問題

微積

I.

問

1.1

¶ ³

微積分・演習 I 演習問題 No.1

出題：４月１０日（木） 提出期限：４月１６日（水）１５：００

µ ´

問題

1-1

以下の問いに答えなさい。

(1)

一辺の長さが

d

の正６角形の面積を

d

の関数として表しなさい。

(2)

半径

r

中心角（単位はラジアン）θ の扇形の周の長さ（直線部分も含む）を

r

と

θ

の関数として表しなさい。

(3)

ある放射性元素は放射線を出しながら

1

日で半分の量に減る。ある時点のこの放射 性元素の量を

a

としたとき，それから

n

日後の量を

a

と

n

の関数として表しな さい。

問題

1-2 25^3/2, 10^2/3·10^−8/3, (

3^√2 )^√2

の値をそれぞれ計算しなさい。

問題

1-3 log₂256, log₁₀0.001, log₆3 + log₆12

の値をそれぞれ計算しなさい。

問題

1-4 sin7π

3 , cos2π 3 , sin

(−π 2

)

, sin(1112π)

の値をそれぞれ求めなさい。

問題

1-5 cosθ =a , sinθ > 0

の場合に

tanθ ,cot(−θ), sec θ ,cosec(−θ)

をそれぞれ

a

を用 いて表しなさい。

問題

1-6

以下の問いに答えなさい。

(1) f(x) = 3e^−3x+ 2e^−2x

とする。f

(log 3)

の値を求めなさい。

(2) f(x) = log(x²+ 2x)−log(x+ 2)

とする。f(1/e) の値を求めなさい。

問題

1-7 2

倍角の公式（または，半角の公式）を用いて，cos

π

8, sinπ

8

の値をそれぞれ求 めなさい。(

√

の中に

√

が現れる形でかまいません。)

問題

1-8

以下の問いに答えなさい。

(1)

関数

g(x)

のグラフは，放物線

y=−x²−2x

を

x

方向に

−2，y

方向に

1

だけ平行 移動したグラフとなる。g(x) を求め，そのグラフを描きなさい。

(2)

定義域

x≥ −1

で関数

√

x+ 1

のグラフを描きなさい。

¶ ³

微積分・演習 I 演習問題 No.1 略解

µ ´

解

1-1

(1)

一片

d

の正

3

角形の面積は

d×

√3 2 d×1

2 =

√3

4 d²

なので，正

6

角形の面積は

3√ 3 2 d²

。

(2) 2r+rθ

(3) a

2ⁿ

（または，a2

⁻ⁿ

） 解

2-1

25^3/2 = (5²)^3/2 = 5^2·3/2 = 5³ = 125. 10^2/3·10^−8/3 = 10^2/3−8/3 = 10⁻² = 0.01. (

3^√2 )^√2

= 3^√2·√2 = 3² = 9.

解

1-3

log₂256 = log₂2⁸ = 8 log₂2 = 8.

log₁₀0.001 = log₁₀10⁻³ =−3 log₁₀10 =−3.

log₆3 + log₆12 = log₆(3·12) = log₆36 = log₆6² = 2 log₆6 = 2.

解

1-4

sin7π 3 = sin

(

2π+π 3

)

= sin (π

3 )

=

√3

2 . cos2π 3 =−1

2. sin

(−π 2

)

=−sin (π

2 )

=−1. sin(1112π) = sin(2π×556) = 0.

解

1-5 sinθ =√

1−a²

なので

tanθ = sinθ

cosθ =

√1−a²

a , cot(−θ) = cos(−θ)

sin(−θ) = cosθ

−sinθ =− a

√1−a² . sec θ= 1

cosθ = 1

a, cosec(−θ) = 1

sin(−θ) = 1

−sinθ =− 1

√1−a² .

解

1-6

(1) f(log 3) = 3e^{−3 log 3}+ 2e^{−2 log 3} = 3e^{log 3−3}+ 2e^{log 3−2} = 3·3⁻³+ 2·3⁻² = 1 3. (2) log(x²+ 2x)−log(x+ 2) = logx(x+ 2) + log(x+ 2)⁻¹ = logx(x+ 2)

x+ 2 = logx

なの で

f(1/e) = loge⁻¹ =−1.

解

1-7

√1

2 = cosπ 4 = cos

( 2× π

8 )

= 2 cos² π

8 −1

より

cos²π 8 =

√2 4 +1

2. cosπ

8 >0

なので，cos

π 8 =

√2 +√ 2

2 .

同様に

1

√2 = cosπ

4 == 1−2 sin² π

8

と

sinπ

8 >0

より，sin

π 8 =

√2−√ 2

2 .

微積

I.

