学習院中等科

The tabulation of prime knot

projections with their mirror images up to eight double points

学習院中等科 瀧村祐介

伊藤昇氏

(

)

Definition

k: knot in R³

p : R³ → R² ⊂ R² ∪ {∞} ≅ S² p(k) : knot projection of k

以後、P と表す

The Rolfsen Knot Table

http://katlas.org/wiki/Main_Page

Definition

chord diagram : 円周上に 2n 個の点を 2点ずつコードで結び ペアにして配置したもの 以後、chord diagram を CD と表す

Definition

knot projection P の交点の逆像をつなげると P の chord diagram CD_P が得られる

P CD _P

Definition

Definition

knot projection P を positive 化した knot diagram を P^pos と表す

Definition

arrow diagram : 円周上に 2n 個の点を

2点ずつ矢印付きコードで結び ペアにして配置したもの

以後、arrow diagram を AD と表す

Definition

knot projection P における P^pos に対応して AD_P が得られる

Proposition

P

P’

AD

AD

knot projection P

P’

arrow diagram

knot projection

Proposition

arrow diagram

knot projection

鏡像は矢印の向きが全て反転する

Proposition

鏡像と一致する 鏡像と一致しない

Theorem 1

(Ito-T., 2019, Topology Proc.)

球面上における

8

prime

knot projection

arrow diagram

鏡像と一致しないものを判定

knot diagram

flype

Fact

alternating knot

2

alternating knot diagram

有限回の

flype

Tait conjecture

(Menasco, Thistlethwaite

)

Fact

全ての

alternating knot diagram

knot table

knot diagram

フライプから得られる

Fact

全ての

alternating knot diagram

knot table

knot diagram

フライプから得られる

Fact

全ての

alternating knot diagram

knot table

knot diagram

フライプから得られる

knot projection

table

knot projection

flype

Table

Rolfsen

knot table

knot projection

table

Table

Rolfsen

knot table

knot projection

table

Table

Rolfsen

knot table

knot projection

table

考えられる

knot projection

flype

7

knot table

knot table

7

knot projection table

knot table

7

knot projection table

8

knot table

(alternating knot

)

knot table

8

knot projection table

Fact

任意の

knot projection

2

(2, 2) tangle

(2, 2) - tangle

link

一致する

or

鏡像になる

一致する

or

鏡像になる

片方の

flype

鏡像

6

flype

7交点の knot projection

T T U T

7交点の knot projection

T T U T

1 + 6 1 + 6

2 + 5 2 + 5

3 + 4 3 + 4

4 + 3

5 + 2

6 + 1

7交点の knot projection

T T U T

1 + 6 1 + 6

2 + 5 2 + 5

3 + 4 3 + 4

4 + 3

5 + 2

6 + 1

7交点の knot projection

T T U T

1 + 6 1 + 6

2 + 5 2 + 5

3 + 4 3 + 4

4 + 3

5 + 2

6 + 1

赤枠の

flype

8交点の knot projection

T T U T

8交点の knot projection

T T U T

1 + 7 1 + 7

2 + 6 2 + 6

3 + 5 3 + 5

4 + 4 4 + 4

5 + 3

6 + 2

7 + 1

8交点の knot projection

T T U T

1 + 7 1 + 7

2 + 6 2 + 6

3 + 5 3 + 5

4 + 4 4 + 4

5 + 3

6 + 2

7 + 1

8交点の knot projection

T T U T

1 + 7 1 + 7

2 + 6 2 + 6

3 + 5 3 + 5

4 + 4 4 + 4

5 + 3

6 + 2

7 + 1

赤枠の

flype

𝑈 ෢

3

𝑇 ෡

4

を考えればよい

𝑈 ෢

, ෢ 𝑈

flype

𝑇 ෢

, ෢ 𝑇

, ෢ 𝑇

flype

𝑇 ෢

flype

𝑇 ෢

flype 2

8

knot projection

table

෢ 𝑇

, ෢ 𝑇

flype

knot table

7

knot projection table

knot table

7

knot projection table

knot table

8

knot projection table

knot table

8

knot projection table

Theorem 1

(Ito-T., 2019, Topology Proc.)

