あるテータ関数の積の q 展開係数と 合同数との関係
大塲 彦浄 平成
21
年2
月27
日目 次
1 Introduction 3
2
楕円曲線と保型形式7
2.1
楕円曲線. . . . 7
2.2
整数重さの保型形式. . . . 9
2.3
半整数重さの保型形式. . . . 13
3
合同数問題17 3.1
合同数と楕円曲線. . . . 17
3.2
楕円曲線E
n のL
関数. . . . 25
3.3
主定理の紹介と証明. . . . 29
3.4 q
展開のn
番目の係数との関連. . . . 34
1 Introduction
本修士論文は
Tunnell
による論文[16]
の総合報告である. この論文では合同数問題 といわれる問題にほぼ解を与えているTunnell
の定理が示されている. しかし, 未解 決の弱BSD
予想が絡んでいるため完全に解決されたとは言えないことを注意してお く. このことについては後に触れる.定義
1.1 (合同数).
平方因子を持たない自然数n
が合同数であるとは,n
が有理数の3
辺を持つ直角三角形の面積になるときにいう.例
1.2. 5, 6
は合同数である.5 6
5
4 41 3
6 3
2 20
3
ここで問題となるのは以下である.
問題
1.3.
与えられた平方因子を持たない自然数がどのような条件のとき合同数とな りうるか?
一般にこの問題を考えることは難しい. なぜならば,
n
を平方因子を持たない自然 数としたとき関係式X
2+ Y
2= Z
2, XY 2 = n
が有理数解
(X, Y, Z)
を持つならばn
は合同数であることがわかるが, この様な有理数の組
(X, Y, Z)
の可能性は無限通り存在するからである. この合同数問題に関連して
Tunnell [16]
は以下のような定理を結果として与えた.定理
1.4 (Tunnell). n
を平方因子を持たない自然数とする.n
が合同数ならば次が成り立つ.
n
が奇数のとき# { x, y, z ∈ Z| n = 2x
2+ y
2+ 32z
2} = 1
2 # { x, y, z ∈ Z| n = 2x
2+ y
2+ 8z
2} .
n
が偶数のとき# { x, y, z ∈ Z| n
2 = 4x
2+ y
2+ 32z
2} = 1
2 # { x, y, z ∈ Z| n
2 = 4x
2+ y
2+ 8z
2} .
注目すべき点はこの方程式の整数解の個数は有限回の操作で求められる点である.この逆は弱
BSD
予想を認めれば成立する. つまり,弱BSD
予想を認めればn
に対し て上で定められた方程式の解の個数を数えることにより,n
が合同数であるかどうか を判定することができる. 一見すると初等的な問題であるが証明を述べるには楕円曲 線, モジュラー形式などの理論が必要となる. これらについて以後の章で基本事項を まとめていく.簡単のため,
n
が奇数の場合にTunnell
が示したことを述べる. 方程式の解の個数(1.5) # { x, y, z ∈ Z| n = 2x
2+ y
2+ 32z
2} − 1
2 # { x, y, z ∈ Z| n = 2x
2+ y
2+ 8z
2}
を求めることは, テータ関数の積g(z)θ
2(z)
のq
展開のn
番目の係数を求めることに 対応している. Tunnellの主定理を述べる.z ∈ C (Im z > 0), q = e
2πiz, t ∈ Z
>0 とし,g (z) = q
∏
∞ n=1(1 − q
8n)(1 − q
16n), θ
t(z) =
∑
∞ n=−∞q
tn2.
とする.
g (z)θ
2(z)
のq
展開を次のようにおく.g(z)θ
2(z) =
∑
∞ n=1a(n)q
n.
この状況の下, Tunnellは次を示した.
定理
1.6 (Tunnell [16]). n
を平方因子を持たない奇数とする. このとき,L(E
n, 1) = a(n)
2βn
−124 .
