On the Convergence of Some Gap S e r i e s   By 

1  The S c i e n c e  R e p o r t s  o f   t h e  Kanazawa U n i v e r s i t y ，  Vo l .   V I ，  N o .   1 ，  p p .   1‑7 ，  A p r i l ，  1 9 5 8  

On the Convergence of Some Gap S e r i e s   By 

Noboru  MATSUYAMA 

( R e c e i v e d  S e p t e m b e r   1 5 ，  1 9 5 7 )   1 .   Introduction 

Let f(x) be an D ー i

egrableand p e r i o d i c  function with period 1

and s a t i s f y  the  following conditions

( 1 . 1 )   f i ω ^dx=O

( 1 . 2)  f i ² ω dx=l 

The Fourier s e r i e s   o f  f(x) and the

thp

r t i a lsum o f  i t   a r e  r e s p e c t i v e l y ，  ( 1 . 3 )  

C 

^t 

¥iノ

x 

F J  

and 

z 

bル

明

r 

f lv  

綱初

" 記 心 一 一

‑ M

︑

︑

︐

MA 

ノ

f'

¥ 

偶

S 

呂

nd R(n) denot 日 S

( 1 . 4 )   Rω = ( J l l f (  

In t h i s  note we s h a l l   prove the convergence o f   a gap s e r i e s  

(1.5)  I z d

under some r e s t r i c t i o n s  on R(n)

where {nd i s  a  sequence o f  p o s i t i v e  i n t e g r a l  numbers  s a t i s f y i n g  

( 1 . 6)  。く

く n 2 く…・・・く舟

く・・・…，

and  L

止)i s   d e f i n e d   f o r   a r b i t r a r y  numbers  α>0

>1 and a non

negative i n t e g r a l   number  t ，  by the following 

I ^{Lo(X)=x 1 - α} (l ^ogx)~ ，  ( 1 . 7)  1Ll(X)=X ( l ^ogx)!

^α ( l ObX)

， 

\Ll{.X)=X (l ogX)・…・・ (l o ， gP-tX)(!O れり ^{1 →} (l O ，S'P+ ^{IX)~ (t} 孟 2 )

In the sequel we suppose that logox means x .  

Theorem 1 .   I f   f o r  any α>0 and an i n t e g r a l  number  T

¹

s a t i s f i 巴 S

0

8) R(n)=O(~~ì _{¥  ( l ogp 理 〉 αj}

then f o r   almost a l l   x

( 1 . 5 )  converges

where  { J Z k }   1 s   a sequence o f  ( 1 . 6 ) .  

2  N

M.ATSUYAMA

Th

o : r em:t

f o r  0.> ; 

ω

R( 却)=

and  { l Z ， ， }   s a t i s f i e s  ( 1   then the converg 日 nceo f   ( 1 .   2 : . i  

implies the ahnost everywhere convergence o f   . 1 0 )  

国

Z

M

where s>l and  T  i s   a  i n t 母 ge

Theore J l ¥ l

3 .   H  f o r  any α>0 and an  t  =  1 ，  s a t i s i i e s  

UtU 削 げ よ 2 ， o r   f o r   any 

;and

( 1 . 1 1 )   Rω= 百 二 戸 s )

then f o r  a

s t a l l   x ， 

( 1 .  

^l

L

converges ，  where  { 1 Z k }   i s   a sequence o f   i n t e g r a l   numbers 

主主土 L 二 三6>1

対

k ( 止 =1

2

The c a s e

1 叫 t=lof 川 orem3 ，  was p 一 ^{dby M 恥 ， R . .   Sa 討 l} 一 色 ^l

[ l

J

and a l s   ^心 by S 弘 . .

u  ^立 mi[ 2

]

who 

e

m

1

ε

thod 1 S

  the  d 出 i f 妊 E

r e r ロ 1 t way f r o l

n

¹ 1 

t h e r

n . も V

nm

w another  o f   i t

S .   Izuim  仁 2 ] λ w

eaker r e s u l t s   o f   the  c a s e s   T  =  2 and 3 o f  Theorem 3  than  (L

Theorem 1  i s   proγed  use  o f   the  methods  o f  J o   L .   K . o k s f u a   [3   ， ] which  treated  the  law  o f   l a r g e   11umb

r s o f   some  sequencθof  3nd the  o f   Th位。1"告~工1 3  i 8   t o  that 0 1  Tb

orem1 .  

