Chapter 5

Chapter 5

最適レギュレータ

対(A; B) が可制御ならば，状態フィードバック制御 u =ÄKx ^に より閉ループ系 x_ = (AÄBK)x の極を任意に配置することが可能 である。3章で述べた極配置法は，この性質を利用して閉ループ系 が指定した極をもつように状態フィードバックゲインK ^を定める 方法であった。本章では，ある評価関数J を最小化するという意味 で最適な状態フィードバックゲインK の設計法について議論する。

5.1

5.1.1 ^{行列の正定性}

最初に，行列の正定性を定義しておこう。

定義 5. 1 (^正定性)

対称行列 Q=Q^T 2R^nÇn が非零な任意のベクトル x2R^{n に対して}

x^TQx >0 (5:1)

を満足するとき 正定行列(positive deånite matrix) ^と呼び，Q > 0 ^{と記述する。}

式(5:1) ^{に対応して}x^TQxï0^{が成り立つ場合を 準正定}(positive semi-deånite)^，x^TQxî0 の場合を 準負定(negative semi-deånite)^，x^TQx <0^{の場合を 負定}(negative deånite)^と呼 び，それぞれQï0; Qî0; Q <0 ^{と記述する。}

対称行列の固有値 ï_i は実数であり，その固有ベクトルv_i は互いに直交する。すなわち，

v_i^Tv_j =

8<

:

1 (i=j) 0 (i6=j) { 5.1 {

また，適当な正則変換により対角化が可能である。これらより，対称行列 Q ^が(^準)^正定 であるための必要十分条件は，その固有値がすべて正(^非負)であることを示すことができ る。このことは，正定行列は正則であることを意味する。

正定性に対するもう一つの必要十分条件を与えよう。行列 Q ^の第i1; i2;ÅÅÅ; ir行ならび に第j1; j2;ÅÅÅ; jr列の要素からなる r^{次正方行列の行列式を} (r^次)^小行列式(minor)^と呼ぶ。

特に，i₁ = j₁; i₂ =j₂; ÅÅÅ; i_r = j_r ^のとき (r^次)^{主小行列式}(principal minor)^，i₁ = j₁ = 1; i2 = j2 = 2; ÅÅÅ; ir = jr = r ^のとき (r^次)^{主座小行列式}(leading principal minor) ^と呼 ぶ。このとき，行列Qが正定であるための必要十分条件は，すべての主座小行列式が正で あることである。また準正定であるための必要十分条件は，すべての主小行列式が非負で あることである。

準正定行列 Q2 R^{nÇn のランクを} m ^{とするとき，}Q = C^TC となる行フルランク行列 C 2R^{mÇn が存在する。}

例題 5. 1 

次に示す対称行列が正定あるいは準正定であるための条件を調べてみよう。

(1) Q=

2 4 1 0

0 q

3

5; (2) Q=

2

4 1 Ä2 Ä2 q

3 5

(1) 対角行列の対角要素は固有値そのものであることから，q > 0^{であれば正} 定，qï0 ^{であれば準正定，}q <0 であればどちらでもない。

(2) 1^{次の主座小行列式は正}(1) ^であり，2次の主座行列式を計算するとqÄ4 となる。したがって，q >4 ^{のとき行列} Q ^{は正定となる。また，}Q ^が2 次であることから 2次の主小行列式と主座小行列式は等しいので，qï4 のとき行列 Q は準正定となる。なお，行列Q の固有値からも同様の結 果が得られる。ここで，Q の要素の符号と正定性には関連がないことに 注意してほしい。

5.1.2 ^{リアプノフ方程式}

行列 A2R^nÇn; Q=Q^T 2R^{nÇn に対して}

A^TX +XA=ÄQ (5:2)