球面上における

8

prime

knot projection

arrow diagram

鏡像と一致しないものを判定

鏡像と異なる

knot projection

Definition

𝐾_𝑛 : = 空間内における最小交点数が 𝑛 の knot の集合

|𝐾_𝑛| : = 空間内における最小交点数が 𝑛 の knot の集合の要素の数

Definition

𝐾_𝑛 : = 空間内における最小交点数が 𝑛 の knot の集合

|𝐾_𝑛| : = 空間内における最小交点数が 𝑛 の knot の集合の要素の数

𝑛 1 2 3 4 5 6 7 8 9

|𝐾_𝑛| 0 0 1 1 2 3 7 21 49

Definition

𝐾_𝑛 : = 空間内における最小交点数が 𝑛 の knot の集合

|𝐾_𝑛| : = 空間内における最小交点数が 𝑛 の knot の集合の要素の数

𝑛 1 2 3 4 5 6 7 8 9

|𝐾_𝑛| 0 0 1 1 2 3 7 21 49

鏡像を同一視

Definition

𝑛 1 2 3 4 5 6 7 8 9

|𝐾_𝑛| 0 0 1 1 2 3 7 21 49

Famous conjecture

𝑛 1 2 3 4 5 6 7 8 9

|𝐾_𝑛| 0 0 1 1 2 3 7 21 49

Famous conjecture

𝑛 ≥ 4

𝐾

< |𝐾

|

𝑛 1 2 3 4 5 6 7 8 9

|𝐾_𝑛| 0 0 1 1 2 3 7 21 49

Famous conjecture

𝑛 ≥ 4

𝐾

< |𝐾

|

𝐾

Definition

𝑃_𝑛 : = 球面上における交点数が 𝑛 の knot projection の集合

|𝑃_𝑛| : = 球面上における交点数が 𝑛 の

knot projection の集合の要素の数

Definition

𝑃_𝑛 : = 球面上における交点数が 𝑛 の knot projection の集合

|𝑃_𝑛| : = 球面上における交点数が 𝑛 の

knot projection の集合の要素の数

𝑛 1 2 3 4 5 6 7 8 9

|𝑃_𝑛| 1 0 1 1 2 3 10 27 ?

Definition

𝑃_𝑛 : = 球面上における交点数が 𝑛 の knot projection の集合

|𝑃_𝑛| : = 球面上における交点数が 𝑛 の

knot projection の集合の要素の数

𝑛 1 2 3 4 5 6 7 8 9

|𝑃_𝑛| 1 0 1 1 2 3 10 27 ?

鏡像を同一視

Definition

𝑛 1 2 3 4 5 6 7 8 9

|𝑃_𝑛| 1 0 1 1 2 3 10 27 ?

Question

𝑛 1 2 3 4 5 6 7 8 9

|𝑃_𝑛| 1 0 1 1 2 3 10 27 ?

Question

𝑛 ≥ 4

𝑃

< |𝑃

|

𝑛 1 2 3 4 5 6 7 8 9

|𝑃_𝑛| 1 0 1 1 2 3 10 27 ?

Question

𝑛 ≥ 4

𝑃

< |𝑃

|

𝑃

Question

𝑛 1 2 3 4 5 6 7 8 9

|𝐾_𝑛| 0 0 1 1 2 3 7 21 49

|𝑃_𝑛| 1 0 1 1 2 3 10 27 ?

Question

𝑛 1 2 3 4 5 6 7 8 9

|𝐾_𝑛| 0 0 1 1 2 3 7 21 49

|𝑃_𝑛| 1 0 1 1 2 3 10 27 ?

Question

𝑛 ≥ 2

𝐾

≤ |𝑃

|

今回の結果

N. Ito and Y. Takimura,

The tabulation of prime knot projections with their mirror images up to eight double points,

Topology Proc. 53 (2019), 177--199.

報告集

・交点数

・Seifert circle

・canonical genus

・average invariant

・circle number

・trivializing number

・既約度

・cross chord

・H chord

・triple chord

・λ

Thank you for listening