高次のLagrange的摂動論による宇宙の大規模構造形 成
著者 立川 崇之
雑誌名 福井大学大学院工学研究科研究報告
巻 61
ページ 1‑9
発行年 2013‑03‑29
URL http://hdl.handle.net/10098/7380
福井大学 大学院工学研究科 研究報 告
Rein. Grad. Eng Univ. Fukui, Vol.
第61巻 ユ{}13年3月
61 (March 2013)
高 次 のLagrange的 摂 動 論 に よ る宇 宙 の大 規 模 構造 形 成
立川崇之
Higher-order Lagrangian perturbation for structure formation in th e U Inverse Takay uki TAT E K AWA *
(Received February 8, 2013)
The structure formation in the Universe has been known as one of the most important problem in modern cosmology. The formation causes its self-gravitating instability and cosmic expansion.
Therefore when we analyze the structure obtained by the observations, we would know the evolution of the Universe. We have derived fifth-order perturbative equations in Lagrangian perturbation the- ory for a cosmological dust fluid. These equations are derived under the supposition of Newtonian cosmology in the Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker Universe model. The application of the fifth-order perturbation leads to a precise prediction of the large-scale structure.
Key words : Universe Large-scale structure, fluid dynamics, cosmology
1• #4
星 が 集 ま って 星 団,銀 河 を 形 作 り,銀 河 は 銀 河 群,銀 河 団 を 構 成 し て い る.そ れ で は よ り大 き な ス ケ ー ル の 構 造 は どの よ うに な っ て い る の か.CfA suwcyに よ り 存 在 が 示 さ れ た 宇 宙 の 大 規 模 構 造 は,近 年 のSDSSに よ る 大 規 模 な 銀 河 サ ー ベ イ 計 画 に よ り明 ら か に な っ て き て い る 田.
現 在 の 観 測 に よ る と,現 在 の 宇 宙 の エ ネ ル ギ ー 密 度 の 約4%が バ リオ ン,約23%が ダ ー クマ タ ー と呼 ば れ る 光 を 発 しな い 物 質,約73%が ダ ー クエ ネ ル ギ ー と呼 ば れ る 宇 富 の 加 速 膨 張 を 引 き 起 こす 成 分 と さ れ て い る121.
宇 宙 の 大 規 模 構 造 は,宇 宙 開 闘 か ら約38万 年 後 に 起 き た 宇 宙 の 腫 れ ヒが りの 際,輻 射 と分 離 した バ リオ ンが, ダ ー ク マ タ ー の 密 度 ゆ ら ぎ に 引 き ず ら れ,重 力 不 安 定 に よ り成 長 し て 形 成 さ れ た と考 え ら れ て い る.こ の シ ナ リオ に 基 づ く理 論 的 予 言 は,物 質 分 布 を 質 点 で 代 表 させ る 宇 宙 論 的N体 シ ミ ュ レー シ ョ ン と,一 様 分 布 か ら の ず れ の 進 化 を 取 り扱 う摂 動 論 が 広 く用 い られ て き た.強 い 非 線 形 段 階 の 進 化 は 宇 樹 論 的N体 シ ミ ュ レー シ ョ ン を 用 い る 必 要 が あ る が,近 年 は そ の 初 期 条 件 を 与 え る 際 の 摂 動 の 妥 当 性 に つ い て 議 論 さ れ て い る.ま
・総 合 情 報 基 盤 セ ン ター
た,今 後 は 遠 方 の 大 規 模 構 造 を 探 る 観 測 計 画 が 検 討 さ れ て い る.遠 方 の 構 造 と は す な わ ち 過 去 の 構 造 で あ り, 非 線 形 牲 が 現 在 ほ ど 強 くな い.こ の た め,摂 動 論 の 有 効 性 が 今 後 ま す ます 高 ま る と 考 え られ る,
本 研 究 は 摂 動 論 の う ち,Lagrallg巳 的 摂 動 論 に 関 す る 高 次 の 解 の 導 出 に 関 す る も の で あ る[〕1潤,摂 動 論 で は 流 体 力 学 的 記 述 を 用 い る が,流 体 力 学 で はEuler的 な 立 場 とLagrange的 な 立 場 が あ る.前 者 は 空 間 座 標 に対 し,各 点 で の 物 理 量 を 議 論 し,後 者 は 流 体 素 片 に 着 目 し,こ の 素 片 に 付 随 す る物 理 量 を 議 論 す る.一 様 分 布 か ら の ず れ で あ る 密 度 ゆ ら ぎ を 議 論 す る 際,Euler的 な 立 場 だ と密 度 ゆ ら ぎ そ の も の を 摂 動 と して 扱 い,密 度 揺 ら ぎ の 時 間 発 展 方 程 式 を 直 接 取 り扱 う事 に な り 明 解 で あ る が,密 度 ゆ ら ぎ が1に 近 づ く と精 度 が 落 ち て しま う.一 方,Lagra"ge的 な 立 場 で は 一 様 分 布 か ら の 変 位 を 摂 動 と し て 取 り扱 い,摂 動 は 線 形 段 階 で も 準 非 線 形 の 密 度 ゆ ら ぎ を 精 度 良 く取 り扱 え る とい う利 点 が あ る.
Lagrange的 摂 動 論 は1970年 にZ巳 ⊥'d⑪vich[51によ り 線 形 発 展 方 程 式 が 発 表 さ れ て 以 降,二 次,一 三次 の 摂 動 方 程 式 が 導 出 さ れ,広 く用 い ら れ て き た 【6Hll1.近 年, 摂 動 論 の 有 効 性 が 再 注 口 ざ れ て お り,四 次 の 摂 動 方 程 式 が 導 出 さ れ て い るIl2]4岡.本 論 文 で は さ らに,著 者 が 導 出 した 五次 摂 動 方 程 式 と そ の 解 を 示 し,応 用 例 に つ い て 考察 す る.
