㊨ TRU Mathematics 21−1 q985） 己・パ、 ． ．．ン ．tt，．岬FOLP『、．°F♀ΨASI三cONST冊呼A卿1∴一．、．．，．．
・Am・頑0垣gf q皿・≒・gn・ta呼、Curyatu・e・甲d興．．・S一撤a・ifbld・
Tyuzi ADATI and YUen−da WANG ・『 @ tt（Received・May．1， 1985）・． 一 §・・・・…d㏄・i・・…th・previ・・s・P・per［・・］，㎝・0緬6 pr・S6k迦・h・・s． int「Oduced th・n・ti・・gf・㎜lif・1d。f，（呼・i−c・頂t誕・㎜t町e釦d・t・died・it・ propertles． L・t−”h’b・紐・−di99h・i・na11U㎝・血i飢a蜘ifbid㎡th p・sitiv・d・finite㌻lcr：蒜・㌶』；‡：三慧t㌻躍el、潔∴晒en
ア こ コ コ ロ ， こ こ （…）％｝・・梅一δ膓σ泌・・…δ∼・ゴーδ淘・、・・Vk9ゴ噺、・ゐ， ． ロ コ 曲e「e・．・b・r，・differe・・i・b・・f皿・ti・n・ ・・d vt（・gzα・α）． i・a皿it vect・r f毛・・d， Mn is called a manifold of quas i−co鵬t㎝t curvature a頑he Wctor field∂阜is called a genefator ofεhεmanifold．：’：‘ ：． − ・ 『． ”‘‘’ 7 「’ In the present paper， we shall show exal町）1es of a mahifbid 6f quas i−con− ・t・ht・uvature ih§1・．． ln’ ?Q，鳩・h・11 hves七igateヒP卿erti…f。，㎞ifbld °fq…i−c・nst・nt・・rvaロ江・・Fi皿11y．in§．3， w・・h・ll・tW th・・e1・ti… between a manifOld of quas i−constant curvature and an S一πianifold．§L−ant・urvature．
1−・＾d加・n・’・na踊一・一・・f・・d・S・we・6・・t・卵♂・・ゴi・・飢・
9がthe cu「vatur・t・…rr th・趾cci t・Pe・r・the scalar．印・vat・re・and・th・鵬t・i・ tens°「「espectively・Fu「the「「TK・re・鳩d・mt・by▽ゴ・h・．「 メEva・迦・differen・ia−
ti°n with ・respect t・・9ゴZ・．、 ・ ・ ．・．ll．
Example 1． Aた一special conformally flat space［6］． We assume． that、 M。＋・is a㎜if°1d・f・・n・t孤t・ur・atur・k孤d〃。 i・・a・・nf・m・11y f1・t．h）rp・r− surface・ BヅJ・A．Schouten’s theor㎝， we have〔1・1〕 日痴一・・パβ・！｛
．． f・rth・・ec・・d f凹・㎞・・…ざ鵬…f〃。，Where…，B・are cert・i・、fm・ti。ns 孤dvi is a unit ve・t・r fi・1d［6］・［7］L・・thi…as・・Mn is said・・b・ 95． 96 ． T．ADATI AM）Y． WANG・ ド ・．．’『内．1㍉ ・ ∵』 ．．．1． ．：：一∫ ． quasi−urTibilica1 ［5］，【6］．Making use of the equation of Gauss， we get ［6］ ニ ， ロ （…）’
`芦・ψ・δψ・西一鑑・…｛吟一㌔方・た壕嘱、一・Wみ
