2章演習問題解答
5月26日改訂
演習問題2.1 f(x, y) =x2+y2の点(2, 2)における(1,−1)方向の方向微分係数は，
h!0lim
(2+h)2+ (2−h)2− (22+22)
h = lim
h!0
2h2 h
= lim
h!02h=0 演習問題2.2 (1) z=2x+3y+4とおく．
∂z
∂x =2 ∂z
∂y =3 (2) z= (x+y)3とおく．
∂z
∂x =3(x+y)2 ∂z
∂y =3(x+y)2
(3) z=ex2+2xy+y2とおき，w=x2+2xy+y2とおくと，z=ew．
∂z
∂x = dz dw
∂w
∂x =ew(2x+2y) =ex2+2xy+y2(2x+2y)
∂z
∂y = dz dw
∂w
∂y =ew(2x+2y) =ex2+2xy+y2(2x+2y)
(4) z= xyとおく．
∂z
∂x = 1 y
∂z
∂y = − x y2 演習問題2.3 fxy(x, y)を求める．
fx(x, y) =4x3y3+2y2 fxy(x, y) =12x3y2+4y fyx(x, y)を求める．
fy(x, y) =3x4y2+4xy fyx(x, y) =12x3y2+4y
演習問題2.4 合成関数の微分のルールを使うため，以下の（偏）導関数を求めておく．
∂f
∂x =3(x4+x2y+xy)2(4x3+2xy+y)
∂f
∂y =3(x4+x2y+xy)2(x2+x) dx
dt =2t dy dt =1
以上より，
df
dt(x, y) = ∂f
∂x dx dt + ∂f
∂y dy dt
=6t(x4+x2y+xy)2(4x3+2xy+y) +3(x4+x2y+xy)2(x2+x) となる．
演習問題2.5 陰関数定理より，
dy dx = −Fx
Fy = −6x+4y
4x+4y = −3x+2y 2(x+y) となる．
演習問題2.6 f(x, y, t) =x2−2(t−1)x+y+t2なので，(2.7)(2.12)の条件は以下のようになる．
f(x, y, t) =x2−2(t−1)x−y+t2=0 ft(x, y, t) = −2x+2t=0
t=xを一本目の式に代入して，y=2xが求める包絡線である．