I t   1 1 3   i n t e r

t h a t we d i s c u s s   the almost everywhεre conv ^母 rgenceo f   ( 1 . 1 0 )   use o f   { l Z ， ， }   which s

t i s 長 e sa stronger condition than  . 6 ) .   We  havεtheorem below  i 1 1   t h i s  sense t h a t  i 8   H t t l e  g

nera l 1 zedone o f  the theorem obtained by M. Kac [ 5 J   and  S .   1zm

1 !   [ 2 J

T h e o r e l 1 1  4 .   l f   f o r  any α>0 ，  s a t i s f 記号 ( 1

and {n ! c }   s a t i s f i e s   ( 1 . く ∞ ，

where  A  1 S   an 

r b i t r a r vD o s i t i  v θ

un1b

r .then from th 巴 C 0 1 1 v e I

genceo f  

∞ 

ZJb29 

the almost  convergence o f

1 0 )  IoHows. 

2 .   P I ' o o f  of Theo r : em 1  For the proof o f  Theorem 1  we need a lemma. 

Lemma 1 .  

and 

/ c } the

o fTheorem 1 ，  then 1 0

numbers  z(l~z) and  l\1(1~ l\1入 it hold8 that 

0

t h e   COl

t ' r ぷ e n c e

S m

C  Gap Series  3 

( 2 . 1 )   _J  ^Jl _{" .} ^叶~V _{: 言 十} 1 一一γf(llkX)i2d:X~-T ~;_'2+0(.::'一一一 ‑ . L

1 

JIVlkXxa U 

'd? 

: x

二込乙 ρ N  ( 4 0 2

^N2  LP R(z川~) 〔 z 〕 2

/  j

Proof  I f   the  g r e a t e s t   common  d i v i s o r   o f   n "   and  1 l

i s   d ，  thεn there 

i s ttwo  numbers刀 ， ， 'and 

such a

町

)=d

( 地

1 2 1/)

1

k=d 1 l k '   and 11j=d

7F.

l f   we suppos

that then 

and 

z く 1 Z i く nι 三 玉λ T+Z

d く ( n . /‑ni

d 出 向 ‑1! j 豆 . N ' ，

z

N"‑7=nj  < . . .  

from which i t   follows that by the Parseva l ' s  r e l a t i o n

jIfchxWAlzJ

^{C ' C t}

1 2 1 2 1

( 2

2 )  

R(n 

)<R(

y

From the monotonity o f 忌)and ( 2 . 2 )

i t   holds that 

f 1

^N

l

k 宿 主 1

o‑ ト ! " 1  {'1. 

1  ( " 1  

=ヤー:"'¥2‑

f ( l l k : r

h: ム ヤ 一一¥‑

f(nkx)f(iliX)d: τ 

J

1L μ

f

J ん〔めん〔j 〉

月

T ( ̲  ¥2 [  "+N  ¥2 

くーーニ‑，̲

2 十 R(<r I 1 記

i

三

L

( z ) 2

N 

Lr{k) } 

ζ _一一一̲ ， ^{2 一 +0(‑‑‑‑'} (N2R(z/N) ^~~:c...._ : . )  

  ， ¥ L

( Z ) 2   }  Thus we obtain Lemma  1 .  

We now prove the theorem.  In the inequality 

1 )

i f   we put  z=A" and iV= o . ト ー l ) 2 ‑ ，F=2 l   . . +1(

λ 1 1 0 ) ) ， then 

r 叶 ~V T一一j(河川2dx~一一寸\2 十 01 一 1  ̲ N ω ( N ( A ， 〕 2 ) j  o h Z 1 1 f

p( 止 ) . 1

Lp( ) .

