学 位 論 文 題 名
博士（理学） 胡 娜
Affine geometry of space curves and homogeneous surfaces
（空 間曲 線と等 質曲 面の アフんイン幾何学）
学位 論文内容の要旨
In the recent 20 years, the study on affine homogeneous submanifolds as one of the most important submanifolds has aroused concern of geometers. In 1991, K. Nomizu and T. Sasaki completed the classification of homogeneous surfaces in the equiaffine 3‑space. In 1994, H. L. Liu and C. P. Wang classified all the homogeneous surfaces in the centroaffine 3‑space.
On the other hand, in 1997, R. Gardner and G. Wilkens studied centroaffine curves in RAri using the classical Cartan approach to moving frames and ga.ve the fundamental theorem for centroaffine curves, which ensures us to classify the centroaffine space curves by using the centroaffine curvatures up to the group GL(n, R) of the centroaffine transformations. However, the classification problem for the centroaffine space curves is still open, even for the centroaffine homogeneous space curves in R^3.
In this thesis, we investigate the centroaffine space curves with constant centroaffine curvatures in RA3. We classify them and give their explicit expressions. Moreover, we find out each centroaffine space curve with constant centroaffine curvatures can be written as the orbit of a certain one‑parameter subgroup of GL(3, R). Thus we can treat them as nondegenerate centroaffine homogeneous curves. Furthermore, for each centroaffine homogeneous curve, we check if there is a nondegenerate centroaffine homogeneous surface such that the correspondi.ng group contains exactly, as a subgroup, the one‑parameter subgroup with respect to the homogeneous curve.
We obtain the similar results for equiaffine space curves with constant equiaffine curvatures.
At the end, we bring up a related topic of the centroaffine space curve theory, degenerate center maps. We investigate centroaffine ruled surfaces and determine such surfaces whose center map is degenerate. As a corollary, given a nondegenerate centroaffine space curve, we can construct a centroaffine ruled surface whose center map is precisely this curve.
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学位 論文審査の要旨 主 査 准 教授 古畑 仁 副 査 教 授 山 口 佳 三 副 査 教 授 泉 屋 周 一 副 査 教 授 石 川 剛 郎
学 位 論 文 題 名
Affine geometry of space curves and homogeneous surfaces （ 空 間 曲 線 と 等 質 曲 面 の ア フ ん イ ン 幾 何 学 ）
ア フ ァ イ ン 空 間内 の 曲 面 あ るい は 超 曲 面 の 研究 は 長 い 歴 史が あ る に も かカ ゝ わ ら ず ，曲 線 論 に つ い て は 興 味 深 い 研 究 が 多 く な さ れ て い る と は 言 え な ぃ の が 実 情 で ある ． そ の よ うな 状 況 で ， 本論 文 で は ， と く に 中 心 ア フ ァ イ ン 空 間 曲 線 論 に つ い て ， 基 本 的 か つ 重 要 な 問 題 が 扱 わ れ て い る ．n次 元 ベ ク ト ル 空 間 内 の 非 退 化 な 曲 線 に つ い て ， 一 般 論 に よ りn−1個 の 中 心 ア フ ァ イ ン 不 変 量 （ 曲 率 関 数 ） が 定 義 さ れ ， こ れ ら に よ っ て 曲 線 が 決 定 で き る こ と が 知 ら れ て い る ． 著 者 は ，3次 元 ベ クト ル 空 間 内 の 非 退 化 な 曲 線 で2つ の 曲 率 が と も に 定 数 で あ る も の の 表 示 を す べ て 具 体 的 に 求 め ， さら に そ れ ぞ れ の 曲 線 を 含 む 等 質 曲 面 の 例 を 構 成 し た ． 等 積 ア フ ァ イ ン 幾何 学 に お い ても 同 様 な 研 究を 行 っ てい る ．
さ ら に ， 曲 線 論 の 研 究 を 曲 面 論 の 研 究 に 応 用 す る こ と に も 成 功 し て い る ． 中心 ア フ ァ イ ン曲 面 に 対 して 中 ´ い 写 像な る も の が 定 義さ れ ， そ の 中´ い 写 像 が もと の 曲 面 と 中心 アファ イン合 同にな るよ う な 曲 面 の 研 究 が 行 わ れ て いた ． そ の よ うな 中 で 本 論 文 では ， 中 ´ ぶ 写像 が 曲 線 に 退化 す る 場 合 の研 究 が 行 わ れ た ． す な わ ち ， 非退 化 な 中 心 アフ ァ イ ン 曲 線 が与 え ら れ た とき ， そ れ を 中´ ぶ 写 像 に 持っ よ う な 線 織 面 が 存 在 す る こ と を 示 し た ． さ ら に ， そ の 線 織 面 に つ い て 曲 線 の 第2曲 率 の 積 分 を 用い た 具 体的 な 表 示 を 得た ．
こ の よ う に 著 者 は ， ア フ ァ イ ン 微 分 幾 何 学 に お け る 曲 線 論 ・ 曲 面 論 に 新 た な知 見 を 与 え たも の で あ り ， 数 学 の 深 化 に 貢 献 す る と こ ろ 大 な る も の が あ る ， よ っ て ， 著者 は 北 海 道 大学 博 士 （ 理 学） の 学 位を 授 与 さ れ る資 格 あ る も の と認 め る ．
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