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2021 年 4 月 11 日

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(1)

2-category

alg-d

http://alg-d.com/math/kan_extension/

2021 年 4 月 11 日

※ このPDFではf gのように,一部の記号で色を使用していますが,色が分から なくても問題無いようにはなっています.定義はここやここを参照.

圏の圏Cat では,対象C, D Catに対してHomCat(C, D)も圏になるのであった (関手が対象,自然変換が射).このようにHomがまた圏となるような圏を2-categoryと いう.

目次

1 定義 1

2 米田 36

3 Coherence定理 75

4 coherence 2-morphismの扱いについて 81

5 bicategoryの中での随伴とKan拡張 91

6 lax, oplax 107

1 定義

まずは定義を述べ,詳しい説明は追々していくことにする.

(2)

定義. bicategory (もしくはweak 2-category) Bとは,以下を満たすことをいう.

(1) 集まりOb(B)が与えられている.Ob(B)の元を対象(もしくは0-cell)と呼ぶ.圏 の場合と同様,a∈Ob(B)をa∈ Bとも書く.

(2) 各対象a, b∈ Bに対して圏B(a, b)が与えられている.

(3) 各対象a, b, c ∈ B に対して関手Mabc: B(b, c)× B(a, b) → B(a, c)が与えられて いる.

(4) 各対象a∈ Bに対して関手Ia: 1→ B(a, a)が与えられている.

(5) 各対象a, b, c, d∈ Bに対して次の自然同型αabcdが与えられている.

B(c, d)× B(b, c)× B(a, b)

B(b, d)× B(a, b) B(c, d)× B(a, c)

B(a, d)

===

αabcd

Mbcd×id

Mabd

id×Mabc

Macd

(6) 各対象a, b∈ Bに対して次の自然同型λab, ρabが与えられている.

1× B(a, b) B(a, b)

B(b, b)× B(a, b)

λab

=

=

Ib×id Mabb

B(a, b)×1 B(a, b)

B(a, b)× B(a, a)

ρab

=

=

id×Ia Maab

(7) 次の自然変換の等式が成り立つ.(スペースの都合上,Bcba:=B(b, c)× B(a, b)等 の略記を行った.)

Bedcba

Becba Bedca

Bedba

Beba Beda

Bea

Mcde×id×id

Mbce×id

id×Mbcd×id

id×id×Mabc

id×Macd

===

αbcde×id

===

id×αabcd

Mbde×id

Mabe

id×Mabd

Made

===αabde

=

Bedcba

Becba Bedca

Beca

Beba Beda

Bea

Mcde×id×id

id×Mabc

id×id×Mabc

Mcde×id

===

Mbce×id

Mabe

Mace

id×Macd

Made

===αabce ===αacde

(3)

(8) 次の自然変換の等式が成り立つ.

Bcba

Bcbba

Bcba Bcba

Bca

Mbbc×id

Mabc

id×Mabb

Mabc

===αabbc

id id

id×Ib×id

===

bc)1×id

===

id×λab

=

Bcba

Bcba Bcba

Bca

Mabc Mabc

id id

===

またαabcd, λab, ρabが全て恒等変換のとき,strict 2-categoryという.*1

Bbicategory,a, b ∈ Bを対象とするときB(a, b)は圏である.この圏の対象fB の1-morphism (もしくは1-cell)と呼ぶ.このときaf のdomain,bfのcodomain と呼び,記号ではf: a →bと表す.また圏B(a, b)の射 β B2-morphism (もしく は2-cell)と呼ぶ.β の(圏B(a, b)の射としての) domainがf,codomainがgのとき記 号ではβ: f ⇒gと書く.f, g: a →bであることも明示する場合はβ: f ⇒g: a →bと 書く.図式では次のように書く.

a β b

f

g

f, g, h: a→b1-morphismβ: f ⇒gγ: g⇒h2-morphismとする.β, γ は圏

B(a, b) の射だから合成することができる.この合成を垂直合成(vertical composition)

と呼び,ここではγ∗β と書く*2.図式で書くと次のようになる.

a βγ ⇐⇐ b

f g

h

= a γβ = b

f

h

*1strict2-categoryを単に2-categoryという事も多い.