を リアプノフ方程式(Lyapunov equation) と呼ぶ。この方程式の解 X ^{に対して次に示す} 定理が成り立つ。

定理 5. 1

5.2. 最適レギュレータ問題とその解 { 5.3 { (1) A ^{が漸近安定で} Q ^が正定(^{準正定，準負定，負定}) ^{であれば，リアプノ}

フ方程式(5:2) ^の解 X ^は正定(^{準正定，準負定，負定}) ^である。

(2) Q ^{が準正定の場合，}Q=C^TC ^{に対して対}(C; A) ^{が可観測であれば解} X は正定である。

(3) Q ^が正(^負)^{定であり，解} X ^が正(^負)^{定であれば} A ^{は漸近安定である。}

(4) Q=C^TC ^{に対して対}(C; A) ^{が可検出であり，解} X ^{が準正定であれば} A は漸近安定である。

5.2

5.2.1 ^{最適レギュレータ問題}

状態方程式

_

x=Ax+Bu (5:3)

に対して，次に示す 評価関数(cost function) J ^{を最小にする操作量} u ^{を求める問題を} 最適レギュレータ問題(optimal regulator problem)^{，その解を 最適レギュレータ}(optimal regulator) ^と呼ぶ。

J =

Z ₁

0 (x^TQx+u^TRu) dt (5:4)

ここで，対(A; B)は可制御であるとし，行列 Q 2 R^{nÇn は準正定，}R 2 R^{mÇm は正定行} 列とする。評価関数(5:4) における被積分関数は，行列の正定性の定義より，任意の時刻t において非負のスカラ値をもつのでJ ï0であることに注意してほしい。また，評価関数 J ^{は，状態量}x ^と操作量 uの関数として与えられているが，状態量が操作量の関数である ことから，評価関数J ^は操作量u ^{の関数となる}(^{厳密には操作量} u ^{と初期状態} x(0) =x₀ の関数である)^。

最適レギュレータを理解するためには，上述の評価関数J の意味を知ることが重要であ る。その目的で，Q ^{を対角行列}

Q= diagfq₁; q₂;ÅÅÅ; q_ng

と選定したとしよう^y。Qï 0 ^{であることから} q_i ï0 でなければならない。このとき，x_i を状態量 x ^の第i^{要素とすると}

x^TQx=

Xn i=1

q_ix²_i(t)

y行列Qは準正定条件を満足すればよいので，必ずしも対角行列である必要はないが，通常の設計におい ては対角行列と選ぶ場合が多い。行列R についても同様である。

であることから，

Z ₁

0 x^TQx dt ^は状態量 x(t) ^の総2乗面積を表していることがわかる(^図 5:1^参照)^{。初期状態}x(0)から原点への移動を議論する制御問題をレギュレータ問題と呼ぶ ことは 3^{章でも述べたが，}2乗面積はそのときの応答を評価する際の一つの指標となり得 る。したがって，評価関数 J ^の第1項目は応答性に関連したものであり，その値が小さい 方がより応答性が高いと考えてよい。

Time[sec]

x(t) x^TQx dt

図 5.1 応答性に関する評価指標

ところで，一般に高い応答性を要求した場合，より多くの操作量が必要となる。このこ とは，重量のある物体を移動させるときに，速く移動させようとすればするほど，必要と する操作量が大きくなることからも推測される。通常，制御対象には駆動のためのアクチュ エータが取り付けられているが，それが制御対象に対して与えることのできる操作量は有 界である。そのため，操作量のことも考慮にいれた設計がより合理的な設計といえよう。

評価関数 J ^中の第1項目に対する議論と同様に考えると，第2^項目は 2^{乗面積を用いて操} 作量の大きさを表現したものであることがわかる。もちろんその値は小さい方が好ましい。

なお，評価関数 J ^{において行列} R を正定としていることに注意してほしい。もし，次式 に示すように

u^TRu= [u₁ u₂]

