相関変換によって抽出された特徴からの パターン再生の一手法について
（昭和58年11月30日 原稿受付）
情報工学教室玉木明和
AMethod of Pattern−Reconstruction from the Feature Extracted by Correlation Tra n sform
by Akikazu TAMAKI
Abstract
The author has proposed Correlation Transfbrm which is available for the feature extraction in the pattern recognition． The Transform is linear transfbrm by means of a matrix which is not necessary orthogona1． In this report， he reconstructs the patterns from the features extracted by Correlation Transfbm． The reconstructed pattern is not identical with the original pattern， but an apporoximation．
He describes of the relationship among a pattern space， a feature space， an original pattern， a feature vector and a reconstructed pattem． He reconstructs the patterns from the features of the sample pattern set， and discusses the innuence of the change of feature dimension on the reconstructed patterns・
の構成法の一手法を示し，それを使って実験を行った。
1・はじめに 8×8のマトリックスに表現された8個のパターン集合 著者はパターン認識における特徴抽出法として，相関 に対して，特徴抽出を行い，特徴ベクトルから再生パ 変換を提案した。（文献1）これは，認識対象となるパ ターンを算出した。特徴空間の次元の変化が再生パター
ターンと相関のあるパターンベクトルを行ベクトルとす ンに及ぼす影響を調べ，また，もとのパターンとの誤差 る行列によって線形変換を行うものである。変換として の評価を行った。
は直交変換がよく使われるが，相関変換は行列の直交性
は要求していない。直交変換としては，Fourier変換や Z 相関変換の概略
Karhunen−Loeve変換が知られている。後者は，変換 相関変換を簡単に述べる。評しくは文献1を参照のこ の対象となるパターン集合の統計的性質から行列が算出 と。パターン空間を万，特徴空間をγで表わし，それ されるが，前者の行列は，パターン集合によらず固定し それ，M次元のベクトル空間とする。パターンェ（∈X）
たものである。これらの直交変換によって抽出された特 からの特徴抽出を特徴ベクトルy（∈y）への写像と考え，
徴から，もとのパターンを再生することができる。相関 線形写像であれば，行列メによって，つぎのように表 変換（すなわち，直交性をもたない行列による変換）に 現できる。
よって抽出された特徴からパターンの再生を行う。再生 yT＝メκT （1）
法は，正規直交行列の場合と同じ方法を用いる。これは， ここで
もとのパターンと同一には再生できないが，近似したパ y＝（y1，＿yN） ， （2）
ターンに再生可能である。 x＝（x1，．．．xM） （3）
本報告では，パターン空間，特徴空間，もとのパター ≠1：N×M行列
ン，特徴ベクトル，再生パターンの関係について述べ， 相関変換は，対象とするパターンと相関のあるパターン パターンの再生法を述べる。また，相関変換を行う行列 （ベクトル）の集合によって行列オをつくる。すなわち
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それらのパターン集合を行ベクトルとする行列である。 と表わすことができる。行列メは正規直交行列のため，
二㌶：欝巖蕊㌫：元雛 顯・f・ぎ一｛；篤 （1・）
をN次元ベクトル空間γに写像する。変換ベクトル系 であり，が＝x庭となる。よって，
を｛α・・…砺｝で表わすと，変換行列λは ￡＝エ （11）
メーill） （4）一㌶；、）曝膓鷺交行列の場合は棄とエが
となり，（1）式は， か＝当α『￡α｛X∫
ト ノエエ
〆一i：）ガ （5） 一嵩・ξ〈 〉 （12）
となる。特徴ベクトルyのゴ番目の要素ヅは となり・ベクトルで表現すると・
y』〈 （注1）αξ，」じ〉＝α xT （6） ⑪一￡〈・、，⇒。、 （13）