*2垂直合成(や後に述べる水平合成)の決まった記号というのは特に無いようで,論文によっても記号が異

(4)

今度はf, g: a →bk, l: b→cを1-morphism,β: f ⇒gγ: k ⇒lを2-morphism とする.関手 Mabc により Mabc(γ, β) : Mabc(k, f) Mabc(l, h)を考えることができ る.これを水平合成(horizontal composition)と呼ぶ.k ◦f := Mabc(k, f),γ •β :=

Mabc(γ, β)と書く.

a β b γ c

f

g

k

l

= a γ•β c

kf

lg

また Mabc(k,) : B(a, b) → B(a, c) とMabc(−, f) : B(b, c) → B(a, c) も関手である.

これらの関手をそれぞれ記号で k • −− • f と書くことにする.この記号を使えば k•β = idk•βγ•f =γ•idf である.

Mabc(γ,) : Mabc(k,) Mabc(l,),Mabc(−, β) : Mabc(−, f) Mabc(−, g) は 自然変換である.これもγ• − := Mabc(γ,)− •β := Mabc(−, β)のように書くこと にする.(γ• −)f =γ •f,(− •β)k =k•β である.

また次の図式の状況のとき

a βγ ⇐⇐ b στ ⇐⇐ c

f g

h

k l

m

Mabc: B(b, c)×B(a, b)→ B(a, c)が関手であることから(τ∗σ)•∗β) = (τ•γ)∗•β) が成り立つことが分かる.(これをinterchange lawという.)

a b c

=

γβ

=

τ∗σ f

h

k

m

= a στ•γβ ⇐⇐ c

k◦f lg

mh

次に自然同型αabcdについて考える.αは次のような自然同型であった.

B(c, d)× B(b, c)× B(a, b)

B(b, d)× B(a, b) B(c, d)× B(a, c)

B(a, d)

===

αabcd

Mbcd×id

Mabd

id×Mabc

Macd

(5)

故にその成分は対象⟨h, g, f⟩ ∈ B(c, d)× B(b, c)× B(a, b) (即ち図式a−→f b−→g c−→h d)に 対して圏B(a, d)の射(即ち2-morphism) αabcdhgf : (h◦g)◦f ⇒h◦(g◦f)となる.一般 にbicategoryにおける1-morphismの合成では結合律は成り立たないが,代わりにα に より同型が与えられることになる.同様に,λabρab の成分はf: a →bに対して同型 な2-morphism λabf : idb◦f ⇒fρabf : f ida⇒f になる.

さて,bicategoryの定義の条件7は自然変換の等式だから,自然変換の各成分が等しけ

ればよい.即ち,任意の図式a −→f b−→g c −→h d −→k e に対して,圏B(a, e)における射の 等式

Made(idk, αabcdhgf )◦αk,Mabdebcd(h,g),f ◦Mabebcdekhg,idf)

=αacdek,h,Mabc(g,f)◦αabceMcde(k,h),g,f

が成り立つという条件と同等である.これは上記の記号を使うと

(k•αabcdhgf )∗αabdek,hg,f khgbcde•f) =αacdek,h,gf ∗αabcekh,g,f

となる.これは圏B(a, e)における図式として書けば,次の可換性を示している.

((k◦h)◦g)◦f

(k(h◦g))◦f (k◦h)◦(g◦f)

k◦((h◦g)◦f) k◦(h(g◦f))

αbcdekhgf

αabdek,hg,f

kαabcdhgf

αabcekh,g,f

αacdek,h,gf

同様に,8は

(g•λabf )∗αg,idabbcb,f =ρbcg •f となり,図式として書けば次の可換性を示している.