Fron this we have ． ．、． ’ ・ ・ゴ、一一・ゴ〆・η一2・禰・」ノ…一・〃・−2卜・・／・雁♂・・〆・・ヂi・ from wich we obtain ・ゴi−一・・／・パ・・∼）’9b・、一ゑw嘩 ・・百一・・声・ 『『』』 旬virtu・・f・irfVi q、坤・㎝e麺cti・n f・In this case・”。 i・said．t°be a k−Special conformally，flat．space． Fr㎝（1．2〕we．㎞㎝that〃n is a㎜ifold of qUa§1−COnStant CUrVatUre・ ． ．． ． ． X≧≡． Asubproj ective space［1］． ． When〃ηis confblmally flat and fbr s㎝e fmctionρ ・ ． 〔…1“・・ゴ、一・射・ゴ・・ 〔蹴h⑭’・c・nq・・i㎝）［・］・・ 廠ere 5＝▽ゴρ：㎝d㌍膓σ・σ・b・ing・f皿・ti㎝・f・・1・this caSe・”・is said to be a subproj ective space． 、 ． If w・p・t傷＝Y％．・・Vi b・i㎎amit w・t・r fi・1d・theψ㎝（1・3）we have （1・4〕． D五Sゲρ・パK〃ソ・・，、㍉∫・．．．．、・
Kbeing s㎝e fuction， Therefore・we get㌔∼一一彪⇒㌦一Lkh・ゴ薦㌦ ・・∼一・コ。・
．’@，唖㌔吉一・謝一K・・δ∼・、一δ膓脚（・ρ」、一∂疏・ゐ3「
fr㎝which we㎞㎝that the subproj ective space is a㎜ifold of叩as i−con− StaIlt CUrVatUre． ．． ． ． ￡ ’ ・ ・． DPutting．・i・Y’pi，・『Y’b・i㎎・・m・麺・ti・n・fρ・f・㎝（1・3）we h・v・ 五汚晦・吻・i・Theref・re・by・i・t…f1▽ぴ一▽ゴ乙ki＝°∵鳩get rρ砲一ρ」σた幽？「・」▽たρ￠一ρた▽ゴPiノ＝°・ ロ エ・−vecti…h・・w・・h♂・一♂㌔。戊…h倒e ’ 1
〔・．・）’Ek・1一ρ。・α・k、・’Y・ρ。・α▽、・ブY’・k・α▽。・、一・・ f・dn・hi・h・・』…α▽。・i 一一v・i，・b・i㎎・㎝・㎞・ti・…th・・w・・b・曲 ⋮＼MANIFOLDS OF QUAsI−GoNSTANT CURVATuRE I． 〔・・6〕 Vk・i一助り9丘已・kPi パー（Y∼一力／rY’ρ。・αノノ・ ．
Fr㎝ Pi＝YVi・we have ”
▽ゴ・ゲ悟・Y▽ソz 時二▽ゴ・ノ・ 「
SUbstituting （1．6〕 into the above equation， we have （1・7） 「1／Yり9ゴz≠KPe・Pz 一 Yゴ％・Y馳・’ T・an・vecti・g。ith vi， w。 9。t Y．．rヱ／Y’．雨2／v． 」 ∂ by…t…f ・’▽a、一・・Theref・re，・…〔…）…b…n 一
悟＝Y「gゴグ㍗）『 「Y＝z／wつ・
If w・put ・t ＝Yiv・th・n’P・Y・・nd y’・th・t i・・マi・a五m・i・n・f．v・［ll・i・ implies that vt@is a unit concircular vector field． MoreQver， ρzalso is ac・n・ircular vect・r fi・1d［1］三 一・ 「．．．
一、Example 3． A special para−Sasakian・manifold with a vanishing D−concirculaT：三i隠e監裟1、d・，弓：tf鑑R’・一’一’f・1d・ tt’…一’t
ひ ． タ ！1・8〕・ゴξτ．一・r−・万・♂ξち r・百。ξα・・一・・ノ・ ’ タ ロ元；謬Stご：：1』㌶rl：°芸：、皿lt＄：。：㍑ll、顯謡i霊1，；ll；］．