ただし,
β =
∫
∞1
√ dx
x
3− x = 2.62205 · · ·
である.証明の概略を簡単に述べることにする. ある平方因子を持たない奇数の自然数
n
が 合同数であることと楕円曲線E
n: y
2= x
3− n
2x
のランクは
0
より大きくなることが同値であることが初等的な証明により導かれる.また,ランクが
0
より大きいならばCoates-Wiles [3]
の結果により楕円曲線E
n のL
関数の
s = 1
での値が0
であることがわかる. また,弱
BSD
予想E
を有理数体Q
上の楕円曲線とする. このとき,ord
s=1L(E, s) = rank E( Q ).
を認めれば,
L(E
n, 1) = 0
ならばrank E
n( Q ) > 0
であることがわかる.E
n のL
関数はE
1 のL
関数の指標χ
n( ∗ ) = (
n∗
) (ヤコビ記号)
によるツイストで書ける. つまり,
L(E
n, s) :=
∑
∞ m=1b
m,nm
s とおいたとき,L(E
n, s) = L(E
1, χ
n, s) :=
∑
∞ m=1χ
n(m)b
m,1m
s と書ける.また,
L(E
1, s) =
∑
∞ m=1b
m,1m
s に対してf
E1(z) :=
∑
∞ m=1b
m,1q
mとおけば,
f
E1 は重さ2
の保型形式となることがWeil
の定理より示される[4, p.142].
ここで注目すべき関係として
L(E
1, χ
n, s) = L(f
E1, χ
n, s) = L(E
n, s)
がある. つまり,
E
n のL
関数のs = 1
での値を調べるには保型形式f
E1 のL
関数のs = 1
での値を調べればよい.次は
L
関数の特殊値と保型形式との関係について述べる. 志村対応という重さ3/2
と重さ2
の保型形式との間に対応が与えられ, Waldspurger [17]より重さ2
の保型形 式φ
に対応するL
関数のs = 1
での値は定数と志村対応によりφ
に写る重さ3/2
の保型形式のある線形結合があり, そのq
展開係数の平方の積に等しいことが示され た. Tunnellは楕円曲線E
n に対してこの結果を応用した. Tunnellは重さ2
の保型形 式としてf
E1 をとり, (志村対応は一対一ではないが)志村対応によりf
E1 に写る重さ3/2
の保型形式がg(z)θ
2(z)
であることを示した. Waldspurger [17]の結果よりE
n のL
関数のs = 1
の値はテータ関数の積g(z)θ
2(z)
のq
展開係数a(n)
の2
乗と定数と の積で書き表せることがわかる. よって,n
が合同数ならばa(n) = 0
であり, 弱BSD
予想を認めれば,a(n) = 0
のときn
は合同数であることがわかる.g(z)θ
2(z)
のn
番 目の係数が(1.5)
となることは最後の章で述べる.謝辞
本修士論文を書くに至るまで親切に御指導下さった雪江明彦先生に感謝します. ま た, 同じセミナーの仲間であった加藤成美氏, 田嶋和明氏, 高橋雄氏, 伊藤高志氏に感 謝します.
2 楕円曲線と保型形式
2.1
楕円曲線ここでは, 楕円曲線の一般論について簡単に復習することにする.
k
を体とする.k
有理点を持つ種数1
の非特異な射影曲線をk
上の楕円曲線という. この曲線をE
と すると,E
はWeierstrass
方程式といわれる次の曲線で表せる. また,O = (0, 1, 0)
を 無限遠点という.(2.1) Y
2Z + a
1XY Z + a
3Y Z
2= X
3+ a
2X
2Z + a
4XZ
2+ a
6Z
3.
ここで,
a
1, a
2, a
3, a
4, a
6∈ k
である.E
が方程式(2.1)
で定まる楕円曲線のとき,b
2= a
21+ 4a
2,
b
4= 2a
4+ a
1a
3, b
6= a
23+ 4a
6,
b
8= a
21a
6+ 4a
2a
6− a
1a
3a
4+ a
2a
23− a
24,
∆ = − b
22b
8− 8b
34− 27b
26+ 9b
2b
4b
6.