(gidb)◦f g◦(idb◦f)

g◦f

αabbcg,id

b ,f

g•λabf ρbcg •f

bicategoryでは,αにより同型(h◦g)◦f = h◦(g◦f)等が与えられることになる.こ

(6)

であるが,一般にこのような同型をα から得る方法は複数あることになる.というのも,

射が4つの場合でも既に,同型((k◦h)◦g)◦f =k◦(h(g◦f))は上記の五角形の図式 から分かるように複数あるからである.つまり,何も条件が無ければこのような同型は標 準的には定まらないことになる.λρについても同様である.そこで bicategoryの条 件として「α, λ, ρによって複数の同型が得られる場合,それらは常に一致する」という条 件を付け加えたいわけである.これをcoherence条件という.ところが実は,coherence 条件は上記の(五角形と三角形の)二つの図式の可換性さえ認めてしまえば,証明できる ことが分かっている(coherence定理).そこでbicategoryの条件としてこの二つを入れ ているのである.coherence定理は後で証明する(定理38).

1. Catはstrict 2-categoryになる.まず圏A, Bに対してCat(A, B) :=BAと定義 し,圏A, B, C に対して関手MABC: Cat(B, C)×Cat(A, B) Cat(A, C)を自然変 換の水平合成で定義する.即ち

A β B γ C

F

G

K

L

のとき,a Aに対して MABC(γ, β)a := γGa◦Ka)である.このとき次の図式は可 換である.

DC ×CB×BA

DB×BA DC ×CA

DA

MBCD×id

MABD

id×MABC

MACD

1×BA BA

BB×BA

=

IB×id MABB

BA×1 BA

BA×AA

=

id×IA MAAB

よってαABCD, λAB, ρAB として恒等変換を取ることができる.故にbicategory の定義 の条件7, 8は明らかに成り立つからCatはbicategoryである.αABCD, λAB, ρAB が恒 等変換だからCatはstrict 2-categoryである.

2. 圏はHomを離散圏と見なすことでstrict 2-categoryになる.

(7)

3. Bbicategoryとする.このとき,次のように定めた⟨Bop, Mop, αop, λop, ρop bicategoryを与える.

• Ob(Bop) := Ob(B).

a, b∈ Bに対してBop(a, b) :=B(b, a).

a, b, c∈ Bに対して,関手(Mop)abc: Bop(b, c)× Bop(a, b)→ Bop(a, c)を B(c, b)× B(b, a)=B(b, a)× B(c, b) M

−−−→ Bcba (c, a)

で定める.

a, b, c, d∈ Bに対して,自然同型

Bop(c, d)× Bop(b, c)× Bop(a, b)

Bop(b, d)× Bop(a, b) Bop(c, d)× Bop(a, c)

Bop(a, d)

===

op)abcd

(Mop)bcd×id

(Mop)abd

id×(Mop)abc

(Mop)abd

B(b, a)× B(c, b)× B(d, c)

B(b, a)× B(d, b) B(c, a)× B(d, c)

B(d, a)

===

dcba)1

id×Mdcb

Mdba

Mcba×id

Mdca

で定義する.

• (λop)ab :=ρba,(ρop)ab :=λba とする.

また,次のように定めたBcobicategoryである.

• Ob(Bco) := Ob(B)

Bco(a, b) :=B(a, b)op

よってBcoop := (Bco)opbicategoryである.

4. bicategory Modを以下のように定めることができる.

(8)

• 単位的環を対象とする.

RからS への1-morphismは左SR-加群とする.

• 2-morphismは準同型写像とする.即ちMod(R, S)は左SR-加群の圏である.

M: R→SN: S →T の合成はテンソル積N S M: R→ T とする.これは 関手Mod(S, T)×Mod(R, S)Mod(R, T)を定める.

M: R→SN: S →TL: T →U に対して,テンソル積の普遍性により得られ る射をαRST ULN M : (LT N)SM →L⊗T (NSM)とする.これにより自然同型

Mod(T, U)×Mod(S, T)×Mod(R, S)

Mod(R, U)×Mod(R, S) Mod(T, U)×Mod(R, T)

Mod(R, U)

===

αRST U

MST U×id

MRSU

id×MRST

MRT U

が得られる.

• idR: R→Rを,Rを積で左RR-加群とみなしたものとする.

