問題

.¶ ³

微積分及び演習 I _演習問題 No.1

出題：４月９日（月） 提出期限：４月１６日（月）１３：３０

µ ´

問題

1-1

図

1-1

は

x^`, x^m, xⁿ

のグラフを表します。

(` , m , n

は自然数。

)

y

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

x^l

xm xⁿ

x

xm

xn

図

1-1

(1)` , m , n

の中で奇数はどれ？

(2)` , m , n

の大小関係で正しいものはどれ？

(a) ` < m < n (b) ` < n < m (c) m < ` < n (d) m < n < ` (e) n < ` < m (f) n < m < `

問題

1-2

講義の前半で紹介する微分とは， 『小さな領域でみると，どんな関数も直線に近づく』といっ た内容です。直線を表す関数について復習しましょう。

f(x) =a+b x , g(x) = c+d x

のとき，

(

任意の

x

で

)

以下の等式が成り立つように

α

，

β

，

γ

を決めなさい。

a, b, c, d

は定数を表します。

(1) f(x)g(x) =α+β x+γ x² (2) g(f(x)) =α+β x+γ x² (3) f(g(x)) =α+β x+γ x²

注意

! 2

つの関数，f と

g

を用いて作られる

g(f(x))

や

f(g(x))

のような関数を合成関数と呼びます。

g(f(x))

の代わりに

(g◦f)(x)

と書く場合があります。

¨

§

¥

三宅

p.12¦

¨

§

¥

桑村

§1.4.1,p.7¦

注意

! (1)

は関数の積の微分

¨

§

¥

三宅

p.27¦d

dx (

f(x)g(x) )

= df(x)

dx g(x) +f(x) dg(x)

dx

，(2) と

(3)

は合 成関数の微分

¨

§

¥

三宅

p.28¦df(g(x))

dx = df(u) du

¯¯¯¯

u=g(x)

dg(x)

dx

と関係しています。

問題

1-3

図

1-2

は関数

f(x)

のグラフを表します。山の頂点の座標は

(1,2)

で，破線は

x → ±∞

^で

f(x)

が

1

に近づくこと

( lim

x→±∞f(x) = 1)

を示しています。

y

x ( )

y=f x

1 1

2

0

図

1-2

図

1-2

にならって，次の関数のグラフの概形を描 きなさい。また，山の頂点の座標と

x→ ±∞

^で 関数が近づく値を書きなさい。

(1) g₁(x) = 3f(x−2) + 1 (2) g₂(x) = 2f(x+ 1)−1 (3) g3(x) = 3f(2x−5) + 1

問題

1-4cos(x)

は

n

を整数とすると，

x= 2nπ

で最大値

1

をとり，

x= (2n+ 1)π

で最小値

−1

をとり ます。次の関数，

y= 3 cos (

πx+ π 10

) ,

の最大値と最大値を与える

x

の値をを求めなさい。また，最小値と最小値を与える

x

の値をを求

めなさい。

¶ ³

微積分及び演習 I 演習問題 No.1 略解

µ ´

解

1-1

(1)

グラフより

x^`

は偶関数，

x^m, xⁿ

は奇関数なので，

m

と

n

が奇数。

(2)

グラフの大小関係より

n < ` < m

。従って

(e)

が正しい。

解

1-2 (1)

f(x)g(x) = (a+b x)(c+d x) =ac+ (ad+bc) x+bd x² (p1.1)

より，

α=ac , β =ad+bc , γ =bd . (p1.2) (2)

g(f(x)) =c+d f(x) =c+d(a+b x) =c+da+db x (p1.3)

より，

α=c+ad , β =bd , γ = 0. (p1.4) (3)

f(g(x)) =a+b g(x) =a+b (c+d x) =a+bc+bd x (p1.5)

より，

α=a+bc , β =bd , γ = 0. (p1.6)

解

1-3

(1)

山の頂点の

x

座標は，

x−2 = 1

より，

x = 3

。そのときの関数の値は

y = 1 + 3×2 = 7

。 従って，山の頂点の座標は

(3,7)

となる。また，

x→ ±∞

で関数が近づく値は以下となる：

x→±∞lim g₁(x) = 1 + 3 lim

x→±∞f(x−2) = 1 + 3×1 = 4. (p1.7) (2)

山の頂点の

x

座標は，

x+ 1 = 1

より，

x = 0

。そのときの関数の値は

y=−1 + 2×2 = 3

。

従って，山の頂点の座標は

(0,3)

となる。また，

x→ ±∞

で関数が近づく値は以下となる：

x→±∞lim g₂(x) =−1 + 2 lim

x→±∞f(x+ 1) =−1 + 2×1 = 1. (p1.8)