Center for Information Initiative
1基 礎方程式
2.1Ne殖on的 宇 宙 論 の 基 礎 方 程 式
本 研 究 で は 背 景 の 膨 張 則 はFriedmann方 程 式 で 記 述 さ れ,構 造 を 形 成 す る 物 質 はNewton力 学 で 記 述 す る, Newt。n的 宇 宙 論 の 立 場 で 構 造 形 成 を 考 え る13Ll41.New‑
tan的 宇 宙 論 は 地 平 線 ス ケ ー ル(空3〔 〕OOI「1[Mpc】)の よ うな 大 ス ケ ー ル や,大 質 量 ブ ラ ッ ク ホ ー ル が 存 在 す る状 況 を 考 え な け れ ば 妥 当 な 結 果 を 与え る と 考 え ら れ て い る.Newton的 宇 宙 論 で は,物 質 を 完 全 流 体 とみ な し た 時,連 続 の 方 程 式,Eul母r方[::!.r.一一,式,Paisson方 程 式 の 三 っ の 方 程 式 を 連 立 さ せ て 考 え る.
偽+W個 紛(1)
(∂udt).+(u伽 一 一評P+9‑2)
9三 ・一▽r'.▽ ・9三47rGρ 号(3)
こ こ で 現 れ た 物 理 量 ρ,P,u,g、 Φ は そ れ ぞ れ,質 量 密 度,圧 力,速 度,重 力 加 速 度}重 力 ポ テ ン シ ャ ル を 表 す.Gは 重 力 定 数 で あ る,
宇 宙 膨 張 は 座 標 変 換 に 依 っ て 与 え る.宇 宙 膨 張 に乗 っ た 新 し い 座 標 系(共 動 座 標 系)へ の 変 換 を 行 う,
1'
,α(オ 〕18cale正actor(4) x= ̀↓ω
座 標 変 換(4)に よ り,速 度,微 分 演 算 子 が 以 ドの 様 に 変 換 を 受 け る.
u=r=a.x+v(x.棚 〔v=ax).(5) p,r‑rip,.,{6}
(∂ ノ(x;r1α.の∂士),‑°fac),‑1〔x・ 剛,{7)
ここで現 れ たvは 固 有速 度 と呼 ばれ,宇 宙膨張 に引 き ず られ る運 動 とは別 に現 れ る速 度 であ る.ま た,宇 宙 の大 規模 構 造 で注 目す る密度 ゆ らぎ δを以 下 の よ うに 定義 す る.
ρ=ρ 西(云){1+δ(x≠)},ρbM‑3、(呂)
こ れ ら の 書 き 換 え に よ り,ま ず 連 続 の 方 程 式 は 以 下 の 様 に 書 き 換 え ら れ る.
∂δ1
厩+評 ・{v(]+δ)}一 ゜・(9) Poisson方 程 式 は 以 下 の 様 に 変 更 を 受 け る.
▽ 茎φ 一4πG繭 φ ≡ Φ 一:π(濯 傷 ・(1・) Euler方 程 式 は 以 下 の 様 に 説 き 換 え られ る,
∂v1血11
翫+三(V'▽)v‑‑1‑一 一vn.=一 万 ▽ φ 一 而 ▽f'・(II]
以 上 の(9},(10)a(11)の 三 つ が,共 動 座 標 系 で の 基 礎 方 程 式 で あ る,
z.2Lagrange的 記 述 に よ る 発 展 方 程 式
ZePdovich[51に よ っ て 提 案 さ れ たLagrange的 摂 動 論 は,密 度 分 布 の 非 一 様 を 物 質 の 一 様 分 布 か らの 変 位 と し て 考 え る.こ の 変 位 を 摂 動 と し て 与 え,Eular座 標 か らLagrang已 座 標 へ の 変 換 を 行 う.以 後,Euler的 な 共 動 座 標X,Lagrange座 標 をqと 書 く事 に す る.
Lagrange的 摂 動 論 はEuler的 摂 動 論 に 比 べ.1司 じ近 似 の 次 数 に お い て よ り非 線 形 性 の 高 い 領 域 ま で 精 度 良
く近 似 を 行 う こ とが で き るIl4Hlbl.
以 下}基 礎 方 程 式 をLagrange的 記 述 に 置 き換 え て い く.ま ず,時 問 微 分 をLagrange微 分 に 置 き換 え る.
d ∂ ユ
轟 ≡ 房 ㌔(v引 罵}・(12}
連 続 の 方 程 式(9),Euler方 程 式(1bは 次 の よ う に 書 き 換 え ら れ る.
dd1
蕊+C.1▽x(v(1+δ))=0・X13)
dam‑a ユ
dオ+万v=9一 房 罵P・(14) 以 下,流 体 は 圧 力 を 無 視 出 来 る ダ ス ト と み な し て,P=
uと す る.Eu工er方 程 式 のdiv,rotを 取 り,連 続 の 方 程 式 (13)を 用 い る と 以 下 の 様 に 書 き 換 え ら れ る.Lagrange 近 似 に お い て,Lagrange摂 動8(オ.q)は 以 下 の 様 に 与
え る.
x=q十8(f.,q).
xか らqへ の 変 換 のJacobianを 」 と す る,
.f…tlll;‑1蜷 剛1
1
=1+Via
.,r+{β 乳、?.5.ノ.」 一 召'r.、ゴ・月.,,{}
十det(r.、2>.
Jを 川 い る と,連 続 の 方 程 式(13)は 厳 密 に 解 け る.
1‑J P(x)Jd3(1一 ρ(q)d3(1‑→ δ 一
J 固 有 速 度vもLa呂range摂 動 呂で 記 述 さ れ る.
Ψ=血 畠,
('1S}
alb}
(17}
(18}
Euler方 程 式 はdiv,rotを 取 る 事 に よ りモ ー ド分 解 出 来 る.Eulcr座 標 で の 空 間 微 分 を 用 い る と以 下 の 様 に 記 述 さ れ る.