2 4 r₁ 0

0 0

3 5

2 4 u₁

u2

3

5=r₁u²₁

行列R が準正定であるならば，評価関数 J ^{に考慮されない操作量}(^上式ではu2)^が存在す ることになる。この場合，その操作量が非常に大きな値を取ったとしてもそれは評価関数 J には反映されない。行列 R の正定性はこのようなことを生じないようにするために必要 な条件である。

前述のとおり投与する操作量と応答性との間にはトレードオフの関係があるが，このこ とは行列 Q^と R の比率により与えることが可能である。たとえば，1^{入力系の場合，行列} R ^はスカラ r ^{となり，評価関数} J ^は

5.2. 最適レギュレータ問題とその解 { 5.5 {

J =

Z ₁

0 (x^TQx+ru²) dt

で与えられるが，行列 Q ^に対して r を小さくすると多くの操作量を使用でき，逆に大き くすると操作量が制限されることを意味する。一般に，前者の方が高い応答性を期待でき る。以下では Q; R を重み行列と呼ぶが，最適レギュレータの設計においては，これらを どの様に設定するかが鍵となる。

5.2.2 最適レギュレータ問題の解

前項の最適レギュレータ問題に対して，次式に示す Riccati^方程式(Riccati equation) ^を 導入する。

A^TX+XAÄXBR^Ä1B^TX +Q= 0 (5:5) この方程式の解法については次節で述べることにして，この方程式に対する(^準)^正定解 X が存在するとして，それを利用して本問題に対する解を求めてみよう。

dtd(x(t)^TXx(t)) = _x^TXx+x^TXx_

= (Ax+Bu)^TXx+x^TX(Ax+Bu)

= x^T(A^TX+XA)x+u^TB^TXx+x^TXBu

= Ä(x^TQx+u^TRu) + (u+R^Ä1B^TXx)^TR(u+R^Ä1B^TXx) 2番目の等式は状態方程式(5:3) を代入することによって，また 4^{番目の等式は} Riccati^方

程式(5:5) を利用することによって得られる。

上式の両辺を区間 [0;1)^{で積分すると，}

J =Äx^T(t)Xx(t)^ååå¹₀ +

Z ₁

0 (u+R^Ä1B^TXx)^TR(u+R^Ä1B^TXx) dt を得る。行列R が正定であることから，

u=ÄR^Ä1B^TXx (5:6)

と選ぶことが評価関数J ^の第2項目の積分を最小にする操作量uの与え方であることがわ かる。また，後述するように式(5:6)で制御を行った閉ループ系

_

x= (AÄBR^Ä1B^TX)x が漸近安定( lim

t!1x(t) = 0) であることを示すことができる。したがって，評価関数J ^の最 小値は

Jmin =x^T(0)Xx(0) (5:7) で与えられる。ここで，問題の設定は状態フィードバック制御という形態を前提としてい ないのに対して，結果として得られる最適操作量 u^はゲイン K ^が

K =R^Ä1B^TX (5:8)

である状態フィードバック(u=ÄKx) の構造をもつことに注意してほしい。

例題 5. 2 

次に示す最適レギュレータ問題を考える。

 系 : _x=ax+bu (b 6= 0)  評価関数 : J =

Z ₁

0 (x²+ru²)dt (r >0) 本問題に対する Riccati^方程式は

X² Ä2ar

b² XÄ r b² = 0 で与えられるので，その正定解は

X = r b²(a+

s

a²+ b² r ) であり，状態フィードバックゲイン k ^は

k= 1 b(a+

s

a²+b² r) で与えられる。このとき閉ループ系は

_ x=Ä

s

a²+ b² r x

となる。前述のとおり，操作量に対する重み r を小さくするということは，多くの操作量 が使用可能であることを意味するが，それに伴ってフィードバックゲイン k ^{は大きくなり，}