はユ
と表わすことができる。すなわち・相関変換は・変換 となる。すなわち，パターンベクトルと変換ベクトル ベクトル系の各ベクトルとパターンベクトルの内積（相 の内積の値に，その変換ベクトルを掛けたものの総和と 関）を特徴ベクトルとするものである。相関変換は，対 いう形で表現できる。
象とするパターンベクトルと相関のあるベクトル系で・ 一般に，相関変換においては，変換行列の直交性の性 変換行列を構成することを要求するが・その直交性は要 質はないが，⑱式で示される再生法を用いることにする。
求しない。変換ベクトル系が直交している変換は・種々 これは，もとのパターンベクトルに近似したベクトルを の方法が提案されている。たとえば・Karhunen−Loeve 再生することができる。
変換は・パターンの性質をよく表わす主成分を特徴とし さて，パターン空間万の次元．Mが，特徴空間γの て変換するように変換行列メを構成するものである。 次元Nより大きい場合は，rはXの部分空間と考える
a特徴ベクトルからのパターンの再生 ことができる・特徴空間γのベースは凌換行舶を
構成する変換ベクトル系となり，ベクトルの集合｛α、…
特徴ベクトルからパターンベクトルを再生することを 砺｝の張る部分空間となる。すなわち，パタ＿ンベクト 考える。特徴ベクトルの次元は凡パターンベクトルの ルの再生は，パターン空間Xのパターンベクトルを，
次元はMであり・一般にM＞Nである。したがって・ その部分空間（特徴空聞）r上で近似することである。
再生パターンベクトルは・もとのパターンベクトルでは 例
なく近似したものとなる・ここでは・M−Nの場合の簡 図一1に示すように，パターン空間κを3次元（ベー 戦離法を論じ・それをM＞Nの場合に適用する方 スを・、，・、，・、とする．），変換ベクトル系を｛。、，。、｝と
法で再生を行う・ する．特徴空間γは，｛。、，。、｝で決定される平面とな 変換行列が・正規直交行列すなわち砲一∬の場合に り，2次元部分空間となる．特徴空間γは，、．，、平面 ついて論ずる。この場合は・ との交線0ρを，εブε，平面との交線0・をもつ。図＿2
エ≡なT＝∬ば一み （7）に・・ターンxが特鯉間r上で再生される様子を示す。
が成立する。（7）式より・特徴ベクトルに，変換行列の 再生パターンベクトル㊧は
転置行列を掛けることで・パターンベクト・レの再生力・で e−〈・、，加、＋〈。、，。〉。、 （14）
きる・再生パターンベクトルを舵書くと・ と表わされるからベクトル。、を。、とエの内積の 棄丁＝∬y （8）値倍したものとベクト、レ。、を。、とエの内積の値倍し となり・その城酬は・ たものとの和で表わすことになる．〈。、，加、と〈。、，
ハベ ハド
が＝ΣΣα短∫x」（注2） （g） エ〉α2は特徴空間γ上にあり，パターンxの再生パタ
」−1彦＝1
一ンベクトル念もγ上にある。
（注1）〈α，5＞はαとゐの内積を表わす。
（注2）吋は変換ベクトルα の幡目の要素を表わす。
q 4（∫，α）は，ベクトル5，αをノルムで正規化を行い，
2 相関をとったものである。ぷメの各ベクトルをノルムで 正規化したものを5，λで表わす。すなわち，
3−｛v〈xs，5〉・・∈s｝ （17）
、 召忌万・・∈メ｝ （18）
この構成法は，．4の要素と5の要素の相関値がξ以 上になるように，5および5に網を張るものである。ξ の値を大きくすれば，変換ベクトル系メを構成するベ クトルの数は増加し，特徴空間γの次元も増加する。
P また，変換ベクトル系の各ベクトルは，ぷの要素のいく o 。 つかの平均ベクトルとして構成される。
1 図一1 パターン空間と特徴空間
5．実験結果 X
変換行列を構成するための過去の経験パターン集合5 と特徴抽出され再生される対象パターン集合に同一のも 〈al x＞a1＋〈a2 x＞a2 のを用いた。実験に用いたパターン集合を図3に示す。
＜a1，x＞a1 全 パタ＿ン空間の次元は64であり，8×8のマトリックス a 上に表現され，−1，q1の値をもつ。図3では，マト 1
リックス上の各要素の最大値と最小値の差を16等分し，
その16レベルを擬似的な濃淡で表わす。濃い部分が大き a
2 い値を，淡い部分が小さい値を表わす。以下同様である。
〈a2 x＞・2
もロもエカち ロ ブ ちぼちヴ オ コももエもぼがロエコ ロコ コロちちちちコ
図4特徴空間と再生パターンペクトル iiiiiii器川遼甑ii i鞘：器i l
l1は笥鰍瓢●●●l l粕駕●●●●舷％1 港幡迄蔦琶●●●8 ⑪％覧55鬼％％％l I誓昆 9ト喝●●●l lも鬼■●●●曳％1 1■●●％％●●■1 ⑪鬼覧●■●●鮎％⑪ り ばはトヤ ロ ロコロコおエもエニロ ロエもコロロ ちエ
4．変換行列の構成法 L＿一＿1 1−，三竺一一↓ 1竺竺ご三三三三1 ⊥三三11竺三三⊥
a b c d 人間は，過去の経験から知識を得て学習する。変換行