とおく. ∆ を
E
の判別式と呼ぶ. ∆6 = 0
のときE
は非特異となり,楕円曲線となる.よって楕円曲線とは
Weierstrass
方程式(2.1)
で定まり∆ 6 = 0
となる曲線のことと考 えてよい.k
の標数が2, 3
と異なるときWeierstrass
方程式として次がとれる.y
2= x
3+ ax + b.
このとき
∆ = − 2
4(4a
3+ 27b
2)
となる. 以降K
を代数体とする.E
をK
上定義され た楕円曲線とし,E(K )
を次のようにおく.E(K) := { (X, Y, Z ) ∈ P
2(K) | Y
2Z = X
3+ aXY
2+ bZ
3} .
E
上の2
点P
1, P
2 に対しP
1 とP
2 を通る直線をl
とする.l
とE
の3
つ目の交点 をQ
とおく.Q
のx
軸対称の点P
3 をP
1+ P
2 と定義する.O y
P
1x P
2Q
P
3= P
1+ P
2l
この演算により
E(K)
にはアーベル群の構造が入ることが知られている[14, p.55].
ま た, 次の定理が知られている.定理
2.2 (Mordell-Weil
の定理, [14, p.189]). E(K)
は有限生成アーベル群である.つまり
E(K)
はE(K) ∼ = E(K )
tors⊕ Z
rと書ける. ここで
E(K)
tors は有限アーベル群である.r
を楕円曲線E
のランクと いう.この定理は有理数体
Q
の場合はMordell
により示され[14, p.201],
一般の代数体上 のアーベル多様体の場合はWeil
により示された.2.2
整数重さの保型形式ここでは,保型形式とカスプ形式の一般論を解説する. まず,特殊線形群
SL
2( Z )
と 複素上半平面H
をSL
2( Z ) : = {
γ = (
a b c d
) a, b, c, d ∈ Z , det γ = 1 }
, H : = { z ∈ C| Im(z) > 0 }
と定める. また
SL
2( Z )
のH
への作用を次の様にz ∈ H , γ =
( a b c d
)
∈ SL
2( Z )
に対してγz = az + b cz + d
と一次分数変換で定める.今後話を進める上で重要となる
SL
2( Z )
の部分群Γ
0, Γ
1 をΓ
0(N ) : =
{(
a b c d
)
∈ SL
2( Z )
c ≡ 0 mod N }
,
Γ
1(N ) : = {(
a b c d
)
∈ Γ
0(N )
a ≡ 1 mod N }
と定義する. Γ1
(N )
はΓ
0(N )
の正規部分群でありその剰余群は( Z /N Z )
∗ と同型であ る. またΓ(N )
をΓ(N ) :=
{(
a b c d
)
∈ SL
2( Z )
( a b c d
)
≡ (
1 0 0 1
)
mod N }
とおき,
SL
2( Z )
の部分群Γ
でΓ ⊃ Γ(N )
となるときΓ
をレベルN
の合同部分群と 呼ぶ.ここで,
H /Γ
0(N )
は楕円曲線E
とE
上の位数N
の点の組の同値類に対応してお り,H /Γ(N )
は楕円曲線E
とE
上のN
等分点の基底P, Q
でe
N(P, Q) = exp(2πi/N )
となるものの組に対応している. ここで,e
N(P, Q)
はWeil pairing
である.定義
2.3 (保型形式,
カスプ形式).H
からC
への正則関数f
が次を満たすときf
を重さ
k,
レベルN
の保型形式という.1. γ = (
a b c d
)
∈ Γ
0(N )
に対してf (γz ) = (cz + d)
kf(z).
2. f
はすべてのカスプで正則. つまり, 任意のSL
2( Z )
の元γ = (
a b c d
)
に対して
f(γz) =
∑
∞ n=0a(n, γ )q
Nn(q = e
2πiz)
と展開される. このフーリエ展開を
q
展開と呼ぶことにする. 条件の2
において定 数項が現れない場合, つまりa(0, γ) = 0
が成り立つときf
を重さk,
レベルN
のカ スプ形式という.以下のように, 重さ
k,
レベルN
の保型形式全体のなす集合をM
k(N )
とし,重さk,
レベルN
のカスプ形式全体のなす集合をS
k(N )
とする.M
k(N ) : = { f : H → C| f
は重さk,
レベルN
の保型形式} , S
k(N ) : = { f : H → C| f
は重さk,
レベルN
のカスプ形式} . M
k(N), S
k(N )
はC
上の有限次元ベクトル空間となることが知られている[4].