Recently， G． Chuman introduced the notion of a D−concircular curvature ・・n・・r ﾏ［・］・［・］・…y・P・・rfエ・・dぱi・g…nby・h・f・…w・…qu・・i・n 〔n≧3〕． ．蠕一R、j、．．h・｛R＋・・副・・、、δ膓一・躍砺力r ・1 、 ．一｛R＋n剛・・k、・ゴ・㌧」、・k・h・・k・、・！一・油為・／・・一力・ 2L If・・p…㍊一…h・n w・h・v・th・・c−tur・t・n…R、」、h…h・h・f・nn・f 〔0．1）． ． ． ．・ ． ・ N・x・・…h…P・。・・the eq皿…n・ぴ一▽ゴ㌔一・・…ヅ、一・。」、α一・・ we have ・ ． Rが＝｛R／「n一ヱ周9ゴジ｛R／（n−1愉・ゴ・i・ 、・ ・ 9798． ・ 「r． −AI）Art’ AND Y． WANG・．’ Therefore we get ．・ ． ． ． ▽． 、． 『 ・ 、． W戸凶ゴ司V／（・−2，一ε｛R／「・−1囲「−9銚・9ki・ゴ’2n左・ゴu・．・− T・・n・vecti・g・hi・wi・h，庇，w・ 9e・． ，．
（…） ⑭・b・・／・一一rξα▽。R幣⑭｛剛刷・ゴ・’．… ・．… 、
シ When η＞5， we have， tra喧vecting Wt．th ξ0．， ． ． ． ・ ．（i…）ca▽。・一・・｛R＋・（・一・）｝・ ・ ．∵， 一．∵．．
Therefbre， fr㎝（1．9〕we． get〔1・11〕▽ノ＝2ε｛R＋．n「η一1ノ｝・ゴ・．．＿t ・ ・lt ． ． ・
』炉3，丘㎝〔・・9）w・・ha・・ξa▽。無r・一・）｛・t・rn一ヱノ｝−2・rR・6∼・・h・ti・t・ say， （1．10〕 holds good．。。 霊，慧：隠1，鷲芸。盟；・。謬1漂㌃。竺慧三二lcel（，1；
・a・ue・・，・，＿，・−1・・ur・h・−e，鳩・・n…㎏耐・・飢・・。】・9Wぴ・ curvature tens。r， scalar四Wature翻the induced metric ’tens・rs・f”η二1 Te− ・p㏄・塒・．m・・in・・許・・’／・把・μ〆ω・、h・。h・ぽ・・［・］ −（・．・2） ・・蹴・、h｝。Wλ一脇 一』．．』‘．’
霞：繍：1㌶漂麺蒜認㌢f’バλ二
〔1．13）．、．． ．XrRt、n「nrヱパ ．．，・． ． ・1、』
ゴ ． If已6・・七・’by’ξt．・h・血i…皿・・f．〃。一、・・h・口㎝（…3〕w・・h・v・：．▽許 ・、t▽乞・・血・・i…ノ▽き・ゴ時α▽。・川ゴ・砲・・e▽、’r・he c・va・i飢t diffe「entia− ti・・舳re・pect・t・．9。、・』 sheref・・e・Kis c°応t紐t if掘゜㎡y if▽bR＝ fξα▽Q≧、，鷲鷲：。’i。1．こ、c°撚；蕊二1隠sg蒜：）’
as・血e』缶at仁i・a．．㎜if。1d bf・6誌t孤t cun・atu・σ・th・n（1・11）h・lds g°°d by virtue of K＝constant． Using（1．8）and〔1．11），．we can easily s㏄that ▽ぴ一▽海一゜・血ti・・M。 i・c・㎡。㎜11y flat・C°nsequent−ly・if K’iS ・・n・t紐t・th・n〃。 i・a㎜if・1d・f・暇i’c°nstant cu旭tu「e・ 、 「 If・≧4・th・n〃。 alw・y・・i・a㎜ifbld・f q峻i・c°nstant curvapa「e・MANIrOLDS OF（ IUASI 一 mSTANI’CURVATURE I．
§2・−c・
麗籔『i；監㌶隠二鷲『「∵ aω『e tens°「’s g’鴨n・by（『’1）
（2・・）〔・）°彫㌧＿．，．但）、．．．畢一▽・