問

1.3

解

1-8

(1) y=f(x)

のグラフを

x

方向に

−2，y

方向に

1

だけ平行移動したグラフを表す関数 は

y=f(x−(−2)) + 1

なので

g(x) =−(x+ 2)²−2(x+ 2) + 1 =−x²−6x−7.

f(x) = −(x+ 1)²+ 1

のグラフは頂点が

(−1,1)

の上に凸な放物線なので，g(x) のグ ラフは頂点が

(−3,2)

の上に凸な放物線になると考えて，g(x) =

−(x+ 3)²+ 2

とし てもよい。（図省略）。

(2) y =√

x+ 1

より

x= y²−1. x

と

y

を入れ替えると，この関数のグラフは放物線と なる。従って，グラフは頂点

(−1,0)

で

(0,1)

を通る横倒しの放物線の上側となる。

（図省略）。

¶ ³

微積分・演習 I 演習問題 No.2

出題：４月１

7

日（木） 提出期限：４月２３日（水）１５：００

µ ´

問題

2-1

y= 2 sin (

πx− π 5

)

のグラフの山の位置

(y= 2

となる

x

の値)，谷の位置

(y=−2

となる

x

の値)，および

x

軸を横切る位置

(y= 0

となる

x

の値) をそれぞれ求めなさい。また，−

2≤x≤1

の範囲 でのグラフの概形を描きなさい。

問題

2-2

関数

f(x, y) = x² +y²

を考える。f

(x, y) = 25, f(x, y) = 4, f(x, y) = 0

を満たす

(x, y)

はそれぞれ

xy

平面上でどのような図形を表すか，その概形を描きなさい。

問題

2-3

関数

f(x, y) =xy

を考える。f(x, y) = 1,

f(x, y) =−1,f(x, y) = 0

を満たす

(x, y)

はそ れぞれ

xy

平面上でどのような図形を表すか，その概形を描きなさい。

問題

2-4

以下の関数

f(x)

が

x= 0

で連続となるように定数

a

の値を定めることができる場合は，

その値を求めなさい。

(1) f(x) = {

a (x= 0)

sin(3x)

x (x6= 0) (2) f(x) = {

a (x= 0)

sin(3x)

|x| (x6= 0)

問題

2-5

以下の関数

f(x)

が

x= 1

で連続となるように定数

a

の値を定めることができる場合は，

その値を求めなさい。

(1) f(x) =





a (x= 1)

√x−1

x−1 (x6= 1)

(2) f(x) =





a (x= 1)

3x²−5x+ 2

x²−4x+ 3 (x6= 1)

問題

2-6

以下の問いに答えなさい。

(1)

中間値の定理を用いて，方程式

sinx−xcosx= 0

は

π

と

2π

の間に実数解をもつこ とを示しなさい。

(2)

中間値の定理を用いて，方程式

1−x² 2 + x³

12 = 0

は

0

と

√

3

の間に実数解をもつこ

とを示しなさい。

微積

I.

問

2.2

¶ ³

微積分・演習 I 演習問題 No.2 略解

µ ´

解

2-1

山の位置は

πx−π 5 = π

2+ 2πn

より

x= 1 5+1

2+ 2n (

= 0.7 + 2n )

, n = 0, ±1, ±2· · · (p2.1)

を満たす

x

となる。

谷の位置は

πx−π 5 = 3π

2 +2πn

より

x= 1 5+3

2+2n (

= 1.7+2n )

, n = 0, ±1, ±2· · · (p2.2)

を満たす

x

となる。

y= 0

となるのは

πx− π

5 =πn

より

x= 1 5+n

(

= 0.2 +n )

, n = 0, ±1, ±2· · · (p2.3)

を満たす

x

となる。

以上より，−

2≤x≤1

でのグラフの概形は以下のようになる：

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1

-2 -1 1 2

x y

解

2-2

x²+y² = 25

は原点中心，半径

5

の円。x

²+y² = 4

は原点中心，半径

2

の円。x

²+y² = 0

は原点のみ（図省略）。

解

2-3

xy = 1

は

y = 1

x

と書きかえられるので，f(x, y) = 1 を満たす

(x, y)

は

(1,1), (−1,−1)

を通る直角双曲線を表す。

xy = −1

は

y = −1

x

と書きかえられるので，f(x, y) =

−1

を満たす

(x, y)

は

(−1,1), (1,−1)

を通る直角双曲線を表す。

xy = 0

は

x= 0

あるいは

y = 0

と等価なので，f(x, y) = 0 を満たす

(x, y)

は

x

軸および

y

軸を表す。（図省略）。

解

2-4

¨

§

¥

桑村p.70¦

の例題

3.19

xlim→0

sinx

x = 1 ^¨_§川薩四(5.9)^¥_¦ (p2.4)

を用いる。

(1)

limx→0f(x) = 3 lim

x→0

sin(3x)