罵 ・@三 う 一 一蜘 一11}・(19)
W・(S+21う 一 ・・ 〔2・}
Euler座 標 に よ る 空 間 微 分 を,Lagrange座 標 に よ る空 間 微 分 で 書 き 換 え る 時 に は 注 意 が 必 要 で あ る.通 常 の
方 法1]3]で は,Euler1標 とLagra皿ge座 標 の 空 間 微 分 の 書 き 換 え}dacabianのLagrange一 動 に よ る 展 開 を,摂 動 の 次 数 と 同 じ 必 要 な 次 数 ま で 行 う",
∂ 薦
∂ ∂死 綿I」砺
∂ ∂
む
∂91
∂ ∂
∂ 緬9ゴ+恥 漁"∂ π、、
= ∂
∂4'{一 お・」 ∂αゴ+s晒,'∂qk
‑5L幽 」5」」 a
∂盟ゼ (21)
RampfandBuchert【 凋 で1よtLagra皿ge座 標 の 空 間 微 分 をEuler座 標 とLagran9巳 座 標 の 変 換 に よ るJacobian行 列 の 逆 行 列 を 用 い て 記 述 す る,
∂ ∂勘 ∂
∂qi∂q三 ∂賜
→ 濫 一膓工 必
J氏 戸{㌶,
耐 一 ÷・q團 一毒 ・ 伽 噛 み'恥
(22)
(23) (?4)
こ の 方 法 を 用 い る とrEuler方 程 式 のdig・ の 右 辺 に(17) か ら 現 れ る1ノ 」 が 相 殺 さ れ る.こ の 結 果,摂 動 方 程 式 のsourcetermに は 摂 動 の 三 重 積 ま で し か 現 れ な く な り, 式 が 少 し 単 純 に な る.
さ ら に}時 間 変 数 に つ い てSupgrconformaltim♂ 〔11を 用 い る.
η ≡"(1一 Ω)一⊥12〔 Ω ≠1), 侃2dη ≡d亡 〔Ω 三=ll、
(25) (?5]
Ω は 密 度 パ ラ メ ー タ で,Ω=1が 平 坦 な 宇 宙,rz>1 が 閉 じ た 宇 宙,Ω 〈1が 開 い た 字 宙 と 対 応 す る.解 く べ き 方 程 式 は 以 下 の 様 に 書 き換 え られ る †,
α{η)[」‑1]
ε
崩 β乱,
α1η)
一[{1+s・ ∂ δ・」 一 鞠+黒 ノ1(27)
;負 が 三河 .R
+5{.、 ε。ノ乱(ὲ河 、た 一 ・:J),(28)
≡ 6
η・+々 ・(29)
CS.:は 言却 を 行 列 と み な し た と き の 余 因7行 列 で あ る.
た は 空 間 曲 率 で 一1,Q,1の い ず れ か で あ る,特 に(30) に つ い て は
q≡ ε融(鴫 一8り5ω,(30)
*こ こ で は
,同 じ 添 宇 が 現 れ た 場 合 に は 無 条 件 に 添 字 の 総 和 を 取 る 「Ei暇 じillの縮 約 」 を 用 い て い る.Σ 記 号 が 大 量 に 現 れ る の で,以 後 は 断 わ りな くEln呂 画nの 縮 約 を 用 い る
†添 字 の カ ン マ はLa呂rall四 座 標 の 成 分 に 依 る 偏 微 曾 を 表 す.た と え ば5垣 は.sz在 殉 で 微 分 す る と い う 意 味 で あ る.
3
な る 量 を 定 義 す る と,
Q=占 り{ヤ ・ X31)
と 表 す 事 が 出 来 る.
我 々 の 方 法 とRampfandBu。hertの 方 法 で は,三 次 の 摂 動 方 程 式 ま で 全 く 同 じ形 に な る.と こ ろ がsource kermの 現 れ 方 が 異 な る 四 次 以 上 で は 形 が 異 な る.両 者 の 方 法 の 比 較 や 整 合 性 に っ い て の 確 認 は 別 の 機 会 に 行 う 事 と して,本 論 文 で はRampfandBucheltの 方 法 に よ り五 次 ま で の 摂 動 力 程 式 を 導 出 し.そ の 解 を 求 め る 事 とす る.
3.Lagrange的 摂 動 解
3.1一 次 の 摂 動 解
一次 の 摂 動 解 に つ い て,以 下 の 様 に モ ー ド分 解 を し, か つ 変 数 分 離 して お く.
・!1〕‑9、(η)ψ}'}(q)+91T(η}i}i(q). (32)
右 辺 第 一 項 がlongitudinalmode,第 二 項 が 柱an呂ver呂e mod。 で あ る.longitudinalmfldcはrotationfree,trans‑
versemodeはdivergencefreeで あ る.前 者 は ス カ ラ ー 関 数 のdivergenceで 記 述 出 来 る.
iangitudinalrnadeに つ い て は(27)か ら 以 下 の 様 に な る.
(gi'一 α91)ψ1∴)一 〔}, (33}
空 間 成 分 に つ い て は 適 切 な 境 界 条 件 を 取 る 事 に 依 っ て Laplace方 程 式 が 解 け る.線 形 摂 動 だ け を 考 慮 す る と, ψ は 初 期 密 度 ゆ ら ぎ と結 び つ く.
ψ1^?=一 δ. X34}
よ って初 期 密 度 場 か ら ψω を 決 定 す る事 が 出 来 る.時 間 成 分 につ い て は た=⑪ で 宇 宙 項 の 存 在 し な いEinstein‑de Sitter(E‑dS)宇 宙 モ デ ル の 時 は 非 常 に 簡 単 に 解 け る.
9'一 轟 一 艶65)
i
構 造 形 成 に お い て は 成 長 解 が 重 要 で あ る.そ こ で 以 後, 扉 の み に 着 目 して こ れ をg1と 表 す 事 に し,ヨfは 無 視 す る.
以 ド,表 記 を 簡 略 化 す る た め に μ!'⇒=ψlll〕,
と す る.
tmn8鴨rsしmodeに つ い て は(30)か ら
glT=o,
(37)
68}
4
と な り,κ 巴Dの 場 ・合 に は
917こxオo,古 一1/3,(39)
と な る,つ ま り 成 長 解 が 存 在 し な い.そ こ で 一 次 の 摂 動 で はlongitudinalmodeの み が 存 在 す る と し て,高 次 の 摂 動 を 考 え て 行 く 事 に す る,な お(3Dを 用 い る と,
c(1}=0、叢 〔40)
で あ る.
3.2二 次 の 摂 動 解
二 次 の 摂 動 解 に つ い て,以 ドの 様 に モ ー ド分 解 を し, か つ 変 数 分 離 して お く16]・171,
・!2L9、{η)ψ(ノ)(q}fg、Tω)ζ12)(q).(41j ,
右 辺 第 … 項 がbngitudina1皿od邑,第 二 項 がtransverse madeで あ る.
longitudinal皿odeに つ い て は{27〕 か ら 以 ドの 様 に な る.
