ASirnple Procedure for the Accurate Determination of  Stress Iτ1tensity Factors by Finite Element Method

有限要素法による応力拡大係数の簡便決定法

（昭和50年5月21日 原稿受理）

機械工学教室  村   上   敬   宜

ASirnple Procedure for the Accurate Determination of  Stress Iτ1tensity Factors by Finite Element Method

by Yukitaka MURAKAMI

  Asimple procedure 「or the accumte deter皿ina廿on of stress intensity factorsκ1， K by the conventiona1伍nite elemeロt mEthod is proposed， The 丘rst step of the metbod is the calcu−

1ati｛1ロ of thE stress r￡ of th〔≧plate without a crack．  The second step is tlle calculation of the stressσtlp or the plate with the cmck． TIle value o「（σtlp−r宮） at the cmo1｛tip element is regarded to have the intimate relation withκ1，κll．κI andκ11 gre determined「rom the vallle of（rtiローr』r）and the s亡andard solution． It is shown that ihe res1⊥lts obtain｛ヨd for many problems by the proposed method are in excellent coincidence with the an analytical solutions・ The error is below 1〜3％for most oases．

       では，特別な要素を用いず，しかも少い節点数で精度の  1・緒   言       良い応力拡大係数を簡単に計算する方法を提案する。本  破壇の問題と関辿して種々の形状，境界条件における   研究の方法によれば，現在．大学や企業などで、ごく晋 応力拡大係数が計算されているが，解析的手法によって   通に用いられているプログラムをそのまま使用すること 求められた解は，形状や境界条件が比較的簡単な場合に   によって応力拡大係数K1， KI1を精度よく簡単に決定す 対するものが多い。有阻要素法（FEM）は，形状．：境   ることができる。

界条件などの変僻対して柔軟性を持・ているが・繊

@2これまでの研究

先端のように応力分布に特異性が生ずる問題には向いて

いないため，高精度の値を得るためには特別の工夫が必    有限要素法で応力惇大係数を汁算したこれまでの研究 要とされると考えられてきた。精度がよくても特殊の工   のおもなものとそれらの特徴を簡略にまとめると表1の 夫が必要ととされる方法は解析的手法と同じく利用に際   ようになる。これらは晋通の要素（以下．普通要素とい

して抵抗がある。このような困錐をさけるため，本研究   う）を用いる方法とき裂先端近傍だけ特別な要素（以

表1 有限要累法による応力拡大係数の計算法

謬｝  普通要崇を川い・方法 特異．要緊を用いる方法 1き裂先端付近の解の利川

1 ^{エネルギ法1}

^{舗撫の応力} 変位関数にき裂先端近笛の特

ﾙ性を考慮

一．．一一一

解法

    …（a）変位

@（1），（2），

i3）（22），

i23）

．（b）応力

@（1）、（2），

i22）

霧J

i2）

    、

ie）コン vライ丁塔X法

i7）

       凸

@      」

if）割1｛斤解との］民（9）］敦fl［〔

ﾋ合せを利川  芦験式       L

i8），（9），（匡o），

i日）．（12），（21）

 ユ

i13），

i14）

（h）き裂先端の節

̲をいくつかの特

ﾙ要素が共有1（15），（1B），（］9），

i20）．（25）

（i）き裂先端が1 ﾂの特異要素の中 ﾉ含まれる

i15），（互6），（17），

i19）．（20），（2D

特徴

       一

P｜」解の収束性，精

xに疑問

（a），

ib）より ｸ良が良

｢．」κ1，

ﾈIIの分

｣ができ

ﾈい．

（a），（b）より精 閨mが良い．応力拡 蛹W数が急激にi吏 ｻしない場告1こ適 ｷる．κ1，κllの ｪ離ができない．

解析的手法に近い

?e破力哩める，

竭閧ｲとに工夫が K要．

方法が11直 P．

K川範

_ﾍ，精度

ｪ不明確

特異要素の大きさ ﾁ異要崇と普通要 ﾑの境界の変位の K合条件，特異要 fの激が精度に膨

ｱ．

（h）より‡1 」度が落

ｿる．

ｼは（h）と同楳．

下，特異要素という）を用いる方法の2つに大別され    変位関数として式臼）を用いる普通要素にょる方法 る。       では，き裂先端要素の応力とひずみは，要素内で一定で  2．1普通要素を用いる方法       あり，き裂先端近傍に特有な応力あるいは変位分布は得  普通要素を用いる方法では，2次元問題の場合，要素   られない。そこで，き裂先端に接する要素に対しては，