M: R→ Sに対して,テンソル積の普遍性により得られる射をλRSM : S⊗SM MρRSM : M RR→M とする.これにより自然同型

1×Mod(R, S) Mod(R, S)

Mod(S, S)×Mod(R, S)

λRS

=

=

IS×id MRSS

Mod(R, S)×1 Mod(R, S)

Mod(R, S)×Mod(R, R)

ρRS

=

=

id×IR MRRS

が得られる.

• これらは条件7,8を満たす.

5. profunctorがなすbicategory Prof を以下のように定めることができる.

• Ob(Prof) := Ob(Cat)とする.

• 圏Aから圏Bへの1-morphismはprofunctor F: A−◦→ Bとする.

• 2-morphismは自然変換とする.即ちProf(A, B) =SetBop×Aである.

• 合成はprofunctorの合成とする.即ちF: A −◦→BK: B−◦→C に対して MABC(K, F) :=KF =yK ◦F

(9)

はprofunctorの合成とする.そして自然変換 β: F Gγ: K L に対して MABC(γ, β) :LG ⇒KF

MABC(γ, β) :=yγ•β で定める.このMABC は明らかに関手である.

• 自然変換

Prof(C, D)×Prof(B, C)×Prof(A, B)

Prof(B, D)×Prof(A, B) Prof(C, D)×Prof(A, C)

Prof(A, D)

===

αABCD

MBCD×id

MABD

id×MABC

MACD

を定義する.まずF: A−◦→BG: B−◦→CH: C −◦→ Dに対して (HG)F =y(yH◦G)◦F, H(GF) =yH◦(yG◦F)

A B

Bb

C

Cb Db

F

G H

y y

yG yH y(yHG)

である.yH は左随伴だから左Kan拡張yGと交換する.故に自然同型 αHG: y(yH◦G)⇒yH◦yG

が存在する.そこでαHGF := (αHG)F と定める.

• 自然同型yy idをλとする.F: A−◦→ Bに対してλF: (yy)◦F ⇒FλF で定める.

F: A−◦→Bに対して自然同型yF ◦y ⇒F ρF とする.

• これらは条件7,8を満たす.

6. C をpullbackを持つ圏とする.このとき圏Cのspanがなすbicategory Span(C) を以下のように定めることができる.

(10)

aからbへの1-morphismはaからbへのspan,即ち図式a ←−f0 f −→f1 bとする.

• 2-morphismはspanの射とする.これにより対象a, b∈Cに対してSpan(C)(a, b) は圏になる.

a←−f0 f −→f1 bb←−g0 g −→g1 cの合成a←g◦f →cを,pullbackを使って次の図 式で定める.

g◦f

f g

a b c

f0

f1 g0

g1

p.b.

これは関手Mabc: Span(C)(b, c)×Span(C)(a, b)Span(C)(a, c)を与える.

...

) β: f ⇒g: a →bγ: k l: b→cに対してMabc(γ, β)をpullbackの 普遍性で得られる次の点線の射で定義する.

k◦f

f k

a b c

g l

l◦g

β γ

pullbackの普遍性から,このMabc が関手となることは容易に分かる.

a −→f b−→g c −→h dとする.αhgf: (h◦g)◦f ⇒h◦(g◦f)をpullbackの普遍性に より定める.

(h◦g)◦f h◦(g◦f)

g◦f h◦g

f g h

a b c d

αhgf

これはf, g, hについて自然である.

(11)

...

) β: f ⇒fγ: g⇒gδ: h⇒h として

•β))∗αhgf =αhgf ((δ•γ)•β) を示せばよいが,それは普遍性により分かる.

(h◦g)◦f h◦(g◦f)

g◦f h◦g

f g h

a b c d

f g h

g◦f h◦g

(h◦g)◦f h(g◦f)

αhgf

β γ δ

αh′g′f′

γβ δγ

γ)β

δβ)

また普遍性から明らかに,αhgf は同型である.

a←−−ida a −−→ida aをidaとする.

f: a bに対してλf: idb◦f ⇒fρf: f ida f をpullbackの射影により 定める.

idb◦f

f idb

a b b

λf

f◦ida

ida f

a a b

ρf

λfρff について自然な同型である.