列も過去の経験をもとに構成する。（対象となるパター
ンは過去に経験したパターンと相関をもつものとする。） 1 3器剖 1鵠畿 l lI‡器831 儲搬Il 5−｛・。…・、｝を過去の継として与えられるパターン iξ】1還iUiii％鬼i琵川iiii羅日iil閤il の集合とする．変換ベクトル系メ㈱を次の条㈱・成立 灘i川ii麗 U° i Uii ii§
するように構成する。 e f g h 条件 図一3 実験に用いたパターン
ある固定し懐数ξを決める・任意伽∈5に対して 経験パター喋合5に張る網の目の大きさを変える
4（∫，め〉ξ （15）定数ξを適当に変え端鯉間yの次元を2次元から を齢すα∈λが存在する・ 8次元まで変イヒさせた．特徴空間のベースは変換ベクト ここで ル系であり，そのベースを構成する各々は3のいくつ
卿「〈〈s，α＞刀Cβ〉〈α，α〉 ・ （16）かの平均ベクトルである・図4に・べ一スを構成するべ クトルをつくる5のベクトルの集合を示す。たとえば，
（注3）Aは変換行列を表わすが・それを構成する変換ベクト 特徴空間が3次元の場合は，｛α，b，9，〃｝（図3で示した ル系を表わすのにも用いる。
ものに同じ）の平均ベクトル，ベクトル㎡，｛C， ，∫｝の
34 玉 木 明 和
§（d）4 （a h）、 （b）2（・）5（9）7（・）3（f）6
§（d）3 （・ b h）、 （・）4（q）6（・）2（f）5
匡
§（d）4．（・）・（h）8（b）2（・）5（9）7（・）3（f）6
§
ξ
§（d）3 （・ b h）1 （・，9）4 （・）2（f）5
§
曇
§ （d）3 （・ b q h）、 （・ ・ f）2
§
§（d》3 （・ b h）、 （・ 9）4 （・，f）2
？ 曇
§ （a b d h）1 （・ ・ f 9）2
§
図4 特徴空間のべ一スを構成するパターンペクトル
平均ベクトルがベースをつくることを示し，カッコの右 て，ベースを構成する各ベクトルは，それ自身との内積 下の数字はべ一ス番号と呼び，それぞれを，ベース1， の値が10になるように正規化を行った。
ベース2・ベース3と呼ぷことにする。特徴空間のべー 特徴ベクトルから再生した再生パターンともとのパ スを濃淡表示したものを図5に示す・ ターンを図6に示す。特徴空間が4次元の場合，αの特 相関変換によって・図3に示すパターンから特徴抽出 徴ベクトルから，つぎのようにして再生パターン∂が
された結果を表1に示す。特徴空間が5次元の場合は， 計算される。表1より，パターンαの特徴ベクトルは，
ベースは5個のベクトルから構成され・パターンαの （11・87，1・3駕一〇．54，1．29）である。図5の4次元の 特徴ベクトルは（11・87・−1・Oq−0・54，1・29，2・56） 欄から，ベース1の11．87倍，ベース2の1．39倍，ベー で示す5次元ベクトルとして表現される。本実験におい ス3の一〇・54倍，ベース4の1．29倍の和として計算され
一一一一＿一一，一● ・吟，←一、■一一＿● ＿一●一一一一一一 一一一一一一一一一一 ■一一一一一一一一一 一一■一一一一一一● 一●一一一一一●一．一 ■一一●一一一一一●
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と 1：器3㍍・●l l賭 ；；●坤l l； 晶；；1 渇問8； l l ；8881 1％轟ξξξ曳％1 』・畿器器1 ；蚕885妻㌔・1 冨懸！iiiii ii：i罷i三i i；識iiiii昌iiiき綴i iiiii！ξξ引 ii琵．．iiil iii曇畿琵i i藷識iiii
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3 base 1． 』 base 2 ． base 3． ． base 4 base 5 base 6 base 7 ． base 8
一一一一一一●一一一 一●一一一一⇒一一 一一一一一一一一一一 一一一●●一一一一 一一一●一一一一一一 一一一●ロー一已肩一一一 ●一一一一一●一一一
‡㍑i葭il．li L言1ピi．ii…藷藷i l器iiiぷi l ii罷l iぷii、、1 L．liii罷i
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図一5．ﾁ徴空間のベースの濃淡表示
たものが，再生パターン∂である。図6より視覚的に， 差が等しくなるように差で正規化した場合
再生パターンの評価を行うと，特徴空間の次元が大きい ②各要素の2乗和が等しくなるように，．2乗和で正規化 程，よ り良い近似となっていることがわかる。 した場合
再生パターンともとのパターンの比較を定量的に行っ について，誤差の評価を行った。（1），（2）の場合につい た。再生パターンともとのパターンのマトリックスの各 て，絶対値誤差，2乗誤差と特徴空間の次元の関係を図 要素は明らかに異なるので，つぎの正規化を行った。 7および図8に示す。特徴空間の増加とともに，誤差が