ア
ヨ2一 α92=一 凸9f,
ψ1盈)‑1(ψ 甥}粥 ソ)
表記 を簡 略 化す る た めに
μ1姻 ≡1(ψ ∫ 繍 一鰐 〕 岬),
(n)̲(η 、司
μ
2=: μ2
と す る.っ ま りf
(2)(i}
∬' ユ=μ2,
で あ る.
(42}
(43}
cam?
(45〕
(46)
時 間 成 分 に 関 してE‑dS宇 宙 モ デ ル で の 非 斉 次 解 は以 下 の 様 に な る.
9・一 一7
T、 一 一41註 ・(47)
E‑dS宇 宙 モ デ ル で な い 場 合 に は,(47)の よ うに 記 述 す る 事 は 出 来 な い が,一 次 の 摂 動 解 を 用 い て 近 似 的 に 以 下 の 様 に 書 く事 が 出 来 る.
3ウ 92=一;9〒.(48j
f
仕ansv■rscmodcに つ い て は(30)か ら
9皇丁=0,(49)
と な り,一 次 の 場 合 と 同 じ 形 の 式 に な る.つ ま り 二 次 のtransversemadeは 非 斉 次 解 が な く 一 次 の 場 合 と 解 が 一 致 し,成 長 解 が 存 在 し な い,
3.3三 次 の 摂 動 解
三 次 の 摂 動 解 に つ い て は,longitudinalmodeとtraps‑
vergemodeで モ ー ド分 解 の 仕 方 が 異 な る{91‑[111.
・}呂〕 一 佛 調 謬 岬1(q)+9、 、〔η)ψ望り(q) +9,7(η)く{3)(q),(50)
こ れ は.三 次 の10皿gitudinalmadeのsourcetermに 、(一 次)x(二 次)の 項 と,〔 一・次)の 三 乗 の 項 が 現 れ る か
ら で あ る.
longitudillalmod已 に つ い て は 以 ドの 様 に な る, り
93ロ ー̀}ご93皿 n9 師 一 α9:ih
ψ!嘉ω ψ1島の
一2α9且(92一 弗 ,
‑2cxgi ,
1@糊 瑠 鰐) d・t(ψ1ゐ))・
時 間 成 分 の 解 は 以 下 の 通 り と な る.
[]3ra淵9釜 ・ 13
伽 製 一 百9・'
(Sl}
(52}
X53}
{54)
̀55) (55}
transversemvdeに つ い て は1sour。eEermが 残 る.本 来 は 時 間 に 関 す る 一 階 の 微 分 方 程 式 で あ る が,source termの 微 分 を 消 去 す る た め に 一二階 微 分 方 程 式 の 形 で 記 述 し て い る.
3 り9
3T=一 α9P
・・ゴ謂 一 ・副 ヌノψ縁}・
こ の 方 程 式 の 時 問 成 分 の 解 は 以 下 の 通 りで あ る.
正3
9aT巴 一 〒91'
3.4四 次 の 摂 動 解
(57) (58}
X59}
四 次 の 摂 動 解 に つ い て はsourcetermの 分 類 を 考 え, Iangitudinalmadeとtransversemadeで モ ー ド分 解 が 複 雑 に な る,
s;〕 一 Σ 卿 ノ)ψ!'Ω)(q}
凸
+Σ9・ 蜘)く!4β)(q)(6・}
β
α,β は ロ ー マ 字 に 関 し て 和 を 取 る,
10ngltudimalmod巳 に 関 し て は,RampfandBuchea‑tの
方 法 で は5種 類 のsourcetermが 現 れ る の で,そ れ ぞ れ に つ い て 分 離 し て 方 程 式 を 解 く,
̀ノぎα 一 α94a=‑2α(919Ba‑29¥92+29呈),(6ユ}
9島,一 α∬1わ=‑2α(919呂 占一X91)、(G2)
ノ9 4{ヨ ーo'94e ノノ9 4冨 一 α91窪d
94ε 一 α94已
(4ω μ
1 (fib) μ
1
〔41⇒
μ 1 {pit]
μ l l4の μ
エ
一 α9D1=
≡ 一 α92(92‑2弗 ,
一 住(‑gl仇+lgり 、
〔⊥.3a1=μ 2,
〔1、3b}=μ 2・
;ψ 〜ソく(3a 」).
〔2)=μ 2・
=・ 伽 、εゴ,,ψ3飼 品 鴫}・
これ ら の 時 間 成 分 は 以 下 の 様 に な る.
204
脹 型 一蕊9い
946瑞gf・
14 94・ 盤 五9・ ・
9・・ 型 一論9呈 ・
一 揚gf・
(63) (64)
〔65)
(6G}
(67) [6S}
(b9) (70)
(71) (7?1 σ3)
σ4)
(75)
transversem⑪d￠ に つ い て は 〔30)か ら はsourcetermに 三 重 積 が 現 れ る 様 に 見 え る が.X31〕 の 書 き 換 え を 行 っ て 確 か め る と,(一 次)×(三 次)のsourcetermし か 現 れ な い.よ っ て,3種 類 のsourcetermが 現 れ る の で, そ れ ぞ れ に つ い て 分 離 し て 方 程 式 を 解 く.
9ττσ 9皐丁昌 9紛r'
鰍(鯉)
・η畷1) 鰍(計1)
=‑2α ∬¥(92‑9苧), 一 一2αgl.
一 一 α91(93T+命 , 一 ・瞬 ψll、〕ψ!∬「), 一{1)ψ!壼 ρ, 一 鰍 ψ{カ)く!l!,
時 間成分 の 解 は以下 の通 りに な る.
