電気回路学
Ⅱコミュニケーションネットワークコース 5 セメ
山田 博仁
RL
微分回路と積分回
RL 微分回路
路
電圧 e(t) が、時間幅 a, 高さ E0 の方形パ ルスであるときの、 RL 直列回路の応答を考え る。電圧は、
(a)
) (
) ( )
(t E0u 1 t E0u 1 t a
e と表されるから、
L R
vL e(t)
vR
e as
s t E
e( ) 0 1
￡
ラプラス変換は、表 5.2(2) に変位定理を適用して、
である。
このような入力に対して、出力としてコイル L の両端の電圧 vL(t) をとることにする。
dt t L di t
Ri t
e ( )
) ( )
( をラプラス変換すると、
1 ( ) ( ) (0)
0 e RI s L sI s i
s
E as
初期条件 i(0) = 0 と置いて、
1 1 1
) 1
( 0 0 0
s sL
e E
L s R sL
e E
sL R s
e s E
I
as as
as
回路方程式
ただし、 R
L
RL
微分回路と積分回 路
従って、ラプラス逆変換を求めると、
) (
1 ) ( 1
) (
) (
) ( )
(
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 ) 1
( )
(
1 1
0
1 1
1 1
0
1 1
1 0 1
0 1 1 0
1 0 1
a t u e
t u R e
E
a t u e
a t u t u e t R u
E
e s
se s s
L E
e s s
L E s
s e L
E s
sL e s E
I t
i
a t t
a t t
as as
as as
as
￡
￡
￡
￡
￡
￡
￡
￡
となる。
RL
微分回路と積分回 路
従って、コイル L の両端の電圧 vL(t) は、
) (
) (
) 1 (
) 1 (
) ) (
(
1 1
0
1 1
0
a t u e
t u e E
a t u e
t u e R E
L dt
t L di t
v
a t t
a t t
L
となり、これを図示すると以下の波形となる。
この波形は、前回出てきた RC 微分回路の vR(t) と同 じ形をしているため、 τ << a の場合、微分回路になる この回路の伝達関数 。 HL(s) は、
1 1 1
1 )
( ) ( )
( ) ) (
( 0 0
s e s
s E s
e E
s E
s sLI s
E s s V
H as
as L
L
従って、 s → jω と置いて、
1 2
2
2 , tan
1 1 )
( ) ) (
(
L j
L e
j j j
E j j V
H
RL
微分回路と積分回 路
従って、高域通過形回路であることが分かり、振幅特性 |VL/E| および位相角
(π/2 ‒ θ) の特性の概略を下図に示す。
一方、出力として抵抗 R の両端の電圧 vR(t) をとると、
( ) 1 ( )
1 )
( )
(t Ri t E0 e u 1 t e u 1 t a
v
a t t
R
となり、これを図示すると右のような波形となる。
上式は、 RC 積分回路の vC(t) と一致するから、 τ >> a の場合、積分回路になる。
RL 積分回路
RL
微分回路と積分回 路
伝達関数 HR(s) は、
1 1 1 1 1 1
1 1 )
( ) ( )
( ) ) (
( 0 0
s L s
e R s
E s
sL e R E
s E
s RI s
E s s V
H as
as R R
従って、 s → jω と置いて、
) tan
(
, 1
1
1 1 1
) (
) ) (
(
1 2 2
j L
R
e j j
E j j V
H
となる。振幅特性 |VR/E| お よび位相特性 θ を右図に示 す。低域通過形回路であるこ とが分かる。
二次系の伝達関数
二次系の伝達関数
RLC 直列回路などでは、その伝達関数 H(s) が、
2 0 0
2
2 0
) 2
(
s s s
H
のような形をとることがある。即ち、伝達関数の分母が s に関する 2 次の多項 式となり、
ζ, ω0 は共に実定数である。そのような系を総称して二次系と呼んでいる。 ω0 は共振角周波数 (natural frequency) 、 ζ は減衰率 (damping factor) と呼ばれて いる。また、分子の係数 ω02 は、 H(0) = 1 となるよう規格化したものである