閉ループ極はより安定側に向かうことがわかる。

例題 5. 3 

次に示す最適レギュレータ問題を考える。

5.2. 最適レギュレータ問題とその解 { 5.7 {

 系: _x=

2 4 0 1

0 0

3 5x+

2 4 0

1

3 5u

 評価関数 : J =

Z ₁

0

0

@x^T

2 4 1 0

0 q

3

5x+ru²

1

Adt (q ï0; r >0)

Riccati^{方程式の解を}

X =

2

4 x₁ x₂ x₂ x₃

3 5 としたとき，本問題に対する Riccati^方程式は

2 4 0 0

1 0

3 5

2

4 x1 x2

x₂ x₃

3 5+

2

4 x1 x2

x₂ x₃

3 5

2 4 0 1

0 0

3 5

Ä

2

4 x1 x2

x2 x3

3 5

2 4 0

1

3 51

r

h 0 1 ⁱ

2

4 x1 x2

x2 x3

3 5+

2 4 1 0

0 q

3 5= 0

で与えられる。これより，

x²₂ =r; x1 = 1

rx2x3; 1

rx²₃ = 2x2+q を得る。上式を解くことにより正定解 X ^は

X =

2 4

q2pr+q pr pr pr^q2pr+q

3 5

となり，状態フィードバックゲイン k ^は k= 1

pr[1 ^q2pr+q]

で与えられる。また，閉ループ系は

_ x=

2

64 0 1

Äp1r Ä^q2 + q r

3 75x

で与えられる。

これに対して操作量に対する重み r を変化させたときの閉ループ極の軌跡を描いたのが図 5:2 ^{である。なお，}q = 0:1 ^とした。r が大きい値をもつときには閉ループ極の位置は原点 近傍(^{開ループ極}) ^{にあり，逆に} r を十分小さくすると一つの実根は Ä1 ^{へ，もう一つは} Ä1=pq =Ä3:16 へ漸近していくことがわかる。これについては後の節で議論する。

-6 -4 -2 0 -2

0 2

Real

-3.16

r ∞

r 0 r 0

Imag.

図 5.2操作量の重みに関する閉ループ極の軌跡

5.3 Riccati

対称行列 Q; R2R^{nÇn に対して，次に示す}Riccati^{方程式を考える。}

A^TX+XAÄXRX +Q= 0 (5:9)

これに対応して，次式で定義される ハミルトン行列(Hamilton matrix) ^{を導入する。}

H =

2

4 A ÄR

ÄQ ÄA^T

3

5 (5:10)

このとき以下に示す定理が成り立つ(なお，証明は章末を参照)^。 定理 5. 2 

ハミルトン行列(^以下，H^行列) は虚軸に対称な固有値をもつ。

これより，H行列が虚軸上に固有値をもたなければ，n個の漸近安定な固有値を必ずも つ。これらの固有値に対する固有ベクトルからなる行列 V 2C^{2nÇn を次式のようにブロッ} ク行列表現する。

V =

2 4 X1

X2

3

5 (5:11)

ここで X1; X2 2C^{nÇn である。}

定理 5. 3 

H行列が虚軸上に固有値をもたず，式(5:11)^におけるX₁ が正則であるとする。このとき，

5.3. RICCATI^{方程式の解法} { 5.9 {

X =X₂X₁^Ä1 (5:12)

はAÄRX ^{を安定化する}Riccati^方程式(5:9)の唯一解である。この解を安定化解(stabilizing solution) ^と呼び，X =RicfHg ^{と表記する。}

ところで，上の定理が対象としている Riccati^方程式(5:9) ^は，Q; R ^{の対称性のみを前} 提としていることに注意してほしい^y。前節で述べた最適レギュレータ問題に対するRiccati 方程式(5:5) ^では，H^行列は Qï 0; R >0 ^に対して

H =

2

4 A ÄBR^Ä1B^T ÄQ ÄA^T

3

5 (5:13)