3x = 3 (p2.5)

より

a= 3

とすれば

f(x)

は

x= 0

で連続となる。

( )f x

/ x π

(参考図)

解答には必要ありません。

(2)

f(x) =







−^sin(3x)_x (x <0) a (x= 0)

sin(3x)

x (x >0)

(p2.6)

なので，x を左から

x= 0

に近付けた左側極限は

xlim→−0f(x) = − lim

x→−0

sin(3x)

x =−3 (p2.7)

となり，x を右から

x= 0

に近付けた右側極限は

xlim→+0f(x) = lim

x→+0

sin(3x)

x = 3 (p2.8)

となる。従って

a

の値をどう定めても，f

(x)

は

x= 0

で連続とはならない。

( )f x

/ x π

(参考図)

解答には必要ありません。

微積

I.

問

2.4

解

2-5

(1)

xlim→1f(x) = lim

x→1

√x−1 x−1 = lim

x→1

√x−1 x−1 ·

√x+ 1

√x+ 1 = lim

x→1

√ 1

x+ 1 = 1

2 (p2.9)

より

a= 1/2

とすれば

f(x)

は

x= 1

で連続となる。

√

x=w

として

xlim→1f(x) = lim

w→1

w−1

w²−1 = lim

w→1

w−1

(w−1)(w+ 1) = lim

w→1

1

w+ 1 = 1

2 (p2.10)

と考えてもよい。

(2)

分子，分母とも

x= 1

で

0

となる多項式なので

x−1

を因数に持つはず：

xlim→1f(x) = lim

x→1

3x²−5x+ 2

x²−4x+ 3 = lim

x→1

(x−1)(3x−2) (x−1)(x−3) = lim

x→1

3x−2 x−3 =−1

2 (p2.11)

より

a=−1/2

とすれば

f(x)

は

x= 1

で連続となる。

解

2-6

(1) f(x) = sinx−xcosx

とおくと

f(π) = π > 0, f(2π) = −2π < 0

なので，方程式

f(x) = 0

は

x=π

と

x= 2π

の間に少なくとも一つの解を持つ。

( ) f x

/ x π

(参考図)

解答には必要ありません。

(2) f(x) = 1− x² 2 + x³

12

とおくと

f(0) = 1>0,f(√

3) = (√

3−2)/4<0

なので，方程 式

f(x) = 0

は

x= 0

と

x=√

3

の間に少なくとも一つの解を持つ。

x ( )

f x

(参考図)

解答には必要ありません。

¶ ³

微積分・演習 I 演習問題 No.3

出題：４月２４日（木） 提出期限：４月３０日（水）１５：００

µ ´

問題

3-1

次の関数を微分しなさい。ただし，微分の定義にもどって極限の計算をする必要は ありません。(以下の問いについても同じです。)

(1) x³+ 5x²+ 4 (2) (x+ 1)⁶ (3) (x³+ 5x² + 4)²⁴

問題

3-2

次の関数を微分しなさい。

(1) 1

1 +x+x² (2) √

(1 +x²)³ (3) cosecx (

= 1

sinx )

(4) e^x2−3x (5) cos(x²−3x) (6) 3^√x2+1 (7) log¯¯

¯¯x²+ 1 x⁴+ 3

¯¯¯¯

問題

3-3

関数

f(x)

の導関数が

g(x)

のとき，次の微分を計算しなさい。答えには

f()

や

g()

が現れます。

(1) (

f(x²+ 3x) )₀

(2) (

e^f(x) )₀

(3) (

f(cos x) )₀

(4) (

sin(f(x)) )₀

問題

3-4

次の関数を微分しなさい。また，

x= 1

での接線を表す式を書きなさい。

y= 1

(1 +x²)⁴

微積

I.

問

3.2

¶ ³

微積分・演習 I 演習問題 No.3 略解

µ ´

解

3-1

(1) (x^α)⁰ =αx^α−1

を用います：

d(x³+ 5x²+ 4)

dx = dx³

dx + 5dx²

dx = 3x²+ 10x . (p3.1) (2) u=x+ 1

とおいて合成関数の微分の公式を用います:

d(x+ 1)⁶

dx = du⁶ du

¯¯¯¯

u=x+1

du

dx = 6u⁵|u=x+1

d(x+ 1)

dx = 6(x+ 1)⁵. (p3.2)

注意

! (x+ 1)⁶

を展開してから微分しても間違いではありませんが，合成関数の微 分を用いた方が計算が簡単になるのでお薦めです：

d(x+ 1)⁶

dx = d

dx

(x⁶+ 6x⁵+ 15x⁴+ 20x³+ 15x²+ 6x+ 1)

= 6x⁵+ 30x⁴+ 60x³+ 60x² + 30x+ 6

= 6(

x⁵+ 5x⁴+ 10x³+ 10x²+ 5x+ 1)

