いわゆる「推測統計学」における相関分析法につい て

いわゆる「推測統計学」における相関分析法につい て

その他のタイトル On the Method of Correlation Analysis in

"Inductine Statistics"

著者 岩井 浩

雑誌名 關西大學經済論集

巻 15

号 2

ページ 161‑186

発行年 1965‑06‑30

URL http://hdl.handle.net/10112/15355

161 

いわゆる「推測統計学」における 相関分析法について

岩 井 浩

ま え が き

1.  「推測統計学」の立場からみた K.ビアソンの相関分析法

2 .  

3 .  

4 .  

ま え が き

相関（回帰）分析法(1)は，数理統計学の領域において，いわゆる「因果分析」の重要 な手法とされてきたのみならず，今日では「計量経済学」的研究方法（モデル・アプロー チ論）の主要な統計的手法として重用されている(2)。 したがって，

1 9 6 2

「近代経済学」の分野における相関分析法利用の一つの典型は，生産性と賃銀との相関 関係の統計的検証にみられる(4)。わが国の独占資本の復活を背景として打ち出されたい わゆる「生産性向上運動」の理論的武器として，「生産性と賃銀の統計的検証」に相関分 析法が利用されたのであった。すなわち，資本蓄積度（最大限利潤の追求）に規定される 労働生産性一一労働時間生産性ーと，労働力商品の価値に規定され，賃銀闘争によって決 定される賃銀一時間賃銀ーとの相関（それぞれ別の原因によって規定される事象間の相関）

の計算結果（相関係数値が

1

,  ,  ,  ,  ,  ,  , 

,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , 

162  賜西大學『纏済論集』第

1 5

2

マティックに利用されている。したがって，政治経済研究における相関分析法の方法論的 意味（いかなる認識手段たりうるか）の解明は，単に統計解析論（統計利用論）の課題で あるのみならず，政治経済学方法論の実践的な課題の一つになっていると思われる。

われわれは，この課題の解明のために相関分析法の生成，発展過程ー

1 9

2 0

G a l t o n )からカール・ピアソン ( K a r lP e a r s o n )

( G . U .  Y u l e )による経済研究への導入過程

( A . A .  Tschuprow) 

その結果，一般的には（対象の諸性質によって異なるけれども）統計的相関関係は比較,,,,,,, 

される数量間の平均的対応関係しか意味し得ず，したがって相関分析法は相互外在的にそ れぞれ変化する二つ（あるいは多く）の量の間に統計数字にもとづく外的な比較（相関計,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 

算）によって外的な連関が一応存在するか否かを形式的に判断する手法にすぎないもので あることが明らかにされた。そこでは，あらかじめそれらの量の担い手である質相互の内 在的な本質的な連関が捨象されているばかりでなく，量（多標識）の一側面（単一の量的 標識）だけが相互に外的に比較されるだけなのである(7)。 したがってユールのいう「無 意味な相関」 (8)が， その基本的性格から必然的に現象せざるを得なかったのであった。

しかるに，相関分析による因果性の認識という神話は，今日においても数理統計学者，計 量経済学者の一部において根強く支持されているのである。 (9)

したがって，われわれは，さらに経済研究における相関分析法利用の歴史的過程（特に 生物学で発達した相関分析法の経済現象への導入過程において，いかなる新しい諸規定が 加えられ，特殊的展開をとげたか）の分析とその具体的諸形態と内容の吟味批判（この手 法によると現実のいかなる側面が，正しく，またゆがめて認識されるか，さらに実践上い かなる役割を果たしているのか解明）を行なわなければならない。

しかし本稿では今しばらく生物学の領域にとどまり,

1 9 0 0

2 0

ビアソン流のいわゆる「記述統計学」に対抗して形成されたいわゆる「推測統計学」 (10)

における相関分析法の形成過程を分析し，その基本的諸形態と方法論的諸仮定を抽象し，

その方法論的意味の一端を明らかにすることに問題を限定する。．というのは相関理論が現 在諸科学で広く利用されるにいたった重要な契機が推測統計学の手法であり，これがまた

「計量経済学」における相関（回帰）分析法にみられるごとく，現代の相関理論利用の主 要形態になっているからである。

それでは，推測統計学と相関理論との関連は何か？推測統計学は少なくともゴールトン 以来ビアソン，チュプロフによって作りあげられた相関理論の諸基本概念と計算法には何 もつけ加えなかった。推測統計学がつけ加えたのは，対象と資料との間に母集団と標本の 関係を想定し，標本の相関係数，あるいは回帰係数を基にして母集団相関係数．回帰係数 を確率的に推定する手法である。相関概念そのものにおける発展もしくは修正ではなく，

標本の相関によって母集団の相関を推定するという手法そのものの成立が，相関分析法の．

7 0  

「推測統計学」における相関分析法について（岩井） 163 

現代的利用の途をひらいたのである。

数理統計学の歴史上，

K .