9471r,ニ ゴ
仙 乃 空
94τ,N
J4 豆丁9・, 石9・14
・
一 τ互9111 '
(76)
(77〕
(79)
(79}
(8Uj (巳1)
(82〕
(83)
〔84〕
3.5五 次 の 摂 動 解
四 次 の 摂 動 解 を 用 い る 事 で,例 え ば 密 度 揺 ら ぎ の biヨpectrumに 対 す る1‑100p正 の 計 算 が 出 来 る 様 に な る田 ユ.と こ ろ が,偶 数 次 で 摂 動 を 打 ち切 る と,密 度 ゆ ら ぎ が 負 の 領 域 で あ る ボ イ ドの 成 長 を う ま く記 述 出 来 な い.長 時 間 の 計 算 を 進 め る と,負 の 密 度 ゆ ら ぎ の 成 長 が 止 ま り,反 転 し て 密 度 ゆ ら ぎ が 正 に な っ て し ま う 事 が 知 られ て い る,ま た}後 述 す る が 密 度 揺 ら ぎ の パ
5
ワー ス ペ ク トル に 対 す る 補 正 は,三 次 の 摂 動 を 用 い る と2‑bop補 正 が 行 え る が}さ ら に 補 正 を 行 う に は 四 次 の 摂 動 で は 不 十 分 で あ る.そ こ で 我 々 は,今 後 の 幅 広 い 応 川 を 考 え,五 次 の 摂 動 方 程 式 とそ の 解 を 導 出 す る 事 と した 悶.
四 次 の 場 合 と同 様 にsourcetermの 分 類 を 考 え,1。n‑
gitudiilalm⑪dεとtransversemodeで モ ー ド分 解 を 行 う.
(5)5.̲
曾 Σ9・ 。(η)鱒 α)(q)
α
+Σ 蜘(η)く15β)(q)・
β
α,βは ロ ー マ 字 に 関 し て 和 を 取 る,
(85)
longitudh1註1modcに 関 して は,RampfandBuchc1寸 の 方 法 で は15種 類 のsourcetermが 現 れ る の で,そ れ ぞ れ に つ い て 分 離 し て 方 程 式 を 立 て る.
99。 一 α9呂n=‑2α91({lar一2伽+49192
ノ
砺 占 一 α95占
95c一 α95̀二 ノ 95̀'一 α95d
C‑一 α956 ノ 95プ ー α ∬5∫
ド 959 α959
9 硫 一 α95h
ノ 95;.一 α95毘
ノ
∬ 5」 一 α9舅
ノ9 5虎 一 α ∬5々
ノノ 三ノ
5i‑t二 鮒{ノ51 ノノ
95m一 α95m ダ 95fl α9肋
950一 α950
(5・7) μ
1
〔5b) μ
1 (7CJ μ
1 (5の μ
1 (5e) μ
1 {5}') μ
1
一4gl) 、
=・‑2α9i(94ゐ 一291g:3b
+4gl),
=‑2α ヨ1(94r .‑91}),
̀86)
(87) (88)
=‑2α91(94d‑92十29子92) ,〔89)
=‑n∫91(2946‑29子92十9至),(90)
=4α9〒 〔92‑9子).
=4α9翌 、
=2α9子 〔93ア+9呈1, ニ ー2α(93朔 一29192)
x〔 .92‑gl), 一 一2α(9・g:if,‑919・3',
‑29192) ,
ll
=(上9子(93配 一9192‑1‑9量) ,
=r瑠7(9a,,‑9わ, ーu(9・ロ 一9i)・
2
〔LI鋪=μ 2,
〔1湘)=μ 2・
‐Era, 〔LI蝸
〔L4の μ
2・
〔].1ε)=μ 2腎
=鴫 ノく1二1ω,
(9]) (92}
̀93)
194}
(95}
θ6) (97) (9$}
199)
,⊃ハU‑凸UnUI曾■1くて
(102) dO3}
{1Q4}
(lp5}
(106)
(5ω μ
1 価'↓}
μ 1
伽) μ
エ (再の μ
ユ (5ω μ
1 {別}
μ 1 15凧) μ
1
〔57り μ
1 (S〔り μ
1
=鴫 〕く島自L
=畷 ノく隠の 3
(2.3c皿)=μ 2,
(2.3h7=μ 2,
一 ψ留 鳩),
(】47]
(1⑱ tiU9]
{110) (111)
・伽 ・加,ψ撃鳩 翻 総の,1112) 一 ・伽 ・加 ψ留 鰐 ゐ ψ!葛1'},(ll3)
=・ ・画,,瑠 鰐 荒 く[3j ,i),(114) 一 ・晒 阿 瑠 ψ瀦 嬬)・(ll5)
これ らの時 間成 分 は以 下 の様 に なる.
95ロ 型
95西 盤
95己 盤
95f'型
,y.}F'盤
95∫
959 望
空
95'五 製
y.)8禦
〃5ゴ
9砧
∬5置
95m
:9.172
950 望
製
望
型
型
望 12Q ̲ 1439い
‑ 845 143∬1巳 185 1439い
9185 91・707 一 万99;
1・
一 百f9305
・ ・
:,
131
..
百i9い 2U
百1∬1・
2馬 131' :i
す19い 105 頁 ∬い
15 197 一 百τ93ち
P 455 127491'
(11fi) {11?}
(11呂 〕
{119]
9幾r9 9紛,, 99Tゴ 9{iTi
諭 乱
・崩 く驚1)
・鋸 贈) 騒 く欝) ε眺 ζ謬1
(5E')
鰍(鐸) ε励 く鯉
・酬,く[51t.}k ,」
・・顧IP
・'ゴ・鵜)
・'ゴ繍 ク)
=一 α∬1{94TO十2∬ 呈},(137)
≡ 一α91(9岨 アc十9193丁 十9呈)、(138}
=α91(91∬ 諏,‑29韮+29呈92},〔139)
=α9書(93̀,‑29192) .(140}
=一 α{(9,‑9量)9sT+9192} ,〔141)
=5む 々顯}ψ1遥 跨),(142) 一 ・副,1轟 〕ψ1押} a(143) 一 ・氏抽 ψ俵)ψ∫藍ρ,(144) 一 ε眺 媒 鷺 漕,(145) 一 鰍 小:,∫ 鳶戸,(146)
一 ・氏ゴ・ψ脳 〔圭野)・ 〔147)
一 鰍 ψ9く ￡11㌧{148}
一 鰍 瑠 く,llf).(149) 一 鰍 娯)ψ 即,(150) 一 ・副 銭W} 、(151) 一 ・{2)く 黒)・(152) U20)時 間 成 分 の 解 は 以 下 の 通 りに な る. tl?17
{122〕
(123) t]?4) {12S]
{126) {127}
{128}
X129}
(130)
transversemodeに 関 し て は,sourceterraに 摂 動 の 二 重 項 だ け が 現 れ る.可 能 な 組 舎 せ は11種 類 で あ る.そ れ ぞ れ に つ い て 分 離 し て 方 程 式 を 立 て る.
