称

0.4

共に0について対称 で単峰形だが、ロジ スティック分布の方 が両裾が分厚い(分

0.3

が両裾が分厚い(分 散が大きい)。

0.2

0.1

0

-6 -4 -2 0 2 4 6

標準正規分布 標準ロジスティック分布

7 1. 確率分布

図3 標準正規分布と標準ロジスティック分布の比較

二値選択モデル 2009年度演習II(10)

2. 最尤法 2. 最尤法

8 2. 最尤法

2 1 例：政策支持者は何％か？

2.1 例：政策支持者は何％か？

•

いま、母集団全体の

pp (100*p( p%)がある政策に賛成)

しており、残りの1-pが反対している。

•

このpを推定するため、母集団からn人の人をランダム に抽出する。

•

抽出される人が賛成者なら1、反対者なら0をとる変 数を

X

で表す

数を

X

で表す。

•

このとき、

X

は次の確率分布を持つ確率変数となる。

X 1 0

Prob(X) p 1-p

z i番目に抽出された人の結果をX_i

で表わし、n個の

X_i

で構成されるベクトルを

X

で表わす。

9

‡ X=(X₁, X₂, X₃, …, X_n)

2. 最尤法

母集団 母集団 賛成者 標本

X 1 0

p

X₁ 1 0

Prob(X1) p 1-p 1

X₂ 1 0

X1=1

X₂ 1 0

Prob(X₂) p 1-p 2

無作為抽出 ・ ・

X₂=0

反対者

・ ・・ ・

・ ・・

・ ・・ ・

・ ・・

1-p ^Xn 1 0

Prob(Xn) p 1-p

n ^Xn=0

観測値

10

図4 無作為抽出

2. 最尤法

二値選択モデル 2009年度演習II(10)

2 2 最尤推定量

2.2 最尤推定量

• Xの観測値をxで表すとき、X=xとなる確率は次式で

表わされる。

‡ y

は観察された賛成者の数を表す。

を変数とみなすとき この確率は尤度(likelihood)

• pを変数とみなすとき、この確率は尤度(likelihood)

あるいは尤度関数(likelihood function)と呼ばれる。

•

この尤度関数を最大にするような を

pp

の最尤推定量

(maximum likelihood estimator: MLE)

といい、

この推定法を最尤法と

(maximum likelihood approach)いう

11

approach)いう。

2. 最尤法

二値選択モデル 2009年度演習II(10)

より高い確率 観測値 観測値から得 より高い確率

X₁ 1 0

Prob(X₁) p 1-p

1 X1=1

観測値

p>1-p 観測値から得

られる情報

p

X₂ 1 0

Prob(X₂) p 1-p

2 X2=0 p<1-p 1-p 積

X3 1 0

Prob(X₃) p 1-p

3 X₃=1 p<1-p p 尤度関数

・ ・・ ・

・ ・・

・ ・・ ・

・ ・・

・ ・ 最大化

・ ・・ ・

・

・ ・・ ・

・ ・・

・ ・・ ・

・ ・・

X_n 1 0

・・

・・

X =0 p<1-p 1-p

MLE

・・ ・・ ・・

Prob(Xn) p 1-p

n Xn=0 p<1-p 1-p

12

図5 最尤法の考え方

2. 最尤法

■最尤推定量を計算する

■最尤推定量を計算する

•

実際には、最尤推定量は次の対数尤度関数

(log- likelihood function)を最大化することによって導か likelihood function)を最大化することによって導か

れる。

‡

尤度関数を最大化することと対数尤度関数を最大化するこ とは同じ。

•

を解けば、

p

の最尤推定量は となり、

「標本における賛成者の割合」で

p

が推定されること になる

になる。

‡

直観的な予測と整合的であろう。

13 2. 最尤法

3. 二値選択モデル 3. 二値選択モデル

14 3. 二値選択モデル

二値選択モデル 2009年度演習II(10)

3 1 ロジット / プロビットモデル

3.1 ロジット / プロビットモデル

•

二値選択モデル(binary choice models) 択

( y )

‡ y_i

は

i

番目の人について観測される被説明変数、

y_i^*

は

y_i

の 潜在変数

(latent variable)

。

‡ x

はi 番目の人の説明変数のベクトル

β

はその係数パラ

‡ x_i

はi 番目の人の説明変数のベクトル、β はその係数パラ メータベクトル。

‡ ε_i

は全ての人について独立で同一、そして

0

について対称な 分布に従う誤差項

分布に従う誤差項。

‡ ε_i

が標準正規分布に従うと仮定されるとき、このモデルは プロビットモデル

(probit model)

と、標準ロジスティック

15

(p )

分布のとき、ロジットモデル(logit model)と呼ばれる。

3. 二値選択モデル

二値選択モデル 2009年度演習II(10)

3 2 二値選択モデルの推定

3.2 二値選択モデルの推定

•

各y

y_ii (=0、1)をとる確率(尤度)( ) ( )

‡ F はε_i

の分布関数を表す。

•

対数尤度関数

‡ β

の推定値はコンピュータの反復計算により導かれる。

16

β

推定値 反復 算 り導 。

3. 二値選択モデル

3 3 モデルの当てはまりの良さ

3.3 モデルの当てはまりの良さ

•

マクファーデンの疑似 疑

R²(McFadden’s pseudo R( p ²))

‡ lnL_UR

は

β

に関して最大化したときの対数尤度を、

lnL_R

は

β=0

という制約のもとで計算される対数尤度を意味する。

線形回帰モデルの

R²

とは基本的に対応しないが この種のモ

‡

線形回帰モデルの

R²

とは基本的に対応しないが、この種のモ デルではおよそ

0.3

以上あれば大体良しとされる。

•

赤池の情報量基準(Akaike’s information criterion： 赤池の情報量基準(Akaike s information criterion：