それぞれの関数のグラフは以下となる：

y

0 3 x

4 7

1( ) y=g x

y=g1(x)

のグラフ

y

0 x 1 3

2( ) y=g x

y=g2(x)

のグラフ

(3)

山の頂点の

x

座標は，

2x−5 = 1

より，

x = 3

。そのときの関数の値は

y = 1 + 3×2 = 7

。 従って，山の頂点の座標は

(3,7)

となる。また，

x→ ±∞

で関数が近づく値は以下となる：

x→±∞lim g1(x) = 1 + 3 lim

x→±∞f(2x−5) = 1 + 3×1 = 4. (p1.9)

関数のグラフは以下となる：

y

0 3 x

4 7

3( ) y=g x

1( ) y=g x

y=g₃(x)

と

y=g₁(x)

のグラフ

注意

! g1(x)

と

g3(x)

のグラフを比べると，g

3(x)

の方が山の幅が狭くなっているのがわかる。

解

1-4 cos (

πx+ π 10

)

= 1

となる場合に関数は 最大値

3

をとる。そのときの

x

の値は

πx+ π

10 = 2πn

より

x=−1 10 + 2n

(

=−0.1 + 2n )

, n= 0,±1,±2· · · (p1.10)

となる。

また，

cos (

πx+ π 10

)

=−1

となる場合に関数は 最小値

−3

をとる。そのときの

x

の値は

πx+ π

10 =π(2n+ 1)

より

x= 9 10+ 2n

(

= 0.9 + 2n )

, n= 0,±1,±2· · · (p1.11)

となる。

(

参考

) −2≤x≤1

でのグラフは以下のようになる：

x y

−1.6

−1.1

−0.1 0.6 0.9

− 0.4

¶ ³

微積分・演習 I 演習問題 No.2

出題：４月１６日（月） 提出期限：４月２３日（月）１３：３０

µ ´

問題

2-1

指数関数，対数関数，合成関数

f(x)

を問題

1-3

で用いた関数とします。

(1) g(x) =f(e^x)

とするとき，g(0)，

lim

x→∞g(x)

の値を求めなさい。

(2) g(x) = logf(x)

とするとき，g(1)，

lim

x→∞g(x)

の値を求めなさい。

問題

2-2

逆関数

¨

§

¥

例題

13.1¦

y= sinhx

の逆関数

y=f(x)

を初等関数で表しなさい。

問題

2-3 e

の定義

¨

§

¥

三宅 定理

1.3.2¦

¨

§

¥

三宅 定理

1.2.2¦

¨

§

¥

三宅 定理

1.2.3¦

公式

lim

x→0(1 +x)^1/x =e

を用いて，次の極限値を求めなさい。

(1) lim

x→0

( 1 + 3x

)1/x

(2) lim

x→0

(1 + 3x 1−5x

)1/x

問題

2-4

関数の連続性

(1)^¨_§

例題

15.1^¥_¦

以下の関数

f(x)

が

x = 1

で連続となるように定数

c

の値を定めること ができる場合は，その値を求めなさい。

f(x) =







c (x= 1) 3x²−5x+ 2

x²−4x+ 3 (x6= 1) (2)^¨_§

三宅 問題

1.2-1.(1)’^¥_¦

¨

§

¥

例題

15.2¦

以下の関数

f(x)

が

x = 0

で連続となるように定数

c

の値を定めることができる場合は，その値を求めなさい。

f(x) =







c (x= 0

のとき)

√1 +x²−√ 1−x²

x² (x6= 0

のとき)

¶ ³

微積分・演習 I 演習問題 No.2 略解

µ ´

解

2-1

(1)

g(0) =f(e⁰) =f(1) = 2, (p2.1)

xlim→∞g(x) = lim

x→∞f(e^x) ^t=e=^x lim

t→∞f(t) = 1. (p2.2)

注意

!

上式の２つめの等式以降は，本来はていねいに「ここで，

t=e^x

とすると，

xlim→∞f(e^x) = lim

t→∞f(t) = 1

となる。」と書くべきですが，省略して

^t=e=^x

と書きました。

(2)

g(1) = logf(1) = log 2, (p2.3)

xlim→∞g(x) = lim

x→∞logf(x) = log (

xlim→∞f(x) )

= log 1 = 0. (p2.4)

解

2-2 y= sinhx

の

x

と

y

を入れ換えた式，

x= sinhy= 1 2

(

e^y−e^−y )

, (p2.5)

から出発して，y

=· · ·

の形の式を求めます。ここで，a

=e^y

とすると

a− 1

a = 2x ,

より

a²−2xa−1 = 0 (p2.6)

が得られます。この式を

a

についての

2

次方程式と考えると，解としては

a=x±√

x²+ 1 (p2.7)

の２つが得られますが，a

=e^y >0

なので，

a=e^y =x+√

x²+ 1 (p2.8)

が適当な解となります。両辺の対数をとると

y= log (

x+√ x² + 1

)

. (p2.9)

従って，

f(x) = log (

x+√ x²+ 1

)

(p2.10)

が得られます。

注意

!