ノ 95ユ ・α
ノ 9 5Tゐ ノ 9 5丁 正 ノ9 5コ ・rゴ
ノ JTE
ノ
ρ5η
一2αgl(9sα 一29192+2gわ
,(131:) ニ ー2α 」9i(93b‑29ギ)、
5 二 α91 1
=α 伽92← L+2gl),
一 ㎡(一 卯+lgり ・
(132) {133]
(】34)
{]35)
一 α9且(94丁
皿+2∬}92‑2gわ,(136)
a7'r+製
95Th望
95'"r望
95Td製
9肛1ε 製
95コ1∫ 型
95Tg[と
95T'品 盤
N957' a
95Tゴ 型
95Tk製
一 〒fg4:, D 14 而9P
‑ 35 55」i'
153 ̲5
‑ 269591・
39轟 77091, 15 亨911 一 而9115
, 一 〒69P3」
ー 酉9P2ヨ
l5
騙9P
35 24、591唱
4.摂 動 解 の 応 用
(153) (154}
(15S}
(15b}
(157}
CIS8}
(159}
〔160)
(lbl}
(162}
(153}
4.1バ リオ ン 音 響 振 動
現 在 の 宇 宙 の エ ネ ル ギ ー 密 度 の 大'陶 よ,ダ ー ク エ ネ ル ギ ー お よ び ダ ー ク マ タ ー が 占 め て い る.宇 宙 の 晴 れ 上 が り ま で は バ リオ ン は 光 子 と密 接 な 相 互 作 用 を な す た め,バ リ オ ンの 密 度 ゆ ら ぎ は 輻 射 に よ っ て な ら さ れ, 成 長 す る事 が 出 来 な か っ た,宇 宙 の 晴 れ 上 が り 時 に 自 由 電 子 が 原 子 核 に 捕 獲 さ れ}光 子 がTllo価on散 乱 を 受
け ず 自 由 に 動 け る 様 に な る 事 で,バ リオ ン の 密 度 ゆ ら ぎ も 成 長 出 来 る 様 に な る.
晴 れ 上 が り時 の タ イ ム ス ケ ー ル は}(4)で 与 え た ス ケ ー ル フ ァ ク タ ー を 用 い て,赤 方 偏 移
一 α辮 〕・(164)
を 用 い る と,言 型1〔〕cx?であ る.つ ま り,現 在 の 宇 宙 の 1110{〕oほ ど の 大 き さ の 時 に,晴 れ 上 が りが 起 き た 、
宇 宙 の 晴 れ 上 が り時 に 既 に 成 長 して い る ダー クマ ター の 密 度 ゆ ら ぎ に 引 き ず ら れ る 事 で,バ リ オ ン の 密 度 ゆ ら ぎ も線 形 摂 動 の 成 長 率 以 上 に,急 速 に 成 長 す る.線 形 槙 動 で は 密 度 ゆ ら ぎ は 宇 宙 の ス ケ ー ル フ ァ ク ター と 同 程 度 の 成 長 しか 出 来 ずr宇 宙 の 晴 れ ヒが り時 と現 在 を 比 較 す る と スケ ー ル フ ァ ク タ ー は10呂 ほ ど違 うだ け で あ る の で,103倍 しか 密 度 ゆ ら ぎ が 成 長 し な い.一 方 で 宇 宙 の 晴 れ トが り時 に お け る 輻 射 の 揺 ら ぎ を 表 す 宇 宙 背 景 輻 射 の 温 度 揺 ら ぎ は,1r5程 度 で あ る.宇 宙 の 腫 れ 上 が り時 の バ リ オ ン の 密 度 ゆ ら ぎ は 同 程 度 で あ る の で,そ の ま ま線 形 成 長 し た の で は 現 在 観 測 され る 様 な 銀 河,銀 河 団 等 は 形 成 さ れ な い.ダ ー クマ ター の 揺 ら ぎ が そ れ よ り2桁 程 度 は 大 き か っ た た め,現 在 観 測 さ れ る 様 な 構 造 が 形 成 さ れ た と 考 え ら れ る,
と こ ろ で,バ リオ ン は 宇 宙 の 晴 れ 上 が り ま で は 輻 射 と相 互作 用 を 及 ぼ し あ い 振 動 を し て い た,こ の 振 動 を バ リオ ン 音 響 振 動(BAO)と い う,BAOの 痕 跡 は 現 在 の 観 測 に 見 出 さ れ る だ ろ うか,近 年,SDSSの 銀 河 サ ー ベ イ の 結 果 を 解 析 し た と こ ろ,二 点 相 関 関 数 に こ の 振 動 の 痕 跡 が ーL出さ れ た 圃 脚j,今 後 よ り広 範 囲 の観 測 を 行 う事 で}BAOに 関 す る よ り詳 細 な 観 測 結 果 が 得 ら れ る と期 待 さ れ る.BAOの ピー クの 位 置,高 さ を 解 析 す る 事 で,宇 宙 の 進 化 の 歴 史 を 解 明 す る 事 が 出 来,ダ ー クエ ネ ル ギ ー の モ デ ル に 対 す る 制 限 も 与 え ら れ る.
BAOの 観 測 に 対 す る 理 論 的 予 言 は,シ ミ ュ レ ー シ ョ ンや 摂 動 論 を 用 い て な さ れ て い る.Lagrange的 摂 動 論 がr摂 動 論 の 中 で は 精 度 良 く構 造 の 進 化 を 記 述 出 来 る も の と み な さ れ て き た が,近 年 は さ ら な る 補 正 を 施 す 事 に よ り,よ り精 度 の 良 い 予 言 を 行 え る 事 が 出 来 る様 に な っ て き て い る.R郡ummationth巳oryと 呼 ば れ る 一 連 の 干 法 は,既 知 の 摂 動 解 を ル ー ル に 基 づ い て 再 加 算 す る1ユ[1.
