山田 博仁 Electric Circuits
電気回路 学
情報コース 4 セメ開講
F 行列
F 行
電気回路の縦続接続を扱うのに便利、電気回路以外でも広く利用されている
列
A B C D
V1 V2
I2 I1
I1 I2
二端子対回路の入出力電圧、電流の関係を
2 2 1
1
I V D C
B A I
V
2 0 1
2
V I
A V 出力端開放時の電圧帰還率 ( 電圧増幅率の逆数 )
2 0 1
2
I V
B V 出力端短絡時の伝達インピーダンス
2 0 1
2
V I
C I 出力端開放時の伝達アドミタンス
2 0 1
2
I V
D I 出力端短絡時の電流帰還率 ( 電流増幅率の逆数 )
2 2
1
2 2
1
DI CV
I
BI AV
V
1
BC AD
F 行列、 K 行列、伝送行列、縦続行列などと呼ぶ A, B, C, D を、 F パラメータ、四端子定数などと呼ぶ 電流 I2 の向きに注意 !
相反回路なら
F 行列の求め 方
2 0 1
2
V I
A V
Z
V1 V2
I1 I2 A は、 I2 = 0 ( 出力端開放 ) 時の V1 / V2
A = 1
2 0 1
2
I V
B V B は、 V2 = 0 ( 出力端短絡 ) 時の V1 / I2
B = 0
2 0 1
2
V I
C I C は、 I2 = 0 ( 出力端開放 ) 時の I1 / V2
C = 1/Z
2 0 1
2
I V
D I D は、 V2 = 0 ( 出力端短絡 ) 時の I1 / I2
D = 1
1 10 1 D Z
C B A
1 0
1 Z
D C
B A
Z
V1 V2
I1 I2
1
2 0 1
2
V I
A V Z
I B V
V
2 0 1
2
0
2 0 1
2
V I
C I 1
2 0 1
2
I V
D I 例題 9.8
A’ B’
C’ D’
V1’ V2’
I2’ I1’
I1’ I2’
F 行列の縦続接 続
A” B”
C” D”
V1” V2”
I2” I1”
I1” I2”
A B C D
V1’ V2”
I2” I1’
I1’ I2”
"
"
' '
2 2 1
1
I V D C
B A I
V
' ' '
' ' ' '
'
2 2 1
1
I V D C
B A I
V
"
"
"
"
"
"
"
"
2 2 1
1
I V D C
B A
I V
"
'
"
'
1 2
1 2
I I
V V
"
"
"
"
"
"
' '
' ' '
'
2 2 1
1
I V D C
B A
D C
B A I
V
縦続接続された回路におけ るF 行列は、個々の回路の F 行列の積で表される
縦続接続による F 行列の求め 方
Z1 Z2
Z3
下の回路の F 行列を求めよ
例題 9.9 3 つの二端子対回路の縦続接続と考える Z1
Z3
Z2
D C
B
A
1 0 1 Z1
1 0
1 Z2
1 10 1
Z3
3 2 3
3 2 1 2
1 3
1 2
3 1
1 1 1 1
0 1 1 10 1 1
0 1
Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z
D C
B A
下の回路の F 行列を求めよ
例題 9.10 3 つの二端子対回路の縦続接続と考える Z12
Z13 Z23 Z13
Z12
Z23
入出力を逆にした場 合
2 2 1
1
I V D C
B A I
V
1 1 1
1 1
2
2 1
I V A C
B D
I V D
C B A I
V A B
C D
V1 V2
I2 I1
I1 I2
1
1’
2
2’
I2’
D B C A
V2 V1
I2’ I1’
I1’ 1
1’
2
2’
'
' 1
1 1
1 2
2 2
2
I V I
V A C
B D I
V I
V
1 相反回路なら
入力と出力を逆にすると、 F 行列の A と D が入れ替わる 理想変圧器の F 行列
V1 V2
I2 I1
I1 I2
1 : n
2 2 1
1
0 1 0
I V n n
I V
2 1
2
1 1 ,
nI I
nV
V
V1 V2
I2 I1
I1 I2
n : 1
入力と出力を逆にすると、
n K n 1
0 0
Z 行列、 Y 行列との
Z 行列との関係
関係
A B C D
V1 V2
I2 I1
I1 I2
2 1 22
21
12 11
2 1
I I z
z
z z
V V
電流 I2 の向きに注意 !