例題

13.1

で考えた

cosh

の逆関数，

y = log (

x+√ x²−1

)

，の場合は，

x

の値に

x≥1

という制限がつきましたが，

sinh

の逆関数は

−∞< x <∞

^{で定義されていて}

x

の値に制限はつ

きません。

解

2-3 (1)

x→0lim (

1 + 3x

)1/x t=3x

= lim

t→0

( 1 +t

)3/t

= (

limt→0

( 1 +t

)1/t)3

=e³. (p2.11)

(2) (

1 + 3x 1−5x

)1/x

= (1 + 3x)^1/x (1−5x)^−1/x (p2.12)

となります。

(1)

より

lim

x→0(1 + 3x)^1/x =e³

。また，

xlim→0(1−5x)^{−1/x t=}=^−5x lim

t→0

( 1 +t

)5/t

= (

limt→0

( 1 +t

)1/t)5

=e⁵. (p2.13)

従って，

xlim→0

(1 + 3x 1−5x

)1/x

= lim

x→0(1 + 3x)^1/x lim

x→0(1−5x)^−1/x =e³e⁵ =e⁸. (p2.14)

注意

!

上の一つ目の等式では，

lim

x→af(x)

，

lim

x→ag(x)

が収束する場合，

lim

x→a

(

f(x)g(x) ) ( =

xlim→af(x) ) (

xlim→ag(x) )

が成り立つことを用いています。

^¨_§

三宅

p.10,

定理

1.2.1 (3)^¥_¦

なお，次のように考えることもできます：

1 + 3x

1−5x = 1−5x+ 8x

1−5x = 1 + 8x

1−5x (p2.15)

なので，

t= 8x

1−5x

とおくと，

x= t

8 + 5t, 1

x = 8 + 5t t = 8

t + 5 (p2.16)

となります。これより

(

1 + 3x 1−5x

)1/x

= (1 +t)^8/t+5 (p2.17)

なので，

xlim→0

(1 + 3x 1−5x

)1/x

= (

limt→0(1 +t)^1/t )8

limt→0(1 +t)⁵ =e⁸. (p2.18)

解

2-4

(1)

分子，分母とも

x= 1

で

0

となる多項式なので

x−1

を因数に持つはず：

xlim→1f(x) = lim

x→1

3x²−5x+ 2

x²−4x+ 3 = lim

x→1

(x−1)(3x−2) (x−1)(x−3) = lim

x→1

3x−2 x−3 =−1

2 (p2.19)

より

c=−1/2

とすれば

f(x)

は

x= 1

で連続 となります。

(2)

xlim→0f(x) = lim

x→0

√1 +x²−√ 1−x²

x² = lim

x→0

√1 +x² −√ 1−x² x²

√1 +x²+√ 1−x²

√1 +x²+√ 1−x²

= lim

x→0

1 +x²−(1−x²) x²(√

1 +x²+√

1−x²) = lim

x→0

√ 2

1 +x²+√

1−x² = 1 (p2.20)

なので，c

= 1

とすれば

f(x)

は

x= 0

で連続 となります。

.¶ ³

微積分及び演習 I _演習問題 No.3

出題：４月２３日（月） 提出期限：４月３０日（月）１３：３０

µ ´

問題

3-1^¨_§

三宅 問題

1.2-1(4)’,(5)’^¥_¦

公式

lim

x→0

sinx

x = 1

を用いて，次の極限値を求めなさい：

(1) lim

x→0

sin(2x)

sin(5x) (2) lim

x→0

1−cos(3x) x²

問題

3-2^¨_§

例題

18.2^¥_¦

(1)

中間値の定理を用いて，方程式

sinx−xcosx= 0 (p3.1)

が

2π

と

3π

の間に実数解をもつことを示しなさい。

(2)

中間値の定理を用いて，方程式

x³ 12− x²

2 + 1 = 0 (p3.2)

が

1

と

2

の間に実数解をもつことを示しなさい。

問題

3-3^¨_§

三宅 問題

1.2-6’^¥_¦

プリント

p.18

の

^¨_§

例題

18.3^¥_¦

にならって，図

3-1

のように直線状のゴムが縮む 場合にも位置の変わらない点があることを，中間値の定理を用いて示しなさい。すなわち，連続 な関数

f(x)