。二次系を単位ステップで励振したときの応答 v0(t) ( ステップ応答 ) は、全ての 初期条件を 0 と仮定して、 t > 0 について、
t t
e t
v
t e
t v
t t
e t
v
t t
t
0 2
0 2 2
0
0 0
0 2
0 2 2
0
1 1sin
1 cos
1 ) ( ,
1
1 1
) ( ,
1
1 1sinh
1 cosh
1 ) ( ,
1
0 0
0
と得られる。
二次系の伝達関数
v0(t) の時間変化
|H(jω)| の振幅特性
‒40dB/dec
RLC
直並列回
RLC 直並列回路
路
L R0
e(t) C R v0(t)
図に示すような RLC 直並列回路を電
圧源 e(t) によって励振したときの
、 R の両端に現れる電圧 v0(t) を求 める。簡単のために、最初から全て の初期条件を 0 として、電圧、電 流はそれらのラプラス変換で考える L[e(t)] = E(s), L[v0(t)] = V0(s), R, L, C を流れる電流のラプラス変換をそれぞ。 れ IR(s), IL(s), IC(s) として、
C L
R C L R
sC I sLI
RI s
V
s E s
V I
I I R
) 1 (
) ( )
( )
(
0
0 0
の関係が成り立つから、 IR, IL, IC を消去すれば、伝達関数として、
2 0 0
2
2 0 0
0
2 )
( ) (
s s
s R
L s
E s
V ただし、
RR LC R R C
L 1
2 0 , 0
0
が求まる。
RLC
直並列回 路
この、 ω0 に対応する周期 T0 = 2π/ω0 を共振期間と呼ぶことがある。ま た、 2ζ ω0 の値から
Q RR
R R C RR
R R C
L 1 1
2
0 0 0
0
0
はちょうど、回路の Q を与える。
e(t) が単位ステップ即ち E(s) = 1/s のときの応答 v0(t) を求める。
2 0 0
2
2 0 0
0( ) 2
s s
R s L
V
(a) 臨界減衰 (ζ = 1 或いは ) の時、
となるから、
R R L C
R
R / /
2 0 0
02
2 0 0
2 0 0
2
2 0 0
0( ) 2
R s L s
s R s L
V 表 5.2 の (5) より、
s a teat
2
1 1
￡
従って、 1 , 0
)
( 0 0
0 0
2 0
0 te t
C te R
R t L
v t t
RLC
直並列回 路
(b) 過減衰 (ζ > 1 或いは 2R0R/R0 R L/C ) の時、
0 02 2 02
2 0 2
0 2 2
0 0 2 0
2 0 2 2
0 0 2 0 2
0 0
2 0 2 0 0
1 1
1 1
1 1 2
) 1 (
j R s
L R s
L
R s L s
s R s L
V
表 5.2 の (32) より、
s a12 2 1 e at sint
1
￡ 従って、
0 ,
1 1 sinh
1 1
1 1 sinh
1 1 1 sin
) 1 (
0 2
0 2 0
0 2
0 0 2
2 0 0
2 0
0 2 2 0 0
0
0 0
t t CR e
t R e
t L j
j e R t L
v
t
t t
RLC
直並列回 路
(c) 振動減衰 (ζ < 1 或いは 2R0R/R0 R L/C ) の時、
02 2 02
0 2 0
2 0 2 2
0 0 2 0 2
0 0
2 0 2 0 0
1 1
1 1 2
) 1 (
R s L
R s L s
s R s L
V
表 5.2 の (32) より、
s a12 2 1 e at sint
1
￡ 従って、
0 ,
1 1 sin
1 1
1 1 sin
) 1 (
0 2 0 2
0
0 2 0
0 2 2 0 0
0 0
t t CR e
t R e
t L v
t t
となる。
RLC
直並列回 路
例題 7.5.1
振動減衰の場合、 ζ ω0t1 = 1 を満たす時刻、即ち t1 = 1/ζ ω0 では、 v0(t1) の振幅は、時刻 t = 0 の時の振幅の 1/e になる。
0 ,
1 1 sin
1 ) 1
( 2 0
0 2 0
0 0
e t t
t CR
v t
振幅
t = 0 ~ t1 の間に v0(t) が振動する回数を k とすれば、 ζ << 1 ならば と見なせるので、 2πk ≈ ω0t1 =1/ζ である。
1 1 2 従って、先に示した の関係を用いると、
Q 2 1
/ 2
/
1 Q
k または k Q の関係が得られる。