で与えられる。この場合，以下の定理が成り立つ。

定理 5. 4 

対(A; B) ^{が可制御であり}(^{厳密には可安定でよい})^，Q=C^TC ^{に対して対}(C; A) ^が可検 出であれば H^行列(5:13) は虚軸上に固有値をもたない。

Q=C^TC ^{のとき，評価関数} J ^は J =

Z ₁

0 (x^TC^TCx+u^TRu)dt

=

Z ₁

0 (y^Ty+u^TRu)dt

となり，行列C ^{を用いた観測量} y=Cxを評価関数として組み込んだ最適レギュレータ問 題と考えることができる。対(C; A)の可検出性は系のもつ不安定なモードが評価関数の中 で確実に評価されることを保証するためのものである(^{次に示す例題参照})^。Q ^{が正定であ} れば可検出性は満たされる。

例題 5. 4 

例題 5:2 ^{の系に対して}

J =

Z ₁

0 u² dt

を最小化する問題の解はu= 0であり，評価関数の最小値はJmin = 0^{である。しかし，その} ときの閉ループ系( _x=ax)^は (a >0^{であるならば})不安定である。これは対(C; A) = (0; a) が可検出ではなく，不安定な状態量が評価関数中に含まれていないことが原因である。

定理 5. 5 

対(A; B) ^{が可制御であれば行列} X1 は正則である。

y次章で述べるH¹制御問題では，必ずしもQ; R^の正定(^{あるいは準正定})性が保証されるとは限らない

以上から，最適レギュレータ問題において，対(A; B)^{の可制御性ならびに} Q=C^TC ^に 対する対(C; A) の可検出性が満たされていれば，X =X₂X₁^{Ä1 は} AÄBR^Ä1B^TX ^を安定

化する Riccati方程式の唯一解であり，定理 5:3 の証明から，そのときの閉ループ極はH

行列の漸近安定な固有値と一致することがいえる。また，Riccati^{方程式を変形すると} (AÄBR^Ä1B^TX)^TX+X(AÄBR^Ä1B^TX) =ÄC^TCÄXBR^Ä1B^TX

が得られるが，AÄBR^Ä1B^TX ^{の漸近安定性と} C^TC ^{の準正定性から，定理}5:1 ^より，解 X が準正定であることがわかる。もし，対(C; A)^{が可観測であれば解} X ^{は正定となる。}

例題 5. 5 

例題 5:2 ^に対する Riccati^{方程式の解を} H行列を利用して求めてみよう。この場合のH

行列は

H=

2

4 a Ä1 r b² Ä1 Äa

3 5

で与えられる。この行列に対する固有値を求めると，Ü

r

a²+ b²

r であるので，漸近安定な 固有値は Ä

r

a²+ b²

r ^{である。これは例題} 5:2 の閉ループ極と一致する。また，この固有 値に対する固有ベクトルの一つは

V =

2 64 aÄ

r

a²+ b² r 1

3 75

で与えられるので，式(5:12) ^{ならびに式}(5:8)よりフィードバックゲイン k ^は k= 1

b(a+

s

a²+b² r) となる。これは，例題5:2 ^{の結果と一致する。}

例題 5. 6 

柔軟ビーム振動系に対して最適レギュレータを設計する。

設計のスタートでは重みQ; r の決め手となる情報がないために，とりあえずQ=I; r= 1 と選んでみる。このとき状態フィードバックゲイン k ^は

k = [2:288Ç10^Ä4; 0:09058; 3:794Ç10^Ä3; 0:1849;7:555Ç10^Ä3; 0:07483 ]

で与えられるが，その大きさから判断して十分な制振効果が得られるとは思えない。そこ で，減衰力を高めるという趣旨から各振動モードの速度に相当する状態量に対する重みを