ぬ・・e・ke・∼，．・・血・・e・1・s c㎝』・cti鵬⑰・．・㎝・…・ ＋Rgゴノ2「竺三2）（e−2）＼’「if b．・・−．鋼・…efO・ curvature．「「≧Therefore， thtough6ut the Paper； we．．aSS1血K…．カ≠0：㌦．・ Fr㎝（0．1），we have （2・2） ．RゴZ＝｛fη一1励｝9ゴ〆η一2／b・」・i・ （2・3）一・．．・．r’R＝「η一ヱリ伽チ2肪． ・ f・…whi・h・・g・t・5戸｛r・／2毎・蟻．｝．・ we（）btain（2・めf1／2ノ（鵠z三α海ノ“伍ぴ悟λ％蜘友ケマ；vル・鋤
where a♂＝▽．α ∂ ∂ Transvecting （2’； 5） Transvecting （2．6） Furthenrlore， （2．・7）． ・ ・・−Let1．Mカ．．be’．…−d迦・nsi・皿・・’、，． ・ 」舵＝o・ ．「 r． 五．． ＝ 一」？．．／r72−2ノ ． ♂t ♂多 th6h』〃ぺ1 is a m血ifold bf．・￡bhs‘tant η ， ’ ヒ ‘ T St日）stituting』t｝lis i’nt6 （2：1）．．∫〔ii）， ♂鱈．．ゴ㍗詐▽ソ∂r．．9・ ． 〔andQ．4〕竃ぎ監㌢〃1＝1・｛評』°・−’
．』E・一…ti・・i＋bk−・・声・▽函一砺・、一’・∴・．馳．． 』 ．‘ 1 r ’ ．． r （2．4〕with。i， w。ぬ。。 ’ ， ア 「1／2”α・〃ゴーｶチω・〃ゴ’bb・vkノ＋b（▽kVゴ▽ゴ・・λ＝9・、 ロ transveCti㎎with〆，We have． コ コ リ r・／・ノ．・k・hズr・〆／鋤ソ日ルた…∂▽み一・・一．、． 1．・．1、．／ From ．（2．5〕・and （2．7）， we get ひ （2・8〕 伍一2ノ・た一r・b▽〆：−aiめ・た二・． Ifα≠constant， then we have the eqUqt．ion of the following fbm ゆ〔2・9） ・にY・友．．． ．．r『ド・〆L．』・．』．一・・．「−
Thus wg have ． th…㎝2・・… t〃。カ・−nif・Zd．・極・・i−・…硫・励・tur，・．写・≠ ・c°η晦・ち砺・qi・・励．Vi．四P即P・硫泌z．・．．・，’．’．．．、．． C°n．s・qu・ntly・because・f（2・6）・w・g・t th・fb11・卿g eqU・ti㎝・、． 99．100 T．．ADATI AND Y．．VtANG ・ 〔2・10） ”・カた・ゴーカゴ・棚％〃ゴー㍗∂＝°・．二．・．・『』・． It is evident that the above e（IUation holds．．gg《迫fOr炉Const．．．Thereforg，．fr（N！｝
（2．4）鴨】have ． ’
（2・11） 「1／2”・砲一α」9ki）＋b（・ゴVk・i−・k▽」・Vi，＝°・・㎞1・、L・t．μ。加4㎜えμ4 gf但□r9ρ・・励・卿・蜘…』
％・ダ㍗嬬一゜ザ唖・・殉．if協・蝋伽・・「24のand （2・］力h‘lld・9°°d・ Fr㎝（2．7）and（2．9），we have ．・＿ ． ． お（2・・2）・力仁力〆・た・加♂▽ゴ・k・ ．・ ．’ 一
ウ ゲ ・・an・vectin・〔・…）・・血〃」，鳩』・…／・…、・τα古、脚k・i−・〆㍗・・一・・ ロ・・g・ect塊・0・ヂk f・㎝・〔2・・2）即d・he a』・鱒i㎝…°btaip ．
エ ロ ． （2・・3） ▽k・i−r・酬・／・）・〆9ki−r・〆／・・カ〆J・k・i…khi｝・ th・。・㎝・…L・t〃。カ・・／…ua・if・ta・f拠・一・…励一・de…1hen th・ θ（rμation r2・ヱ3／ hoZ〈Zs good・ ． 、 ・ ・． ． ． ．．F・r炉……r…3ノゐ・蜘θ8㍗〆捌←・〆脇・・瓦ひ．
．血。nご罪二調12’8蒜㌶’。・C二ご：el謬。1ご1；、，
α＝ const．． Thus we have Lα㎜2・Let〃。加・mpifqPd・輌・・i−・・η・励・卿・鋤・・Thenαis・…雄ザ唖・・Zy・if▽〆一・・ ． ．