により，区間

I = [0,1]

がその内部に写される場合に，

f(x0) =x0

となる点

x0 ∈I

が存在することを示しなさい。

x x

0

0

1

1

x0

( )0

f x

図

3-1

問題

3-4^¨_§

例題

20.1^¥_¦

微分の定義

(19.4)

にしたがって，次の関数

f(x)

の導関数

f⁰(x) = lim

h→0

f(x+h)−f(x)

h

をそれぞれ求めなさい。

(1) f(x) = 1

x²+ 1 (2) f(x) =√ x²+ 1

.

微積分及び演習 I _演習問題 No.3 _略解

µ ´

解

3-1

(1) sin(2x) sin(5x) = 2

5

sin(2x) 2x

5x

sin(5x)

となります。また，

xlim→0

sin(2x) 2x

θ=2x= lim

θ→0

sinθ

θ = 1, lim

x→0

5x sin(5x)

θ=5x= lim

θ→0

θ

sinθ = 1 (p3.1)

なので，

xlim→0

sin(2x) sin(5x) = 2

5lim

x→0

sin(2x) 2x lim

x→0

5x

sin(5x) = 2

5. (p3.2)

(2) cos(3x) = 1−2 sin² (3x

2 )

なので，

xlim→0

1−cos(3x)

x² = lim

x→02sin²(_3x

2

) x²

θ=3x/2

= 9

2 lim

θ→0

(sinθ θ

)2

= 9 2

( lim

θ→0

sinθ θ

)2

= 9

2. (p3.3)

次のように考えることもできます：

xlim→0

1−cos(3x) x² = lim

x→0

1−cos(3x) x²

1 + cos(3x) 1 + cos(3x) = lim

x→0

1−cos²(3x) x²(1 + cos(3x))

= 9 lim

x→0

(sin(3x) 3x

)2

1

1 + cos(3x) = 9 (

xlim→0

sin(3x) 3x

)2 xlim→0

1 1 + cos(3x)

= 9

2. (p3.4)

注意

!

問題

2-4

や問題

3-1

のような，分子も分母もともに

0

になるような関数の極限は後に説 明するロピタルの定理

(^¨_§

三宅

p.36^¥_¦)

を用いると機械的に計算できるようになります。

解

3-2

(1) f(x) = sinx−xcosx

とおくと，f

(x)

は連続で

f(2π) = −2π < 0, f(3π) = 3π >0

なので，中間値の定理より

x= 2π

と

x= 3π

の間に

f(x) = 0

となる

x

が少なくとも 一つあることがわかります。つまり，方程式

f(x) = 0

は

x= 2π

と

x= 3π

の間に少 なくとも一つの解を持つことがわかります。

( ) f x

/ x π

(

参考図

) f(x)

のグラフ。解答には必要ありません。

(2) f(x) = x³ 12− x²

2 + 1

とおくと，f

(x)

は連続で

f(1) = 7

12 >0, f(2) = −1

3 <0

なの で，中間値の定理より

x= 1

と

x= 2

の間に

f(x) = 0

となる

x

が少なくとも一つあ ることがわかります。つまり，方程式

f(x) = 0

は

x = 1

と

x= 2

の間に少なくとも 一つの解を持つことがわかります。

x ( )

f x

(

参考図

) f(x)

のグラフ。解答には必要ありません。

解

3-3

図

3-1

より，f(0)

>0，f(1)<1

なので，g(x) =

f(x)−x

とすると，

g(0) =f(0) >0, g(1) =f(1)−1<0 (p3.5)

となります。関数

f(x)

は

[0, 1]

で連続と考えられるので，g(x) も連続。従って，中間値 の定理より

g(x₀) = 0，すなわちf(x₀) =x₀

となる

x₀ ∈(0,1)

の存在が示されます。

解

3-4 (1)

f⁰(x) = lim

h→0 1

(x+h)²+1 −_x2¹+1

h =−lim

h→0

(x+h)²+ 1−(x² + 1) (

(x+h)²+ 1 )(

x²+ 1 )

h

= −lim

h→0

x+h+x (

(x+h)²+ 1 )(

x²+ 1

) x+h−x

h =− 2x

(x²+ 1)² . (p3.6) (2)

f⁰(x) = lim

h→0

√(x+h)² + 1−√ x²+ 1 h

= lim

h→0

(√(x+h)²+ 1−√

x²+ 1)(√

(x+h)²+ 1 +√ x²+ 1

) h(√

(x+h)²+ 1 +√ x²+ 1

)

= lim

h→0

√ 1

(x+h)² + 1 +√ x²+ 1

(x+h)²+ 1−(x²+ 1) h

= lim

h→0

x+h+x

√(x+h)² + 1 +√ x²+ 1

x+h−x

h = x

√x²+ 1. (p3.7)

.