5.3. RICCATI^{方程式の解法} { 5.11 { 大きくして，さらに操作量を十分に出せるようにそれに対する重みを小さく選定する。具 体的には，

Q= diagf1; 100; 1; 100; 1; 100g; r = 0:1 とする。これに対して得られる状態フィードバックゲイン k ^は

k = [Ä20:02; 26:40; 160:0; 28:91; 476:4; 25:25 ] であり，このときの閉ループ極は

fÄ4:059Ü13:33j; Ä5:095Ü52:87; Ä3:242Ü112:1j g

となる。極の実部から判断して，閉ループ系は十分な制振性能をもつと期待できる。実際，

閉ループ系のインパルス応答を図 5:3(^{破線が開ループ特性}) に示すが，良好な性能をもつ ことがわかる。

0 1 2 3

Time[sec]

Amp.

図 5.3 最適レギュレータを用いた柔軟ビーム振動系の制御結果(^{インパルス応答}) 次に，1次振動モードに対応した重みのみを大きく設定してみる。つまり，

Q= diagf1; 100; 1; 1; 1; 1g; r = 0:1 これに対して得られる状態フィードバックゲイン k ^は

k = [Ä0:9811; 26:59; 10:44; 1:464; 5:288; 0:7108 ] であり，このときの閉ループ極は

fÄ4:063Ü13:33j; Ä0:6624Ü53:12j; Ä0:7448Ü112:1j g

となる。1次振動モードの特性だけが改善されていることがわかる(^図5:4 ^参照)^{。このよう} に，重みの選び方で希望する特定の振動モードの制御も可能となる。

10 1 2 Freq.[rad/sec]

10 10 3

20

0

-20

-40

-60 Gain[dB]

図 5.4 1^{振動モードのみの制振}(BODE^線図)

5.4

Q= 0^とした Riccati^方程式

A^TX+XAÄXBR^Ä1B^TX = 0 (5:14) を考える。これに対するH行列は次式に示すようにブロック上三角行列となる。

H =

2

4 A ÄBR^Ä1B^T 0 ÄA^T

3 5

この行列の固有値は，システム行列A の固有値とそれを虚軸に対して対称な位置に移動さ せた固有値(^行列 ÄA^{T の固有値}) の和であるので，システム行列 A ^{が虚軸上に固有値を} もたなければH行列は虚軸上に固有値をもたない。さらに，対(A; B)^{が可制御であれば定} 理 5:5 ^よりX1 は正則であり，X =X2X₁^{Ä1 は閉ループ系} x_ = (AÄBR^Ä1B^TX)x ^を漸近 安定とするRiccati方程式の解である。このときの閉ループ極は，(^{システム行列}A ^の漸近 安定な固有値)+(不安定な固有値を虚軸に対称に安定側に折り返した固有値)^{からなる。な} お，この議論は，行列 R の選定には無関係であるのでR=I ^{としてよい。}

いま，上式の H^{行列内の行列}A ^{を正の実数}ã^を用いてA+ãI_n で置き換えたとしよう。

H =

2

4 A+ãI_n ÄBB^T 0 Ä(A+ãI_n)^T

3

5 (5:15)

ただし，A+ãI_n が虚軸上に固有値をもたないように ãが選定されているものとする。対 (A; B) ^{が可制御であれば，対}(A+ãI_n; B) も可制御であることは容易に示せる。

5.4. 指定した領域内に閉ループ極をもつ最適レギュレータ { 5.13 { この操作は，ちょうど虚軸が不安定側に ãだけシフトしたことと等価であるため，閉 ループ極の位置はÄãよりも小さい実部をもつ極はそのままで，大きい実部をもつものは (Äã;0) を通る虚軸に平行な軸に対して折り返した位置に配置される。その結果，得られる 閉ループ極の実部が Äã未満であることが保証される。また，ãを適切に選定することに より，図 5:5に示した斜線の領域に閉ループ極を配置することも可能となる。

0

R e a l I m a g .