= 6(x+ 1)⁵. (p3.3) (3) u=x³+ 5x² + 4

とおいて合成関数の微分の公式を用います。du/dx の計算には

(1)

の結果が使えます。24 乗を展開しようとするのはやめましょう：

d dx

(x³+ 5x²+ 4)24

= du²⁴ du

¯¯¯¯

u=x³+5x²+4

du

dx = 24u²³¯¯

u=x³+5x²+4

d(x³+ 5x²+ 4) dx

= 24(

x³+ 5x²+ 4)23 (

3x²+ 10x)

. (p3.4)

解

3-2

(1) u= 1 +x+x²

とおいて合成関数の微分の公式を用います:

d dx

1

1 +x+x² = d dx

(1 +x+x²)₋1

= du⁻¹ du

¯¯¯¯

u=1+x+x²

du dx

= −u⁻²¯¯

u=1+x+x²

d(1 +x+x²) dx

= −(

1 +x+x²)₋2

(1 + 2x) (

=− 1 + 2x (1 +x+x²)²

)

.(p3.5) (2) u= 1 +x²

とおいて合成関数の微分の公式を用います:

d dx

√(1 +x²)³ = d dx

(1 +x²)3/2

= du^3/2 du

¯¯¯¯

u=1+x²

du dx = 3

2u^3/2−1¯¯

¯¯u=1+x²

d(1 +x²) dx

= 3

2(1 +x²)^1/2 2x= 3x(1 +x²)^1/2 (

= 3x√ 1 +x²

)

. (p3.6)

(3) u= sinx

とおいて合成関数の微分の公式を用います:

d dx

1

sinx = du⁻¹ du

¯¯¯¯

u=sinx

du

dx =−u⁻²¯¯

u=sinx

dsinx

dx =−cosx

sin²x. (p3.7) (4) u=x²−3x

とおいて合成関数の微分の公式を用います:

d

dx e^x2−3x = = de^u du

¯¯¯¯

u=x²−3x

du

dx = e^u|_u=x²_−3x d(x²−3x) dx

= e^x2−3x (2x−3). (p3.8)

(5) u=x²−3x

とおいて合成関数の微分の公式を用います:

d dx cos(

x²−3x)

= dcos u du

¯¯¯¯

u=x²−3x

du

dx =−sinu|_u=x²_−3x d(x² −3x) dx

= −sin(

x² −3x)

(2x−3). (p3.9)

(6)

指数関数の微分の式

da^x

dx =a^xloga ^¨_§桑村p.78^¥_¦ ¨

§

¥

川薩四p.77¦ (p3.10)

を使います。また，u

=√

x²+ 1，v =x²+ 1

とおいて，合成関数の微分の式を用い ます：

d

dx 3^√x2+1 = d3^u du

¯¯¯¯

u=√ x²+1

du

dx = 3^ulog 3|_u=^√_x²₊₁ d(x²+ 1)^1/2

dx =

= log 3 3^√x2+1 dv^1/2 dv

¯¯¯¯

v=x²+1

dv

dx = log 3 3^√x2+1 1 2v^−1/2¯¯

¯¯v=x²+1

d(x²+ 1) dx

= log 3

2 3^√x2+1(x²+ 1)^−1/22x

= log 3 3

√x²+1

x(x²+ 1)^−1/2 (

= log 3 x

√x²+ 13

√x²+1

)

. (p3.11) (7)

d dxlog¯¯

¯¯x²+ 1 x⁴+ 3

¯¯¯¯= d dx

(log¯¯x²+ 1¯¯−log¯¯x⁴+ 3¯¯)= dlog|x²+ 1|

dx − dlog|x⁴+ 3| dx

= dlog|u| du

¯¯¯¯

u=x²+1

du

dx − dlog|v| dv

¯¯¯¯

v=x⁴+3

dv dx = 1

u

¯¯¯¯

u=x²+1

2x− 1 v

¯¯¯¯

v=x⁴+3

4x³

= 2x

x²+ 1 − 4x³ x⁴+ 3

(

=−2x(x²+ 3)(x+ 1)(x−1) (x²+ 1)(x⁴ + 3)

)

. (p3.12)

解

3-3 (1)

(

f(x²+ 3x) )₀

= df(x²+ 3x)

dx = df(u) du

¯¯¯¯

u=x²+3x

du

dx = g(u)|_u=x²_+3xd(x²+ 3x) dx

= (2x+ 3)g(x²+ 3x). (p3.13)

微積

I.