次に,ある合同部分群
Γ
0 の保型形式とある合同部分群Γ
00 の保型形式との関係につ いて述べる.定義
2.4 (
ディリクレ指標). Z
からC
∗ への関数χ
が次の3
条件1. ∀ n ∈ Z
に対しχ(n + m) = χ(n),
2. ∀ k, n ∈ Z
に対しχ(kn) = χ(k)χ(n), 3. χ(n) 6 = 0 ↔ (n, m) = 1.
を満たすとき,
χ
をm
を法とするディリクレ指標という.f (z) = ∑
a
nq
n∈ M
k(Γ)
とする. このとき, ディリクレ指標χ
に対してf
χ(z) =
∑ a
nχ(n)q
n をf
の指標χ
によるツイストという. このときf
χ(z)
はΓ
より小さい ある部分群において保型形式になることが知られている[4, p.137].
χ
をN
を法とするディリクレ指標とし,f (z) | [γ]
k:= (cz + d)
−kf(γz), γ = (
a b c d
)
∈ Γ
と定義する.任意の
γ = (
a b c d
)
∈ Γ
0(N )
に対してf(z) | [γ]
k= (cz + d)
−kf(γz)
となるf(z)
か ら構成されるM
k(Γ
1)
の部分空間M
k(N, χ)
を次のように定める. 同様にS
k(N, χ)
を 次の共通集合として定める.M
k(N, χ) : = { f ∈ M
k(Γ
1(N )) |∀ γ ∈ Γ
0(N )
に対してf [γ ]
k= χ(d)f } , S
k(N, χ) : = M
k(N, χ) ∩ S
k(Γ
1(N ))
と定義する.
次に
Hecke
作用素 について解説する. Hecke作用素 を考える理由は, Hecke作用素 に対し保型形式f
が同時固有形式となるときに,f
に対応するL
関数がオイラー積 表示を持つという性質を持っているためである.Hecke
作用素 の定義の準備をする. 以下G
を群とする.定義
2.5 (
通約可能). Γ
1, Γ
2 をG
の部分群とする.[Γ
1: Γ
1∩ Γ
2] < ∞ , [Γ
2: Γ
1∩ Γ
2] <
∞
となるとき,Γ
1 とΓ
2 は通約可能という.例
2.6. Γ = SL
2( Z )
とする.Γ
0 をΓ
のレベルN
の合同部分群とし,α ∈ G = GL
+2 であるとする. このとき,Γ
0 とα
−Γ
0α
は通約可能である. なぜならば, ある整数D
で,Γ
0∩ α
−1Γ
0α ⊃ Γ(N D)
かつΓ
0∩ αΓ
0α
−1 となりΓ
00= Γ
0∩ α
−1Γ
0α
とすれば,Γ
00⊃ Γ(N )
かつαΓ
00α
−1⊃ Γ(N D)
となるからである.定義
2.7 (両側剰余類). Γ
1, Γ
2⊂ G
でありα ∈ G
とする. 両側剰余類Γ
1αΓ
2 とは,γ
1αγ
2(γ
1∈ Γ
1, γ
2∈ Γ
2)
の形のG
の元すべてのなす集合である.上で
Γ
1αΓ
2 は右剰余類Γ
1α
を含み,一般にΓ
1αγ
2 という形の右剰余類の和集合で あることを注意しておく. Γ0 を群G
の部分群とし,α ∈ G
をΓ
0 とα
−1Γ
0α
が通約可 能である任意の元とする. Γ00 をΓ
0∩ α
−1Γ
0α
とし, [Γ0: Γ
00] = d
とする. このとき,Γ
0= ∪
dj=1
Γ
00γ
j0 と書けばΓ
0αΓ
0=
∪
d j=1Γ
0αγ
j0は
d
個の右剰余類の交わりのない和集合となる. また, Γ0αΓ
0= ∪
dj=1
Γ
0αγ
j0 がd
個の 右剰余類の交わりのない和集合ならばΓ
0= ∪
dj=1
Γ
00γ
j0 となる.ここで,
S
+ をZ
の0
でない部分群, つまりある正整数M
に対してS
+= M Z
と し,S
∗ を( Z /N Z )
∗ の部分群とする. ここで注意としてN
を法として( Z /N Z )
∗ に属 する整数もS
∗ の元とする.n
を正の整数とするとき∆
n(N, S
∗, S
+) :=
{(
a b c d
)
∈ M
2( Z )
N | c, a ∈ S
∗, b ∈ S
+, det (
a b c d
)
= n }
と定義する.