（Dそれぞれのマトリッ．クスの各要素の最大値と最小値の 減少することが，定量的に確認できる。
36 ． 玉 木 明 和
コロロコ ロ ロコロ ロコ コぽ ロロの ロの エロロロロ のコロコ ロコののコ ロ コココ ロロ ロのコロロロコロロコ ロロココのココココ ココのコ コロロロコ 1寓駕％5鬼 l l 覧％％警 I I鴇・警傷喝曳鬼宴％1 1●●●●鬼％鬼鬼 1 ●●■●l l 駕●■曳 l l． 駕瓢■■●■1 ｝罵宝鬼覧駕％ ． 1
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◆ ド・ lwも喝勺鰍●●●1 1ち曳●■o●鰍％l l葛w喝旨鬼●●● ，％％嵩駕曳％％鴇l I集■●●％覧、％l I覧●％ ■●●l l●●■集曳鯵葛集I l鬼■●●％●●■⑪
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「5 ←ゴ 1 ｛ 1 駕竃もち 1 （●●●も罵氷勺駕1 ・ 1宴％●●●●％覧｝ 覧鬼鴇駕鰍 I l弘●■●鰍集 l l 鬼 l l峯％ 勺％W．
：5 −●一一一一●●一一 一一●一一一一一一一 一一一一已一一」一一 ⇔一一●一一一一一一 ロー一一●■一一一一 一一一●已一一一一一 一一一一一一一一一一 一●一一一一一一一一
abcd．e f9．h
￡li藷iii：ll l；iiii嘉l liフ；蕗il溺ii；；；l l：i頴ilぼ蕊コ ll；iii爾逗羅lll 量｛憲i……ii‖曇i聾i ii護iiii日竃曇謝‖iii霧川襲iiili i…；；i鞘i‖…iiiiii
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†」了二二；；；r一下 ；フフ：…；：フフ7 ；二：；；；；；；了 7己己三三；；；；； 7−一フ；三；；訂 7−一；；己；：二7 ；一一7フ；；；；； 7；；三ξ：r−7
◎■ 1．う禽禽鬼％ 1 1／Oα●●宙・・l l・ ．●●●富竃I I●■■●● l I ．ノ●■間■1 ◆胃●F l I ◆◆●●●●l l◆％●●ε％ 1
−． IO禽●●禽●●●！ ｝％●●●●●■■O l●ノ／・富●●● 1●●●■● l I鈴●骨・●■●■l IE●0●％●●●l I傍εE◆●■●■l IO●●●富■●・1
§iil麗：ii撒鋸i iii鍛‖i i霊舗ilii諺琴1i ii蕊ii…i i｝iii螢i i1渠霧i
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コ
ilii讃iii｝liiiliil量；；iiiil liiii；ii l；」竃il瞬iiil liiiiiiiil lii藷iil
o ●●一●一一一一●● 一一●一一一一工一一 一一一一一●一一一一 一一一一●一一●一 一一一一一一一一一一 一一●一一一一一一一 一一一一●一←一一● 一一一一一一一一●一 コ
翼iiiii灘iii liiiliil鐘i翻iii讃ii熈酬iiliiii灘iiiil
o ←一●●●一一一一一 一●●一一一一一一一 一一『一●一●一一一 ●一一一一一一一「一● 一一一一一一●一一一 一一一一⇔一一一一一 一一■一一一一一一 一一一一一一⇔一一一 コ
図一6再生パターンの比較
表一1 特徴ベクトル
次元 パターン
xース番号 a b C d e f 9 h
1 10．00 4．63 一〇．73 一 0．49 0．98 2．44 3．17 7．56
2 5．94 10．00 一〇．63 1．25 2．50 3．44 3．75 3．13
3 一1．00 一〇．67 10．00 一 3．67 4．33 5．33 一2．00 0．00
4 一〇．54 1．08 一2．97 10．00 一5．41 0．81 一2．98 一〇．81
8 5 一〇．87 1．74 2．83 一 4．35 10．00 1．96 5．22 一1．74
6 2．56 2．82 4．10 0．77 2．31 10．00 0．51 1．54
7 2．83 一1．30 一 2．39 5．22 0．44 10．00 1．09 8 8．38 2．70 0．00 一 0．81 一2．16 1．62 1．35 10．00
1 10．29 4．14 一〇．43 一 0．71 一1．71 2．29 2．57 9．71
2 5．94 10．00 一〇．63 1．25 2．50 3．44 3．75 3．13
3 一1．00 一〇．67 10．00 一 3．67 4．33 5．33 一2．00 0．00
7 4 一〇．54 1．08 一2．97 10．00 一5．41 0．81 一2．97 一〇．81
5 一〇．87 1．74 2．83 一 4．35 10．00 1．96 5．22 一1．74
6 2．56 2．82 4．10 0．77 2．31 10．00 0．51 1．54