R .A .  

K.

ビアソンと比較して真に本質的という変化はどれであったのか，そもそもこれらの諸手法 は統計学の理論体系の中でいかなる位置にあるのかー一これに対して「フィッシャー革 命」を唱える論者は答えてはいない。したがって， K.ビアソンからフィッシャーヘ至る 過程での変化自体の検討も課題として提起される。しかし，このためには，われわれは両 者の膨大な理論の全面的検討を行なわなければならず，当面われわれのなし得るところで はない。

本稿では，われわれは推測統計学的手法そのもののもつ意味の検討に重点をおく。 K. 

ピアソンから

R .A .  フィッシャーに至る過程上の変化については，小標本理論の成立に

検討の順序は，まず推測統計学からK.ピアソンの相関理論をみるとき，どの点が不充分 とされるかをみ，ついで K.ビアソンが批判され，推測統計学が成立する歴史的過程を概 観し，かくして成立した推測統計学の相関理論を基本形態において叙述し，最後にこれが いかなる意味をもっているのかを批判的に吟味することである。

(1) 

( c o r r e l a t i o n )

( C o r r e l a t i o nc a l u c u a t i o n )

( E z e k i e l )

( 1 9 3 0 )以来，相関分析法 (Methodo f  C o r r e l a t i o n  a n a l y s i s ) ,  

(Methodo f  R e g r e s s i o n  a n a l y s i s )

(2) 

G .   T i n t n e r ;   E c o n o m e t r i c s .  

J .   J o h n s t o n  ;  E c o n o m e t r i c  Methods (邦訳『計量経済学の方法』）を参照せよ。特に，

の著書は，相関分析法を中心に叙述されているところに特後がある。

(3)  H .   Waschkaw;  1 s t ・ d e r   B e g r i f f   " K o r r e l a t i o n "   i n   d e r   s o z i a l o k o n o m i s c h e n   S t a t i s t i k  notwendig? S t a t i s t i s c h e   P r a x i s ,  1

1 9 6 2 ,   s s .   1 3

1 6 . E .   F o r s t e r  und C .   O t t o ;  L i q u i d a t i o n  d e r  K o r r e l a t i o n ? ,  S t a t .  P r a x . ,  7 .   1 9 6 2 ,   s s .   156‑158. 

この論争の要点は，客観的社会経済現象間の連関と交互関係の研究を課題とする社会経 済統計において，統計的「相関」概念がいかなる意義をもつかということにある。論争 の要旨は，拙稿「相関計算法の吟味と批判」（北大経済学，第

6

1 9 6 4 . 1 1 )

164  隔西大學『繹済論集』第

1 5

2

(4) 

生産性と賃銀の強い相互依存関係ないしは因果関係の存在を検証している。しかし，そ れは， 山田耕之介氏や広田純氏によって早くから指摘されているごとく （『購座近代経 済学批判』

m . p . 1 9 0 ) ,  

(5)  1 9 7 0

9 0

5

1 9 6 4 . 1 )

(6) 

第

6

1 9 6 4 . 1 1 )

(7) 

1 3

1 9 6 5 . 5 .  

氏は，アリストテレス，ヘーゲル， v‑ニン等の因果性と相関性の概念を検討し，統計 的相関概念の外的形式性ー内在的本質的連関（質）の捨象の上に成り立つ相互外在的変 数（量）間の単なる外的連関を示すもの一を明らかにしている。さらに，近代経済学に

おける相関性，関数性，因果性の諸概念が，吟味，批判されている。

(8)  G .  U. Yule; "Why do we s o m e t i m e s  g e t  N o n s e n s e ‑ C o r r e l a t i o n s  between Time‑

S e r i e s  ?‑A Study i n  S a m p l i n g ‑and t h e  N a t u r e  o f  T J m e ‑ S e r i e s " .   J .   R .  S .   S .   V o l .   8 8 .   1 9 2 6 .  

(9) 

W o l d , ' C a u s a l i t y  and E c o n o m e t r i c s ' ,  E c o n o m e t r i c a   1 9 5 4 .  p .   1~2 — ^{p. 1 7 7 .}  

R o b e r t  

t r o z   and 

.  Wold,'A T r i p t y c h  on C a u s a l  S y s t e m s ' ,   Econom‑

e t r i c a ,   1 9 6 0 ,   p .   4 1 7 ― ^{p .   4 6 3 .}  

S i m o n ,  Models o f  Man, New Y o r k .  1 9 5 7 .  