例
2.8.
Γ
1(N ) := ∆
1(N, 1, Z ), Γ
0(N ) := ∆
1(N, ( Z /N Z )
∗, Z ), Γ(N ) := ∆
1(N, 1, N Z ).
が例として挙げられる.
定義
2.9. Γ
0 をΓ = SL
2( Z )
の部分群,α
をGL
002+( Q )
の元とする.Γ
00= Γ
0∩ α
−1Γ
0α
とし[Γ
0: Γ
00] = d, Γ
0= ∪
dj=1
Γ
00γ
j0 であるとする.f (z)
をγ ∈ Γ
0 に対する[γ]
k で不変 なH
上の関数とするときf (z) | [Γ
0αΓ
0]
k:=
∑
d j=1f (z) | [αγ
j0]
kと定義する.
f (z) | [Γ
0αΓ
0]
k は代表元の選び方によらないで定まる. また,f ∈ M
k(Γ
0)
ならばf | [Γ
0αΓ
0]
k∈ M
k(Γ
0)
である. ここまでの準備で正の整数n
に対してHecke
作用素T
n を定義する.定義
2.10 (Hecke
作用素). Γ
0= ∆
1(N, S
∗, S
+), n
を正の整数とする.f ∈ M
k(Γ
0)
としたとき, 次の様に定義する.T
nf := n
k2−1∑
f | [Γ
0αΓ
0].
和は
∆
n(N, S
∗, S
+)
に含まれるΓ
0 に関する両側剰余類をわたる. このとき,T
nf ∈ M
k(Γ
0)
となる.g.c.d.(m, n) = 1
ならばT
mn= T
mT
n であり, 特にT
m とT
n は可換である.命題
2.11.
保型形式f
に対してHecke
作用素T
p は次の様に作用する.T
p(f)(x) =
1 p
p−1
∑
i=0
f
( z + i p
)
+ p
k−1f (pz) if p - N 1
p
p−1
∑
i=0
f
( z + i p
)
if p | N
次に
newform
と呼ばれる保型形式を定義する. newformとは大雑把に述べればN
を割るようなレベルからきた保型形式ではない保型形式のことである.
定義
2.12 (
ピーターソン内積). f
1, f
2 を重さk,
レベルN
の保型形式とし, すくな くとも一方はカスプ形式とする. このとき, 内積h , i
を次のように定める. ここで少 なくとも一方はカスプ形式であるとしたのは積分の収束性を保証するためである.h f
1, f
2i = µ(SL
2( Z )) µ(Γ
0(N ))
∫
H/Γ0(N)
f
1(z)f
2(z)y
kdxdy y
2.