微積分・演習 I 演習問題 No.4

出題：４月３０日（月） 提出期限：５月７日（月）１３：３０

µ ´

問題

4-1

関数

f(x)

の導関数が

f⁰(x)

である場合に，以下の

(

例

)

にならって，次の関数

g(x)

の導関 数を，導関数の定義式，

g⁰(x) = lim

h→0

g(x+h)−g(x)

h

，からそれぞれ求めなさい。

(

答には，

f(x)

や

f⁰(x)

が現れます。

)

(

例

) g(x) = (f(x) + 1)²

の場合は，

g⁰(x) = lim

h→0

(f(x+h) + 1)²−(f(x) + 1)² h

= lim

h→0

(

f(x+h) + 1 +f(x) + 1

) f(x+h) + 1−(f(x) + 1) h

= lim

h→0

(

f(x+h) + 1 +f(x) + 1 )

hlim→0

f(x+h)−f(x)

h = 2

(

f(x) + 1 )

f⁰(x).

合成関数の公式を用いる方が簡単ですが，ここではこの公式を納得するために導関数の定義式か ら計算して下さい。

f(x+h)−f(x)

h

の形が現れるように右辺を変形してみましょう。問題

3-4

の

(1)

や

(2)

の

x²

が

f(x)

になったと考えて計算手順を見比べて下さい。

(1) g(x) = 1

f(x) + 1 (2) g(x) =√

f(x) + 1

問題

4-2^¨_§^(23.9)¥_¦

次の

2

つの関数

f1(x) =x², f2(x) = (x−2)²

4 −1 = x²−4x 4

の共通接線を次の手順で求めなさい。

(

図

4-1)

(1)

関数

f1(x)

の点

(a, f1(a))

での接線の式を

g₁(x) =Ax+B

とするとき，

A

と

B

を

a

で 表しなさい。

(2)

関数

f₂(x)

の点

(b, f₂(b))

での接線の式を

g2(x) = Cx +D

とするとき，

C

と

D

を

b

で表しなさい。

(3)

連立方程式

{A=C , B =D}

^から，

a

と

b

を 求めなさい。

(

共通接線は

2

本あります。

)

x

1( ) f x

2( ) f x y

図

4-1

問題

4-3^¨_§

例題

24.1^¥_¦

問題

3-2

の

(2)

で考えた方程式

f(x) = 0,

ただし

f(x) = x³

12 −x² 2 + 1

は区間

(1,2)

内に解を持つことがわかっています。また，

関数

f(x)

は

x= 2

の近くで接線

g(x) =f(2) +f⁰(2)(x−2)

で近似できます。方程式

g(x) = 0

を解いて，方程式

f(x) = 0

の近似解を求めなさい。

(

図

4-2)

なお，

f(x) = 0

の区間

(1,2)

内の解は

x= 1.663· · ·

^{となります。}

( ) f x

( ) g x

x

図

4-2

¶ ³

微積分・演習 I 演習問題 No.4 略解

µ ´

解

4-1 (1)

g⁰(x) = lim

h→0 1

f(x+h)+1− _f(x)+1¹

h = lim

h→0

f(x) + 1−(f(x+h) + 1) (f(x) + 1)(f(x+h) + 1)h

= −lim

h→0

1

(f(x) + 1)(f(x+h) + 1)

f(x+h) + 1−(f(x) + 1) h

= −lim

h→0

1

(f(x) + 1)(f(x+h) + 1) lim

h→0

f(x+h)−f(x) h

= − f⁰(x)

(f(x) + 1)². (p4.1)

(2)

g⁰(x) = lim

h→0

√f(x+h) + 1−√

f(x) + 1 h

= lim

h→0

(√f(x+h) + 1−√

f(x) + 1)(√

f(x+h) + 1 +√

f(x) + 1 ) (√f(x+h) + 1 +√

f(x) + 1 )

h

= lim

h→0

√ 1

f(x+h) + 1 +√

f(x) + 1

f(x+h) + 1−(f(x) + 1) h

= lim

h→0

√ 1

f(x+h) + 1 +√

f(x) + 1 lim

h→0

f(x+h)−f(x) h

= f⁰(x) 2√

f(x) + 1. (p4.2)

解

4-2

(1)f1(x)