Guy 

Orcutt,'Toward  P a r t i a l   R e d i r e c t i o n  o f  E c o n o m e t r i c s ' ,  The Review  o f   Economics and S t a t i s t i c s ,   1 9 5 2 .   p .   195 — p. 2 1 3 .  

' A c t i o n s ,   C o n s e q u e n c e s ,   and  C a u s a ,   ~elations', The Review・of Economics and  S t a t i s t i c s ,   1 9 5 2 .   p .   8 0 5

1 3 .

これら論文の総括的研究として，

G .Garb,'The Problem o f  C a u s a l i t y  i n  E c o n o m i c s .   KYKLOS. V o l .  X V I I .  1 9 6 4 .  

相関（回帰）分析による因果性の認識という考えは，特に

Wold

A .  Simon

7 2  

「推測統計学」における相関分析法について（岩井） I 

6 : ;  

Woldand J u r e e n ,  Demand A n a l y s i s ,  New Y o r k .  1 9 5 3 .  

『需要分析』

p .3 9 ) .  H e r b e r t  A .  Simon; " S p u r i o u s  C o r r e l a t i o n :  A C a u s a l   Interpreta•

t i o n , " .   J .   A S .   A .  V o l .  4 9 .   1 9 5 4

Simon

(HansZ e i s e l )  

( H .Z e i s e l ,   Say I t   w i t h   F i g u r e s .   1 9 4 9 .  

（因果性を反映した相関）も明らかにしようとしている。しかし，「にせの相関」は，既 述のごとく統計的相関の基本的性格から必然的に現象するものであり，統計的相関が因 果性を反映しているか否かは，数学的操作によってではなく，理論的分析によってのみ 明らかにしうるものである。因果性，函数性，相関性に関しては，今野武雄『数学論』

（三笠書店）

p .   61 — ^{p. 6 2 ,}  

( 1 0 )   " I n d u c t i v e  s t a t i s t i c s "

( 1 1 )  

W.J .   Y o u d e n ,  "The F i s h e r i a n  R e v o l u t i o n   i n  Methods o f  E x p e r i m e n t a t i o n , "  J .   A. S .   A v o l .   4 6 .   1 9 5 1  p .   4 7

ている。詳し くは，

R .A .  F i s h e r ' s  S t a t i s t i c a l  Methods f o r  R e s e a r c h  Workers

2 5

( J .A .  S .  A .  v o l .   4 6 ,  1 9 5 1 )  

R .A .  

( 1 2 )  

6 4 . p .   2 4

1.  「推測統計学」の立場からみた

K.

推測統計学の立場から

K .

K . 1 : : . "

( 1 )  

推測統計学理論の基本的特徴は，母集団

( p o p u l a t i o n )

( s a m p l e )

R.A.

（あるいはその集り）に対して，同じ条件のもとで得らるべき数値全体から成る仮想的な 無限母集団を考える。そして手許の資料はその無限母集団からの任意標本であると解釈す る」 (1)「一つの性質または数個の性質に関してある頻度分布に従って分布する無限母集 団を考えることは，すぺての統計的研究の基礎となっている。たとえばある種族に属する 個体や，ー地方の気象に関する限られた経験から，標本の抽出された仮想的な無限母集団

166 

1 5

2

の性質や，さらにわれわれの結論を適用すぺき将来の標本に関してある概念を得ることが できる」 (2)「この母集団の分母はある種の方法で数学的に規定することができて，その 数式の中には幾つかの（普通は少数の）パラメーター（常数）が入ってくる。しかし，実 際にはわれわれはバラメーターの値を正確に知ることは出来ず，その値の推定値を知るこ とが出来るだけであって，それも，多少とも不正確なものとなる。これらの推定値は統計 量とよばれてもちろん観測値から計算されるものである。」 (1)

以上，多少長く引用したが，ここに推測統計学の基本的，一般的な考え方が示めされて いる。すなわち，われわれが手にする資料は母集団から確率的にとりだされた任意標本

(random s a m p l e )であり，統計学の任務はこの標本をもとにして，母集団集団のパラメ

それでは，この推測統計学の立場からみて， K.ビアソンの相関分析法は， どの点で不 充分なものとされたのか

( 2 )   K. ビアソンの推定理論

K. 