血W斑Z。幼θθ卿伽（n−・，・〆一・カ▽〆heZd・θ・・d・．．．．・・ From （2．10），we get ’ ㎞・3・五・カ〃。b・・nua・if・Zd・f・qu・・i−・・ηs励力・拠卿゜・・th・η㌧is㌘欝：i：∵：㌫il二願
3 t 3 エ〔…4）一▽k・i−r・…ヱ・〆・・、〆、Vi・・ 、 ’
甑…≠・・ns…P・ttin・・一・…−1・〆・͡・・ ロ・、・一一…2・−1・〆・〆…−1｛・・、・〆・・ゴ・〆｝一一・・bF・一’yb、・…戸｛・k（・・ゴ・｝・」・ by・i・・…f〔2・9〕・If・・輿t・子▽ゾ・then・．is a麺cti°n°f v’・The「ef°「e・ P・tting▽ガr・Vk・鴨h・ve、 MANIFolJ叉3 0F QUAsI−coNsTANT cURvATuRE I． ． ■ ｛・鳴ル3−｛叩ゴ＋・・r・、ゴー・瓦ソ｝〃3−・Vk・ Thus w《…get マたρ＝β∂た ・ βbeing a fmction ofび ・ Consequently・ （2・14） shows that vt is a concircuユar vector field． ・f・・一商飢・一・三…血・nw・ha・・fr・m（…4）・・％一・…i・・血・ Ricci’s f・rnrul・…g・t㌔・。＝°・f・㎝曲i・h「・・肋砲一・批ノー°・ that is， α≠ゐ＝0． Thus we have lh・・ren・2・3・乙・叫力ρ・m・・！i f・ld bf qu・ピー・・n・励⑭・t・・e’．
繊曇遷：i㌘鰯i㌶》○議i；；’：ヱ蹴i㌢
●＝一α＝con8t．． ． ’ ln this・α8θ，分α≠・・nst． andわ≠・onst．，伽ηα．カand R a・・e fun・tions Oτび． 幽ユ・．五・tM。 b・a−ma・鋤zば・了・ru・・z−・9・・力鋤㎝…雄・・万・≠ ・・nst・andカゴ功♂％ゴ・・then慨isαs功ρ却ゴθo力加θspα・θ・ ・ C・r・11・ry 2・L・叫●・α m・nif・Zd・了quα・i一ω・・鋤・u17vatali・・n・漁・θ・…古・・♂鋤。？aZZ．Z i了⑳id。殉ザαand力砲c。η。t。。t．抗砺s
oαs￠3”nis ZoeaZZy synvnetnio・ §3．An S−manifold． ARi㎝amian manifold with a s）㎜etry condition 〔3・1〕 ▽m▽z㌔！一▽z▽語kゴ！ ・ ・ ＞ isとalled an S−manifbld｛10］． Ama皿ifold of constant curVature， a locally s）mmetric space and a recurrent space are S−lnanifolds． One of the present authors has proved the following theorems ［ユ1］． The・rem 3・1・Am・豹Z4・f・quα・i−・・n・tant・urvature t・αη，5−mantjeq Zd if α雇onZyザ Vk▽ゴ％＝▽b・VkVi・ The。rem 3・1’・A硫η鋤Z4・f quα・i−・・カ・tant cn・rvαtur，e i・・rnε一manifoZd if αnd onZyザα子b＝o． エnthis secti。・・W・dS・皿・th・・il。 i・a㎜if・・d・f q・i−c・ri・t・・it・u・va− ture and at the 5ame time an S−manifold． From工heorem 3．IT）we have tt − 〔3・1） 駄「・−2ノ・rぴ一・ゴ％ノ・ （3．2〕 ． R＝ （nニヱJ（n−2ノ（i ． Thus we have 101102 ．T’D ADATI AND Y． WANG ・ ： ’ ， ， The°「㎝3・2・Lθ亡．”・．．°θ，α頑興゜了卿sZ」°°ηs．鋤・・⑭α蜘θ・抽・i8 αηs−mani∫fo Zd． then ’F．ω拘睡゜°ηSカ：」』』㍗土「η一ヱノ「η一2）％．ゴィ2ノ’鋤匹一’・．≡…st”．「．、閲．
