黄金比

黄金比

Φ: 1 = 1: Φ − 1 Φ ² − Φ − 1 = 0

Φ = 1 ± 5 2 Φ > 0

の解は、

Φ = ^{1+ 5}

2 = 1.618 … 𝜙 ≡ Φ − 1 = _Φ ¹ = 0.618 …

長方形から正方形を切り取ったとき、

長さの比（→黄金比）が保存する

Φ ² = Φ + 1

Φ ³ = Φ ² Φ = Φ + 1 Φ = Φ ² + Φ

= Φ + 1 + Φ = 2Φ + 1

Φ ⁴ = Φ ³ Φ = 2Φ + 1 Φ = 2Φ ² + Φ

= 2(Φ + 1) + Φ = 3Φ + 2

Φ ⁵ = Φ ⁴ Φ = 3Φ + 2 Φ = 3Φ ² + 2Φ

= 3(Φ + 1) + 2Φ = 5Φ + 3

このとき、Φの係数として、1,1,2,3,5,…と増えていく数 の並び（数列）をフィボナッチ数列という。

1 0 1 1 2 1 3 2 5 3 Φ

1 1

1 Φ − 1

五角形と黄金比

Φ 1

cos36° = Φ

2 = 1 + 5 4

cos72° = 2 cos36° ² − 1 = Φ ²

2 − 1 = Φ + 1 2 − 1

= Φ − 1

2 = 1 2Φ 𝑦

𝑥 = 2sin18° = 2cos72° = 1 Φ x

y

フィボナッチ数列の一般項

 































































 





 





































 



 







































 









 











1

lim 5 ,

lim

) 6 (

) (

) 5 ( ), 3 (

) 5 ( )

( )

4 (

) 4 ( ) (

) 1 (

) 3 ( )

( )

2 (

2 5 , 1

2 5 1

-1 1,

) 2 ( )

( )

1 (

, 144 , 89 , 55 , 34 , 21 , 13 , 8 , 5 , 3 , 2 , 1 , 1 , 0

) 1 ( )

2 (

, 1 ,

0

1 1

0 1

1

2 1

1

1 1

0 1

1

2 1

1

2 1

1 0

a

n

a a a

a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

n a

a a

a a

n n

n n

n n

n n

n

n n

n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n















２次方程式

x ² -x-1=0

の２つの解

隣り合う２つの項の比は 黄金比Φに近づく

「振動」数列

 

  ^{3 2 3 ( 6 )}

sin ) (

) 5 ( ), 3 (

) 5 ( )

( )

4 (

) 4 ( ) (

) 1 (

) 3 ( )

( )

2 (

2 3 , 1

2 3 1

1 1,

) 2 ( )

( )

1 (

, 0 , 1 , 1 , 0 , 11 , 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 0

) 1 ( )

2 (

, 1 ,

0

1 1

0 1

1

2 1

1

1 1

0 1

1

2 1

1

2 1

1 0







































































a n

a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

i i

a a

a a

n a

a a

a a

n n

n

n n

n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n

 

 





































 

 



































 









 











２次方程式

x ² -x+1=0

の２つの解

α ² α

β

Re Im

β ² α ³ =β ³ =-1

60 °