強相関ゆらぎの大偏差統計力学に向けて
Kolmogorov
のもう一つの遺産
藤 坂 博 一
京都大学大学院 情報学研究科
Toward Large Deviation Statistical Mechanics of
Strongly Correlated Fluctuations
Another Legacy of A. N. Kolmogorov
-Hirokazu FUJISAKA
Abstract
Recently, spatially or temporally strongly correlated fluctuations are observed in many different contexts such as price fluctuations in economic dynamics as well as, e.g., turbulence, intermittency in coupled chaotic systems. They are ubiquitous in nonlinear, nonequilibrium systems. Statistical mechanics so far developed for statistically independent or weakly correlated fluctuations faces the problem, how to construct the emergency mechanism as well as to characterize the fundamental statistics of strongly correlated fluctuations. They often exhibit self-similarity characteristics. The aim of the present paper is to suggest the possibility of constructing statistical mechanics for strongly correlated fluctuations by proposing a unified approach to several kinds of examples from the phenomenological viewpoint based on the large devition statistics in the probability theory.
最近，乱流や結合カオス系などの自然現象のほか，株価時系列などの経済現象で強い相関を持つさ まざまな時間変動が観測されている．強い相関を持つゆらぎは，非線形非平衡系に普遍的に観測さ れる現象である．これまで，基本的には時間的に指数減衰するゆらぎを中心に発展してきた物理的 確率過程論や統計力学は，このような強い相関をもつゆらぎの基本的な特性に加え，その発生機構 を明らかにする必要性に迫られていると言えよう．このような強い相関を持つ時系列は多くの場合， 自己相似なふるまいを示す．本論文では，時系列の自己相似性を手がかりに，このような相関ゆらぎ の統計特性を解析する現象論的な方法を提案し，現象論を第一原理から説明する統計力学が構築さ れる可能性があることについて述べる． Keywords
Turbulence, On-off intermittency, Price fluctuations, Strongly correlated fluctuations, Self-similarity, Multifractals
1.
はじめに
熱平衡系で発達した統計力学は，熱平衡系近 傍の統計力学 (線形応答理論，線形不可逆過程) への発展を経て，原理的な問題ばかりでなく広 範囲の応用の可能性が明らかになってきた．さら に，過去 30 年の間には，非線形非平衡系をキー ワードとして熱平衡状態から大きく離れた状態 を研究対象とするようになってきており，統計 力学的な考え方の重要性はますます高まってき ている． これまで，熱力学や統計力学の理論的な枠組 みは統計的に独立なゆらぎを中心に理論が作ら れてきた．これらの枠組みは，熱ゆらぎが中心的 な役割を果たす多くの統計現象の説明とその発 現機構の解明に多くの成果をあげてきた．一方， 熱力学的臨界現象の臨界領域においては，相関 関数がべき的に減衰するなど強相関性に由来す る異常性が観測されるように，ゆらぎは空間的 あるいは時間的に強い相関をもつ． 統計量のべき的なふるまいは，発達した乱流 やフラクタル構造体などを典型として非線形非 平衡系の広い範囲で観測されることが明らかに なってきている．このような系に特徴的なこと は，空間スケールあるいは時間スケールの広い 領域で，考えている物理量が自己相似なふるま いを示すことである．このふるまいは，スケー ルの変化に伴う粗視量の変化を記述する指数に よって特徴づけられる．このような，強相関ゆ らぎとでもよばれるべき変動に関係すると思わ れる現象は，臨界現象，発達した乱流，フラク タル，自己組織化臨界現象，非中性プラズマ系， 自己重力系，価格変動，心拍変動など多岐にわ たっている．これまでの統計力学の枠組みが，統 計的独立性を基礎にしているのに比べ，このよ うな強相関ゆらぎに対する統計力学的枠組みは 極めて不確かなように思われる． 講演では，このようにいろいろな分野で観測 されている強相関ゆらぎを統一的に解析する一 つの試みについて述べた．基本的には，強相関ゆ らぎの自己相似性を，乱流統計で導入された概 念を一般化し，大偏差統計を用いて解析すると いうことである．このような解析法がさまざま な例に対して有用であるということを根拠にし て，強相関ゆらぎに対する本解析法の有効性を 主張したい．さらに，現象論である本解析法を， 第一原理から正当化し関係する統計量を計算す ることを可能にする，強相関ゆらぎに対する大 偏差統計力学とでもよばれるべき理論が，将来 構築される可能性があることについてふれたい．2.