内の変位を表わす変位関数としてよく知られた次式を用  変位関数として式（1）の代わりに，き裂先端近傍の変 いる。       位の特異性をとり入れた式を採用する方法が提案されて

に織駕  ｝（i）遇：1°き誌㌶麟翼蕊ら㌶

 この方法には，変位法，応力法，J超分法，エネルギ   まることになる。これらの方法の中には・き裂先端の特 法，解析解との重ね合せ法，および数値実験式を用いる   異要素とそれをとり囲む普通要業との境界の変位の適合 方法などがある・帥。変位法および応力法は，き裂先端近   条件が完全には満されない場合もあるので利用にあたっ 傍の変位または応力の分布をき裂先端からの距離ととも   ては注意が必要である。一般に 普通要素を用いる方法

に対数グラフ上にプロットして特異項を取出す方法であ   より精度がよいとされているが・精度は特異要素の大き る。」積分法は，J積分仙と応力拡大係数との関係式を   さと数に影響されるようである1帥2°㌔

利用する方法である。エネルギ法は，長さのわずかに異

なる2種のき裂について計算を行ない，ひずみエネルギ   a 有限要素法（FFM）による応力拡大係数の簡便 解放率を求めて応力拡大係数を決定する。コンプラィァ     決定法

ンス法も同様な計P〔を行ないバネ定数の変化とエネルギ   FEMによって応力拡大係数を決定する場合，ζれま 解放率を結びつける方法であるが内容的にはエネルギ法   での簡単な方法では高精度の値を望めず，高精度の解を

と同じである。      f9る特殊な方法では，それぞれの方法に応じた特別の工  変位法，応力法で精度を上げるためには，分割を細か   夫が必要で，容易には利用し難いように思われる。応力

くすることが考えられるが．分割を細かくしても正解へ   拡大係数の計算に FEMを利用する限りこのような甦 の収束には疑問がある1帥。また，J租分法，エネルギ法   点は避けられないかのように思われるが，木論文では は応力分布が平坦な場合には，変位法，応力法より粗い   FEMの長所を失うことなく簡単に実用上十分な精度の 分割で同程度の精度をあげることができるが、Mode  応力拡大係数を決定する方法を提案する。

1（RI）とMode II（κ11）の応力拡大係数の分離ができ   応力集中は，もともと局所的な応力の解放が原因とな ないところが欠点である4〕5｝鋼㌔      って起こるものである乏㌔切欠きにおけるいわゆる応力  山本ら5）が提案した解析解との亜ね合せによる解法1ま，  楽中係数αは，切欠きがない場合に切欠き先端となる 適当な解析解を選べぱ，解析的手法と同程度の高精度の   位置にもともと存在する応力臼と切欠き部の応力部放 値を得ることができ，有限要素法による方法の中でも最   によって新たに加わる応力σ。との和（砺十σ ）がもと も強力な方法の1つと考えられる。山本らは，種々の解   の応力σ、の何倍になるかを意味するものである（σ＝1 析解との比較によってその有効性を示しており，2次元   十砺ノ砺）。

問題だけでなく3次元問題への応用もなされている。し    き裂における応力集中は，応力拡大係数によって表現 かしながら，この方法は問題が変わるたびにその問題に   されるが，き裂の場合には，き裂が存在しなかったと 適した解析解を選んで解折しなければならないので，具   き，もともと存在していた応力rε（成分：σ■σ訂 体的に数値を得るためには他の方法とは別の工夫が必要   τ脚）は，き裂を作る巴とによって生ずるき裂先端の応 になる。       力に比べると極めて小さいので無視される。解析的手法  宮田ら13］が提案している数値実験式による方法は，   にょって応力拡大係数を計算する場合には，■ の大き

FEMによる告裂先端要素の応力と，解折的なき裂先端   さは，計算される応力拡大係数の精度には影響を及ぼさ 近傍応力分布の要素に相当する領域での面積平均との対   ない。しかしながら，FEMによって応力拡大係数を計 応から数値実験式を作り応力拡大係数を決定する方法で   算する場合には，き裂先端要素の応力σU。（成分：σIlpx，