Lagrange的 摂 動 論 の 利 点 と し て,実 際 の 空 間 分 布 で あ るrealspaceの 分 布 の み な らず,地 球 と の 相 対 速 度 (後 退 速 度)に 基 づ い て 座 檬 空 間 に 置 き 換 え たredshift spaceの 分 布 も 容 易 に 得 られ る とい う点 が あ る.{5)で 示 した 様 に,物 質 の 速 度 は 字 宙 膨 張 に よ っ て 動 く第 一・
項 と,固 有 運 動 の 第 二 項 の 和 で 表 さ れ る,観 測 の 場 合 に は こ の 両 者 の 分 布 が で き ず,和 の 形 で 得 られ る.こ
z
の た め 得 られ た 速 度 か ら 座 標 に 置 き 換 え る と,固 有 運 動 の 影 響 で 実 際 の 位 置 とず れ が 生 じ る.そ こ で,観 測 と理 論 か ら の 予 言 を 比 較 す る 際 に は,realspaceで は な くred曲 蹟spaceに お け る 比 較 が 重 要 に な る.
Regumma皇ion由 巳oryを 適 用 す る 際,初 期 密 度 ゆ ら ぎ が ガ ウ ス 分 布 に 従 うか ど うか で 計 算 量 が 大 き く異 な る.
現 在 の 観 測 で は,ガ ウ ス 分 布 を 含 む 範 囲 の 制 限 が か か っ て お り,ガ ウ ス 分 布 を 仮 定 して も支 障 は な い も の と 考 え ら れ る.ガ ウ ス 分 布 の 密 度 揺 ら ぎ の 仮 定 の 下 で, Resummationtheoryに よ る 理 論 的 予 言 と して,密 度 揺 ら ぎ の パ ワ ー ス ペ ク トル に 関 し て は2‑loop補IEの 計 算 が な され て い るf??],こ の 計 算 に は 三 次 ま で の 摂 動 解 が 必 要 とな る,ま たs密 度 揺 ら ぎ の バ イ ス ペ ク トラ ム に 関 して は,四 次 ま で の 摂 動 解 を 用 い て1400p補 正 の 計 算 が な され て い る.
パ ワ ー ス ペ ク トル は 観 測 結 果 を 表 す 統 計 最 と して 重 要 な も の の 一 つ で あ る.さ ら な る精 度 向 ヒの た め に3‑
laap補 正 を 行 う事 が 考 え られ る が,3‑log補 正 は 四 次 ま で の 摂 動 解 で は 行 う 事 が 出 来 ず,五 次 の 摂 動 解 を 必 要 とす る.我 々 の 結 果 を 用 い る 事 で,パ ワ ー ス ペ ク ト ル に 対 す る3‑loopの 計 算 を 行 う事 が 出 来,パ ワ ー ス ペ
ク トル に お け るBAOの 効 果 の 理 論 的 予 言 が よ り精 密 に 出 来 る様 に な る.計Jに 関 して は,一 般 の 次 数 の 摂 動 解 を 用 い た 場 合 のResummatiantheoryの 式 が 導 出 さ れ て お り,こ の 式 に 我 々 の 結 果 を 代 入 す る 事 で 計 算 す る 事 が 出 来 る1馴.
4.2宇 宙 論 的N体 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の 初 期 値 問 題 宇 宙 の 大 規 模 構 造 形 成 に お い て,非 線 形 段 階 の 構 造 の 進 化 を 考 察 す る 際 に は宇 宙 論 的N体 シ ミ ュ レー シ ョ
ン が 用 い ら れ て き た.物 質 分 布 をN個 の 質 点 で 代kさ せ}質 点 問 の 相 互 作 用 はNewton重 力 で 及 ぼ さ れ,か つ 宇 宙 膨 張 に よ る 引 き 離 しの 効 果 を 考 慮 した シ ミ ュ レー
シ ョ ン で あ る.
宇 宙 の 晴 れ 上 が り時 の 密 度 ゆ ら ぎ は 非 常 に 小 さ い の で,宇 宙 の 腫 れ 上 が り時 を 宇 宙 論 的N体 シ ミュ レー シ ョ
ン の 初 期 条 件 と して 与 え る と数 値 計 算 上 の 誤 差 が 非 常 に 大 き くな る.そ こで まず,準 非 線 形 段 階 までLagrange 的 線 形 摂 動 論 で 時 間 発 展 を 行 う.準 非 線 形 段 階 の 密 度 ゆ ら ぎ を 宇 宙 論 的N体 シ ミュ レー シ ョ ンの 初 期 条 件 と
し て,シ ミ ュ レー シ ョ ン を 実 行 す る 事 が 長 年 行 わ れ て き た.
と こ ろ がCracee,Puehlas,Sc⑪ccimarroロ ヨ1によ り,La‑
grange的 摂 動 論 の 二次 の 摂 動 ま で 考 慮 して 初 期 条 件 を 設 定 す る と,線 形 摂 動 論 で 初 期 条 件 を 設 定 した 場 合 に 対 し,強 い 非 線 形 段 階 の 構 造 が 統 計 的 に 異 な る事 が 示 さ れ た,貝 体 的 に は,宇 宙 の 腫 れ 上 が り時 の 密 度 ゆ ら
A
Prob(6) ace d , 065)
を 与 え る,σ は 密 度 揺 ら ぎ の 分 散 を 表 す,密 度 揺 ら ぎ が 線 形 成 長 す れ ば 分 布 関 数 の 形 は 変 わ ら な い が,非 線 形 成 長 に よ り ガ ウ ス 分 布 か らず れ る.非 ガ ウ ス 性 を 表 す 量 と して,呂k巳wno8呂, kurtosisを 定 義 す る.
sk￠w・ 皿 ・ ・ つ一 く 要, (166) 一 ・η÷ (167)
E‑dS宇 宙 モ デ ル の 場 合 はEuler的 な 一:次摂 動 か ら準 非 線 形 段 階 で は 以 ドの 値 が 得 ら れ て い る.
り 一 苧+・(み
η 一 瓢 ミ2‑・げ)・ (16呂 〕
強 い 非 線 形 段 階 で は,こ れ よ り も 大 き な 値 と な る.