-α

図 5.5希望する閉ループ極の領域

3章で述べた極配置法は極の位置を直接指定する設計法であるので，もちろん斜線部内に 極を指定することは可能であるが，設計の際にすべての極の位置を明確に指定する必要が ある。しかし，実際の設計においては，位置というよりはどの領域に極を配置したいのか が重要になる場合が多い。その意味では，このように領域を設計する手法は有効であると いえる。

例題 5. 7 

次式の 3^{次系を考える。}

_ x=

2 664

Ä10 0 0

0 0 1

0 Ä26 Ä2

3 775x+

2 664

1 0 1

3 775u

この系は Ä10; Ä1Ü5j の地点に極をもつので，漸近安定ではあるが振動的な応答を示す。

いまã= 3としよう。このようにすることで，Ä10 の極はそのままで，残る 1^{対の共役複} 素極が Ä3を通る虚軸に平行な軸に対して折り返された地点，すなわち Ä5Ü5j ^に移動す るので，振動的な応答を抑制することができるはずである。

上述の系に対して ã= 3 ^{としたときの式}(5:15) ^の H^行列は

H =

2 6666 6666 664

Ä7 0 0 Ä1 0 Ä1

0 3 1 0 0 0

0 Ä26 1 Ä1 0 Ä1

0 0 0 7 0 0

0 0 0 0 Ä3 26

0 0 0 0 Ä1 Ä1

3 7777 7777 775

これに対する漸近安定な固有値は Ä7; Ä2Ü5j であり，その固有ベクトルから得られる Riccati^{方程式の解} X ^は

X =

2 664

0 0 0

0 304 24 0 24 8

3 775

となる。このときの状態フィードバックゲイン k ^は k = [0 24 8]

であり，閉ループ極は Ä10; Ä5Ü5j となる。これは希望した結果である。

0 2 4

-1 0 1 2

Time[sec]

図 5.6 ^{初期値応答}

図 5:6 に初期値応答を示すが，開ループ系で見られる振動(^破線) が状態フィードバック制 御により制振されていることがわかる。

本節では，虚軸をシフトさせる設計法について紹介したが，他の指定領域内に極を配置 するレギュレータについての議論も行われている。これらの詳細については脚注の文献を 参照してもらいたい^y。

y参考文献:^{たとえば，川崎},^示村:指定領域に極を配置する状態フィードバック則の設計法,^{計測自動制御学}

5.5. 最適レギュレータのもつ性質 { 5.15 {

5.5

5.5.1 ^円条件

Riccati^方程式(5:5)を次式のように変形する。

X(sIÄA) + (ÄsI ÄA)^TX+XBR^Ä1B^TXÄQ= 0

上式に対して左から B^T(ÄsIÄA)^{ÄT，右から} (sI ÄA)^Ä1B を掛けた後，式を整理すると 次式が得られる。

(I+K(ÄsI ÄA)^Ä1B)^TR(I+K(sIÄA)^Ä1B) =

R+B^T(ÄsIÄA)^ÄTQ(sIÄA)^Ä1B (5:16) ここで，式(5:8) (K =R^Ä1B^TX) の関係を利用している。右辺の第2^{項が準正定であるこ} とから

(I+K(ÄsI ÄA)^Ä1B)^TR(I+K(sIÄA)^Ä1B)ïR (5:17) が成り立つ。

もし，1^入力系(B =b; K =k) ^{であるならば}

j1 +k(j!IÄA)^Ä1bj ï1 (5:18) の関係が得られる。

u

- x = Ax + bu. k

x

図 5.7状態フィードバック制御系

上式の意味を検討するために，図 5:7に示すフィードバック制御系を考える。これは状態 方程式 x_ =Ax+bu^に対して u=Äkx という状態フィードバックを施した制御系である。

このとき，式(5:18) ^中の k(j!IÄA)^Ä1b は一巡伝達関数の周波数応答 L(j!) ^{を意味して} いることがわかる。式(5:18) ^{は一巡伝達関数}Lに対するベクトル軌跡を描いたときにそれ