N 

e ‑

r , , a , v

{.±.‑竺竺＋立―}

₆

_{a , , a , a , 2}  

rとして，

相関係数 r=

S ( x y )  

nd,,dy を導き，⑧この rの値を測定する際に資料nが大きいならば，測 1‑r2 

定の誤差は正規分布し，したがって確率誤差は

0 . 6 7 4 5 v 

ⁿ 

r

K. ビアソンの推定理論を吟味する上で，特に注目すぺきものは⑧である。獲得された資 料にもとづいて

r

1‑r2 

資料の数が大きなときには，平均

r ,

vn 

1‑r2 

正規分布においては，標準偏差（われわれの湯合-~)と分布の全体の面積を 100 と、

vn

したときの面積との間には次の関係があるとされている。 （表ー

1)

1‑r2  このことは測定値のうちの50%が真値

r

o . 6 7 4 5 vn ― 

1‑r2 

にあること，すなわち土0

. 6 7 4 5 vn 

74 

（表ー 1)

「推測統計学」における相関分析法について（岩井） 167 

r

0 . 6 7 4 5 1‑r2 

Vす

1‑r2  r

.  vn  ‑ 1‑r2  r

2x vu  ‑ 1 ー r 2 r 土 3x vn  ‑

l‑r2  r

cox v  ‑ n 

50.0(%)  _,  6 8 . 3   9 5 . 4   9 9 . 7   1 0 0 . 0  

この50%にあたる誤差をとくに確率誤差と名付けているのであるが，正規分布においては 上述のように確率誤差は標準偏差の0

. 6 7 4 5

さて，今K.ビアソンから一歩進んで1測定値ー相関係数ー（これを

a

真値を推定するという問題を提出してみるなら，上述の確率誤差分布によって，推定の結論

1‑a2 

は「1

0 0

0

r

——, a  ‑0.06745  1‑a2  —-]

V 

n 

n 

標本の概念を導入するならば，

r

r

p ,

①  母集団の分布は正規分布である（独断的に想定される）。母相関係数はPとされる。

②  標本相関係数

( r )の分布は，標本の大きさ ( n )が大であるとき正規分布する。

1‑r2 

③  確率誤差は，

0 . 6 7 4 5 vn 

1‑r2 

④  したがって，母相関係数Pは

5 0

—-, n  r  ‑0.6745  1‑r2 

一〕に存在する。

ii n 

ヽ

168  隔西大學『網清論集』第

1 5

2

上においてわれわれは母集団，標本概念を導入することによって，ビアソンの推定論の 到達点をみた。それではK.ピアソンの理論が批判されるべき点はどの点においてなのか？

母集団， 標本概念の不明確性もその一つの点であることはすでにふれたが， K.ビアソン の理論がいわゆる大標本理論であるという点が大きな批判論点となっているのである。

K. ビアソンにおいては，標本は大きいものとされ，標本分布は正規分布をなすものとさ

を引用しつつ説明して行くと次のとうりになる。

今母相関係数

P =

この

P=

この結果をみると，母相関係数

P=O

r=O

さらに今， 8組の標本を母集団からとった 時，標本相関係数

r

P=0および P=0.8

（表ー

3) 1  2  3  4  5  6  7 

1  2 

゜゜ ゜゜

゜ ^{1  4  :  1} 

゜ ¹ 

゜゜ ゜゜

（表ー

2)

3  4  I  s  ^{6  7} 

゜ ^{1  4  1  1}  ゜゜゜

゜゜

4  8  4  1 

゜

8  1 4   8  4  8  4  1  4  • 1 

゜ ¹  ゜

x Ylx Ylx Ylx ylx Y x Ylx Ylx Y1 

2  3  5  3  4  4  3  3  4  5  4  4  2  4  4  3  3  5  4  4  4  7  4  4  5  5  4  5  5  4  4  4  4  7  5  5  5  2  3  4  3  5  4  5  3  3  2  4  3  5  5  3  6  4  5  4  4  5  7  4  4  3  4  3  6  4  4  5  4  6  4  3  4  4  4  4  4  5  4  3  5  4  4  4  3  5  6  4  3  2  3  4  4  2  7  4  4  3  3  4  4  6  5  4  3  4  5  4  4  4  6  4 

I  ^{r  + o .   1 8}   I  ^{‑0. 2 7}   I  ^{‑0. 4 9}   I  + o .   4 8   I  + o .   5 3   I  ^{‑0. 2 3}   I  ^{+ o .   0 5}   I  + o .   7 2  

次に，標本の大きさの増大につれて，

r

76 

「推測統計学」における相関分析法について（岩井） 169 

（図ー

1)

op= 

r

対称であるが，しかし正規曲線に 比べて中央のふくれが大きい（ち

らばりが大きい）

o  p=0.8

r

きわめて非対称である。

0 . 8

1 . 0

0 . 2

0 . 8

1 . 0

. 8

r

0 . 8

0 . 9

を示すかをみると，次の図のようになることが明らかにされている。

‑ 1 . 0 ‑ 0 . 8  ‑ 0 . 6  ‑ 0 : 4  ‑ 0 . 2   0 0 1   0 . 4   0 . 6   0 . 8   1 . 0   Y 

4 

(`•8\AK

2 1  

（図ー

3)

n : 3 0 0  

（図ー

2)