発達した乱流のエネルギーカ
スケード過程
強相関ゆらぎの典型例として，発達した乱流 における速度構造関数と自己相似エネルギーカ スケード過程がある． 直径 L のパイプ流や間隔 L の格子乱流のよう に，スケール L で注入された運動エネルギーは Navier-Stokes 方程式の非線形項を通じて小さな スケールの運動に輸送されていき，散逸スケー ル η で熱に変わる．L/η が非常に大きな乱流を 発達した乱流という．η ¿ r ¿ L(慣性領域) を 満たすスケール r では乱流の統計特性は，乱流 の発生メカニズムや境界条件によらない普遍的 な性質を示すと考えられる [1]． 乱流の統計理論では距離 r だけ離れた点での 速度差（正しくは速度差の縦成分）の大きさ ur のモーメント (速度構造関数) のべき的 r 依存性 Su q(r) ≡ huqri ∼ rζ(q) (1) に現れる特性関数 ζ(q) および urの確率密度を 問題にする．(1) 式のべき則の存在は，大きなス ケールから小さなスケールへのエネルギーの輸 送過程 (エネルギーカスケード) において，ある 種の自己相似性が存在することを意味している． Kolmogorov, Obukov による拡張された自己 相似性仮説 [2, 1] は，²rをスケール r の領域で 粗視化した，単位質量あたりのエネルギー散逸 率ゆらぎとすると，ur ∼ r 1 3² 1 3 r と表される．こ れより， Sq²(r) ≡ h²qri ∼ rτ (q) (2)として， ζ(q) = q 3+ τ ³ q 3 ´ (3) が得られる [1, 3, 4]．1941 年に Kolmogorov は， エネルギーの散逸率 ²rはスケール r によらず一 定 (²r ≡ ²L) であると仮定した．この仮定を用 いると，τ (q) = 0 となり，ζ(q) = q3が得られ， エネルギースペクトル E(k) ∼ ² 2 3 Lk− 5 3, (L−1¿ k ¿ η−1, Kolmogorov スペクトル) を導く．こ れを，K41 理論という．拡張された自己相似性 [2] の結果 (3) は，必ずしもいい近似ではない [5]． しかし，²rそれ自身の統計特性は実験的にも測 定可能であり，以下ではこれに関して中心的に 述べる． 慣性領域内にとった三点 r1 ¿ r2 ¿ r3に対 して，粗視化エネルギー散逸率に対する結合確 率密度を P (²j, rj|²k, rk)（スケール rkの領域で ²rが ²kの値をとる領域内で，スケール rjの領 域で ²j の値をとる確率) とすると，η ¿ r3 ¿ r2 ¿ r1¿ L に対して，カスケード過程の相似 性より， P (²3, r3|²1, r1) = Z P (²3, r3|²2, r2)P (²2, r2|²1, r1)d²2 (4) を仮定することができる．これは漸近解として， S(z) を下に凸な関数として， P (²j, rj|²k, rk) ∼ ²−1j µ rk rj ¶−S(z(²j,rj|²k,rk)) (5) z(²j, rj|²k, rk) = ln²j ²k lnrk rj (6) を解として持つことがわかる．特に，rk= L, rj= r とおき，r = L でのゆらぎは小さいとして，²L は一定であると仮定すると，²rの分布は， Pr(²) ∼ ²−1 µ L r ¶−S(zr(²)) , (7) zr(²) = ln ² ²L lnL r (8) と書ける [5]．関数 S(z) は自己相似なエネルギー カスケード過程の統計性を特徴づける関数であ る．速度差に対する確率密度は，ur∼ r 1 3² 1 3 r を用 いて，(7) から容易に求めることができる．S(z) と τ (q) の間には，Legendre 変換の関係 τ (q) = min z [S(z) − qz] (9) の関係があることがわかる．Kolmogorov(1962) (K62) は，S(z) を放物形 S(z) = 1 2µ(z + µ 2)2で 近似した．これは，urに対して対数正規分布を 与えるので，対数正規理論とよばれている．µ は 実験的には 0.3 程度の値であり，間欠性指数とよ ばれる． 図 1 は，勝山智男氏（都立大理）の乱流ジェッ トのデータから Taylor 仮説を使って直接求めた S(z) であり，スケール r によらず特性関数 S(z) が存在することがわかる [5]．