ここで,µ(Γ) =
∫
H/Γ
dxdy
y
2 とする. このh , i
をピータソン内積という.newform
を以下のように定義する.定義
2.13 (newform). S
k1(N )
を∪
M
∪
l
{ f (lz) | f (z) ∈ S
k(N) }
で生成されるS
k(N )
の部分空間として定義する. ここで,M
はN
の真の約数,l
はN/M
の約数を走る.S
knew をh , i
に関するS
k1(N )
の直交補空間として定義し,newform
の空間という.先ほど述べたように, レベル
N
のあるカスプ形式f
がnewform
であることがわか ればf
はレベルN
を割るようなレベルからきたカスプ形式ではないことがわかる.2.3
半整数重さの保型形式この節では半整数重さの保型形式について触れる. 半整数重さの保型形式は特に テータ関数を扱うものであることに注意しておく. 半整数重さに今まで通りの定義を 適応すると
(cz + d)
k2 が等式の中にでできてしまい, (cz+ d)
k2 には分枝が2
通りある ので, 2次指標を使った新しい定義を与えなくてはならない.T = {± 1, ± i } , GL
+2( Q ) = { g ∈ GL
2( Q ) | det g > 0 }
とする. またG
を次の様に おく.G =
(α, φ(z))
α = (
a b c d
)
∈ GL
+2( Q ), φ : H
上の正則関数であるt ∈ T
2 があってφ(z)
2= t(det α)
−12(cz + d)
.
さらに
G
に次のように演算を入れると群となる.(α, φ) · (β, ψ) := (αβ, φ(βz)ψ(z)).
ξ = (α, φ(z)) ∈ G
と任意の整数k
に対し,H
の関数f
への作用素[ξ]
k/2 を次で定義 する.f (z) | [ξ]
k2
:= f(αz)φ(z)
−k.
Γ
0: Γ
0(4)
の部分群.γ ∈ Γ
0 に対してj(γ, z) := θ(γz )/θ(γ)
と定める.Γ e
0:= { (γ, j (γ, z)) | γ ∈ Γ
0}
と定める. このとき半整数重さの保型形式を次のように定義する.
定義
2.14 (半整数重さの保型形式). f
をH
からC
への正則関数とする.f
が重さk
2
の保型形式であるとは1. ˜ γ ∈ Γ e
0 に対してf(z)[˜ γ]
k2
= f(z).
2. f
はすべてのカスプで正則.となるときである.
半整数重さの保型形式にも
Hecke
作用素 が定義されるがHecke
作用素 の指数が完全 平方数n
2 のときのみ非自明となる. よって,半整数重さの場合のT
n2, g.c.d.(n, N ) = 1
の生成元はN
を割らない素数p
によるT
p2 となる.半整数重さの
Hecke
作用素 が完全平方数のときのみ非自明となることを示す.G
1= { (α, φ(z)) ∈ G | α ∈ Γ } , Γ ˜
0(4) =
{
(α, j (α, z)) α =
( a b c d
)
∈ Γ
0(4), j(α, z) = ( c
d )
−1d
(cz + d)
12}
.
また,
ξ
n= ((
1 0 0 n
) , n
14)
とし,
f | [˜ Γ
1(N ) ˜ ξ
nΓ ˜
1(N )]
k/2:= ∑
j
f | [ ˜ ξ
nγ ˜
j]
k/2と定義する. ここで和は,両側剰余類
Γ ˜
1(N )ξ
nΓ ˜
1(N )
に含まれるΓ ˜
1(N )
に関する任意 の相異なる右剰余類を走る.命題
2.15. n
をN
と互いに素な完全平方数ではない正の整数とする. このとき,f | [˜ Γ
1(N) ˜ ξ
nΓ ˜
1(N )]
k/2= 0
である.証明
.
与えられたα ∈ GL
+2( Q )
とξ = (α, φ) ∈ G
に対し, Γ0:= α
−1Γ
1(N )α ∩ Γ
1(N )
か らT = {± 1, ± i }
への写像を次の様に構成する. ここで,γ, γ
1∈ Γ
1(N )
でγ = α
−1γ
1α
となるγ, γ
1 が与えられたとき, ˜γ, ξ
−1γ ˜
1ξ ∈ G
1 は共にΓ
への同じ射影γ
を持つこと に注意する. したがって,ξ
−1˜ γ
1ξ = ˜ γ(I
2, t).
と書ける.
