ON THE MINIMAL COLORING NUMBER OF A MINIMAL DIAGRAM FOR TORUS LINKS

(1)

ON THE MINIMAL COLORING NUMBER OF A MINIMAL DIAGRAM FOR TORUS LINKS

松土恵理（日本大学大学院総合基礎科学研究科）

市原一裕氏（日本大学文理学部），石川克氏（京都大学数理科学研究所）との共同研究

本稿では，Z

-彩色可能なトーラス絡み目の最小図式における最小彩色数についての結果を報告する.

1.

導入

最も有名な結び目不変量の１つに

1961

年

R.Fox

が導入した

Fox n

彩色（または

n

彩色）がある

[1].

本研究で扱う

Z

彩色は

Fox n

彩色を拡張したものである.

以下

L

を絡み目，Dを

L

の正則射影図式とする.

写像

C : { arcs of D } → Z

が,

D

の任意の交点において上側を通る弧を

a，下側を通る弧を b, c

とした時，2γ(a) =

γ(b) + γ(c)

を常に満たすとする. この時

γ

を

D

の

Z

彩色と呼ぶ．また全ての弧に対応する値が等しい

Z

彩色を自

明な

Z

彩色という．非自明な

Z

彩色を許容する図式

D

が存在する時，絡み目

L

を

Z

彩色可能な絡み目という．

以下

Z

彩色

γ

の

Im(γ)

の集合の位数，即ち

Z

彩色された図式

D

に現れる色数に着目する.

定義

1.1. L

を

Z -

彩色可能絡み目とする．

L

の図式

D

に対し，

mincol

_Z

(D):= min { #Im(γ) | γ : D

上の非自明な

Z -

彩色

}

を

D

の最小彩色数という．また

mincol

_Z

(L) := min { mincol

_Z

(D) | D : L

の図式

}

を

L

の最小彩色数という．

2.

先行結果

定義

2.1. γ

を非自明な

Z -

彩色とし，非分離な

Z -

彩色可能絡み目の図式

D

が

γ

を許容するとする．

D

上の各交点において，上弧と下弧の色の差が

d

または

0

となるような

d

が存在するとき，

γ

を単純

Z -

彩色という．

定理

2.2 (Ichihara-M., JKTR, 2017，[4]). L

を非分離な

Z -彩色可能絡み目とする．L

が単純

Z -彩色を許容する図

式を持つとき，mincol_Z

(L) = 4

である．

定理

2.3 (M., to apper JKTR, Zhang-Jin-Deng，[6]).

任意の

Z -彩色可能絡み目は単純 Z -彩色を許容する図式を

持つ．

系

2.4. Z -彩色可能絡み目 L

に対して，Lが分離可能ならば

mincol

_Z

(L) = 2，L

が非分離ならば

mincol

_Z

(L) = 4

である．

Outline of the proof.

ここでは証明の鍵となる変形を１つ挙げておく．

(2)

□

ここで得られる単純

Z -彩色を許容する図式はしばしば複雑なものとなる．そこで最小図式における最小彩色数

について着目することで，次の結果が得られた．

定理

2.5 (Ichihara-M.,

日本大学文理学部自然科学研究所「研究紀要」

, 2018

，

[?]). (1) 2

以上の偶数

n

に対して

,

プレッツェル絡み目

P(n, − n, · · · , n, − n)

にはある最小図式

D

_mが存在して，

mincol

_Z

(D

_m

) = n + 2

を満たす.

(2) 2

以上の自然数

n

に対して,プレッツェル絡み目

P( − n, n + 1, n(n + 1))

D

mincol

_Z

(D

_m

) = n

²

+ n + 3

を満たす．

(3) 2

以上の偶数

n，0

でない整数

p

に対して，トーラス絡み目

T (pn, n)

D

mincol

_Z

(D

_m

) = 4

を満たす.

3.

主結果今回の主結果は定理

2.5-[3]

を一般化したものである．

定理

3.1 (Ichihara-Ishikawa-M., In progress). 0

でない整数

p, q, r

が

| p | ≥ q ≥ 1

かつ

r ≥ 2

を満たすとする．prまたは

qr

が偶数であるとき，トーラス絡み目

T (pr, qr)

には最小図式

D

mが存在して，

r

が偶数ならば

mincol

_Z

(L) = 4，

r

が記数ならば

mincol

_Z

(L) = “5”

を満たす．

注意

3.2.

トーラス絡み目

T (pr, qr)

が

Z -

彩色可能であるための必要十分条件は

pr

または

qr

が偶数であることである

.

Proof.

本稿では

r

が偶数である場合について述べる．

D

を

T (pr, qr)

の図

3

で表される図式とする．またこの図式は最小図式であることが知られている．

まず

qr

本の平行な弧を，図

1

のように

r

本ずつの組

x

1

, . . . , x

qに分割する．

(3)

Figure 1. x

1

, . . . , x

qへの分割

ここで部分的な

Z -彩色 γ

見つけていく. まず任意の

i

に対して

γ(x

i

) = (γ(x

i,1

), γ(x

i,2

), . . . , γ(x

i,r

)) = (1, 0, . . . , 0, 1)

と色を固定する．

Figure 2. γ(x

i

) = (γ(x

i,1

), γ(x

i,2

), . . . , γ(x

i,r

))

図

2

における領域

(1)，(q + 1)

について，γは図

3

のように拡張ができる．

Figure 3.

領域

(1)，(q + 1)

に対する彩色

(4)

図

2

における領域

(2), (3), · · · , (q)

について，γは図

4

のように拡張ができる．

Figure 4.

領域

(2), (3), . . . , (q)

に対する彩色ここで

γ

は図

3

のように全ての弧に対して拡張ができる．

ここで

D

はこの図式を

p

枚接続して構成されている．つまり

D

は

0, 1, 2，3

の

4

色のみの

Z -彩色を許容する．

□

References

[1] R. H. Fox, A quick trip through knot theory, inTopology of 3-manifolds and related topics (Proc. The Univ. of Georgia Institute, 1961), 120–167, Prentice Hall, Englewood Cliﬀs, NJ.

[2] J. Ge, X. Jin, L.H. Kauﬀman, P. Lopes, and L. Zhang, Minimal suﬃcient sets of colors and minimum number of colors, J. Knot Theory Ramifications26(2017), no. 9, 1743008, 16 pp.

[3] K. Ichihara and E. Matsudo, Minimal coloring number for Z-colorable links, J. Knot Theory Ramifications26(2017), no. 4, 1750018, 23 pp.

[4] K. Ichihara and E. Matsudo, Minimal coloring number on minimal diagrams forZ-colorable links, Proc. Inst. Nat. Sci., Nihon Univ.53(2018), 231-237.

[5] E. Matsudo, Minimal coloring number forZ-colorable links II, to apper in J. Knot Theory Ramifications, arXiv:1705.07567v3.

[6] E. Matsudo, On the minimal coloring number of even-parallels of links, to apper in Proc. Inst. Nat. Sci., Nihon Univ.

Graduate School of Integrated Basic Sciences, Nihon University, 3-25-40 Sakurajosui, Setagaya-ku, Tokyo 156-8550, Japan

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