LpO . z ) z

f o g p P λ V o . ^{) ‑ l ) 2} α/

= o (

^gVog 2 A ‑ : ゴ 石 ^{A ( l}

Thi 邑 containsthe almost everywh 日 r econvergence o f  the s e r i e s  

∞ f λ十 [)2

( 2 . 3 )   J 5 1 k l ‑ I T P 7 / 〔仰〉

Whence i t   foHows the almostεverywh 巴 r e convergence  o f   ( 1 . 5 ) ，  provided  that  f o r  

almost  a l l   x 

N.  MATSUYAMA 

伐王立川1

^〉

¹⁼⁰

For the proof o f  (2 . 4 )  we us

thedevice o f   P .   Erd む S [ 4 ] .   and 

( 2 . 4 )  

4 

For ev

ry

u=O

1

2

2 ^v

日 Z

， 13L

and 

f  A'  +(2 ， ， +1) 1 ¥ 1 (λb‑' 

m t d s i l   k E L +

五むず

ミ 一 品 ‑ )

~，4ρ1λ+(2 1G十 l)N( À) Z-'

4 争 j iJ+ … 〉 … Lp(k)f(nkx)  have 

we 

A2

4 ¥ 

[ ， J 2 1ogA"' ( l ogpA ) 1 ‑ O : ( l ogP+1A)sJ2  J 

A 2   2‑ 2 V  v ⁴ ¥ 

[l2!ogA logzA … ( l ogpA ) 1 → 門 ) / 引勾 ̲V ¥  ~f v ⁴ 2 ‑ ^{2 V}   ¥ 

~Ol ニ Ã3--)+ 0( ~p) Whence i t   f o l l o w s  t h a t  

ff i1  

0 

+ 

}.，十

( 2 ，+ ， 1 )

λ)2‑'

¥ 

ht

ず 斗 2 " N ( A ) 2 ‑ '

\...J'b /fJ VV./l~ V 2  ) 

2 2 h  

m z

山

∞ 記

h

∞

λ 〉 ∞

三玉.2J

‑ ‑ ‑ 1 包 ‑

V4 + 

}

，

= : l  

= 1 λ ‑ 1  

and by the Borel

C a n t e l l ilemma

we hav

f o ralmost a 1 1  

v ⁴ 2‑

く∞，

{  d δ d 

I3

^l

f(

!41747+y+ }423 

Since d>O i s   an a r b i t r a r y  number

we obtain ( 2 . 4 ) .   Proof of Theorem 2 

When f(x)

nd 似た} s a t i s f y  th 母 む onditionso f  Theorem 2 ，  and  i f   M

1

I c く nj<M

N ，

3 

I f 1 f

R ( : Y

0 ( J F L ) ^，

then i t   i s   seen t h a t  

.1.li十11' ，

. 1 +

] 1 +

M  ¥ 

<  : E  

2  : E   a"  : E   a iR{

T )

k‑

k‑

+l

j1lZJ^山

and then  ( 3 . 1 )  

手 (Z1

2 ) (

  ) )

I f   we put i n  t h e  above i n 日 quality

On t l l e   C0

ergellu of Some Gat Serie

f 5  l l f = s Z

ndN

N(s う=2 叶 1

f l : : ^{丈 1 M M 〉 i 2 d r z o ( ; : f f f )}

then we have 

and the almost everyw11ere convergence o f  

同

(8+1)' 

Lj  2J 

s

1

+ 1   a"f(

kX) 

( 3 . 2 )  

∞  く

︑₁

6a s ノ

d  h n

2

ド

/︐

s n

∞ヤ ]山

holds

whenever 

( 3 . 3 )  

However t 1 1 i s   i s   reduced from ( 1 ， 9 ) ，  i . 日 "

佃

f ($

¥ 1 1 2

f 

+1)' 

~('$~) ^{a . l ， "}   t

⁼  ~.L"ij; ^a ， ^{h/k 的 止}

8渇i¥k哩i‑t

+l

1 咽 l\lc~~ず +1 "~(i;

.~ v V- ò'~

-Vk--/o~g 丘…・・ (lO j; pkY

/ ζ   1  (ti

1)'

… 一 一 一 一

dt1V/J 

i J d v h 三 千 ^{+ 1 α ， ， z}

1 

ー 〔 ∞ _.

