線形代数続論
,
第4
回演習問題2020/6/4
担当：那須1
次の行列は直交行列であることを示せ.(1)
! cos θ − sin θ sin θ cos θ
"
(2) 1 3
1 2 2
2 − 2 1 2 1 − 2
(3) 1 2
1 1 1 − 1
1 1 − 1 1
1 − 1 1 1
− 1 1 1 1
2
次の行列が直交行列になるように定数a, b
の値を定めよ: (1)! a − b a b
"
(2)
! a − b b b
"
3
次のベクトルの定めるR
3, R
4 またはR [x]
2の基底をシュミットの方法を用いて正規直交化せよ.(1) x
1=
1 1 1
, x
2=
1
− 2 1
, x
3=
0 1
− 1
,
(2) x
1=
1 2 2
, x
2=
1 0 1
, x
3=
1 0 0
,
(3) x
1=
− 1 1 1 1
, x
2=
1
− 1 1 1
, x
3=
1 1
− 1 1
, x
4=
1 1 1
− 1
,
(4) x
1=
1
− 1 0 0
, x
2=
0 1
− 1 0
, x
3=
0 0 1
− 1
, x
4=
1 0 0 1
,
(5) f
1= x
2, f
2= x, f
3= 1
4 P, Q
が直交行列ならば,積P Q,
および逆行列P
−1も直交行列であること示せ.0解答：
1
与えられた行列をA
として,A
tA
が単位行列になることを確認する.2 (1) (a, b) = 1
√ 2 ( ± 1, ± 1) (複合任意) (2) (a, b) = ± 1
√ 2 (1, 1)
3 (1)
√ 1 3
1 1 1
, 1
√ 6
1
− 2 1
, 1
√ 2
1 0
− 1
(2)
1 3
1 2 2
, 1 3
2
− 2 1
, 1 3
2 1
− 2
(3)
1 2
− 1 1 1 1
, 1 2
1
− 1 1 1
, 1 2
1 1
− 1 1
, 1 2
1 1 1
− 1
,
(4)
√ 1 2
1
− 1 0 0
, 1
√ 6
1 1
− 2 0
, 1 2 √
3
1 1 1
− 3
, 1 2
1 1 1 1
,
(5)
67 5 2 x
2,
7 3
2 x, 3 − 5x
22 √
2 8
4
教科書p.120,
問題6.2-5,6
参照0※この講義に関する情報はホームページを参照. http://fuji.ss.u-tokai.ac.jp/nasu/2020/lac.html