• pullbackの普遍性により,条件7,8が成り立つ.

以上によりSpan(C)はbicategoryである.

7 (fundamental 2-groupoid). 位相空間X に対して以下のように定めるとbicategory Π2(X)が得られる.このbicategoryをfundamental 2-groupoidという.

(12)

• 点a∈X を対象とする.即ちOb(Π2(X)) :=X である.

a∈X からb∈X への道f: [0,1]→Xaからbへの1-morphismとする.

• 道f: a b から g: a bへのホモトピーを 2-morphism とする (但しホモト ピー同値な2-morphismは同じものと見なす).これによりa, b X に対して圏 Π2(X)(a, b)が定まる.

f: a →bg: b→cに対して合成g◦f: a→c

g◦f(t) :=







f(2t)

0≤t≤ 1 2

g(2t−1) 1

2 < t≤1

で定義する.これは関手Mabc: Π2(X)(b, c)×Π2(X)(a, b) Π2(X)(a, c)を与 える.

a−→f b−→g c−→h dとする.連続写像αhgf: [0,1]×[0,1]→X

αhgf(s, t) :=















 f

4t 2−s

0≤t≤ 2−s 4

g(4t−2 +s)

2−s

4 < t≤ 3−s 4

h

4t3 +s 1 +s

3−s

4 < t≤1

により定める.

0 t

s

1 1

1 2

3 4

f g h

これはαhgf: (h◦g)◦f h◦(g◦f)である.このαhgff, g, hについて自然 な同型である.

a∈X に対してida: a →aはida(t) :=aで定まる道ida: [0,1]→X とする.

(13)

f: a →bに対してλf: idb◦f ⇒fρf: f◦ida ⇒f

λf(s, t) :=







f

2t

1 +s 0≤t≤ 1 +s 2

b

1 +s

2 < t 1

ρf(s, t) :=







a

0≤t≤ 1−s 2

f

2t1 +s 1 +s

1−s

2 < t≤1

により定める.これはf について自然な同型である.

これらは条件78を満たす.

さて,後で必要となる補題をいくつか証明しておく.(これらの補題はcoherence条件 の例である.)

補題 8. bicategory B1-morphism f: a →bg: b →cに対して,圏B(a, c)におけ る次の図式は可換である.

(g◦f)ida g◦(fida)

g◦f

αaabcg,f,id

a

gρabf ρacg◦f

証明. ρac が自然同型だから,次の三角柱の図式で側面となる四角は全て可換である.

((g◦f)ida)ida (g◦f)ida

(g(f ida))ida

(g◦f)◦ida g◦f

g◦(f ida)

αaabcg,f,id

a gρabf

ρacg◦f αaabcg,f,idaida

(gρabf )ida

ρacgfida

ρac(g◦f)◦ida

ρacg(fid

a)

ρacgf

今示したいのは底面部分の三角形の可換性だから,上面部分の三角形の可換性を示せばよ

(14)

い.その為に次の図式を考える.(()が今可換性を示したい部分である.)

((g◦f)ida)ida

(g(fida))ida g◦((fida)ida)

g◦(f (idaida)) (g◦f)◦(idaida)

(g◦f)ida g◦(f ida)

αaabcg,f,id

aida

αaabcg,fid

a ,ida

gαaaabf,id

a ,ida

αaaacgf,id

a ,ida αaabcg,f,ida◦id

a

ρacgfida

(gρabf )ida

αaabcg,f,id

a

g•(ρabf •ida) (gf)λaaid

a g(fλaaid

a)

(α)

(α)

()

(8)

(8)

(α)の部分はα が自然変換だから可換である.また(8)の部分はbicategoryの定義の条 件8により可換である.また一番外側の五角形はbicategoryの定義の条件7により可換 である.故に()の部分も可換である.

また,同様にして次の補題が成り立つ.

補題 9. f: a→bg: b→cに対して次の図式は可換である.