‑ 0 . 8 ‑ 0 . 7 ‑ 0 . 6 ‑ 0 . 5  M ‑ 0 3 ‑ 0 . 2 ‑ 0 . 1   0  0 . 1   0 2   0 3  0 4   0 . 5   0 . 6   0 . 7   0 . 8   0  0 . 2   0 . 4   .  0 . 6   0 . 8   1 . 0  

1‑p2 

p2 

d , =

^{1  +4 (n‑1)+}

と計算されうることは，明らかにされているので，図からnが大きいと， rは Pに近似す

1‑r2 

るので， d占

V

0 . 6 7 4 5

1‑r2 

の

r

( 0 . 6 7 4 5 vn 

( l ) n

7 5

以上， K.ヒ゜アソンの推定論は標本分布が正規分布であることを前提していたこと。 し

I 7 0   開西大學『網済論集』第1

5

2

かしこれは，標本数

n

I P I

1に近い場合には，標

上の図で示めされたような標本相関係数の精密な分布は，

1 9 0 0

1 9 2 0

けて“ステューデント•

( " S t u d e n t " ,  

G o s s e t ) , R .  A .  フィッシャー( R . A . f i s h e r )

t

z

次節では，その学説史的「発展」過程を考察する。

（） 

1  R .  A. F i s h e r ;  S t a t i s t i c a l  Methods f o r  R e s e a r c h  Workers.  Eleventh E d i t i o n  p .   6 7. 

p .5 )  

(2)  R .  A .  F i s h e r  ;  i b i d  (邦訳） .  p .   3 4 .  

(3) 

K .P e a r s o n  ;  " R e g r e s s i o n ,   H e r e d i t y ,   Pan‑

m i x a , "  P h i l o s o p h i c a l  T r a n s a c t i o n s  o f  t h e  Royal S o c i e t y  o f  London. S e r i e s  A .  V o l .   1‑r2 

1 8 7 .   1 8 9 6 .  

0 . 6 7 4 5 0 6

( 0 . 6 7 4 5 0 6 vn(l+r

1‑r2  v n  

ー ） は ， K.P

e a r s o n  a , n d   L .  

.  F i l o n ;  "On t h e  P r o b a b l e  E r r o r s  o f  Frequency  C o n s t a n t s  and on t h e  I n f l u e n c e  o f  Random S e l e c t i o n  on V . a r i a t i o n  and C o r r e l a t i o n , "  

P h i l .  t r a n s .   R o y .  S o c .  London, S e r i e s  A .  v o l .   1 9 2 .   1 8 9 8において定式化された。

(4) 

1 9 5 8 )p .   132p. 1 3 7 .  

2 .  

1 9 0 8

( " S t u d e n t " ,  

G o s s e t )

1 9 0 8

2

1 )「平均の確率誤差」

( 2 )「相関係数の確率誤

1

t

nの標本 ( x 1

2 , .

標本標準偏差をSとするときの

Z=

/ s

zの分布は今日の t

‑2 

  ―

布をさしている）。この

Z=

/ s

P ( z )=const  x  ( 1  +z2) 

7 8  

「推測統計学」における相関分析法について（岩井） I 7 I  n·=4~10 の場合の函数表が作成された。•そして n~30 となると，

Z= え / s

0'

V

5

Z=

/ s

R . A .  

ステューデント は，第

2

1

N  1  1 炉 ．

戸 ・ 年 ず 元

‑ : : p 2 ) {

布をとりあげた。かれは正規相関曲面の方程式

2 p , , 3

万 戸 が

^(p=

―4 

P=  0

c o n s t x  ( 1 ‑ r 2 )  

以上の

1 9 0

R .A. フィッシャー ( R .A .   F i s h e r )

1 9 1 0

2 0

1 9 0 5

2

2

かれは論文の初めで ステュデント の 2つの論文の要旨を次のようにのぺている。

「 ステューデント＂は，小標本の平均値によって，適切な推定値を得ることを望んで，そ のような標準誤差は一般に，それが抽出される正規母集団の標準偏差とは等しくないとい

う事実も考慮する必要があることをみい出した。」 (4)「これらの

2

2

相関係数の度数分布に関するより困難な問題が試みられた。大きさ

2

2

1

+1

( s h e p p a r d )

比率

4+sin‑1p: ユ

L‑sin‑lp( p

P=0

( i  c o s e c  

c a t  0 )