図で SL とあるの は，She-Leveque によって提案されている関数 形 [3] τ (q) = −2 3q + 2 · 1 − µ 2 3 ¶q¸ (10) に対応するゆらぎスペクトル S(z) = 2 + 2 3− z ln3 2 ln µ 2 3− z 2e ln3 2 ¶ (11) を表す [4]．また，K62 は対数正規理論 [2]，P は 極小値の周りに放物形近似したものを表す． 上では，漸近形 (7) を，確率分布に対するセル フコンシステントな方程式 (4) の解として求め たが，別の方法でも導くことができる．これは， ²r∼ r−zr (12) とおき，zrに対するゆらぎの特性を大偏差統計の 結果を用いて特定するものである．Kolmogorov(1962) の理論は，中心極限定理の結果を用いて，zrに 対してガウス分布を仮定するものである．本稿で は，中心極限定理を拡張した大偏差統計理論 (統 計熱力学形式ともよばれる)[5] を用いて述べた． 講演では発達した乱流について述べたが，こ のような取り扱いは，中間レイノルズ数で実験 的に成立する拡張された相似性 (Extended Self-Similarity, ESS) や一般化された拡張された相似
S
(
z
)
z
r/η =19 図 1: 実験的に得られた乱流のゆらぎスペクトル とモデル関数との比較．性 (Generalized Extended Self-Similarity, GESS)[6] にも拡張が可能である．これについては付録に 簡単に説明したが，詳しくは文献 [5, 7] を参照に してほしい．
3.
オンオフ間欠性の自己相似性
ゆらぎ
乱流の場合はエネルギーカスケードに起因す る自己相似性が強相関ゆらぎの原因である．こ のような自己相似性ゆらぎを示すと考えられる 系は他にもある．その中の一つにオンオフ間欠 性に伴う間欠性ゆらぎがある．オンオフ間欠性 とは，典型的にはカオス同期の破れに伴なって 観測される強い非ガウス性を示すゆらぎであり [9]，軌道の局所拡大率のゆらぎに起因する相乗 ノイズの存在が自己相似性の原因である．最近 では，数理モデルや電子回路だけでなく凝縮系 での観測も報告されている [9]． オンオフ間欠性を示す変数を rtとおくと，オ ンオフ間欠性発生直後は相関時間 T は極めて大 きくなる．時間的粗視量 At=1 t Z t 0 rsds (13) の分布は，t À T に対しては通常の弱相関ゆら ぎに対応する大偏差統計に従うが，τ ¿ t ¿ T での分布は強い相関のために t À T に対するも のとは異なる．この領域では，ミクロな特性時 間を τ とすると，τ ¿ t ¿ T で自己相似なゆら ぎが観測される．そのモーメントは，漸近的に， hAqti ∼ tφ(q) (14) なるべき則を示すので，この領域を相似領域と よぶ． オンオフ間欠性で見られる自己相似性は，以 下のように定式化することができる．n を非負 の整数として， tn= e−nT, (15) (n = 0, 1, 2, 3, · · · , N (= ln τ−1)) とおき， Atn+1 Atn = e−zn (16) で指数ゆらぎ znを導入する．指数 znの統計特 性は，粗視化スケールステップ n によらない (ゆ らぎの定常性) と仮定し，zjの相関ステップは， N に比べて充分短いと仮定する．上式を解くと， Atn= ATe −n¯zn, (17) ¯ zn≡ 1 n n−1X j=0 zj (18) を得る．n が十分大きいときは，大偏差統計の 結果により，¯znの分布は，S(z) を下に凸な関数 として， Qn(z) ∼ e−S(z)n (19) を得る．ただし，AT のゆらぎは小さいことを仮 定して，ATを定数とおいた．したがって，Atの 確率密度 Pt(a) は， Pt(a) ∼ a−1 µ T t ¶−S(zt(a)) , (20) zt(a) = ln a/AT ln T /t (21)S ( z ) z 図 2: ランダム変調を受けた写像のオンオフ間欠 性に対するゆらぎスペクトルの数値実験の結果． 特徴的な時間は，τ = 1, T = 2.5 × 105である． で与えられる [10]．