I2 の向きが Z 行列の定義では反対
2 22 1
21 2
2 12 1
11 1
I z I z V
I z I z V
F 行列の定義では、
2 2
1
2 2
1
DI CV
I
BI AV
V
2 21 22 2
21 1
2 21
21 12 22
11 2
21 11 1
1 I
z V z I z
z I
z z z
V z z V z
上式を、 V1=, I1= の式に書き直すと、
21 22 21
21
21 12 22
11 21
11 1 ,
,
, z
D z C z
z
z z z
B z z
A z
Y 行列との関係
2
1 22 21
12 11
2 1
V V y
y
y y
I I
2 22 1
21 2
2 12 1
11 1
V y V y I
V y V y I
21 11 21
21 12 22
11 21
21
22 1 , ,
, y
D y y
y y y
C y B y
y
A y
諸行列間の関 係
A K D
z B z
z z
y Z y
y Y y
1 1
1
11 21
12 22
22 21
12 11
D K A
y C y
y y
z Y z
z Z z
1 1 1
11 21
12 22
22 21
12 11
22 11
11 21 22
21
1
1 1 1
z Z z
y z Y
y y
D C
B
K A
インピーダンス 型回路⇔ T 型回路間での
Z12
変換
Z31 Z23
Z1
Z3
Z2
3
1 3 3
2 2
12 1
Z
Z Z Z
Z Z
Z Z
2
1 3 3
2 2
31 1
Z
Z Z Z
Z Z
Z Z
1
1 3 3
2 2
1
23
Z
Z Z Z
Z Z
Z Z
31 23
12
12 1 31
Z Z
Z
Z Z Z
31 23
12
23 12
2
Z Z Z
Z Z Z
31 23
12
31 3 23
Z Z
Z
Z Z Z
形回路 T 形回路
アドミタンス 型回路⇔ T 型回路での
Y12
変換
Y31 Y23
Y1
Y3
Y2
23
12 31 31
23 23
1 12
Y
Y Y Y
Y Y
Y Y
3 2
1
2 12 1
Y Y
Y
Y Y Y
3 2
1
3 2
23
Y Y Y
Y Y Y
3 2
1
1 31 3
Y Y
Y
Y Y Y
31
12 31 31
23 23
12
2
Y
Y Y Y
Y Y
Y Y
12
12 31 31
23 23
3 12
Y
Y Y Y
Y Y
Y Y
形回路 T 形回路
-Y 変 換
Z1
Z3
Z2 Z12
Z31 Z23
1 2
3
形回路 Y 形回路
1 2
3
Z12
Z31 Z23
形回路
1 2
3 3
Z1
Z3
Z2
T 形回路
1 2
3 3
等価
演習問 題
(9.4)Z 行列を求める
Z1
Z3
Z2 Z4
Z1
Z3
Z2 Z4
Zb
Z3
Zc Za
Z1
Z3
Z2 Z4
→Y 変換
演習問 題
Zb
Z3
Zc Za
4 2
1
4 1
Z Z
Z
Z Z
aZ
4 2
1
2 1
Z Z
Z
Z Z
bZ
4 2
1
4 2
Z Z
Z
Z Z
cZ
→Y 変換より
T 形回路の Z 行 列 ( 教科書
p.183 例題 9.6) より
3 4
2 1
2 1 4
3 2 4
2 1
2 1
3 4
2 1
2 3 1
4 2
1
2 1 4
1
3 3
3 3
Z Z Z
Z
Z Z Z
Z Z Z
Z Z
Z Z
Z Z Z
Z
Z Z Z
Z Z
Z
Z Z Z
Z
Z Z
Z Z
Z
Z Z
Z Z
Z Z
b c
b
b b
a
演習問 題
(9.4)Y 行列を求める
Y1-1
Y3-1
Y2-1 Y4-1
Y1-1
Y3-1
Y2-1 Y4-1
Y4-1
Y1-1
Y3-1
Y2-1 Ya-1
Yb-1 Yc-1 Y4-1
Y→ 変換
演習問 題
Y→ 変換より
形回路の Y 行
列 ( 教科書
p.178 例題 9.2) より
4 3
2 1
2 1 3
2 4
3 2
1
2 1
4 3
2 1
2 1 4
3 2
1
1 3 2
1
4 4
4 4
) (
) (
Y Y Y
Y
Y Y Y
Y Y Y
Y Y
Y Y
Y Y Y
Y
Y Y Y
Y Y
Y
Y Y Y
Y
Y Y
Y Y
Y
Y Y
Y Y
Y Y
a c
a
a b
a
Ya-1
Yb-1 Yc-1 Y4-1
3 2
1
1 3
Y Y
Y
Y Y
bY
3 2
1
2 1
Y Y
Y
Y Y
aY
3 2
1
3 2
Y Y
Y
Y Y
cY
基本 2 端子対回路のパラメータ (Z 表示 )
(p.178 図 9.6)
(p.182 式9.25) (p.186 例題9.8)
(p.186 例題9.8 式9.41) (p.182 10行目)