(1‑r2)2

(1ヂ）デ侶(-¾o-)み

と定式化されている。これは，先の ステューデント によって経験的に推定されていた 相関係数の分布に理論的証明を与えたものである。

またフィッシャーは，従来のビアソン流の確率誤差による相関係数の最良値の推定法の 欠陥を指摘し，従来の方法にかわって，「測定値が領域みに入る確率はPの変化に従っ

"

―1  n―4 

て

(1‑p2)

( 1

x(sin

^{n ‑ 1 ‑ ‑ f}

P

1

1‑r2 

r=p(l

( H a r o l dH o t e l l i n g )  

172  隔西大學『纏演論集』第1

5

2

によると「P の最大推定値」であり， 「現在の検定および推定理論の発展における決定的 ポイントであった」 (7)とされている。

ここで示めされたフィッシャ一の標本相関係数の分布は，

2

9 1 7

( H .  E .  S o p e r ) ,  

( A .W. Young), 

( B .M. C a v e ) ,  

( A . h e e ) ,  

̲ P e a r s o n )の共同研究論文「小標本の相関係数の分布について」

の中で詳細に研究された。ホテリングはこれを次のように評価している。 「彼等は鍛測さ れた解剖学上の相関データを利用し，それに度数分布の大雑把なあてはめを行なって，こ れを P の推定値とその確率極限の計算に際してフィッシャー函数と結びつくべき先験的 分布として用いた。彼らはフィッシャーの統計量分を，

p

( m o d a le s t i m a t e )

1 9 2 1

・ピアソン流の正規分布に基づく近似的推定法にかわって小標本の場合にも使用可能な推 測統計学の推定法は，先の ステュデント 分布(

i分布）と並んで重要な分布である

Z

x 2

t

9 2 4

文で分散分析法を提起している。

数量は

z ,

zの分布から種々の特殊的分布が導かれるのであって，次のようになる。

1) n1=(

1

=n1, 加（第

=oo

z=‑log 2 

（炉/n)を代置すると，

x 2

2) n1=l, 加=n

z=logtとおくと， ステューデント の t

3)  n1=l, n2=00のとき， z=log x

4) n1=n‑l, n2=nであり， rを大きさ，町標本から計算された級内相関係数とす

るとき， z=tan忙1r=-—log(l+r/1-r〕は r の分布をなす。

2 

フィッシャーは，このZ分布について次のようにいっている。「特殊な場合の

2

1

a i r s  

b r o t h e r s )の間に対称的表の

rがそのような相

r=tanhz, ni=N‑1, n2=Nとすると

この変換は，

N

zの分布による rの任意標本の分布をあらわ

( 1 2 )

80 

「推測統計学」における相関分析法について（岩井） 173 

l+r 

'~

r=tan

z=tanh‑1r=21oge 戸 7と定式化されている。

この

Z変換によって，標本相関係数の分布は，母相関係数

Zp(=tanh‑1p)

v ' n

3 

れ，このZ分布の正規性を利用して，相関係数の有意性検定が行なわれるようになった。

なおこの論文では同時に相内比，重相関係数の分布がとりあげられている。

フィ．ッシャーのこれらの

t

z

1 9 2 5

( 1 3 )の中

1 9 2

( 1 4 )

一方，回帰方程式の適合度の測定と回帰係数の有意性検定は，

1 9 2 2

かれは，ビアソンとスルッスキー

( S l u t s k y )の

x 2

の分布を与えた。しかし，この論文の重要な成果は，回帰係数の有意性検定のための

t

かれは一次の回帰方程式

Y=a+b(z

s ( y ( z

s ( z

について， aに関する

t

Z =   (a‑a)v'N

a=

v's(y‑Y)2  c =

t

f J =

Z =  

・

( b . , . ‑/ J ) v ' s (

吹 戸 筍

(b=

となることを明らかにした。この二つの分布によゲて回帰係数の比較，有意性検定が行 なわれるようになった。この回帰係数の有意性検定の方法は，『研究者のための統計的方 法』において，一層明確に整理されている。

以上のように，

1 9 0

1 9 1 5

1 9 2 0

9 3 0

E .S .  

( J . Neyman)等によって補充，

( : 1 )  . . ' S t u J . e n t ' ;  "The p r o b a b l e  e r r o r ・ o f  a  mean,• ̲ B i o m e t r i k a .  6 . 1 9 0 8 .  

(2.)'Student,'"On t h e .  p r o b a b l e  e r r o r  o f  a  c o r r e l a t i o n .  coefficient.• B i o m e t r i k a .  6 .  

1 9 Q 8 .   . 