ある。多くの解析解との比較検討はまだなされていない   σ巾，，τ pr，）に，き裂が存在しないと仮定したときの が，著者が宮田らの式で計算した結果では解析解と良い   応力r。が含まれるので，rUPをもとにして応力拡大係 一致を示す場合とそうがない場合があるようである。    数を求めようとする瞭に，σU。とr、の大きさの割合  2L2 特異要素を用いる方法      が，決定きれる応力拡大係数の精度に影響してくること

になる。すなわちσ・bの申でrこの占める割合が大きい       ゴr        べ

とき（たとえぱ分副醐いとき）にiま廊をもとにし   ／／ 

^・ _E、

て応力拡大係数を精度よく決定することは困難になる。      ・ゴ       ＼、

       へ

述三1蕊麟顯竺麟1ナ：鑑黙 i l ＼

る形状について，境界条件を同じにして，き裂が存在し ないと仮定したときの計算を行ない，き裂先端となるべ き要素の応力叫を求める。次に，き裂が存在する場合 の計算を行ない，き裂先端要素の応力r【lpを求める。

・れらの計縮果から，（・・一σ∂なる蹴麟拡大  i  ｛   ！

係数と関係をもつと考える。このように考えることが合      1      1

       コ      ド

璽㌶：二il㌶霊霊：蒜：；㌶竃   L＼一＼＿一一…一一∋

解できよう．（r＿r。）と応加大係数と醐係は，  図2き綱囲の繋側工F 己

＼／込／＼ ミ］  1

／−P／1＼レ采／L ！

＼ ^{T凶．ざ図＼］  ！}

／当血∠］ 1

竺が求まつている臓FEN1で鰍 て調べればよ 醇一（σUPジ…σエyF（且）・σo）   （3）

 この章では，まず1ζ1の決定法について述べるが，こ   を用いると，拘が同じ他の問題で新たに計算された の場合には・中央にき裂を有する帯板（図1（a））を利   σt ，，咋の組について垢は，

用する。図1（a）は，図1（b）と（c）の亜ね合せと等

価である力壮で述べたように，図・（。）をFEM瑠  κ1害σtlp詰σ 11偏    （4）

けぱ図1（b）における一様引張応力臼が・き裂先端   によって計算できることになる。ζこで，σ即、と咋1の 要素の応力に含まれ・κ1に無関係な量として入ってく  添字は，・U。とrオの成分の中でMode Iの開口方向 る。すなわち・この場合には，砺y＝σ・である。      の垂直応力を意味する。

     エ           図ユ（a）の問題を種々の分割（付図1，2，3，5）で

   ！ ］ † f ト     ！ ↑ 1 1 ．

表2 図1（a）のき裂先端要素の応力σ，lp1    とr、の値

十 ：       i    l    l

TF

1 」 l l 5      1 ↓ l i 6   工      成

  ■）      ｛」1       ，

  図1 中央にき裂を有する帯板         3，0  図1（a）の問題を，種々のき裂長きcとき裂先端要

素の大きさ∫の比泊（図2）およびき裂長さ2 と板 臨2ぽとの比』について解き（σtb，Hσピy）を求める。

一方，Isida271によれば，図1（a）の場合（L／lr＝co）

のκ1は，      2．75

  κ1＝F（λ）・σo〆託      （2）

と表わされ，、F（λ）は詳しく求められている。したがつ て・種々の泊の値に対して（σtlP，・一σ夏，）とF（λ痴両

との比を求めておけば，他の任意の問題におけるRIの    ユ0 近似値をこの比の値から決定することができる。すなわ

ち，

：iλiF・予7

0．5

0．25 0．03蝸8 0．03261 0．03061 0．02B85 0．02727 0．025B6 0．02459 0．02344 0．02239 O．125