7 2．83 2．61 一1．30 一 2．39 5．22 0．44 10．00 1．09
1 11．87 7．96 一〇．65 一 0．13 一〇．52 3．52 3．91 10．17
2 一1．00 一〇．67 10．00 一 3．67 4．33 5．33 一2．00 0．00
3 一〇．54 1．08 一2．97 10．00 一5．41 0．81 一2．97 一〇．81
6
4 一〇．87 1．74 2．83 一 4．35 10．00 1．96 5．22 一1．74
5 2．56 2．82 4．10 0．77 2．31 10．00 0．51 1．54
6 2．83 2．61 一1．30 ｝ 2．39 5．22 0．44 10．00 1．09
1 11．87 7．96 一〇．65 一 0．13 一〇．52 3．52 3．91 10．17
2 一1．00 一〇．67 10．00 一 3．67 4．33 5．33 一2．00 0．00
5 3 一〇．54 1．08 一2．97 10．00 一5．41 0．81 一2．97 一〇．81
4 1．29 2．86 1．00 一 4．43 10．00 1．57 10．00 一〇．43
5 2．56 2．82 4．10 0．77 2．31 10．00 0．51 1．54
1 11．87 7．96 一〇．65 一 0．13 一〇．52 3．52 3．91 10．17
2 1．39 1．78 9．11 一 1．58 4．36 10．89 一〇．79 1．19
4
3 一〇．54 1．08 一2．97 10．00 一5．41 0．81 一2．97 一〇．81
4 1．29 2．86 1．00 一 4．43 10．00 1．57 10．00 一〇．43
1 12．38 8．69 一1．31 一 1．43 2．38 3．45 9．05 9．88
3 2 0．47 2．67 9．27 一 4．40 10．68 10．05 3．14 一〇．31
3 一〇．54 1．08 一2．97 10．00 一5．41 0．81 一2．97 一〇．81
1 13．43 9．81 一2．42 5．43 一3．62 4．53 2．87 11．32
2
2 2．31 4．19 7．65 一 5．63 13．29 9．53 9．53 0．43
38 玉 木 明 和
2009 8
旨
9
ぼ ユらむ 員
2
100
50
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゜ab・。1ute e・・。・ 6．おわりに xsquare erroτ
＼x、x ＼
200 シミュレーション実験であり，ひとつのケーススタ
目
碧 ディであることに注意しなければならないが，斜交変換
む
2 である相関変換によって抽出された特徴からパターンの
150 ?@ 再生ができることがわかった。パターン空間の次元は64 であり，特徴空間の次元は2〜8であり，大きな開きが
100 ある。パターン空間の次元と特徴空間の次元が同程度の 場合の再生について調べる必要がある。また，実験に用 いたパターン集合は，実験用に作製したものであり，実 50@ 際のパターン集合（たとえば，文字や絵など）に対して，
2 3 4 5 6 7 8 実験を行う必要がある。
dimension
9408
ぎ
9 0 30昌
2 20
10
図一7 差で正規化した場合の誤差 最後に，日頃，御指導いただく加藤清史教授に深謝す
る。
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、
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x＼．＿x＼。＿。
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参 考 文 献
4 o?@ 1）玉木明和「相関に基づく特徴抽出について」，九州工業大 Φ 学研究報告（工学）第40号，昭55年
ゆ，．。§ 2）玉木明和「直交変換と砒較｝こよる相関を用いた撒抽出 g の評価」，九州工業大学研究報告（工学）第45号，昭57年 3）竹内啓，柳井晴夫共著「多変量解析の基礎」，東京経済新 2．o 報社・昭和47年
4）中野馨著「アソシアトロンー連想記憶のモデルと知的情報 処理一」，昭晃堂，昭和54年
1．0 5）Kohone叫丁 Associative Memory ， Springer−Verlag，
1977
2 3 4 5 6 7 8 6）Pratt， w．K． Digital Image Proce路ing John wiley
dimen8ion ＆Sons，1976
図一8 2乗和で正規化した場合の誤差 7）R・sen丘1d・A・・Kak・A・C・ Digital Pictu「e P「°cessin9 2nd ed．， Academic Press，1982