(idc◦g)◦f idc(g◦f)

g◦f

αabccidc ,g,f

λacgf λbcg f

証明. 補題8と同じように次の図式から分かる.(ここで,上付きの添え字は省略した.以 降,上付きの添え字は省略することがある.)

idc((idc◦g)◦f) idc(idc(g◦f))

idc(g◦f)

(idc ◦g)◦f idc(g◦f)

g◦f

αidc ,g,f

λgf

λgf

idc•αidc ,g,f

idcλgf

idc•(λg•f)

λ(idc◦g)f idc•λ(gf)

λgf

(15)

((idc idc)◦g)◦f

(idc(idc◦g))◦f idc((idc◦g)◦f)

idc (idc (g◦f)) (idcidc)(g◦f)

(idc◦g)◦f idc(g◦f)

αidc ,idc ,gf

αidc ,idc◦g,f

idαidc ,g,f

αidc◦idc ,g,f αidc ,idc ,g◦f

idc•g)•f

(idλg)f

αidc ,g,f

idgf) ρidc(gf) id•λgf

補題 10. λida =ρida: idaidaidaである.

証明. 補題8と同様に,ida•λida = ida•ρida を示せばよい.まずρの自然性から idaida (idaida)ida idaida

ida idaida ida

ρida◦ida

ρida

ρidaida

ρida

ρida

が可換となるが,ρida は同型だから ρidaida = ρida idaが分かる.よって,bicategory の定義の条件8と補題8を使えば

(idaida)ida

ida(idaida) ida(idaida)

idaida ρida•ida ρida◦ida

αida ,ida ,ida

idaλida

αida ,ida ,ida

ida•ρida

が可換となる.αida,ida,ida が同型であることからida•λida = ida•ρida が分かる.

関手のbicatgory版がpseudofunctorである.

定義. B,C bicategory とする.pseudofunctor (もしくは weak 2-functor もしくは homomorphism)F: B → C とは以下を満たすことである.

(1) 関数F: Ob(B)Ob(C)が与えられている.

(16)

(3) 各対象a, b, c∈ Bに対して次の自然同型φabc が与えられている.

B(b, c)× B(a, b)

C(F b, F c)× C(F a, F b) B(a, c)

C(F a, F c)

Fbc×Fab

MF a,F b,F c

=

φabc

Mabc

Fac

(よって⟨g, f⟩ ∈ B(b, c)× B(a, b)に対してφabcgf : F g◦F f ⇒F(g◦f)Cの同型 な2-morphismである.)

(4) 各対象a ∈ Bに対してC の同型な2-morphism ψa: idF a ⇒Faa(ida)が与えられ ている.

(5) B1-morphism a −→f b−→g c−→h d に対して次のC(F a, F d)の図式が可換である.

(F h◦F g)◦F f F(h◦g)◦F f F((h◦g)◦f)

F h◦(F g◦F f) F h◦F(g◦f) F(h(g◦f))

φhgF f φhg,f

Fhgf) αF h,F g,F f

F hφgf φh,gf

これは,αを省略して書けば,次のC の図式で表される.

F b F c

F a F d

=

= φabcgf φacd ===

h,gf

F f

F g

F(gf) F h

F(h(gf))

F b F c

F a F d

=

φbcdhg

=== φabd

hg,f

F f

F g

F h F(hg)

F((hg)f)

(6) B1-morphism f: a→bに対して次のC(F a, F b)の図式が可換である.

idF b◦F f F f

F(idb)◦F f F(idb◦f)

λF f

Ff) ψbF f

φabbid

b ,f

F f idF a F f

F f ◦F(ida) F(fida)

ρF f

Ff) F fψa

φaabf,id

a

(17)

これはC の図式で書けば次のようになる.