0．1

0．08333 0，07143 0．0625

0．2

0．1429 0．1111 0，0909 0．0769 0．0667 0．0588

0．2 0．4

0．43 0．46 0．49 0．52 0．55 0．58

0．61 0．64 0．67

1．02459

1．1093ア

1．12941 1．15199 1．17746 1．20622 1．23879 1．27579 1。31802 1．36653

］．42264 0、4  11．10∈｝37

1二：ほ撒l

l：；｝｝：；翌；6

O．20B3 0．2917 0．375 0．4583 0．5417 0．625 0．7083

1．02675 1．05436 1．09441 1．15064 1．22936 1，34142

σtl1P

σo

1．6377 2．4068 6，5470 6，8653 7．2178 7．6175

8．04ユ5 畠、4582

8．9523 9．4839 10．04B

3．4107 4．0394 4．8273 5．8693 7．5033 2，509 3．023 3．542 4，104 4．740 5，506

il・50825在520

σ

0．6224 1．26B1 4．9114 5．0145 5．2807 5．4861

5．6日42

5．8459 6．0335

6、20日4

6．3600 2．1730

25613

2．9366 3．2720 3．5811

1．470

1，919 2．323 2，698 3，042 3、359 3，660

表3 両側にき裂を有する帯板のFl

   X声恥偏・蹄（図4）

ド

●

0」

       0．2917

°。       0．375        0．43        G．4583

図3 r．，τ．と輪の関係

0．49 0．52

0．5417

055

い：言1｛㍑

  1．11      1．】3

，        1     ・

    1

0．61 0．64

O．7083

1

1．12 1．13 1．13 1，15 1．17 1．18

120

1．22 1．25 1．25 1．29 1．33

L36

  1．14   1，15   1，15   1．16   1．18   1．19   L．20

i L22

1  1．25   1．26   1．28   1．31   1．37

1．13 1．12 L13

］．14 1．15 1．15 1．16 1．17 1．18 1．19 1．21 互，23 1．25 1．26 1．30 1，35

      ずコ 解いた結果から，σ，と為の関係を図3と表2に示す。       ｝lllt これらの図と表からわかるように，叫の値は，大き拘

い（粗い分割）に対して小さく，小さいXo〔細分割）

き巖：蕊舞なことは 」の値にほとん   、」

 図3における1nστを最小2乗法によって1nエoの 2次式で近似することによって西と泊の関係は次式 で表わされる。

  兵＝0．3033エo「一口2H・°已54F庸o）       （5）       ｝lli｝

       σ，

 式（4）と（5）を利用すれば，普通要素を用いる         図4

      ．    例についても同様）。

は，κ！の場合と同様であるが，1rlについての計算例を

       4．2片側き裂を有する帯板（図5，分割は付図1．

検討した後に述べることにする。

なお・上述の方竺を適用する場舗き裂周辺の要 片伍、」㌫をもつ帯板力、引張りを受ける齢のハを

ぎま遮㌶き㍑慧：㌻：㌶酬脚伊・の解とともに図6嚇この場合

Bの平均をとる。      1自 ．       ． 4 計  算  例

 4．1両側き裂を有する帯板（図4，要素分割，付図    1，5）

 両側にき裂を有する帯板が引張りを受ける場合の無次 元化応力拡大係数ア1を表3に示す。比較のためNisi−

ta皿i㈱とBowie29，の解も合せて示している。 FEMに よる苗は，L／1イ！＝2・Uと3・0のものが混じうているが，

NisitaniとBowieの解によく一致している。これら       ↓L｝

のF、の計算のもとになったき裂先端要素の応力σUplと      図 5

60

弓

59

4」o

30

2．0

      0       6。      （y．

F＝ K・       1↑↑↑↑  ↑↑↑_{エ 〔㌔石㌃}

       d

  ＾〔島        「

      よ

  ↓6。   勇

       J L／W／α r． 4ハc

      ベオロ

      ，，  一品在 ，oq

9

  ∂ …B。Wle刑11・53

 ，        o FEM   ． 3．0

，         

● FEM  ，2．0

一W v−W−』W

→

 1．0   0       0．5      0．8        λ

       図6 片側き裂のIP」

      ↓ ↓ ↓ ↓ ↓     l l ↓

も実用的に粉な糎である。       碗    砥

 4，3切欠き底から発生したき裂の応力拡大係数（図         図 8         図 9    7・8・9要素分割は付図6）       ない，き裂先端となるべき位置での要素の応力内1を求  図7，8および9のように，円孔または，半円切欠き  める。ζれらの問題では，4．1（図4），42（図5）節 の底から発生したき裂に対する応力拡大係数を3章で提   の問題とはちがって，σ引は，一様引張応力σoとは異 案した方法で求める場合には，まず，き裂が存在せず，   なることに注意しなければならない。σπ1を求める計算 円孔または切欠きだけを有する帯板についての計算を行   を行なった後，き裂が存在する場合の計算を行ない，き        裂先端要素の応力σtl国を求める。σ冨1とσt川が求ま