また，φ(q) と S(z) は， φ(q) = − min z [S(z) − qz] (22) の関係があることがわかる． 図 2 はランダム変調を受けた写像 rt+1= rtexp (λ⊥− rt+ ft) , (23) (λ⊥> 0, ft: ガウス型白色雑音)，に対するゆら ぎスペクトルの数値計算の結果である．z の負の 領域はラミナー状態 (0 に近い rtの値が長く続 く領域) に対応する．この領域では，S(z) は粗 視化スケールによって形が変わるが，乱れの強 い部分 (バースト) を含む領域に対応する z の右 側の領域では粗視化スケールによらず S(z) が存 在することがわかる．さらに，オンオフ間欠性 を示す複数のモデルで解析を行ない，関数 S(z) は全体的によく一致することが見出されている [10]．これは，オンオフ間欠性に対するゆらぎス ペクトル S(z) の普遍性を示唆している．
4. 2
次元
Ising
スピン系の臨界ゆ
らぎ
臨界点近傍では秩序変数ゆらぎの相関距離は， ξ ∝ |T − Tc|−ν で異常に長くなる．ちょうど臨 界点では ξ = ∞ となり，特徴的なマクロな長さ はない．これを反映して，ゆらぎ ψ の 2 点相関 関数はべき則 G(r) ≡ hψ(r + r0)ψ(r0)i ∼ r−(d−2+η), (24) を示す．ここで，d は空間次元であり，η は Fisher 指数である． Ising スピン系を考え，半径 r の領域で粗視化 された秩序変数 mr(x0) = | 1 Vr Z |r|<r ψ(x0+ r)dr|, (25) (Vrは，半径 r の領域の d 次元体積)，を定義す る．その q 次モーメント µq(r) ≡ hmqri ∼ rφ(q), (26) で関数 φ(q) を定義すると，この関数は，粗視 化スケールを大きくしていくと，mrのゆらぎ がどのように小さくなっていくかを見積もる特 性量である．特に，２次モーメントについては， µ2(r) ∼ r−(d−2+η)より， φ(2) = −(d − 2 + η) (27) である．2 次元系では Onsager の厳密解より， φ(2) = −η = −1 4となる． 臨界点ではゆらぎの特徴的な距離が無限大に なるために，特徴的な長さは存在しないことを 考慮して， mr∼ rzr (28) で臨界指数 zrを導入する．自己相似性の仮定を 数学的には，zrゆらぎの定常性と大偏差統計が 使えるという形で定義すると，zrの確率密度は， Qr(z) ∼ r−S(zr(m)), (29) zr(m) = ln m m0 lnr a (30)にしたがう．S(z) は下に凸な関数であり，臨界 指数 zrのゆらぎ特性を特徴付ける関数である． m0は格子定数 a のスケールでのスピン変数の平 均値であり，m0= 1 とおく．これより，mrの 漸近分布は， Pr(m) ∼ m−1 ³ r a ´−S(zr(m)) , (31) ( r À a, a は格子定数)，と得られる．これを用い て，S(z) が下に凸な領域では，φ(q) = − minz[S(z) − qz] が成立する．この分布は，臨界指数 zrのゆらぎ の分布に起因するものである．通常の 2 体相関 の描像では，φ(2)/2 が zrの唯一の値であるが， 上で定義される臨界指数は原理的には無限体相 関までを記述することが可能である．それに対 応して，臨界指数 zrは分布をもつことになる． この分布は極大値近傍では対数正規分布で良く 近似できるが，極大値からはずれると対数正規 型から大きくずれる． 図 3 は，臨界点における 2 次元 Ising スピン系 (システムサイズは 512×512) の Monte Carlo シ ミュレーションの解析結果である．S(z) は粗視 化スケールに依らないように思われる． 臨界現象の普遍性を決定する臨界指数に関す る研究はこれまでに非常に多くなされてきてお り，くりこみ群に基づく第一原理からの研究も 確立している．これまでの研究の対象になって いる臨界指数は 2 体相関関数をもとに定義され る．したがって，高次相関関数に現れる臨界指数 はすべて 2 体相関関数で定義される臨界指数か ら決定されており，高次相関関数に特徴的な指 数は現れない．本稿で，これまでの扱いとは異 なり，高次相関関数に特徴的な臨界指数が存在 する可能性があることについて述べた [11, 12]．
5.