174  ）鵬西大學『糎済論集』第

1 5

2

(3)  R .  A .  F i s h e r  ;  "The f r e q u e n c y  d i s t r i b u t i o n   o f ・ t h e  v a l u e s  o f  t h e .  c o r r e l a t i o コ c o e f f i c i e n t  i n  s a m p l e s  from an i n d i f i n i t e l y  l a r g e  p o p u l a t i o n :  B i o i n e t r i k a ,   1 0 . 1 9 1 5 .   (4)  R .  A .  F i s h e r  ;  i b i d  :  p .   5 0 7 .  

(5)  R .  A .  F i s h e r  ;  i b i d  :  p .   5 0 8 .   (6)  R .  A .  F i s h e r  ;  i b i d  :  p .   5 2 0 .  

(7)  H a r o l d  H o t t e l i n g  ;  "The I m p a c t  o f  R .  A .  F i s h e r  on Statistics.• J . A . S . A .  V o l .   4 6 .   1 9 5 1 .  

.A .  フィッツャーと近代統計学」統計研究会訳， p . 2 8 )  

(8)  H .  E .   S o p e r ,  A .  W. Y o u n g ,  B .  M. C a v e ,  A .  L e e ,   and K .  P e a r s o n  :  "On t h e   d i s t r i b u t i o n  o f  t h e  c o r r e l a t i o n  c o e f f i c i e n t  i n  s m a l l  samples.•·Biometrika. 1 1 .   1 9 1 7 .   (9)  H .  H o t t e l i n g  ; 

p . 2 8 .  

( 1 0 )   R .  A .  F i s h e r  ;  •on t h e  p r o b a b l e  e r r o r  o f  a  c o e f f i c i e n t  o f  c o r r e l a t i o n  d e d u c e d   from a  s m a l l  s a m p l e , "  M e t r o n .   1 ,   1 9 2 1 . ・  

( 1 1 )   R. A .  F i s h e r  ;  On a  d i s t r i b u t i o

y i e l d i n g  t h e  e r r o r  f u n c t i o n s .  o f  s e v e r a l   w e l l   known  statistics.• P r o c e e d i n g s  o f  t h e  I n t e r n a t i o n a l  M a t h e m a t i c a l  C o n g r e s s ,   1 9 2 4 .   ( 1 2 )   R .  A .  F i s h e r  ;  i b i d ,  p .   8 0 9 .   . 

( 1 3 )   R .  A .  F i s h e r  :  Statistic~l Methods f o r  R e s e a r c h  w o r k e r s .  F i r s t  E d i t i o n ,   1 9 2 5 .   ( 1 4 )   R .   A .  F i s h e r  ;  "The g e n e r a l  s a m p l i n g  d i s t r i b u t i o n  o f  t h e  M u l t i p l e  c o r r e l a t i o n  

coefficient.• P r o c e e d i n g s  o f  t h e  R o y a l  S o c i e t y ,  S e r i e s  A .  v o l .   1 2 1 ,   1 9 2 8 .  

( 1 5 )   R .   A .   F i s h e r  ;  "The G o o d n e s s  o f  F i t  o f   R e g r e s s i o n   Formul

andt h e   D i s ‑ t r i b u t i o n  o f  R e g r e s s i o n   Coefficients.• J .   R .   S .   S .  v o l .   8 5 ,   1 9 2 2 .  

( 1 6 )  

1 .   H .  L. R i e t z  ;  "Comments on A p p l i c a t i o n s   o f   R e c e n t l y   D e v e l o p e d   Theory o f   S m a l l  S a m p l e s , "  J .   A .  S .  A .  V o l .   2 6 ,   1 9 3 1 .  

2 .   P .   R .  R i e d e r  ;  "A Note on S m a l l  Sample T h e o r y , "  ] . A S . A .  V o l .   2 6 ,   1 9 3 1 .   3 .   H .  H o t t e l i n g  ;  " R e c e n t  I m p r o v e m e n t s  i n   S t a t i s t i c a l  I n f l u e n c e ,  

J . A . S . A .V o l .  

2 6 ,   1 9 3 1 .  

4 .   R .  A .  F i s h e r ' s  S t a t i s t i c a l  Methods f o r  R e s e a r c h  Workers

2 5

( J . A . S . A .  V o l .   4 6 ,   1 9 5 1 )  

3 .  