の導関数は

f₁⁰(x) = dx²

dx = 2x

なので，

(a , f1(a))

での接線の式は

g₁(x) =f₁(a) +f₁⁰(a)(x−a) =a²+ 2a(x−a) = 2a x−a² (p4.3)

となります。従って

A= 2a , B =−a². (p4.4)

(2)f₂(x)

の導関数は

f₂⁰(x) = 1 4

d(x²−4x)

dx = x−2

2

^なので，

(b , f₂(b))

での接線の式は

g2(x) =f2(b) +f₂⁰(b)(x−b) = b²−4b

4 +b−2

2 (x−b) = b−2

2 x−b²

4 (p4.5)

となります。従って

C = b−2

2 , D=−b²

4 . (p4.6)

(3){A=C , B=D}

^より，

a

と

b

についての連立方程式

2a= b−2

2 , a²= b²

4 (p4.7)

が得られます。第

1

式，

b= 4a+ 2

，を第

2

式に代入して得られる

2

次方程式

3a²+ 4a+ 1 = (a+ 1)(3a+ 1) = 0 (p4.8)

より，

a=−1, b=−2 (

共通接線の式は

y

＝

−2x−1) (p4.9)

と

a=−1

3, b= 2 3

(

共通接線の式は

y=−2 3 x−1

9 )

(p4.10)

が得られます。

なお，

(p4.7)

の第

2

式から得られる

a=±b

2 (p4.11)

を第

1

式に代入して，

a

，

b

を求めることもできます。

注意

!

答えを

a=−1,−1

3

^，

b=−2, 2

3

^{のように書くと，}

a=−1, b= 2

3

^{なども解である} かのように見えるので，この場合は

a

と

b

をペアにして答えを書きましょう。

解

4-3 f(x)

の導関数は

f⁰(x) = df(x) dx = 1

12 dx³

dx −1 2

dx² dx = x²

4 −x (p4.12)

なので，

f(x)

の

x= 2

での接線の式は

g(x) =−1

3 −(x−2) =−x+5

3 (p4.13)

となります。従って

g(x) = 0

より

x= 5 3

(

= 1.666· · ·)

(p4.14)

が方程式

f(x) = 0

の近似解となります。

尚，上で得られた近似解

x= 5

3

^{を接点とする接線は}

y=h(x) =−35

36 (

x−5 3

)

− 1

324 =−35

36 x+131

81 (p4.15)

となるので，ニュートン法をもう一度用いた近似解は

x= 36

35 131

81 = 524

315 = 1.66349· · · (p4.16)

となります。

¶ ³

微積分及び演習 I 演習問題 No.5

出題：５月７日（月） 提出期限：５月１４日（月）１３：３０

µ ´

注意

!

以下は合成関数の微分の公式，

(25.6)

，

df(g(x))

dx = df(u) du

¯¯¯¯

u=g(x)

dg(x) dx

の練習です。この公式を使う場合，微分する関数のどの部分を

u=g(x)

と見なすかを自分で 決めなければなりません。

df(u)/du

の計算が最初のステップなので，

f(u)

は

(

問題

5-3

のよ うに，

f(x)

の導関数が問題に与えられている場合を除き

) (27.1) ∼(27.4)

に現れる基本的な 関数，つまり

u^α, sin(u), cos(u), e^u, log|u|

のどれかになっている必要があります。

問題

5-1

次の関数を微分しなさい。ただし，微分の定義にもどって極限の計算をする必要は ありません。(以下の問についても同じです。)

(1) x⁵+ 3x²+ 4 (2) (x−1)⁶ (3) (x⁵+ 3x²+ 4)²⁴

問題

5-2

次の関数を微分しなさい。

(1) 1

1 +x+x² (2) √

(1 +x+x²)³ (3) cos(x³−2x) (4) cosec(x²+ 1)

(

= 1

sin(x²+ 1) )

(5) 3^√x2+x+1 (6) e^cos(x3−2x)

(

= exp (

cos(x³−2x) ))

(7) log|x²+x+ 1|

問題

5-3

関数

f(x)

の導関数を

f⁰(x)

とするとき，次の関数を微分しなさい。答には

f()

や

f⁰()

が現れます。

(1) f(x³−2x) (2) e^f(x3−2x) (3) f (

sin(x³−2x) )

(4) sin (

f(x³ −2x) )

¶ ³

微積分及び演習 I 演習問題 No.5 略解

µ ´

解

5-1

(1) (x^α)⁰ =αx^α−1

を用います：

d(x⁵+ 3x²+ 4)

dx = dx⁵

dx + 3dx²

dx = 5x⁴+ 6x (

=x(5x³+ 6) )