価格変動の強相関時間変動
最近，投機市場における価格変動の研究が物 理的な立場から研究されるようになってきた．資 産のタイプ (株価や外国為替など) や市場 (New York か東京かなど) によらない興味ある統計則 が見出されている [13]．例えば，価格変動のゆ 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 S ( z )z
r=32 r=64 r=128 図 3: 臨界点における２次元 Ising スピン系の臨 界指数ゆらぎに対するゆらぎスペクトル． らぎは，フーリエ解析の結果では白色雑音に近 いが，統計的に独立であるわけではない．実際 に，株価変動の大きさの時間相関関数はべき的 に減衰することが知られており，時間変動には ある種の相似性が存在することが報告されてい る．これに関しては，多重フラクタル解析も行 われている．以下ではこのような相似性を解析 する新しい試みについて述べる [14]． P (s) を時刻 s でのある資産の価格とする．時 間間隔 t での対数収益率は， rt(s) = ln P (s) P (s − t) (32) で定義される．収益率は小さな t に対する rt(s) と一致する．対数収益率は，時間間隔 t に依存 して異なったふるまいを示す．分あるいはそれ より大きな時間スケールでは顕著な統計則が存 在することが知られている．すなわち，適当に 小さな時間スケール ∆t(以下では，1 分とする) に対して，r∆tの時間相関は，数分の時間差で 減衰してしまうが，|r∆t| の時間相関関数はべき 的に減衰し，長時間にわたる相関が観測される． 前者の特徴は，線形予測の困難さを表しており， 後者は経済の分野で volatility clustering として 知られている現象であるが，そのメカニズムに ついてはよくわかっていない． このような特性を解析するために，短いタイ ムスケール ts(1 分程度) と長いタイムスケール T (数ヶ月から 1 年程度) にわたる領域で観測される対数収益率の自己相似な変動について解析 する．このために，時間的に粗視化した対数収 益率 yt(s) ≡ | t/∆t−1X k=0 r∆t(s − k∆t)| = |rt(s)| (33) を考える．図 4 は粗視化対数収益率の自己相似 なふるまいを示している．乱流やオンオフ間欠 性の解析法を応用した解析について述べる． 粗視化ステップ n を t = tn ≡ T e−n , (n = 0, 1, 2, · · · , N, N ≡ ln(T /ts)) で定義して，yn = ytnとおく．変動の相似性の数学的な表現として， yn+1 yn = e zn (34) で指数 znを定義し，znは n に関して定常であ り，短い相関ステップをもつと仮定する． 上の式は， yt∼ t−¯z(t) (35) と解ける．ここで，指数 ¯z(t) は，¯z(tn) = n−1 Pn−1 j=0zj で定義される．指数 zjの定常性を考慮して大偏 差統計を使うと，指数 zt(y) = lnyy T lnT t (36) の漸近分布は，S(z) を下に凸な関数とすると， (T /t)−S(z)に比例することがわかる．したがっ て，ytに対する分布は， Pt(y) ∝ y−1 µ T t ¶−S(zt(y)) (37) で与えられることがわかる． 関数 S(z) は，価格変動の自己相似なゆらぎを 特徴付ける特性関数である．図 5 にデータ (NYSE, New York 株式取引) から得られた S(z) を示す． S は (37) 式で定義することができるが，重要な ことは，上の仮定が正しければ，ts¿ t ¿ T で あれば，粗視化スケール t によらない関数 S(z) が存在する．実際にデータから得られた S(z) は t に依らないように見える． 1 2 3 4 0 20 0.5 1 1.5 2 0 17 |rt (s)| 0.25 0.5 0.75 1 0 14 s (104 samples) t=10 t=20 t=40 図 4: 価格変動の時系列の自己相似なふるまい． −2 −1 0 0 1 2 3 t = 10 20 40 80 160 320 640 1280 z S(z) 図 5: 価格変動の自己相似性を特徴づけるゆらぎ スペクトル．