問

3.4 (2)

( e^f(x)

)₀

= de^f(x)

dx = de^u du

¯¯¯¯

u=f(x)

du

dx = e^u|_u=f(x) df(x) dx

= e^f(x) g(x). (p3.14)

(3)

(

f(cos x) )₀

= df(cos x)

dx = df(u) du

¯¯¯¯

u=cosx

du

dx = g(u)|_u=cosxdcos x dx

= −g(cos x) sin x . (p3.15)

(4)

(

sin(f(x)) )₀

= dsin(f(x))

dx = dsinu du

¯¯¯¯

u=f(x)

du

dx = cos u|_u=f(x)df(x) dx

= cos(f(x))g(x). (p3.16)

解

3-4 d dx

( 1

(1 +x²)⁴ )

= d(1 +x²)⁻⁴

dx = du⁻⁴ du

¯¯¯¯

u=1+x²

du

dx =−4u⁻⁵¯¯

u=1+x²

d(1 +x²) dx

= −4(1 +x²)⁻⁵2x=− 8x

(1 +x²)⁵ (p3.17)

となります。従って，x

= 1

での微分係数は

−1/4

となります。また，x

= 1

でのこの関 数の値は

1/16

なので，接線をは以下の式で表されます；

y= 1 16− 1

4 (x−1) = 5−4x

16 . (p3.18)

-2 -1 0 1 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x y

(参考図)

解答には必要ありません。細い線は接線を表します。

¶ ³

微積分及び演習 I 演習問題 No.4

出題：５月１日（木） 提出期限：５月７日（水）１５：００

µ ´

問題

4-1

次の関数を微分しなさい。また，

x= 1

での接線を表す式を書きなさい。

y=e⁻

√x²+2x+2

.

問題

4-2

問題

2-6

の

(1)

で考えた方程式

f(x) = 0,

ただし

f(x) = sinx−xcosx

は区間

(π , 2π)

内に解を持つことがわかっています。f

(x)

を

x= 3π/2

での接線

g(x) =f(3π/2) +f⁰(3π/2)(x−3π/2)

で近似して，g(x) = 0 より方程式

f(x) = 0

の近似解を求めなさい。

/ x π ( )

f x ( ) g x

なお，このように，ある点の関数の値と微分係数から方程式の数値解を計算する方法を ニュートン

(Newton)

法と呼びます。(→

2

年の科目「数値計算法」)

問題

4-3 f(x) =x³+ 3x²+ 6x

の逆関数を

g(x)

とするとき，y

=g(x)

の

(x, y) = (10,1)

で の接線を表す式を求めなさい。

x y

( ) y=g x

(参考図)

細い線が接線を示します。

問題

4-4

次の

2

変数関数

f(x, y)

を

x，y

でそれぞれ偏微分しなさい。

(1) f(x, y) =y⁴−3x²y+ 4xy (2) f(x, y) =√

x²+ 2y²

問題

4-5

曲面

z =−3x²−y²

の

(x, y) = (1,2)

における接平面の方程式を求めなさい。

微積

I.

問

4.2

¶ ³

微積分及び演習 I 演習問題 No.4 略解

µ ´

解

4-1 y=e^u, u=−v^1/2, v =x²+ 2x+ 2

と考えて導関数を計算します；

dy

dx = de^u du

¯¯¯¯

u=−(x²+2x+2)^1/2

(

−d(x²+ 2x+ 2)^1/2 dx

)

= −e^u|_u=−(x²_+2x+2)^1/2 dv^1/2 dv

¯¯¯¯

v=x²+2x+2

d(x²+ 2x+ 2) dx

= −exp

(−√

x²+ 2x+ 2 ) 1

2 v^−1/2¯¯

v=x²+2x+2 (2x+ 2)

= − x+ 1

√x²+ 2x+ 2 exp (−√

x²+ 2x+ 2 )

. (p4.1)

これより

x= 1

でのこの関数の微分係数は

− 2

√5 e^−√5

となります。また関数の値は

e^−√5

なので，接線は以下の式で表されます；

y=e⁻

√5− 2e^−√5

√5 (x−1) =e⁻

√5(

− 2

√5x+ 1 + 2

√5 )

. (p4.2)

(参考図)

解答には必要ありません。細い線が接線を示します。

解

4-2 f(x)

の導関数は

f⁰(x) = df(x)

dx = dsinx

dx − d(xcosx)

dx = cosx−cosx+xsinx=xsinx (p4.3)

なので，f

(x)

の

x= 3π/2

での接線の方程式は

g(x) = −1 + 3π 2 (−1)

(

x−3π 2

)

(p4.4)

となります。従って

g(x) = 0

より

x= 3π 2 − 2

3π = 9π²−4 6π

(

= 4.50· · ·)

(p4.5)

が方程式

f(x) = 0

の近似解となります。尚，解のより精密な値は

x = 4.49· · ·

となり

ます。

解

4-3 y=x³+ 3x²+ 6x

の

x

と

y

を交換した式

x=y³+ 3y²+ 6y (p4.6)