_{' : : : ' 1   S}  log  J  ¹ 

一一.~.-:;jl- l o g p s ) P

k ""，~+l 2 : : ;   ^{3 2} a

k   2 y1 止 !og 止ー…くlogpk)~ I~ V  ^‑

v . s   ~

v 6 p n '    . . F 

J 

<0(1)[岳~'/l/k μg ^{k . . . . . { μ i lpk)s}  J / ^{2 く ∞}

In order t o   prove Theorem 2 i t   i s   only s u f f i c i e n t  t o  prove that 

孟

f1822%fIJAJrc/(

ぬ く 閃

(3

4)

But the l e f t   hand member o f  ( 3 . 4 )  1 8   l e s s   than by ( 3 . 1 )  

∞

logN(8)N(')" ρ1  s'+( ， ， +I l 2 "  

?51hg N(

l

o  J 

p/(nkx 〉 1 2 d ; r

∞ 

logN(s)  I  ( s  +1)' 

、

=J51μg  N(s) 見 N(s)2- ^V し

I\ /c -~+1 ^{a /}

)N(s)μg N(s) 

/∞ (8 +1)'  ¥ ∞

三三 OC;~l

^{a ， ， 2}

^{k  log k)=}  O ¥ ;

^{αf 下/止 l O ， gk}  1  ^<∞ 

( 3 . 2 )  

Thus i f   we make use o f  the Menchov's device [ 6 J

we v e r i f y  ( 3 . 4 ) ヲ and from  and ( 3 . 4 )  we complete the proof o f   Th

orem 2 .  

Proof of Theorem 3 

For the proof o f  Theorem 3  we need a lemma corresponding t o  Lemma 1 .  

Lemma 2 .   I f  f(

and { 1 Z ， ， }   s a t i s f y  the hypotheses o f  Theorem 3

then i t   holds that  4 

f I Z H 1

N  N2 

O  lA エ

I t   i s   easy t o  prove the f o l 1 owing formula  (4.1) 

Proof. 

6  N.  MATSUYAMA 

( 4 . 2 )  

J1f ω ^)f ω ^{)dXI=O(C fob‑jA‑1}

1n f a c t

i f   k>j

then by the P a r s e v a l ' s  r e l a t i o n

we have 

! j 1

^f(njx)dxl 守 ^JEs￨

= 1  

. l

1

4211cstzjfslz)1/¥ ベ コ ) ロ ^0((fob‑11

^{α )}

This i s   ( 4 . 2 )

and s i n c e  L

1( の ⁱ snon‑decreasing a s

we have 

J _。 l l _Ik-~L

^{1 1 2 H N} _-f(n

_{+1 L p 之王子。} ^{f 1}   f(nkx)2dx

+足

1 7 t 1 / ( n d 〉 /(n 同〉ぬ

j 

L p‑ μ 〉 L P ‑ 1 ( j 〉

I.~-l

1  ¥ 

4^{一 一 一 一}

L p‑1 ( z ノ し γ +O( =

‑

'

+ 1 一一一一~ L p‑1 (D  k

+ l   L

p‑1 ( f'" L 止 ^， )(IOgp‑l( íT_~

止

‑j))2

α/

J¥

T  I N  z+N‑r

42 え巧z‑ + O l _{忍 1 '} ( 何 人 r 〉 hjZ1LP

( n 斗ィ i +

九ア 1¥72 

、

= 一 二 二 一

_{L p̲1 ( z )} τ+ _{2   '~\} O {   _L T  _p‑1

₍

_z

_{) 2} 2

_{( l}

_Ogp‑1

_N

T _{戸 j} ' Z " )   Thus we complete the lemma. 