(p.185 図9.19) (p.178 例題9.1)
[Z] [Y] [K]
Z
存在しない
存在しない
Z Z
Z Z Z
Z Z
Z Z1 1 1 1
1 0
1 Z
1 10 1 Z
Z1 Z2
2 1
0
0 Z Z
2
1 1
0 1 0
Z
Z 存在しない
1 : n
存在しない 存在しない
n n 0 1 0
基本 2 端子対回路のパラメータ (Z 表示 )
[Z] [Y] [K]
1 1 1
2
1 2
1
Z Z Z Z
1 2 1
2
1 1 1
Z Z Z
Z
Z2
3 2
2
2 2
1
Z Z
Z
Z Z
Z
Z Z Z Z
Z
Z Z Z
Z Z
2 1 2
2 3
2
Z1
Z2
2 2
2 2
1
Z Z
Z Z
Z
2 1
1
1
1 1 1
1
1 1
Z Z
Z
Z Z
Z1
Z2
2
1 1
1 1
Z Z Z
Z Z
2 2
2 2
1 1 1
1 1
1
Z Z
Z Z
Z
Z1 Z3
2 3 2
2 2
1
1 1 1
Z Z Z
Z Z Z
Z
1 3 3 2 2
1Z Z Z Z Z
Z
Z Z Z1Z2Z2Z3Z3Z1
Z1
Z2
Z3
3 2
1 Z Z
Z
Z
Z Z Z Z Z
Z
Z Z
Z Z Z
Z Z Z
3 2 1 3
1
3 1 3
2 1
) (
) (
3 2
2
2 2
1 1 1 1
1 1
1
Z Z
Z
Z Z
Z
1 2 3
1
2 3
2
1 1
Z Z Z
Z Z
Z Z Z
3 2
1 Z Z
Z
Z
(p.183 例題9.6)
(p.187 例題9.9 式9.43)
(p.187 例題9.10 式9.44)
基本 2 端子対回路のパラメータ (Y 表示 )
(p.178 図 9.6) (p.178 例題9.1)
(p.186 例題9.8 式9.40) (p.186 例題9.8)
(p.185 図9.19) (p.182 10行目)
[Z] [Y] [K]
Y
存在しない
存在しない
Y Y
Y Y1 1 1 1 Y
Y Y
Y Y
1 0 1 1
Y
1 0 1 Y
Y1 Y2
2
1 1
0 1 0
Y
Y
2 1
0 0 Y
Y 存在しない
1 : n
存在しない 存在しない
n n 0 1 0
基本 2 端子対回路のパラメータ (Y 表示 )
(p.178 例題9.2)
[Z] [Y] [K]
1 1 1
2
1 1
2
Y
Y Y
Y
2 1 1
2
1 1 1
Y Y Y
Y
Y2
3 2
2
2 2
1 1 1 1
1 1
1
Y Y
Y
Y Y
Y
Y Y Y Y Y
Y
Y Y
Y Y Y
Y Y Y
3 2 1 3
1
3 1 3
2 1
) (
) (
Y1
Y2
2 2
2 2
1 1 1
1 1
1
Y Y
Y Y
Y
2 1 1
1 1
Y Y Y
Y Y
Y1
Y2
2 1
1
1
1 1 1
1
1 1
Y Y Y
Y
Y
2 2
2 2
1
Y Y
Y Y
Y
Y1 Y3
3 2 2
3 1 1 2
1 1
Y Y Y
Y Y
Y Y
Y
3 2
1 Y Y
Y
Y
Y1
Y2
Y3
Y Y Y Y
Y
Y Y Y
Y Y
2 1 2
2 3
2
3 2 2
2 2
1
Y Y Y
Y Y
Y
2 1 2
2 2
3
1 1 1
Y Y Y
Y
Y Y
Y
3 2
1 Y Y
Y
Y
1 3 3 2 2
1Y Y Y YY
Y
Y Y Y1Y2 Y2Y3Y3Y1
基本 2 端子対回路のパラメータ
[Z] [Y] [K]
2 1
L j M j
M j L j
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1 2
1 2 1
2 2
2 2
Z Z
Z Z Z
Z Z Z
Z Z
Z Z Z
Z Z Z
2 2
2 2
2 1
1 2
1 2 2
1
Z Z Z
Z
Z Z
Z Z
Z L Z
M
Z M Z
L
1 2
Z1
Z1 Z2 Z2
L1 L2 M
2 1
2 1 2
1 2 1
2 1 2
1 2 1
2
2
Y Y
Y Y Y
Y Y Y
Y Y Y
Y Y Y
M L M
j
M Z M
L
2 1
1
2 2
2 2
2 1 1
2
1 2 2
1
Y Y Y
Y
Y Y
Y Y
(p.183 例題9.7 式9.29)
Y1
Y1 Y2 Y2
(p.183 例題9.7 式9.29) (p.179 例題9.3 式9.13)
1 2
2 1
1 2
1 2
2 1 1
2 2 1
2
2
Z Z
Z Z Z
Z
Z Z
Z Z Z
Z Z Z
2 1
2 1 2
1 2 1
2 1
2 1 2
1 2 1
2 2
2 2
Y Y
Y Y Y
Y Y Y
Y Y
Y Y Y
Y Y Y
) (L1L2 M 2 j
Z Z j(L1L2 M2)