の両辺を

x

で微分した式

1 = d(y³+ 3y²+ 6y)

dx = d(y³+ 3y²+ 6y) dy

dy

dx = (3y²+ 6y+ 6) dy

dx (p4.7)

より

dy

dx = 1

3y²+ 6y+ 6 (p4.8)

が得られます。従って，(x, y) = (10,

1)

での

g(x)

の微分係数は

g⁰(10) = 1

3y²+ 6y+ 6

¯¯¯¯

y=1

= 1

15. (p4.9)

これより接線の式は

y = 1 + 1

15(x−10) = x 15 +1

3 (p4.10)

となります。

(参考) この問題の答は，もとの曲線y =f(x)の(x, y) = (1,10)での接線の式

y=f(1) +f⁰(1)(x−1) (p4.11) の，xとyを交換しても得られます。実際，

f(1) = 10, f⁰(1) = df(x) dx

¯¯¯¯

x=1

= 3x²+ 6x+ 6|x=1 = 15 (p4.12) なので，接線の式は

y= 15x−5. (p4.13)

この式のxとyを交換した式

x= 15y−5 (p4.14)

が(p4.10)となります。

解

4-4

それぞれ，x や

y

のみを仮に変数と考えて微分します。

(1)

∂f(x, y)

∂x = ∂(y⁴−3x²y+ 4xy)

∂x =−6xy+ 4y , (p4.15)

∂f(x, y)

∂y = ∂(y⁴−3x²y+ 4xy)

∂y = 4y³−3x² + 4x . (p4.16)

微積

I.

問

4.4 (2)

∂f(x, y)

∂x = ∂(x²+ 2y²)^1/2

∂x = du^1/2 du

¯¯¯¯

u=x²+2y²

∂u

∂x = 1

2 u^−1/2¯¯

u=x²+2y²

∂(x²+ 2y²)

∂x

= 1

2((x²+ 2y²)^−1/2 2x= x

√x²+ 2y² , (p4.17)

∂f(x, y)

∂y = ∂(x²+ 2y²)^1/2

∂y = du^1/2 du

¯¯¯¯

u=x²+2y²

∂u

∂y = 1

2 u^−1/2¯¯

u=x²+2y²

∂(x²+ 2y²)

∂y

= 1

2((x²+ 2y²)^−1/2 4y = 2y

√x²+ 2y² . (p4.18)

解

4-5

曲面

z=f(x, y)

の

(x, y) = (a, b)

における接平面を表す式は

z=f(a, b) + ∂f(x, y)

∂x

¯¯¯¯

x=a,y=b

(x−a) + ∂f(x, y)

∂y

¯¯¯¯

x=a,y=b

(y−b) (p4.19)

となります。f(x, y) =

−3x²−y²

とすると

∂f(x, y)

∂x = ∂(−3x²−y²)

∂x =−6x , ∂f(x, y)

∂y = ∂(−3x²−y²)

∂y =−2y . (p4.20) x= 1，y= 2

を代入した値；

f(1,2) =−7, ∂f(x, y)

∂x

¯¯¯¯

x=1,y=2

=−6. ∂f(x, y)

∂y

¯¯¯¯

x=1,y=2

=−4. (p4.21)

より，接平面の方程式は

z =−7−6(x−1)−4(y−2) =−6x−4y+ 7 (p4.22)

となります。

x

y z

(参考図)

曲面

z =f(x, y)

と接平面。解答には必要ありません。

.

¶ ³

微積分及び演習 I 演習問題 No.5

出題：５月８日（木） 提出期限：５月１４日（水）１５：００

µ ´

問題

5-1

次の

3

変数関数

f(x, y, z)

の偏導関数

∂f(x, y, z)

∂x

，

∂f(x, y, z)

∂y

，

∂f(x, y, z)

∂z

を求め

なさい。

(1) f(x, y, z) = x²+y² 2 − z²

2 −1 (2) f(x, y, z) = sin (

x²+ y² 2 −z²

2 −1 ) (3) f(x, y, z) = exp

(

x²+y² 2 − z²

2 −1 )

問題

5-2

(1)

点

(x, y) = (3,2)

を通り，ベクトル

(1, −2)

に垂直な

(x-y

平面上の) 直線を表す式を 書きなさい。

(2)

点

(x, y, z) = (1,3,2)

を通り，ベクトル

(5,−7,3)

に垂直な平面を表す式を書きな さい。

問題

5-3

次の方程式

f(x, y) = 0

により定まる陰関数

y=ϕ(x)

について，

dy

dx = dϕ(x)

dx

を求

めなさい。(答えに

(x

や)

y

が入っていても構いません。)

(1) f(x, y) = 4x²+y⁴−4 (2) f(x, y) = (x²+y²)²−2xy

問題

5-4

次の方程式により定まる陰関数について，

(x, y) = ( 1

√2, 1

√2 )

での接線を表す式を求めな さい：

(x²+y²)²−2xy= 0.

x y

問題

5-5

次の方程式

f(x, y, z) = 0

により定まる陰関数

z =ϕ(x, y)

について，

∂z

∂x = ∂ϕ(x, y)

∂x

，

∂z

∂y = ∂ϕ(x, y)

∂y

を求めなさい。(答えに

(x，y

や)

z

が入っていても構いません。)

f(x, y, z) =x²+ y²

2 −z² 2 −1.