固定された
α, ξ
に対して,γ
に数t
を対応させる写像を考える. この写像t(γ)
はα
にのみ依存するΓ
0 からT
への凖同型となり,ξ = (α, φ)
のφ
の選び方には依らず,α = (
1 00n)
の場合はγ = (
a b c d
)
∈ Γ
0= α
−1Γ
1(N )α ∩ Γ
1(N )
に対して
t(γ) = ( d
n )
となることがわかる. この写像の核を
K( ⊂ Γ
0)
とおく.Γ ˜
00:= ξ
n−1Γ ˜
1(N)ξ
n∩ Γ ˜
1(N )
と定義すればK ˜ = ˜ Γ
00となる. これを示す.
γ, γ
1∈ Γ
1(N )
でγξ ˜
n−1˜ γ
1ξ
n であると仮定する. 射影P : G → GL
+2( Q )
を適応するとγ = (
1 0 0 n
)
−1γ
1α
であり,
γ ∈ Γ
0= α
−1Γ
1(N )α ∩ Γ
1(N )
となる.ξ
−1γ ˜
1ξ
n= ˜ γ = ˜ γ(I
2, t)
なのでγ ∈ K
となる.逆は,
γ ∈ K ⊂ Γ
0 ならばγ = α
−1γ
1α
でξ
n−1γ ˜
1α = ˜ γ(I
2, t), t = t(γ) = 1
となるの で, ˜γ ∈ Γ ˜
00 となる.一般に
Γ ˜
00= ˜ K
はΓ ˜
0 に含まれる. つまり,ξ
n−1Γ ˜
1ξ
n∩ Γ ˜
1(N )
はΓ
0= α
−1Γ
1(N )α ∩ Γ
1(N )
のリフトの部分群である. ˜Γ
00 とΓ ˜
0 が一致するには, 写像t
が自明となること が必要十分である. 今t(γ ) = (
dn
)
なので, 写像t
が自明であるためにはn
が完全平 方数であることが必要十分である.n
が完全平方数でないとき, ˜Γ
00 はΓ ˜
0 の指数2
の部分群である. ˜Γ
0= ˜ Γ
00∪ Γ ˜
00τ ˜
を右 剰余類分解とすれば,τ = α
−1τ
1α
でτ ˜ = ξ
n−1τ ˜
1ξ
n· (I
2, − 1)
となる. Γ1(N )
のΓ
0 に関 する右剰余類分解をΓ
1(N ) = ∪
j
Γ
0γ
j とするとΓ ˜
1(N ) = ∪
j
Γ ˜
00γ ˜
j∪ ∪
j
Γ ˜
00τ ˜ γ ˜
j がΓ ˜
1(N )
のΓ ˜
00 に関する右剰余類分解である. このとき,f | [˜ Γ
1(N )ξ
nΓ ˜
1(N)]
k/2= ∑
j
f | [ξ
n˜ γ
j]
k/2+ ∑
j
f | [ξ τ ˜ ˜ γ
j]
k/2 が成り立つ. しかし,f
はτ ˜
1∈ Γ ˜
1(N)
に対する[˜ τ
1]
k/2 で不変であるので,f | [ξ
n˜ τ γ ˜
j]
k/2= f | [ξ
nτ ξ ˜
−n1ξ
n˜ γ
j]
k/2= f | [˜ τ
1(I
2, − 1)ξ
nγ ˜
j]
k/2= f | [(I
2, − 1)ξ
nγ ˜
j]
k/2 となる. 定義より[(I
2, − 1)]
k/2= ( − 1)
k= − 1
となるのでf | [ξ
nγ ˜
j]
k/2+ f | [ξ
nτ ˜ ˜ γ
j]
k/2= f | [ξ
n˜ γ
j]
k/2− f | [ξ
nγ ˜
j]
k/2= 0
である.命題
2.15
により,半整数重さのHecke
作用素 は完全平方数n
2 のときのみ非自明と なる.命題
2.16. g(z) =
∑
∞ n=0a(n)q
n∈ M
k/2(N, χ)
に対してHecke
作用素T
p2 に対してT
p2(g)(z) =
∑
∞ n=0b(n)q
nが成り立つ.
λ = k − 1
2
とすればb(n)
はb(n) = a(p
2n) + χ(p)
( − 1 p
)
λ( n p
)
p
λ−1a(n) + χ(p
2)p
2λ−1a(n/p
2).
ただし,