6. Kolmogorov
のもう一つの遺
産
-
強相関ゆらぎの大偏差統計力
学の構築に向けて
-熱平衡系近傍で発達した熱統計力学は，熱平 衡状態から大きく離れた非平衡開放系に見られ るさまざまな統計現象を研究対象とするように なってきた．非平衡開放系では，間欠性のような 極めて強い非ガウスゆらぎが観測される．この ようなゆらぎに対しては，通常のような長時間 平均とその周りの分散ではゆらぎをうまく特徴 付けることはできない．弱相関の，強い非ガウ ス性をうまく記述するのに適した解析法として 大偏差統計が知られている．大偏差統計は相関 時間あるいは相関距離より十分大きなスケール の統計的に独立なゆらぎに対して成り立つ一般 的な枠組みである．一方，乱流やオンオフ間欠 性などの強相関ゆらぎの強相関領域に対しては 通常の意味での大偏差統計は使用できない．し かし，講演で述べた意味での自己相似性ゆらぎ と考えると再び大偏差統計を利用でき，強相関 ゆらぎを特徴づけるべき則等を導くことができ る．本解析法のポイントは，強相関ゆらぎの自 己相似性を，粗視化スケールの変化に伴なう粗 視量の変化を記述する指数 z のゆらぎの定常性 として定式化することである． 本稿で述べた強相関ゆらぎは，このように指 数の定常ゆらぎで決定されるものである．しか し，一口で強相関とは言っても，さまざまなタ イプがあるはずである．それに伴って有効な概 念や解析方法も異なるであろう．系は全く異な るが，広い空間スケールあるいは時間スケール で観測される間欠性あるいは広い意味の強相関 ゆらぎの漸近ふるまいを特徴づける普遍的な統 計則が存在すると予想される．本稿で述べた強 相関ゆらぎの普遍性クラスはそのうちの一つに 過ぎないと考えられる．多様な強相関ゆらぎの 普遍性クラスを明らかにする必要があろう． 弱相関ゆらぎの大偏差統計をダイナミクスの 基礎方程式から決める方法はすでに確立してい る，([8] の藤坂著作分)．本稿では，いわば強相 関ゆらぎの熱力学 (現象論という意味で) につい て述べたが，強相関ゆらぎの特性量を基礎方程 式から決定する方法は未だ見い出されていない． このことは，強相関ゆらぎの特性量を基礎方程 式から決定する強相関ゆらぎの大偏差統計力学 が構築される可能性を示唆している． さらに，単に観測される強相関ゆらぎを解析 し，その統計性を明らかにするだけでなく，強 相関ゆらぎを自由に発生させることが望まれる． 発生のメカニズムを明らかにすることにより，強 相関ゆらぎの予測問題などへの応用が可能にな ると考えられる． 強相関ゆらぎはさまざまな領域で報告されてい る [15] にも関わらず，これまで統計力学的には組 織的な研究は行われて来ていない．一方，このよ うな観点から非加法統計をキーワードに Tsallis 統計 [16] の研究が盛んになっており，強相関ゆ らぎを本格的に研究し得る状況が生まれつつあ る．より広い観点からは，次のような問題提起 をしたい： (a) 強相関ゆらぎの分類 強相関ゆらぎの有効な特徴づけを確立し, 普遍性クラスを明らかにする, (b) 強相関ゆらぎの統計力学の構築 強相関ゆらぎの統計特性を基礎方程式から 導く， (c) 強相関ゆらぎの確率モデルによる発生 強相関ゆらぎを記述する基本的な物理的確 率過程を構築する． 本稿の始めの方で述べたように，現代的な流 体乱流の統計理論は，Andrei Nikolaevich Kol-mogorov (1903-1987) による一様等方性乱流の エネルギースペクトルの決定に関するもの (K41 理論) である．以後，1962 年に間欠性効果を取り 込むために提案した対数正規理論を出発として， フラクタル理論などいろいろな考えが提案され ている．このように，流体乱流の分野では Kol-mogorov の貢献は際めて大きい．