また，曲面

z =ϕ(x, y)

の点

(x, y, z) = (1,√

2,√

2)

での接平面を表す式を求めなさい。

微積

I.

問

5.2

¶ ³

微積分及び演習 I 演習問題 No.5 略解

µ ´

解

5-1 (2)，(3)

を計算する際は，(1) の結果を利用するようにしましょう。

(1)

∂f(x, y, z)

∂x = 2x , ∂f(x, y, z)

∂y =y , ∂f(x, y, z)

∂z =−z . (p5.1) (2)

∂f(x, y, z)

∂x = ∂sin(u)

∂u

¯¯¯¯

u=x²+^y₂²−^z₂²−1

∂ (

x²+^y₂² − ^z₂² −1 )

∂x = 2xcos

(

x²+ y² 2 − z²

2 −1 )

,

∂f(x, y, z)

∂y = ∂sin(u)

∂u

¯¯¯¯

u=x²+^y₂²−^z2²−1

∂ (

x²+^y₂² − ^z₂² −1 )

∂y =ycos

(

x²+y² 2 − z²

2 −1 )

,

∂f(x, y, z)

∂z = ∂sin(u)

∂u

¯¯¯¯

u=x²+^y₂²−^z₂²−1

∂ (

x²+^y₂² − ^z₂² −1 )

∂z

= −zcos (

x²+ y² 2 − z²

2 −1 )

. (p5.2)

(3)

∂f(x, y, z)

∂x = ∂e^u

∂u

¯¯¯¯

u=x²+^y₂²−^z₂²−1

∂ (

x²+^y₂² − ^z₂² −1 )

∂x = 2xexp

(

x²+y² 2 − z²

2 −1 )

,

∂f(x, y, z)

∂y = ∂e^u

∂u

¯¯¯¯

u=x²+^y₂²−^z2²−1

∂ (

x²+^y₂² − ^z₂² −1 )

∂y =yexp

(

x²+ y² 2 −z²

2 −1 )

,

∂f(x, y, z)

∂z = ∂e^u

∂u

¯¯¯¯

u=x²+^y₂²−^z₂²−1

∂ (

x²+^y₂² − ^z₂² −1 )

∂z

= −zexp (

x²+y² 2 − z²

2 −1 )

. (p5.3)

解

5-2

(1)

直線上の任意の点を

(x, y)

とすると，直線に沿ったベクトル

(x−3, y−2) (p5.4)

は，ベクトル

(1,−2)

と直交します。従って

0 = (x−3, y−2)·(1, −2) =x−3−2(y−2) (p5.5)

より，直線を表す式は

x−2y+ 1 = 0 (p5.6)

となります。

(2)

平面上の任意の点を

(x, y, z)

とすると，

(x−1, y−3, z−2) (p5.7)

は平面内にあるベクトルなので，ベクトル

(5,−7,3)

と直交します。従って

0 = (x−1, y−3, z−2)·(5, −7, 3) = 5(x−1)−7(y−3) + 3(z−2) (p5.8)

より，平面を表す式は

5x−7y+ 3z+ 10 = 0 (p5.9)

となります。

解

5-3 0 = f(x, y)|_y=ϕ(x)

の両辺を

x

で微分します:

0 = d dx

(

f(x, y)|_y=ϕ(x))

= ∂f(x, y)

∂x

¯¯¯¯

y=ϕ(x)

+ ∂f(x, y)

∂y

¯¯¯¯

y=ϕ(x)

dϕ(x)

dx . (p5.10)

答えに

y

が入っていてもよいので，ϕ(x) の具体的な形は分からなくてもかまいません。

(1)

0 = ∂(4x²+y⁴ −4)

∂x +∂(4x²+y⁴−4)

∂y

dy

dx = 8x+ 4y³ dy

dx (p5.11)

より

dy

dx =−2x

y³ . (p5.12)

(2)

0 = ∂((x²+y²)²−2xy)

∂x +∂((x²+y²)²−2xy)

∂y

dy dx

= 4x(x² +y²)−2y+(

4y(x²+y²)−2x) dy

dx (p5.13)

より

dy

dx =−2x(x²+y²)−y

2y(x²+y²)−x. (p5.14)

解

5-4 x = 1

√2

の場合の

y

の値は，問題文より

1

√2

です。また，点

(x, y) =

( 1

√2, 1

√2 )

での導関数

dy

dx

の値は，[問題

5-3](2)

の結果，(p5.14)，より

dy

dx

¯¯¯¯

x=1/√ 2

=− 2x(x²+y²)−y 2y(x² +y²)−x

¯¯¯¯

x=√¹ 2,y=√¹

2

=−2/√

2−1/√ 2 2/√

2−1/√

2 =−1 (p5.15)

微積

I.