推測統計学における相関理論とは，相関概念そのものには変更を加えることなく．  ，任意 標本を基にして母集団の相関係数，回帰係数，その他のパラメークーを推論する理論であ る。そしてこの推測の手法が， K.ビアソン以後， ステューデント を経てフィッシャー に至って体系化されたことは上にみてきたとうりである。この推定理論を基礎にして手法 を一層手のこんだものとし，これを生物学から，医学，工学，社会科学等へと形式主義的 に応用，拡大せんとするのが，統計学においてはもちろん諸実質科学にも根強くみられる

.  8 2  

「推測統計学」における相関分析法につVヽて（岩井） 1・7 5 

現在の傾向なのである。これは，大橋隆憲氏や岩崎允胤氏が，再三にわたって指摘されて いるように(1), プラグマティズムを哲学的基礎とした現代科学の数学主義，確率論主義 の主要な形態に外ならないのである。相関概念の諸科学での利用も，この現代哲学を背景 として，もっぱら推定理論との結びつきにおいてであるといえる。この手法の歴史的発展 を追ったわれわれは， ここで一応完成形態にある現在の推測統計学での相関概念を用い

・て，推定理論の基本形態と基本概念を明らかにしておこうと思う。

われわれがここで主要なものとしてとりあげるのは，相関と回帰のおのおのについての 検定と推定の手法である。個別的解明に入る前に，すでに簡単に触れたのではあるが，推 定理論の構造について若干予備的説明を行なっておく。

(1)  推定理論が常に母集団と標本の関係を前提することは再三指摘してきたとおりであ る。われわれはまたK.ビアソンが不充分だと批判され，その後の「発展」といわれてい ることも，実は砥集団から確率的に抽出された標本の特性値（平均値，相関係数，回帰係 数等々）の分布を正確に把握することをめぐってであることをみた。それでは，確率的に 抽出された諸標本分布は，検定，推定理論でいかなる意味をもつのか？相関係数Pの母集 団からの任意標本相関係数rを例にとろう。この rの分布が確定されると̲!,ヽうことは，

既知の母集団からのなん回もの標本抽出を想定する時，その諸標本の値がどめように分布 しているかが定められることであり，これによって特定の誤差をもつ標本が全標本のうち の何彩であるかがわかるということである。

今，標本の大きさ が充分大なるものとするとき，標本相関係数9の分布は母相関係 数

P

I

（図ー

4)

. ,  

. ,

‑ 3  

上図からわかるように， ごく概略的にいうならば，

r

しかし，標本相関係数の分布が正規分布であることが確定されることによって，標本相関 係数の分布の標準偏差と全体の面積との関係は，数量的に明らかなので，稀れにしかおこ

らないとか，しばしばおこるという表現が数量的

I C

すなわち表ー

4

6 8

P

lx

v

n

176  腸西大學『鯉済論集』第

1 5

2

1‑r2 

内に，

9 6

9 9 . 7

ii 

n 

、

1‑r2

パーセントが士 3x~内にあるというこ

ii 

n 

とがいえるのである。これが標本分布が確定 されるということの意味である。

・ さて，標本分布は既知母集団から抽出され る標本全体が示す分布であった。しかし，母 集団についてなんらかの推論を行なおうとす るとき，われわれが手にしているのは一組の 標本だけである。この一組だけの標本によっ て毎数を推定する際に媒介手段となるのが，

先の標本分布なのである。母数の推論には，

仮説検定と推定の二形態がある。そのおのお のについていかに推論が行なわれるかをみよ う。

＜仮説検定＞ここでは母集団相関係数値

p

t = ‑ 1 ! .  

< I ,   0 . ゜ 5 0   0 . 6 7 4 5  

1  2  3 

（表ー

4)

p + t < I ,  

p ‑ t < I ,

0 . 3 ゜ 8 2 9   0 . 5  

（図の

0 . A 6 8

2

7分

（図の

A+B

0 . 9 6 4 5  

（図の

A+B+C

0 . 9 9 7 3  

は，たとえば

0 . 7

0 . 7

われわれが今手にしている標本相関係数は頻繁に獲得される値なのか，稀にしか獲得され ない値なのかが問題とされる。もし稀な場合にあたるなら，稀にしか生起しないことが起 るということは，なにか意味がある（有意である）と考えて，母集団の仮説

p=0.7

P = D . 5 ・ …••

しかし，ここで注意しなければならないことは，この検定方式にあっては，仮説の棄却 から次の仮説設定への移行が方法論的に与えられていないことである。すなわち，これに よっては，仮説が客観的事実として生起したか否かを一義的に判定できないのである。し たがって仮説が，事実として危険率（稀な場合）の範囲内に生起したのか，範囲外に生起

したかを判定し得えず，正しい仮説が棄却されてしまう誤謬を常に伴うのである。

＜推定＞相関係数Pの母集団からの標本相関係数は，先の説明によって，

1‑r2  1‑r2 

p 土 1x~内に68バーセント， p 士 2x~

i l n   i l n  

6

1‑r2  1‑r2 

に考えて，母相関係数は

r

1 x ; ; , ; =

8

r

2 x ; ; , ; =

8

6

8 4