Frisch はこれ を評して，著書のサブタイトルに “Kolmogorov の遺産”(The Legacy of A. N. Kolmogorov) を付している [1]．数学者としての Kolmogorov には 専門分野での多くの “遺産” がある．岩波の数学 辞典の索引には，30 項目近くが挙げてある．例 えば，位相幾何学 (コホモロジー論)，エルゴー ド理論，確率過程 (Kolmogorov の前進方程式， 後退方程式)，確率論，保険数学，乱流，カオス， 力学系など多岐にわたっている． 本稿では，Kolmogorov が間欠性効果を取り込 むために導入した速度場ゆらぎの自己相似性の解 析法 (K62 理論) は，自己相似な強相関ゆらぎの 統計特性を記述する上で普遍的な観方であるかも 知れないということについて述べた．もちろん， 本稿で述べた例だけでこの方向が正しいとは断 定できないし，もっと詳細な解析が必要である． もし本稿で述べた方向での解析が正しそうであ れば，解析に現われる統計量 (ζ(q) や S(z) など) をミクロな法則 (乱流であれば Navier-Stokes 方 程式から，カオス系であれば力学方程式) から導 くという問題がある．この問題は，強相関ゆらぎ の大偏差統計力学とでも言えるだろう．先にも 述べたように，現在のわれわれはこのようなゆ らぎを特徴付ける有効な概念を持ち合わせてい ない．少なくとも，強相関ゆらぎの普遍性クラス を分類する規準は知られていない．当然，本稿で 述べた強相関ゆらぎの統計解析がすべての強相 関ゆらぎに有効であるはずはないが，K62 を拡 張した本解析は，強相関ゆらぎを研究するため の大きな一歩となると考えられる．Kolmogorov が意図しなかった方向への研究の発展が期待さ れる．期待される強相関ゆらぎの大偏差統計力 学こそ Kolmogorov のもう一つの遺産である．
7.
おわりに
著者が森肇先生の研究室に修士課程の学生と して進学した以前は，森研では融解に関する研 究が中心だったが，次第に非平衡統計物理に関 する研究に戻りつつあり，森先生からこの分野 の基礎から指導を受けることができた．著者の 最初の論文は森先生の手伝いをさせてもらった もので，射影演算子法を用いて非線形 Langevin 方程式をミクロに導くというものである [17]．共 同研究というより，森先生にお手伝いをして共 著者として名前を載せていただいたということ が本音である．この論文に関する著者の貢献は， 三種類の揺動力間の関係を導いたことであるが， この導出は Appendix に載せていただいた．以 来，研究を行うときの発想の基本は常にこの論 文にあると思っている．また，森先生には，折 りにつけ，研究や教育に携わっていくための基 本的な心構えなどについてもお教えいただいた． 物理そのものにも増して貴重な教えを受けたと 思っている．心から感謝します． 統計物理学ではこの 30 年間に大きな変化が あった．中でも重要なことは統計物理学が非平 衡解放系を含むさまざまな分野へ応用されるよ うになり，同時に熱平衡系近傍では思いもよら なかった現象が見出され，新しい概念が発見さ れていることであろう．1970 年代中頃から森先 生がエンカレッジ，推進されてきた非線形非平 衡系の統計物理学が，現在，新しい大きな展開 を迎えつつあるように思う．付録
:
乱流における
ESS
および
GESS
への拡張