. (p5.1)

(2) u=x−1

とおいて合成関数の微分の公式を用います:

d(x−1)⁶

dx = du⁶ du

¯¯¯¯

u=x−1

du

dx = 6u⁵|u=x−1

d(x−1)

dx = 6(x−1)⁵. (p5.2)

注意

! (x−1)⁶

を展開してから微分しても間違いではありませんが，合成関数の微

分を用いた方が計算が簡単になるのでお薦めです：

d(x−1)⁶

dx = d

dx (

x⁶−6x⁵ + 15x⁴−20x³+ 15x²−6x+ 1 )

= 6x⁵−30x⁴+ 60x³−60x² + 30x−6

= 6 (

x⁵−5x⁴+ 10x³−10x²+ 5x−1 )

= 6(x−1)⁵.(p5.3) (3) u=x⁵+ 3x² + 4

とおいて合成関数の微分の公式を用います。du/dx の計算には

(1)

の結果が使えます。24 乗を展開しようとするのはやめましょう：

d dx

(x⁵+ 3x²+ 4)24

= du²⁴ du

¯¯¯¯

u=x⁵+3x²+4

du

dx = 24u²³¯¯

u=x⁵+3x²+4

d(x⁵+ 3x²+ 4) dx

= 24(

x⁵+ 3x²+ 4)23 (

5x⁴+ 6x)

. (p5.4)

解

5-2

(1) u= 1 +x+x²

とおいて合成関数の微分の公式を用います:

d dx

1

1 +x+x² = d dx

(1 +x+x²)₋1

= du⁻¹ du

¯¯¯¯

u=1+x+x²

du dx

= −u⁻²¯¯

u=1+x+x²

d(1 +x+x²) dx

= −(

1 +x+x²)₋2

(1 + 2x) (

=− 1 + 2x (1 +x+x²)²

)

. (p5.5) (2) u= 1 +x+x²

とおいて合成関数の微分の公式を用います:

d dx

√(1 +x+x²)³ = d dx

(1 +x+x²)3/2

= du^3/2 du

¯¯¯¯

u=1+x+x²

du dx

= 3

2u^3/2−1¯¯

¯¯u=1+x+x²

d(1 +x+x²) dx

= 3

2(2x+ 1)(1 +x+x²)^1/2 (

= 3

2(2x+ 1)√

1 +x+x² )

. (p5.6)

(3) u=x³−2x

とおいて合成関数の微分の公式を用います:

d dx cos(

x³−2x)

= dcos u du

¯¯¯¯

u=x³−2x

du

dx =−sinu|_u=x³_−2x d(x³ −2x) dx

= −(3x²−2) sin(

x³−2x)

. (p5.7)

(4)

必要なら合成関数の微分の公式を複数回使います：

d dx

1

sin(x²+ 1) = du⁻¹ du

¯¯¯¯

u=sin(x²+1)

du

dx =−u⁻²¯¯

u=sin(x²+1)

dsin(x²+ 1) dx

=− 1

sin²(x²+ 1)

dsin(v) dv

¯¯¯¯

v=x²+1

dv

dx =− 1

sin²(x²+ 1) cos(v)|v=x²+1 2x

=−2xcos(x²+ 1)

sin²(x²+ 1) . (p5.8)

(5)

指数関数と対数関数が互いに逆関数であるという関係

x=e^logx (p5.9)

を用いて，3

^√x2+x+1

を

e^···

の形にしてみましょう；

3

√x²+x+1

= exp (

log 3

√x²+x+1)_(11.1)

= exp (√

x²+x+ 1 log 3 )

. (p5.10) d

dx 3^√x2+x+1 = d dx exp

(√

x²+x+ 1 log 3 )

= e^u|_u=^√_x²_{+x+1 log 3} du dx

= e^u|_u=^√_x²_{+x+1 log 3} log 3 d(x²+x+ 1)^1/2

dx =e^{√x2+x+1 log 3} log 3 dv^1/2 dv

¯¯¯¯

v=x²+x+1

dv dx

= log 3 3

√x²+x+1 1 2v^−1/2¯¯

¯¯v=x²+x+1

d(x²+x+ 1) dx

= log 3

2 3^√x2+x+1(x²+x+ 1)^−1/2 (2x+ 1)

= log 3

2 3^√x2+x+1 (2x+ 1)(x²+x+ 1)^−1/2 (p5.11) (

= log 3 2

2x+ 1

√x²+x+ 13^√x2+x+1 = log 3 2

2x+ 1

√x²+x+ 1e^{√x2+x+1 log 3} )

. (p5.12)