強 い 非 線 形 段 階 に お い て,初 期 条 件 をLagrange的 摂 動 論 の 線 形 摂 動 と 二 次 の 摂 動 を 与 え た 場 合 に お い て, skewne$5, kurtosi 5に10%以 上 の ず れ が 見 られ た.さ ら にTat紘awa and Mi烈no[241に よ り, L廿暮range的 狽 動 論 の 三 次 の 摂 動 ま で 考 慮 した 場 合 の シ ミ ュ レー シ ョ ン が な さ れ て い る,こ の 場 合 に は,密 度 揺 ら ぎ の 非 ガ ウ ス 性 は,二 次 と三 次 の 摂 動 を 用 い た 場 合 の 差 で1%程 度 に お ざ ま る事 が 分 か っ た,す な わ ち,観 測 に お い て 1%以 下 の 精 度 を 求 め る 段 階 に 至 る ま で は,宇 宙 論 的!V 体 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の 初 期 条 件 と して,Lagrange的 摂 動 論 の 二 次 の 摂 動 ま で を 考 慮 す れ ば 十 分 と い え る, 将 来,よ り高 い 精 度 を 必 要 と す る観 測 が 得 られ た 際 宇 宙 論 的N体 シ ミ ュ レー シ ョン の 初 期 条 件 を ど の よ う に 与 え る か を 考 え る 際,高 次 のLagrange的 摂 動 が 必 要 に な る と考 え ら れ る.
蕊 結 言
宇 宙 の 大 規 模 構 造 形 成 に お い て,La呂range的 摂 動 論 は か つ て は 準 非 線 形 段 階 まで を扱 え る もの で,強 い 非 線 形 段 階 は宇 宙 論 的N体 シ ミ ュ レー シ ョン を 用 い な け れ ば 解 明 出 来 な い た め,重 要 視 さ れ な い 時 期 が 長 い 聞 続 い て き た,近 年,深 宇 宙 の 銀 河 サ ー ベ イ が 計 画 され る様 に な り,構 造 の 進 化 の 結 果 の み な らず 構 造 の 進 化 を解 明 す る 事 が 重 要 に な っ て き て い る,深 宇 宙(:>1)で は 構 造 の 進 化 の 途 上 に あ り,La菖rangc的 摂 動 論 で も 十 分 に 構 造 の 議 論 が 出 来 る.こ の た め こ こ数 年 はLagrange的 摂 動 論 が 見 直 され る様 に な っ て き た,特 にRεsull]matioll th巳oryの 急 速 な 発 展 に よ り,既 知 のLagrange的 摂 動 論
の 解 を 用 い て,さ ら な る 精 度 向 上 を 進 め る 事 が 出 来 る 様 に な っ て き て い る.
Rεsummation tll已oryでは 既 知 の 摂 動 解 を 用 い る 事 か ら,高 次 の 摂 動 解 を 導 出 す る 事 が 必 要 に な る.199⑪ 年 代 に 三 次 の 摂 動 解 ま で が 発 表 さ れ て い た が,そ こ か ら 先 の 解 は 公 に は さ れ て い な か っ た.我 々 は ま ず 四 次 の 摂 動 解 を 導 出 し,そ の 後 五 次 の 摂 動 解 を 導 出 し た.五 次 ま で 精 度 を 上 げ る 事 に よ り,密 度 揺 ら ぎ の パ ワ ー ス ペ ク トル に 対 して3‑100pの 補 正 を 行 う事 が 出 来,極 め て 精 度 の 高 い 予言 を 解 析 的 に 行 う事 が 出 来 る 様 に な っ た.我 々 が 導 出 した 摂 動 解 は,近 未 来 の 観 測 論 的 宇 宙 論 に お い て 大 い に 活 用 さ れ る事 が 期 待 出 来 る.
参考文献
[1] K. Abazajian et al.: Astrophys. J. Supp., 182, 543 (2009).
[2] C. Hinshaw et al.: arXiv:1212.5226.
[3] T. Tatekawa: Recent Res. Devel. Astrophys., 2, 1 (2005).
[4] T. Tatekawa and S. Mizuno: Dark Energy: Theories, Developments, and hnplications (K. Lefebvre and R.
Garcia, eds.) (Nova Science, New York), 241 (2010).
[5] Y. B. Zel'dovich: Astron. Astrophys., 5, 84 (1970).
[6] F. R. Bouchet, R. Juszkiewicz, S. Colombi, and R. Pei- lat: Astrophys. J. 394, L5 (1992).
[7] T. Buchert and J. Ehlers: Mon. Not, R. Astron. Soc., 264, 375 (1993).
[8] T. Buchert: Mon. Not. R. Astron. Soc., 267, 811 ( 1994).
[9] F. R. Bouchet, S. Colombi, E. Hivon, and R. Juszkiewicz: Astrophys. J., 296, 575 (1995).
[101 P. Catelan: Mon. Not. R. Astron. Soc., 276, 115 (1995).
[111 M. Sasaki and M. Kasai: Frog. Theor. Phys., 99, 585 (1998).
[12] C. Rampf and T. Buchert: J. Comp. Astropart. Phys., 06, 021 (2012).
[131 T. Tatekawa: Frog. Theor. Exp. Phys., 013E03
(2013).
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
[23]
124]
D. Munshi, V. Sahni, and A. A. Starobinsky: Astro- phys. J., 436, 517 (1994),
V. Sahni and S. F. Shandarin: Mon. Not. R. Astron.
Soc., 282, 641 (1996).
A. Yoshisato, T. Matsubara, and M. Morikawa: As- trophys. J., 498, 48 (1998).
C. Rarnpf and Y. Y. Y. Wong: J. Comp. Astropart.
Phys., 06, 018 (2012).
T. Tatekawa: in preparation.
D. J. Eisenstein, W. Hu. J. Silk, and A. S. Szalay:
Astrophys. J., 494. Ll (1998).
A. Meiksin, M. White, and J. A. Peacock: Mon. Not.
R. Astron. Soc., 304, 851 (1999).
M. Crocce and R. Scoccimarro: Phys. Rev. D, 73, 063519 (2006).
T. Okamura, A. Taruya, and T. Matsubara: J. Cos- mol. Astropart. Phys., 08, 012 (2011).
M. Crocce, S. Pueblas, R. Scoccimarro: Mon. Not.
R. Astron. Soc., 373, 369 (2006).
T. Tatekawa and S. Mizuno: .1. Comp. Astropart.
Phys.. 12, 014 (2007).