F b

F a F b

=

=

ψb

=== φabbidb ,f= Ff) F f

idF b

F(idb)

F(idbf)

F(f)

F b

F a F b

===== λF f

F f

idF b

F(f)

F a

F a F b

=

=ψa

===

φaabf,id

a

= Ff) F(ida)

idF a

F f

F(fida)

F f

F a

F a F b

===== ρF f

idF a

F f

F f

更に,各φabcψaがidとなるとき,F をstrict 2-functor (もしくはstrict homomor- phism)と呼ぶ.

pseudofunctorでは,関手の条件(F(g◦f) =F g◦F fF(id) = id)が同型であればよい というように弱められており,代わりに条件5, 6が追加されている.条件5は,bicategory の構造の1つである αF が保つという条件である.つまり,a −→f b −→g c −→h dB の1-morphismとしたときα は2-morphism αhgf: (h◦g)◦f h◦(g◦f)を与える が,これをF で写したFhgf)がαF h,F g,F f: (F h◦F g)◦F f ⇒F h◦(F g◦F f)と一 致するという条件である.但し,Fhgf)とαF h,F g,F f ではdomainとcodomain が一 致していないのでφを使った調整が必要で,結果として条件 5が得られる.特にstrict 2-functorの場合,条件5はFhgf) =αF h,F g,F f となる.

条件6についても同様で,またstrict 2-functorの場合はFf) =λF fFf) =ρF f

となる.

11. 単位的環と環準同型がなす圏Ringをstrict 2-categoryとみなす(例2).このと きpseudofunctor F: RingModを次のように定義することができる.

(18)

f: R S に対して左 SR-加群F f を,f によりS を左 SR-加群とみな したものとする.これは明らかに関手FRS: Ring(R, S) Mod(F R, F S)を定 める.

Ringの1-morphismf: R→Sg: S →T に対してφRSTgf : F g⊗F f →F(g◦f) を,テンソル積の普遍性により得られる射とする.これは自然同型

Ring(S, T)×Ring(R, S)

Mod(F S, F T)×Mod(F R, F S) Ring(R, T)

Mod(F R, F T)

FST×FRS

MF R,F S,F T

=

φRST

MRST

FRT

を定める.

R Ringに対してidF R = F(idR)である.よってψR := id : idF R F(idR) とすることができる.

• このときF はpseudofunctorの条件5,6を満たすことが分かる.

次にpseudofunctor G: ModCATを次のように定義することができる.

R∈Modに対してGR:=R-Mod (右R-加群がなす圏).

M: R S に対して関手 F M: R-Mod S-Mod − ⊗R M (テンソル積を 取る)で定める.これは明らかに関手GRS: Mod(R, S) CAT(GR, GS) を定 める.

R, S, T ModX ∈R-Modに対してφRSTX : (XRS)⊗ST →X⊗R(SST) を,テンソル積の普遍性により得られる射とする.これは自然同型

Mod(S, T)×Mod(R, S)

Cat(GS, GT)×Cat(GR, GS) Mod(R, S)

Cat(GR, GT)

GST×GRS

MGR,GS,GT

=

φRST

MRST

GRT

を定める.

R∈ RingX ∈R-Modに対してψRX: X X RRを,テンソル積の普遍性 により得られる射とする.これは同型ψR: idF R ⇒F(idR)を与える.

(19)

• このときF はpseudofunctorの条件5,6を満たすことが分かる.

12. B,C bicategory,F: B → Cpseudofunctorとする.Fopを次のように定義 する.

a∈ Bに対してFop(a) :=F(a).

a, b∈ Bに対して(Fop)ab

Bop(a, b) =B(b, a) F

−−→ Cba (F b, F a) =Cop(F a, F b)

により定める.

a, b, c∈ Bに対して,自然同型

Bop(b, c)× Bop(a, b)

Cop(F b, F c)× Cop(F a, F b) Bop(a, c)

Cop(F a, F c)

(Fop)bc×(Fop)ab

(Mop)F a,F b,F c

====

op)abc

(Mop)abc

(Fop)ac

B(b, a)× B(c, b)

C(F b, F a)× C(F c, F b) B(c, a)

C(F c, F a)

Fba×Fcb

MF c,F b,F a

====

φcba

Mcba

Fca

により定める.

a∈ Aに対してop)a:=ψaとする.

このFop はpseudofunctor Bop→ Copを定める.

自然変換のbicategory版となるのがpseudonatural transformationである.

定義. F, G: B → C pseudofunctor とする.F からG へのpseudonatural transfor- mation θ: F ⇒Gとは以下を満たすことである.

参照

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