咋・…us・・f血・・τ㎝…紐・瓢日・略i㌧「舳ve．．∵ 、
（…）・・み一…“、−V」・・、1・『@・・一一一協戸躍・ 一．
冊・nα≠・・n・C・…．四t％rマ♂鋤s興i頂estigate the「ela麺゜f：〃孤d ρ． ．Pugtlng ρた〒▽たρ ， frqm 〔3．3）， we have ． ． 「 ． ． ・・▽b・b・ 一・、（ぴ一当一ρ｛r・、bゴノ％初〆・、％！｝ 「．． 一・晦一・㍗∂一ρ2｛・・、ゴーv、Vプ％≠〃〆・ki−Vk・Y｝・． ・・㎝輌h…b・・血・ρ㌔・・…プ・一・々一・by・▲・tue「・f・・h・・rem…飢・…ぷ灘芸二1・ll．克監：農e。1蕊・蕊tle。二：：鷲
and phe equatiQn〔3・3）b《e5．．・ r、 ． ．『『、，・1・
〔3・4）・ ▽ゴ％＝「g諺一馳ノ／ω子・ノ『・ 〔・＝c°nst・）・ 三．ド 陥enα＝c°nst・・f「㎝而e°「㎝2・3・we see▽ゴ㌢＝0・ Thus we l have ． ． ．一 ’ ・ ． 『 ”． ，，．1・． th・・r㎝3・3・鰯um・that M。 i・α manif・．Zd・f・μ・・i−e…カ・励゜卿α加㌘q．解 at th●sαvne力伽θαη5−manifoZd． ．ω碗・η尺≠・・呼．．物q…α…．？㌦α・・η・㌘・』・⑭輌・∂・α剛一，ing「3・4L ， 、 ・ ．、 ．， ・、．！， 、 ・．
r2珊・nR−・…t． r≠の， th・9・…・9〆．is pctr’・Z乙・Z・、， ． ． m・・rem 3・4・乙碗。ム・・manif・・ld・W・・ち・…励・u・・at・… 〃。 i・ z・・αZZy・…pmetni・分唖α・乙yザ』θ・・θぬ・？ vzτ・par・zz・z．、、ぷ1。、：c鑑。：1、1・麗1＝、二w蒜㌶言1：。’二蕊↓二1㌶．。．
［［he cg”y9・・e iρ・bvi・il・ by yi・t・・．・f th・・rem 2・3・、C・r・11ary 2・ A・recurrent space is a Riemamian manifold曲ich is、 not flat．and whoSe、． curvature tensor satisfies a relation of the fb㎝（…） ・編㌧、》・
油・re tZ i・an・n−zer・v・・t・r・By th・d・finiti…we㎞㎝th・tカZ i・9r・di・nt ［9］． From （3．5〕we have ■MANIrOLDS OF（IUASI−CONSTANT （；URVATURE I． 103 ’（3・6〕 ▽zRゴi ＝ ’zRu’i・ ▽z・一’tzR・ A㎜ifbld of constant curvature is mt a r㏄urrent space． Thus we have the fOllowing lhe°㎜3・5・4㎜・if・ld〃。・f・qua・i−e・n・㈱⑭・加・・・…カカ…・・ recurrθnt 角paoe・ 盈螂応S㎝e血t”。i・areC・π・nt・p㏄・・th・n・・inCe・a・reCUrre呼 サspace ls紐S−m飢ifold， we haveα酷0，fr㎝曲ich we haveα≠0， that is》1￥0． If R≠0・1』丘㎝（3・6）鴨9・t R≠．・。n・t．田rd・h・nce w・have〔3．4）by ． vi「血e°f肪e°「㎝3・3・U・in・（3・1）孤d（…）・鳩㎞㏄傷一・and v」▽、・ゴ、一・・ Therefbre ▽zr・汚∂＝o＝f▽〆畑ゴz初ゴ▽zRゴz＝rδτ」一・z〃」ノRjZ／ω・・ノ・ ， 路us鳩・bt・i・％＝°・岨i・・R… Thi・i・th・…nt・・di・ti㎝・ コ ロ ロ コ ロ ロ