AIC) _{kは推定されるパラ}

メータの数。

‡

この値が小さいほどモデルの当てはまりが良いとされる。

‡

最尤法で推定可能なあらゆるモデルに適用できるため、ロ ジット

/

プロビットモデルの選択に利用可能

17

ジット

/

プロビットモデルの選択に利用可能。

3. 二値選択モデル

3 4 係数の有意性検定

3.4 係数の有意性検定

•

次のt統計量(t statistic)は、すべてのβ

( ) β_kk

について、

β_k=0の帰無仮説のもとで標準正規分布することが知

られている。

‡

線形回帰モデルと同様の検定が可能。

‡ t

統計量が

1.96(1.65)

より大きい、あるいは－

1.96(

－

1 65)

より小さければ その係数は

5 (10 )

水準で有意

1.65)

より小さければ、その係数は

5

％

(10

％

)

水準で有意。

‡

もちろん

p

値が

0.05(0.1)

より小さければ、

5

％

(10

％

)

水準 で有意。 有意。

18 3. 二値選択モデル

二値選択モデル 2009年度演習II(10)

3 5 限界効果

3.5 限界効果

•

ロジット/プロビットモデルの係数推定値の符号は意

/

数 味があるが、大きさはそれ自体意味がない。

•

個人

i

の

k

番目の説明変数

x_ik

が

y_i

の期待値

E[y_i]

に与える

効 換 れば 与 効

限界効果、言い換えれば

Prob(y_i=1)

に与える限界効 果は次式で表される。

‡

この限界効果はx

_i

の水準によって変わるため、通常はx

_i

にそ

19

i i

の平均値を代入して計算されたものを結果として提示する。

3. 二値選択モデル

二値選択モデル 2009年度演習II(10)

4. 二値選択モデルの応用 4. 二値選択モデルの応用

20 4. 二値選択モデルの応用

4 1 二肢選択 CVM への応用

4.1 二肢選択 CVM への応用

•

二肢選択型の質問形式 択

‡

質問：現在の里山生態系を保全するためにあなたは毎年

1000

円を支払っても良いと思いますか？

答 ① 支払 も良 ② 支払 くな

‡

回答：① 支払っても良い ② 支払いたくない

‡

提示される金額は被験者によって異なる。

確率効用モデル(

d tilit d l RUM)

•

確率効用モデル(random utility model：RUM)

U

は効用関数

‡ U

は効用関数。

‡ q

は環境質を表す変数であり、現状なら

0

、より高いレベル に達すれば

1

をとる。

‡ m

は所得水準

.

‡ α

と

β

はそれぞれ

q

と

m

の係数パラメータ。

21

‡ ε

は誤差項。

4. 二値選択モデルの応用

•

提示額

B

を支払って

q=1

を得るときの効用を

U B

を

•

提示額

B_i

を支払って

q=1

を得るときの効用を

U₁

、

B_i

を 支払わず

q=0

を受け入れるときの効用を

U₀

とする と、それらは次式で表わされる。

•

、 と定義すると、効用の大

小関係と回答

(WTP(

に関する情報

))

の関係は次式で表 される。

•

が標準正規分布に従うと仮定すれば、このモデル はプロビットモデルとなり、標準ロジスティック分

22

布と仮定すればロジットモデルとなる。

4. 二値選択モデルの応用

二値選択モデル 2009年度演習II(10)

•

支払う確率と支払わない確率

(

尤度

)

•

支払う確率と支払わない確率

(

尤度

)

• WTPの分布

‡

プロビットモデルでは、

WTP

は平均

α/β

、分散

1/β²

の正規 分布に従う。

‡

ロジットモデルでは、

WTP

は平均

α/β

、分散

π²/3β²

のロジ スティック分布に従う。

スティック分布に従う。

23 4. 二値選択モデルの応用

二値選択モデル 2009年度演習II(10)

4 2 選択型コンジョイント分析への応用

4.2 選択型コンジョイント分析への応用

•

確率効用モデル

‡ U

は効用関数。

‡ z_k

は商品

k

の属性ベクトル、

p_k

はその価格。

‡ β

はz

_k

の係数パラメータベクトル、β

_p

はp

_k

の係数パラメータ。

‡ ε

は誤差項。

•

商品aとbを購入することから得られる効用U

_a

、U

_b

はそ れぞれ次式で表される

れぞれ次式で表される。

24 4. 二値選択モデルの応用

質問：どちらの自動車を買いたいですか？買いたいと思う方に○をつ

自動車A 属性

質問：どちらの自動車を買いたいですか？買いたいと思う方に○をつ けてください。

自動車 B 二酸化炭素排出量 ガソリン車の半分 ガソリン車レベル

燃料代 走 能 離

ガソリン車の1/4 ガ 車 半分

ガソリン車の3/4 ガ 車 / 走行可能距離

価格

ガソリン車の半分 320万円

ガソリン車の1/4 240万円

価格 万円

1

万円

2

25 4. 二値選択モデルの応用

図6 選択型コンジョイント分析の質問例

•

効用の大小関係と回答

(a

と

b

のどちらを購入するか

)

•

効用の大小関係と回答

(a

と

b

のどちらを購入するか

)

の関係は次式で表される。

•

ただし 、 、 、

である である。

•

が標準正規分布に従うと仮定すれば、このモデル はプロビットモデルとなり、標準ロジスティック分 はプロビットモデルとなり、標準ロジスティック分 布と仮定すればロジットモデルとなる。

26 4. 二値選択モデルの応用