If 

w e '  proceed along the same l i n e   a s  the p r o o f  o f  Theorem 1 ，  we obtain the p r o o f   o f  Theorem 3 ，  but i n  t h i s  c a s e  we must put i n  ( 4 . 1 )  

z=β1=2

5 .   Proof of Theorem 4 

We  suppose t h a t  f(x) and  { 躍 k } s a t i s f y  the hypotheses o f  Theorem 4

and  i f  we put 

ν k= 乏 ^{τ = [ 会 〕}

( 5 . 1 )   p s

^{k =} 〔 7 ‑ 必 ( τ 今主計 τ ) L _{J .}

then f o r  each s  ( s   =  1

2

3

τ )

孟

^{α ￨} … ^{I f lf(n}

^{)‑sぃ (n.+}

^kx)ldx

孟(孟。ぃ

t ¥

^f￨/(

^{叩 )‑s μ. .}

^{(n. 叩 〉 刈 M}

4 ( 2 1 6 3 ) 1 / 2 ( S f l ￨ / ω ー ら ω

^{2 dx} y / 2  

On t h e  Conver  genceザ SomeGat Series  7 

手 ( 2 1 4 )

y / 2

=仰)(孟訓告計)山)匂

1 ) ( か y / _{2 <∞} 

I t   shows the almost everywhere convergence of each s e r i e s  

(5.2)  _EOGHtk{/(n

_ρ )‑S ぃ (n.+

kX)} (s=1 ， 2 ，  ・ … ・ ・ ， τ 〉 On the other hand we can easily verify the  convergence  in  the  L ²

sense o f   two  s e r i e s  

a ， ， /(nkX)  and  (5.2)

and then each s e r i e s  

i s   so a l s o .  

2J 

a.+ 't kSμ • ， .(n.+ 't k X )

h。目

Now by (5.1)

we have 

ー 竺E 土並土工=一色土亘書士L ー竺主主投士L ……一主主士主主土ヱー n.+

k  n.+ τ k  n.+ τ k + l   n.+

k

1

¥、，.‑

n  . + 伺'k+i+ 1¥'"¥

~<..mtn .._.~ .~

j"/ Q ! 1 . ， k ， 

O! 玉 i< τ n.+ τ k+

(s=1 ， 2 ，  ・ … ・ ・ ， τ 〉

and  then  weobtain  by the  Kolmogoroff's  theorem  [7]

the  almost  everywhere  convergence of each s e r i e s  

(5.3)  ; 5 0   ^{0 s m S h ・ .(n.+}

^{k X) ' (s=1 ， 2 ， . . . . . . ， τ 〉}

whence Theorem 4 follows from  ( 5 . 2 )   and  ( 5 . 3 ) .  

References 

[ 1 ]   M. Kac ，  R .  Salem and A .  Zygmund ，  A gap theorems ，  T r a n s .  Amer. Math. S o c . ，  6 3   ( 1 9 . 崎).

[ 2 ]   S .   Izumi ，  Notes on F o u r i e r  A n a l y s i s  (XLI) ;  On t h e  s t r o n g  law o f  l a r g e  numbers  a n d   gap  s e r i e s

Tohoku M a t h .  J o u r .

3  ( 1 9 5 1 ) .  

[ 3 ]   J .   L .   Koksma ，  A D i o p h a n t i n e  p r o p e r t y  o f  some summable f u n c t i o n s ，  I n d a g ，  M a t h . ，  1 3   ( 1 9 5 1 ) .   Also Sur l e s   s u i t e s  ( ; . n x )   e t   l e s   f o n c t i o n s   g ( t )   E  L2 ，  J o u r .  de Math. P u r e s  e t   A p p l i q u e e s ，  35  ( 1 9 5 6 ) .  

[ 4 ]   P .   Erdos ，  On t h e  s t r o n g  law o f  l a r g e  number ，  T r a n s .  Amer. Math. S o c . ，  6 7   ( 1 9 4 9 ) .  

[ 5 ]   M. Kac ，  P r o b a b i l i t y  methods i n  some problems o f   a n a l y s i s  and number t h e o r y ，  B u l l .  Amer. 

Math. S o c . ，  5 5   ( 1 9 4 9 ) .  

[ 6 ]   S .   Kaczmarz and H. S t e i n h a u s ，  T h e o r i e  d e r  O r t h o g o n a l r e i h e n  p .   1 6 2 .  

[ 7 ]   A .  Zygmund ，  T r i g o n o m e t r i c a l  S e r i e s ，  p .   25 1 .