会論文集,15,4,pp.451/457(1979)^，川崎,^示村:虚数部を変化させて指定領域に固有値を配置する状態フィード

バック則の設計法,計測自動制御学会論文集,16,1,pp.14/20(1980)^，川崎,^示村:指定領域内に特性根を配置する 線形レギュレータ問題の重み係数の決定法,計測自動制御学会論文集,17,3,pp.335/342(1981)

が (Ä1;0) ^{を中心とする半径} 1 の円内に入らないことを意味している(^図 5:8 ^参照)^。この 条件を 円条件(circle condition) ^と呼ぶ。

(-1+j0)

L(jω) L(jω)

1+

図 5.8 ^円条件

この円条件より，状態フィードバックゲインを ã^倍した ãk を用いて閉ループ系を構成 したとき，1=2< ã<1^{に対して一巡伝達関数} ãL ^が (Ä1;0) を回る数が変わらないこと がわかる。したがって，ナイキストの定理より，閉ループ系が漸近安定であることがいえ る。このことは，最適レギュレータはゲイン余裕が増加側で 1^{，減少側で少なくとも} 1=2 あることを意味している。また，(Ä1;0) を中心とする単位円と原点を中心とする単位円の 交点がÜ60[deg]であることから，ナイキストの定理より，少なくとも位相余裕がÜ60[deg]

あることがわかる。これらはいずれも最適レギュレータがもつ重要な性質である。

5.5.2 ^{低感度特性}

前述した一巡伝達関数L(=k(sIÄA)^Ä1b)を用いた次式の伝達関数を感度関数(sensitivity function) ^と呼ぶ。

S(s) = 1 1 +L

感度の意味を明らかにするために，図 5:9 ^{の制御系を考える。}

この制御系に対して(^{図に示すように})^{開ループ伝達関数} G(s) ^が G(s) + ÅG(s) ^の摂動を 受けたとしよう。これに対して，目標値r ^{から観測量} y までの閉ループ伝達関数 T(s) ^が その摂動の影響を受けてT(s) + ÅT(s) となったとする。このとき簡単な代数演算から，

5.5. 最適レギュレータのもつ性質 { 5.17 {

K(s) G(s)

r + y

-

Δ G(s)

+ +

図 5.9^感度関数

ÅT(s)

T(s) + ÅT(s) =S(s) ÅG(s) G(s) + ÅG(s)

の関係を得ることができる。上式より，開ループ系と閉ループ系の摂動の影響の比率を表 しているのが感度関数であることがわかる。したがって，感度関数 S(s) ^{のゲインが} 1 ^よ りも小さいということは，開ループ伝達関数 G(s) に対する摂動の影響が閉ループを構成 することによって必ず低減できる(^{厳密には悪化しない}) ^{ことを意味する。式}(5:18) ^は，最 適レギュレータ系がこの意味で低感度特性をもつことを示している。

5.5.3 ^{閉ループ系の根軌跡}

ところで，1^{入力系に対して，式}(5:16) ^は

(1 +k(ÄsI ÄA)^Ä1b)(1 +k(sIÄA)^Ä1b) =

1 + 1r b^T(ÄsIÄA)^ÄTQ(sIÄA)^Ä1b

となる。ここで，開ループ系の特性多項式を û_op(s) =jsIÄAj，最適レギュレータによる 閉ループ系のそれを ûcl(s) =jsI ÄA+bkj^{とすると，}

(1 +k(sIÄA)^Ä1b) = j1 +k(sIÄA)^Ä1bj

= jI+bk(sIÄA)^Ä1j

= jsIÄA+bkjj(sIÄA)^Ä1j

= û_cl(s)=û_op(s) の関係^y を利用して，両辺に û_op(s)û_op(Äs)^{を掛けると}

y2^{番目の等式の導出には}det(I+AB) = det(I+BA)^{の関係を利用している}