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Runge-Kutta method

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Academic year: 2021

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(1)

● 講義資料

▼

Runge-Kutta method

a_ij,b_i (i, j= 1, . . . , s)

ki=f(xn+h∑

j

aijkj), i= 1, . . . , s, xn+1=xn+h∑

i

biki

前進オイラー法（陽的１段１次）

0

1

後退オイラー法（陽的１段１次）

1 1

1

陰的中点法（陰的１段２次）

1/2 1/2 1

改良オイラー法（陽的２段２次）

0 1/2 1/2

0 1

Heunの２次公式（陽的２段２次）

0

1 1

1/2 1/2

Ralston法（陽的２段２次）

0 2/3 2/3

1/4 3/4

２段４次 Gauss-Legrandre法（陰的２段４次）

3−√ 3 6

1 4

3−2√ 3 12 3 +√

3 6

3 + 2√ 3 12

1 4

1/2 1/2

(2)

Heunの３次公式（陽的３段３次）

0 1/3 1/3

2/3 0 2/3

1/4 0 3/4

Kuttaの３次公式（陽的３段３次）

0 1/2 1/2

1 −1 2

1/6 2/3 1/6

３段６次 Gauss-Legrandre法（陰的３段６次）

5−√ 15 10

5 36

80−24√ 15 360

50−12√ 15 360 1

2

50 + 15√ 15 360

2 9

50−15√ 15 360 5 +√

15 10

50 + 12√ 15 360

80 + 24√ 15 360

5 36

5/18 4/9 5/18

Runge-Kutta 法（陽的４段４次）

0 1/2 1/2

1/2 0 1/2

1 0 0 1

1/6 1/3 1/3 1/6

Kutta の 3/8 公式（陽的４段４次）

0

1/3 1/3 2/3 −1/3 1

1 1 −1 1

1/8 3/8 3/8 1/8

Runge-Kutta-Gill 法（陽的４段４次）

0

1/2 1/2

1/2 1/2−α₋ α₋

1 0 1−α α

α_±= 1±1/√ 2

(3)

F ψ α γ d

τ1 f i bi 1 1 1

τ₂ f^′(f)

j

i b_ia_ij 1 2 2

τ3,1 f^′′(f, f)

k j

i biaijaik 1 3 3

τ3,2 f^′(f^′(f))

k j

i biaijajk 1 6 3

τ_4,1 f^′′′(f, f, f)

k ℓ j

i b_ia_ija_ika_iℓ 1 4 4

τ4,2 f^′(f^′′(f, f))

j k

ℓ

i biaijaikakℓ 3 8 4

τ4,3 f^′′(f^′(f), f)

ℓ k

j

i biaijajkajℓ 1 12 4

τ4,4 f^′(f^′(f^′(f)))

ℓ k j

i biaijajkakℓ 1 24 4

(4)

▼ 種々の方法による数値計算

h= 0.1, 10000ステップ

単振動

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前進Euler 後退Euler

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改良Euler Heun２次 Ralston

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Heun３次 Kutta３次

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Runge-Kutta Kutta 3/8 Runge-Kutta-Gill

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(5)

単振り子

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前進Euler 後退Euler

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改良Euler Heun２次 Ralston

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Heun３次 Kutta３次

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Runge-Kutta Kutta 3/8 Runge-Kutta-Gill

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midpoint rule ２段GL ３段GL

(6)

単振動のエネルギー推移

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前進Euler 後退Euler

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改良Euler Heun２次 Ralston

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Heun ３次 Kutta３次

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Runge-Kutta Kutta 3/8 Runge-Kutta-Gill

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midpoint rule ２段GL ３段GL

(7)

▼ 種々の方法による数値計算

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x^′=x,x(0) = 1

▼ 安定領域

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

陽的RK 後退オイラー Gauss-Legendre

(8)

● 実習内容

1. ６回目資料の1 から6の常微分方程式の初期値問題の数値解を,改良オイラー法,ホインの２次公式,ホインの３次公式,ルンゲ・クッタ法,陰的中点法,２段４次ガウスルジャンドル法で計算しなさい.

参照

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補題 9 (

● 講義資料

（★★★）６回目資料の「単振動」と「単振り子」の常微分方程式の初期値問題の数値解を, Symplectic Euler

135 1 Attainable order Runge-Kutta $c_{k}$ $y$ $y_{k}$ $y_{k}=y_{n}+h \sum_{j=1}^{k-1}a_{kj}f_{j}$ $f_{1}=f(t_{n} y_{n})$ $f_{i}=f(t_{n}+c_{i}h y_{i})

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