本稿では，発達した乱流の慣性領域 (η ¿ r ¿ L) での統計について述べた．慣性領域の広さは， Reynolds 数 Re と，L/η = Re34 の関係にある． 実験的には大きな Reynolds 数を得ることは困難 である．これが乱流研究を困難にさせている一 因でもある． 1993 年に，Benzi らは興味ある事実を見出し た．慣性領域が充分に広くないとべき則 (1) は 見出せず，特性関数 ζ(q) を求めることはできな いが，Squ(r) を，Su p(r)(p は任意の正数) の関数 としてプロットすると，広い領域で， Suq(r) ∼ £ Spu(r) ¤α(q|p) , (38) が成立する．ここで，指数 α(q|p) は, スケール r に依らない．この法則が発達した乱流でも成り立つことを要求すると， α(q|p) = ζ(q) ζ(p) (39) が成立する．これは，拡張された相似性 (Extended Self-Similarity, ESS) とよばれる．慣性領域が広 くなくても，α(q|p) は精度よく求めることがで きる．ζ(3) = 1 は正しいとすると，p = 1 とと ることにより ζ(q) を精度よく求めることができ る．これが，ESS のメリットである．(39) 式よ り，速度構造関数は， Su q(r) ∼ uqL h r Lg˜1(r) iζ(q) , (uL= (L²L) 1 3) (40) を満たすことがわかる．関数 ˜g1(r) は，η ¿ r ¿ L では 1 であるが，r = η あるいは，L 近傍で は 1 からずれる．最近の研究では，上の ESS は， 大きなスケール L の影響を受けるために現れる 効果であることが明らかになっている． 速度構造関数に対する ESS に対して，エネル ギー散逸率構造関数に対する ESS， S² q(r) ∼ £ S² p(r) ¤β(q|p) , (41) β(q|p) = τ (q) τ (p), (42) も成立することも見出だされている． さらに，Benzi ら (1996) は，ESS を一般化し た一般化された，拡張された相似性 (Generalized Extended Self-Similarity, GESS) が成立するこ とを報告している．規格化された構造関数 Gq,p(r) ≡ Su q(r) ¡ Su p(r) ¢q/p. (43) を定義すると， Gq,p(r) ∼ [Gq0,p0(r)]γ(q,p|q 0,p0) , (44) が実験的に成立する．ここで，γ(q, p|q0, p0) はス ケール r に依らない，q, p, q0, p0だけの関数であ り，これが，発達した乱流でも成立することを 要求すると， γ(q, p|q0, p0) = q pζ(p) − ζ(q) q0 p0ζ(p0) − ζ(q0) (45) なる関係があることがわかる． (44) 式を満たす Su q(r) の一般形は， Squ(r) ∼ uqL h ˜ f (r) iqh r Lg˜1(r) iζ(q) , (46) と書ける．GESS は，r = η 近傍および L 近傍 まで含めて成立することが知られている． 上では速度構造関数について述べたが，実験 では，エネルギー散逸率ゆらぎについても ESS, GESS が成立していることが見出されている．こ のことから，一般形 S² q(r) ∼ ²qL h r Lg˜1(r) iτ (q) , (47) が成立することがわかる．これは，(2) 式とは異 なったスケーリング性を表す． 2 章で述べた方法を拡張して (47) を導くこと ができる．三つのスケールを，η < r3 < r2 < r1< L に取り，相似性より (4) 式が成立すると 仮定する．実効的スケールを， ˆ r = r˜g1(r), (48) (dˆr/dr > 0) で導入すると，(4) の解として，S(z) を下に凸な関数として， Pr(²) ∼ ²−1 µ ˆ r L ¶S(zrˆ(²)) , (49) zˆr(²) ≡ ln ² ²L lnL ˆ r , (50) が成立する．これより (47) が得られ，τ (q) は (9) 式から決定されることがわかる． このように，本文で述べた発達した乱流の自 己相似性解析は，実効的スケールを導入するこ とにより，中間 Reynolds 数や，境界スケール (r = η, L) 近傍の速度構造関数，エネルギー散 逸率ゆらぎの構造関数の統計特性を現象論的に 説明することが可能である．
参考文献
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