指数関数，

a^x

，の微分の式

(28.3) da^x

dx =a^xloga ^¨_§

三宅

p.30^¥_¦

¨

§

¥

桑村

p.78¦

¨

§

¥

川薩四

p.77¦ (p5.13)

を使っても，もちろんかまいません：

d

dx 3^√x2+x+1 = d3^u du

¯¯¯¯

u=√ x²+x+1

du

dx = 3^ulog 3|_u=^√_x²_+x+1 d(x²+x+ 1)^1/2

dx =

= 3^√x2+x+1 log 3 dv^1/2 dv

¯¯¯¯

v=x²+x+1

dv

dx = log 3 3^√x2+x+1 1 2v^−1/2¯¯

¯¯v=x²+x+1

d(x² +x+ 1) dx

= log 3 2 3

√x²+x+1

(x²+x+ 1)^−1/2 (2x+ 1). (p5.14)

f(x) = 3^√x2+x+1 (p5.15)

の両辺の対数をとってから微分することもできます

(対数微分法 ^¨_§

桑村

p.78^¥_¦

¨

§

¥

川薩四

p.76¦)

：

logf(x) =√

x²+x+ 1 log 3. (p5.16)

左辺の微分は

dlogf(x)

dx = dlogu du

¯¯¯¯

u=logf(x)

df(x) dx = 1

u

¯¯¯¯

u=logf(x)

df(x) dx = 1

f(x) df(x)

dx (p5.17)

となります。一方，右辺の微分は

d(√

x²+x+ 1 log 3)

dx = log 3 d(x²+x+ 1)^1/2

dx = log 3 du^1/2 du

¯¯¯¯

u=x²+x+1

d(x²+x+ 1) dx

= log 3 1

2 u^−1/2¯¯

¯¯u=x²+x+1

(2x+ 1) = (2x+ 1) log 3 2√

x²+x+ 1 (p5.18)

となります。従って，

1 f(x)

df(x)

dx = (2x+ 1) log 3 2√

x²+x+ 1 (p5.19)

より，

df(x)

dx = (2x+ 1) log 3 2√

x² +x+ 1 f(x) = (2x+ 1) log 3 2√

x²+x+ 1 3

√x²+x+1

. (p5.20)

(6) (3)

の結果が使えます:

d

dx e^cos(x3−2x) = de^u du

¯¯¯¯

u=cos(x³−2x)

du

dx = e^u|_u=cos(x³_−2x) dcos(x³−2x) dx

(3)= −(3x²−2) sin(

x³−2x)

e^cos(x3−2x). (p5.21) (7)

d

dxlog¯¯x²+x+ 1¯¯ = dlog|u| du

¯¯¯¯

u=x²+x+1

du dx = 1

u

¯¯¯¯

u=x²+x1

(2x+ 1)

= 2x+ 1

x²+x+ 1. (p5.22)

なお，x

²+x+ 1 = (x+ 1/2)²+ 3/4>0

なので，

|x²+x+ 1|=x²+x+ 1

です。

解

5-3 (1)

(

f(x³−2x) )₀

= df(x³−2x)

dx = df(u) du

¯¯¯¯

u=x³−2x

du

dx = f⁰(u)|_u=x³_−2xd(x³−2x) dx

= (3x²−2)f⁰(x³−2x). (p5.23)

(2) (1)

の結果が使えます:

(

e^f(x3−2x) )₀

= de^f(x3−2x)

dx = de^u du

¯¯¯¯

u=f(x³−2x)

du

dx = e^u|_u=f(x³_−2x) df(x³ −2x) dx

(1)= e^f(x3−2x) (3x²−2) f⁰(x³−2x). (p5.24) (3)

(

f(sin(x³−2x)) )₀

= df(sin(x³−2x))

dx = df(u) du

¯¯¯¯

u=sin(x³−2x)

du dx

= f⁰(u)|_u=sin(x³_−2x) dsin(x³−2x)

dx =f⁰(sin(x³−2x)) dsin(v) dv

¯¯¯¯

v=x³−2x

dv dx

=f⁰(sin(x³−2x)) cos(v)|_v=x³_−2x d(x³−2x) dx

=f⁰(sin(x³−2x)) (3x²−2) cos(x³−2x). (p5.25) (4) (1)

の結果が使えます:

(

sin(f(x³−2x)) )₀

= dsin(f(x³−2x))

dx = dsin u du

¯¯¯¯

u=f(x³−2x)

du dx

= cos u|_u=f(x³_−2x)df(x³−2x) dx

(1)= cos(f(x³−2x)) (3x²−2) f⁰(x³−2x). (p5.26)