      己        ると式（・）1（5）齪って斑、拡大職が瀧される。

↑↑い†     計算結果を，比較の意味で円子Lまた醐欠きがない場

             合の問題（図1，4，5）と合せて表4にまとめて示す。

，       表4 円孔または半円切欠きの底から発生したき裂のF1．

       一」       Fエ ＝・Kエノσ」 〒［〔ロ＋c〕

   1

   1  。．、5

｝ 1 ↓ ↓ 1

     正              図 7

｛q）  （b）

（c）   ｛d｝

｛e）  ω

    ●      ●

b

．      ● 1      唱

」 一   〈〉

c

d守c

一q

^{λ＝    W}

十      ． ■       奉 ．       ■

0，075 ^0．」13

1ユ3㈹0．98

1．12  0．82 2．33  L83

0．15 ^0．」16 1．15  1．25

L13  LO4

^{2．56  2．卯}

0，225

^o，119

ユ山8  1．36 ユ．15  1ユ2 2．81  2．86

0．3 0．52

121  1コ13 ^{］．17  1．］7 3．11  3．2コ}

o，375

0．55

コ．2」1  1」7 Lコ0   1．19 ヨ．36  3、60

o，h5 0．58

L28  1，51

1．コ2   1．22

3．B5  11．01 0，525

^0．6ユ

L32  1．56 1．25  L25 h．33  h．llg

0．6 0．6均

ユ．37  L62

L三9  128

^{h、90  5．06}

o，675

0．67

1．1｛2  1．6B 1．33  L32 ^{5．7了  5、76}

 この結果によれば，図8と図9の問題では，き裂が切   αは，σoを基準にしたときの円孔または半円切欠きの

欠き半径・の糸峰以上になればほ才・ぞ姻4と図 応力到沖係数で・図9に対してはFEMで計算し醐

5の場合の鵡とほぼ同じになり等価き裂の考え方が許   欠き底要素の応力で定義した。なお，図7．8の場合の される。しかしながら，図7の問題では，毅4（a）と  αをFEMで決定したものは，それぞれα＝3・711，

（b）の比較からわかるように，必ずしも等価き裂の考   3・107となる。

え方は許されない。Nowman321， Fuhringコユ）の研究で

も孔径が大きい場合には同様な傾向が得られている。      1．o

郵図8の簡題におけるKI／σ・疏の値   ピ

÷1・聯甘上｜恕罐

O，075

0．15

0．225

0．3

0．375 0．45 0．525

0．6

0．675

0．43    ：   3．11        3．］6

0．46    1   2．88        2．87       05 0．49   1   2．61       263

0．52       2，42        2、44 0．55        2．29         2．29 0．5B   1   218        2L 18

0．61     2．13      2．12

0．64   1   2．09    、    2．07

α・・1ユ。・1ユ・6

       O         O5  c／d     ID  表5は，表4（d）のFIの値を別の形の無次元化応力

拡大係数κ1ノ。。西で表わし，Y。＿。・。1・らの結果     図11

霧き竃；㌶議ξi l［阜1㌔

者の計算値は，き裂部分をわずか2分割（x。＝0・5，付 表1参照）で計算したものであることを考慮すれば，3 章で述べた方法が簡単であるにもかかわらず精度の高い 方法であることがわかる。

 図10、11および12は， →0のとき1．0になるよ うに定義した無次元化応力拡大係数の訂αに対する変 化の様子を示すものである。いつれの場合も，計算値 は，c／ロ→0のとき自然に1・0に近ずいている。なお，

