以上を踏まえ ると、図1のようにナイキスト軌跡を書ける

1 第１回宿題解答

7.1(1)まず、漸近的性質を調べる。以下、j =e^jπ/2, −j=e^−jπ/2を使う。また、開ループ伝達関数が原 点極を持つので、その極を右半面の小半円で回避する。

1. ω→ ∞のとき

L(jω) ≈ 50

(jω)² = 50

ω²e^−jπ ⇒ |L(jω)| →0,argL(jω)→ −π L(−jω) ≈ 50

(−jω)² = 50

ω²e^jπ ⇒ |L(−jω)| →0,argL(−jω)→π 2. s=re^jθ, r¿1, θ=−π/2→π/2のとき

L(s)≈ 50

5re^jθ = 10

r e^−jθ ⇒argL(s)≈ −θ⇒argL(s)がπ

2 → −π 2^に変化

よって、このときナイキスト軌跡が虚軸の上部から時計方向に右半面をまわって虚軸の下部に行く。

3. ImL(jω) = 0 →ω → ±∞より有限な周波数ではナイキスト軌跡が実軸と交差しない。以上を踏まえ

ると、図1のようにナイキスト軌跡を書ける。

−1 0 Re

Im

図1:

7.1(2) 前の問いと同様に、まず漸近的性質を調べる。以下、j =e^jπ/2, −j =e^−jπ/2を使う。また、開 ループ伝達関数が原点極を持つので、その極を右半面の小半円で回避する。

1. ω→ ∞のとき

L(jω) ≈ 50

(jω)³ = 50

ω³e^−j3π/2 ⇒ |L(jω)| →0,argL(jω)→ −3π 2 L(−jω) ≈ 50

(−jω)³ = 50

ω³e^j3π/2 ⇒ |L(−jω)| →0,argL(−jω)→ 3π 2 2. s=re^jθ, r¿1, θ=−π/2→π/2のとき

L(s)≈ 50

5(re^jθ)² = 10

r²e^−j2θ⇒argL(s)≈ −2θ⇒argL(s)がπ → −πに変化

よって、このときナイキスト軌跡が実軸の負の無限大から時計方向に右半面をまわって戻ってくる。

3. ImL(jω) = 0 →ω → ±∞より有限な周波数ではナイキスト軌跡が実軸と交差しない。以上を踏まえ

ると、図2のようにナイキスト軌跡を書ける。

7.1(4) まず漸近的性質を調べる。以下、正の周波数についてだけ考える。また、開ループ伝達関数の原

点極を回避するために導入した右半面の小半円円周上においてもその上半部だけを考える。残りの軌跡はナ イキスト軌跡の実軸に対する対称性を使って描けばよい。

2

−1 0 Re Im

図2:

1. ω→ ∞のとき

L(jω) ≈ 50

(jω)³ = 50

ω³e^−j3π/2⇒ |L(jω)| →0,argL(jω)→ −3π 2

2. s=re^jθ, r¿1, θ= 0→π/2のとき L(s)≈ 1

(re^jθ)² = 1

r²e^−j2θ⇒argL(s)≈ −2θ⇒argL(s)が0→ −πに変化

よって、sが小半円円周の上半分に沿って移動するとき、ナイキスト軌跡は半径無限大の円周に沿って実軸 の正のの無限大から時計方向に実軸の負の無限大へまわる。

3. ImL(jω) = 0→ω=√

35よりナイキスト軌跡が−0.095あたりで実軸と交差する。以上を踏まえると、

図3のようにナイキスト軌跡を書ける。

−1 0 Re

Im

図3:

3