問

5.4

となります。以上より，接線を表す式は

y= 1

√2 −1 (

x− 1

√2 )

=−x+√

2 (p5.16)

となります。

注意

!

陰関数

f(x, y) = 0

についての点

(x, y) = (a, b)

での接線の公式

∂f(x, y)

∂x

¯¯¯¯

x=a,y=b

(x−a) + ∂f(x, y)

∂y

¯¯¯¯

x=a,y=b

(y−b) = 0 ^¨_§桑村(12.1)^¥_¦ (p5.17)

を用いてもかまいません。

∂f(x, y)

∂x

¯¯¯¯

x=√¹ 2,y=√¹

2

= (

4x(x²+y²)−2y)¯¯

x=√¹ 2,y=√¹

2

= 4

√2 − 2

√2 =√

2, (p5.18)

∂f(x, y)

∂y

¯¯¯¯

x=√¹ 2,y=√¹

2

= (

4y(x²+y²)−2x)¯¯

x=√¹ 2,y=√¹

2

= 4

√2 − 2

√2 =√

2 (p5.19)

より，接線の式は

√2 (

x− 1

√2 )

+√ 2

( y− 1

√2 )

= 0 (p5.20)

となり，(p5.16) と同等な式が得られます。

解

5-5

次回に持ち越し。

.

¶ ³

微積分及び演習 I 演習問題 No.6

出題：５月１５日（木） 提出期限：５月２１日（水）１５：００

☆ 略解は５月１６日（金）１５：００ に１−５１３の前に置きます。☆

µ ´

問題6-1 次の方程式f(x, y, z) = 0により定まる陰関数z=ϕ(x, y)について，∂z

∂x = ∂ϕ(x, y)

∂x ，∂z

∂y =∂ϕ(x, y)

∂y を求めなさい。(答えに(x，y や)zが入っていても構いません。)また，曲面z=ϕ(x, y)の点(x, y, z) = (a , b , c)での接平面を表す式を求めなさい。

(1) 問題5-5と同じ。

f(x, y, z) =x²+y² 2 −z²

2 −1, (a, b, c) = (1,√ 2,√

2) (2)

f(x, y, z) = 3x²+2y²+2z²−2yz−12. (a, b, c) = (√

2,−1,1) 右図は(2)のf(x, y, z) = 0の表す曲面(x軸の周りにπ/4回転した楕 円体)と接平面の一部を示します。

x

y z

問題 6-2

パラメータtを用いて表された曲線

x= (

3 + sin(4t) )

cos(t), y= (

3 + sin(4t) )

sin(t), の t= π

2 での接線を表す式を書きなさい。

問題 6-3 式中の等号 ，“=”，にはいくつかの意味があります。だいたい次のようになります：

恒等式 常に等号が成立する場合。例えば

(x+ 3)²=x²+ 6x+ 9, dxⁿ

dx =nxⁿ⁻¹. 公式は恒等式の一種です。記号“≡“が使われるときもあります。

定義式 常に等号が成立するのは恒等式の場合と同じですが，右辺で左辺の記号を定義している式。例 えば

e= lim

t→0(1 +t)^1t , df(x) dx = lim

h→0

f(x+h)−f(x)

h .

記号“:=“が使われるときもあります。

方程式 特定の場合に等号が成立する場合。例えば

x²+ 2x−3 = 0 (解はx=−3,1), df(x)

dx =−3f(x) (解はf(x) =定数×e^−3x). 上の2つ目の例のように関数の微分を含んだ方程式は微分方程式と呼ばれます。(

¨

§

¥ 桑村p.150¦，

¨

§

¥ 川薩四p.173¦) 次の式中ではどの意味で等号が用いられているかを答えなさい：

(1) ∂f(x, y)

∂y = lim

h→0

f(x, y+h)−f(x, y)

h (2) ∂f(x, y)

∂x +∂f(x, y)

∂y = 0

(3) d

dxf (

x, ϕ(x) )

= ∂f(x, y)

∂x

¯¯¯¯

y=ϕ(x)

+ ∂f(x, y)

∂y

¯¯¯¯

y=ϕ(x)

dϕ(x) dx