1、0

5

05

゜＼＼ ・…芸㌻

    ㌔

      ㌔つ、o→＿o

    ノノ

』＿』≠

／

日

o       立5 c／瓠   1・o 図 12

      4．4集中荷重をうける円板（図13，要素分割は付図

屯         4）

      図13のように，き裂を含む直径の両端に集中荷班を          受ける問皿も，まず，き裂が存在しない円板の計算を行 o       α5  口    口     なってき裂先端となるべき位置の要素の応力σ田を求め        図 10      ておく。次に，き裂を有する円板の計算を行ないσ山

を求める・σUplとら1とからκ1を求める手順は、4．1      ，一一一一一一一一＿一一「

      へ〜4．3節の問題と全く同様である。計算結果をIsida35）        ／        ＼

の解とともに表6に示す・FEMによる値は1・id・の   ／    ＼、

解と齢てよく一致している・本研究の手麟・このよ  ／   ・ ＼

うな特殊な問題においても特別な工夫を必要とせず，し     ／        4         ＼       《

かも精度がよいことがわかる。       、、      ∫        、       b  θ        J

       、、       ●  苦  1

      P       ・     N     ノ

      

      、      

      、      

       、              Lr＿＿＿一一＿＿＿＿＿一一＿＿一＿＿⇔」

       図 14

の解からτ，を拘（ニ∬Zのの関数として決定する。その 結果を表7に示す。衷7の値を対数グラフ上にプロット すると図3の●印のようになる。

表7 τ、の 値

P       」＿

       c図 13       9：ll、，

表6x ̀値（図13）     1：｛・5

π

τ

O．467 0．738 0．995 1．213

・ i FEM

0．2 0．3 0．4 0．5 0．6 0．7 0．8

LO6

1．13 1．24 1．38 1．58 1．84 2．21

1

Isida砲      さて・図14において，応力成分が伝、王）座標系で 1．06      得られている場合には，κ1，κ11の決定のために，（x ， L14     ヅ）座標系に変換する必要がある。

1．24

i：1；  砺・一÷（・．＋・，）

』：；i

      ＋÷（・・一ら）…2θ＋・。，・i・2・

輻5f二1よ，璽隠㌶‡㍗｛翼 与一；（σエ十ら）

   割は付図7・8）       1      ．

M・d・1とM・d・IIの応力拡焔数が混在する船   一丁（σ・一ら）c°s 2θ一…sm 2θ には き裂先鞭素A．B（図14）のせん断応力・．・．    1  ．

は。とはならず，蹄で述べたκ1の決定の齢1、κ11 恒＝−7（ら一ら）sm2θ＋・ c°s2θ を決定するζとが遜になる・     次に，。11。1，。。1を次式で求める。

 κ1については，ら，Aとら，Bの仙から3章で述べた

劉㍍慧㍗畿言；；㌫：㌶  砺回＝÷（輪＋輌・…§ぎ霊劣

≧㌶漂蕊：必㌶㌫；㌃ 吟鰍一・聾瓢

（6）

（7）

が解肝的手法で計算されているFreeseの解剛を利用す   式（7）と式（めからκ1が決定される。また，

る。†なわち．図15において，θ＝45。，c／1γ＝0，5，   τUP．，∫．とτ星x．y，を次式で求める。

一一吹x古《…翼鶴

      き裂が存

・尉。一

吹iτ．・， A十τ．・プB）ビ・奮≧蒜

     による，より精密な解が有限板の問題について得られれ      ば，モれを利用してσ，についての式（5）と同様な式

（8）    を作る必要があろう。

5．結   言        力

これを用いてκ11は，次式によって決定される。  都文は・有限要灘（FEM）によって・騨噺

       度よく応力拡大係数κ1，κ11を決定する一方法を提案   κ＝τII°耳 i≡：㌔エ プ γノ≡        （9）    したものである。計算方法の手順を要約すると次のよう        ピピ

このよう酬で・θ一4脚の場合（図・5）の応に

￨…購麺いと仮定したときの仮想き

力拡大係数を計算した結果麟8である・   蹴鞭素の応加。を計算する．このときの脇条件

F蒜≧㌫≧㌶漂：い灘鷲㌶瓢曇≧慧

できることになる・なお・τ・については・酬的手法

@酬素の応加。Pを求める。

         ．   6．       （3）（σIIP一σ亙） なる丑が ・κ1・」1（Ilと密接iな関係をも

      1↑†↑t    っと考え・鯉の値・・（式（5），図3）と・・（図3・

       表7）をもとにしてκ1，κ11を決定する。σ，とτ、は，

       すでに得られている解折解を利用して得られた値であ        る。

      N        以上の手順によって種々の問題におけるκ1．κ1【を       ＼        計算し，すでに得られている他の研究者の数値と比較し        た結果，最も差が大きい場合でも6％以下であり，多く        の問題で1〜3田以内の誤差で計算できることが明らか        になった。特に，本研究に用いた要業分割は，付図1〜

      8に示すごとく，これまでのFEMの研究に比べると分        割数が少く，最大のものが節点数242，要業数415であ

      こ   る．また，多くの問題で，き裂部分の分割雛ユ・等分

       」       以下であり，極端な場合には，2等分で計算されたもの        もある。なお，計算は，すべて単精度計算で行なった。

      本研究で提案した方法は，簡単で精度が良いところに        特徴があり、高精度の応力拡大係数を計算するため特殊

      l l ↓ ↓ 1      な手法を用いるこれまでのFEMによる方法と梁なり，

      ￠      現在，大学，企業などで普通に用いられている計算プロ        図 15       グラムで容易に実行できるものである。また，3次元問

  表8ななめのき裂（図15）の励拡大係数， 題への応用も可能であ訓これは，今後頒廊する

     λ＝c／W．       予定である。

θ

45°

30°

λ

0．2 0．3 0．4 0．5 0．2 0．3 0．4 0．5

F，＝κエノσo〆≡

FEM I F…se…

0．83

0．94 1．08 1、27 1．15 1．34 1．60 1．卯

0．80 0．90

1．02 1．27 1．11

］．28 1．55 1．9B

FIF瓦漁嬬  本聯を行な引こ当たり融竺1ご指導ご端をい

FEMIF・e・・e… 授1，深く感謝致します。

0．36 0．42

0．50 0．60

ただいた九州大学工学部西谷弘信教授ならびに石田識教

0．41

0．45      文     献

o．50

°・58  1）S．K．Ch・叫LS． T・ba and W．1｛． Wi1・叫

。．36   E・g・g・F・a・・Me・h・・2 1（197°）・1・

軌41     2） A．S． Kobayashi， D−E． Maiden and B．工 0・48      Simon，文献20）の引用文献．

゜・58

@ 3）江」．A，・es a・d礼F． Sidd・11，蝋2・）の引

蕉il澱；謬㎞・E−・掘恥：1｝鑑籔i㌶籔憲欝；ご

；蝶熱響繊1：：：鰹欝撚1：蕪il

・）52 F』19認竺トリ＿造＿繊論24）、）三1LH・y…1・U F−MecLβ・（19・2−

9）li瓢6㌫…］阻132−25）㌫麟＝蹴i鵠㌫

1°） l：・＝蕊畿：i：：n聯∩慧26），）竺語上・本一一52（−

1吉瓢蒜話漂．㌃d。．1＿距27）、、野1・ d・・E・g・g・F・ M・・h・・5−3（1…エ

1・漂＝i：驚：1漂蕊工28）。三：瓢，1跳隠蓋・・認．蕊二

  F「ac・1°（197・）・593・       t・・i。1・（1974．1・）．

13）

p塁：一本・⌒造強度1こ関す轍29）、。：LB・wi−pP1・M・・h・・31（196・・

14）

m＝r麟：1麟『言蹴文集・3°）5。晋一材料強一一一

llぼ畏蒜欝）1霊覧。叫E。g。巳3エ）（1＝：ie an−N・a1・エApPl・Mec㌧

F「a・・M・・h・        32）エC．N・wm。。， NASA TND．637丘

7）E・By・k・v・1・t・J・F・a・・M・・h・，6，2（19・。）， 33）H． F・h・i・g．1・t． J． F，a，．，9（1973）32a

18） 5

GMT＿E。g。＆F，。己M。、い334）11吾；1：・鷲嶽文集・⊇昭和3・一

（1971） 22昆         35）M．1・id・， P・elim． P，。。． J。p、n．U S． S，minar 19）E皿mlt・n・・d G C・Sih． Mech・ni・s・f  （1974−8）， S。nd。i．

F「act・…V・L 1（1973）・4261・d． Sih， G・C， 36）αL．B。wi・， M・・h・ni，s。f F，。ct。，e V。1．

N…dh・音・         1（1973），51．・d． Sih， G． C．， N。。dh。丘．

付表1  σ、固  と  ■ロ  の  値

● ■ ● 1 ● 1

一 O

4 ■ ■ ● d

亙

o◆c

亜 ^巧エ

^{亟  〔巧・ σ戸、}

^垂

上 ^{血 ±}

^{垂 6声；}

^碗・

c W

^呪 工

6L   6』 疏

4 ^正

^{6， 6．}

^己

^{也 工}

o．5 o．43

6．5470

Lo

5」0403．1429 ^6．6013

^{1．0 白．6845}

2．7151 12，625 1』 9．9589 5．5627

o．25

0．砧 6．8653

^1．0

6．93002．7070 ^6．B574

^1．0

5．9047 2．3983

14266 ^1．0

^{12，960 4．6468}

0．1667 0．49 7．2178 1』 7．唇3672．3896 7．1396

1．0

6．6504 2．1609 16，046

^1．0

15，406 3．9372 0，125 0．52 7．6175

1．O

8．54152．1421 7．4610 1』 7．2044 1．9714 18，162

^1．0

17，828

3．3占5B 0．1

0．55 8．0415 ^工．0 9．1514ユ．9628 7．7937

^1．0

7．6649 1．8335 20，633

^1．0

20，455 2．8871

0．083コ

0．58 8．4582

^1．0

9．フ003L8216 ^8．1119

^1．0

8．0617 1．7237 23，471

^{1．0 23，3フ2 2．497ユ}

0．0714

0．61

8．9523

^1．0

10．293 1．70 8．4923 LO ^8．4894

L6338

^26，888

LO

^{26，834 2．1468}

0．0625

0．64

9．4839

^1．0

10．899 1．6131 8．B954

1．0

8．9185 1．5656 30，999

^1．0

30，947 1．8491 0．0556

0．67

10，048

^1．0

11．567 1．5377 9．3139

^1．0

9．3918 1．5122 35，870

^1．0

35，997

1．5呂35

付表2 ななめのき裂（図14，15）の先端要素の応力，σ。＝1．0，λニe／甘

o

45°

30°

∫

τ O．25 0．1667 0．125

0．1

O．25 0．1667 0．125

0．1

λ

0．2 0．3 0．4 0．5 0．2 0．3 0．4 0．5

σエ』

0．36232 0．61954 0．91366 1．2947 0．59408 0．97079 1．4491 2．1149

σゴA

2．7129 3．6336 4，74田 6。1569 3，1482 4．4359 6．0944 8、3412

・…

@1σ・・

一〇．13381

−o．242go

−0．35416

−0、448957 1．1203

工，6333

2．2725 3．1450 0．23593 0．32272 0．4475B O．64766

L5293

2．3358 3，3929 4，9038

      1 σ7」］  1  二工y8       1

1．5319 1．9474 2．4485 3．0845 1．8235 2．4580 3．2768 4．3564

一〇．015｝⊆｝18

−O．061852

−O．lO289

−O． 16055

一〇．29533

−O．45171

−0．65517

−0．93588

付表3 集中荷重をうける円板（図13）の応力，λ二亡ノb

〜

O．25

0．1667 0．125

0．l

O．0833 0．0714 0．0625

・ 1薗 1（勃

0．2 0．3 0、4 0．5 0．6 0．7 0．8

1．4227 1．B360 2．2939 2．B141 3．4406 4．2258 5．1571

0．60068 0．59745 0．58885 0．56724 0．52947 0．45692 0．19305

節点数・＝149、要素数＝249，上／IIノ＝2・0      節点数＝175．要素数＝295，上／IF＝ユ75

      付図3      付図4

節点数＝101，要素敵＝：165，」L／1↓τニ3・0      節点数＝100，嬰素数＝162

1

、

¶

      付図5       付図6

節点放＝239，要紫数＝412、L／11〆＝3．0       節点数＝242，要素数二415，五〃」3・0

        付図了      付図8

節点散＝166，要素数＝298，五〃』ユO，θ＝45°   節点致＝173，要素数＝311，L／研＝2・O 0＝30°