∧
2
GL
n
の不変微分作用素とその主表象
橋本隆司
(
鳥取大学工学部
)
∗1
∧
2GL
nの不変微分作用素
正整数Nに対し，反対角線上に1が並び，残りの成分はすべて0であるようなN次の非退化対称 行列をJNで表す．また，行列X∈ MatN(C)に対し，Xtt:= J−1N tX JNとおく(ttはtwisted transpose
のつもり).
n次交代行列のなすベクトル空間Altn:= {X ∈ Matn(C);tX = −X}にGLnはg.X = gXtgで作用
する．これを反交代行列(anti-alternating matrix)のなすベクトル空間A2ltn:= {X ∈ Matn(C); Xtt = −X}上の作用に翻訳する．GLnのA2ltnへの作用を g.X := gXgtt (g∈ GLn, X ∈ A2ltn) で定めると，次の図式がGLnの各元gについて可換になることは，定義より自明: Altn ·Jn // g. ²² A2ltn g. ²² Altn ·Jn // A2 ltn A2ltn3 Xを以下のように書く: X= x1,n · · · x1,2 0 ... . .. 0 −x1,2 xn−1,n 0 . . . ... 0 −xn−1,n · · · −x1,n . GLnはA2ltn上の多項式函数の空間P(A2ltn)の上に π(g) f (X) := f (g−1.X) (g ∈ GLn, f ∈ P(A2 ltn)) (1.1) により作用する．(1.1)から誘導されるglnの作用をdπとすると dπ(Ei, j)= − n ∑ k=1 xk, j∂k,i. (1.2)
ただし，Ei, j(i, j = 1, . . . , n)は行列単位とする．M= (xi, j)i, j, D = (∂i, j)i, jを，それぞれ掛け算作用素 xi, jおよび微分作用素∂i, jを並べてできる行列とする． 定理1.1 ([4]). 非負整数kに対し， Γk := ∑ I∈([n]2k) Pf (xI) Pf (∂I). (1.3) とおくと，{Γk}k=0,1,...,bn/2cはPD(A2ltn)GLn を生成する．ただし，xI,∂Iは行，列の添え字がともにI に属するM, Dの部分行列を表すものとする． [6, 8]に倣って，微分作用素環PD(A2ltn)に成分を持つ2n次の反交代行列Yを， Y := u ∂1,n · · · ∂1,2 0 u ... . .. 0 −∂1,2 ... ∂n−1,n 0 . .. ... u 0 −∂n−1,n · · · −∂1,n xn,1 · · · xn−1,n 0 −u ... . .. 0 −xn−1,n ... x1,2 0 . . . ... −u 0 −x1,2 · · · −x1,n −u (1.4) とおけば，可換なパファインの和公式([5])からPf (Y)の主表象は，{Γk}の主表象の母函数を与え ることがわかる．しかしながら，このYのリー環論的な意味が(筆者には)今一つよくわからない． 今，次のことが観察される．複素数体C上のDn型代数群SO2nおよびそのリー環so2n を SO2n := {g ∈ GL2n(C);tgJ2ng= J2n} so2n := {X ∈ Mat2n(C);tX J2n+ J2nX= O} と実現しておく．このとき，GLnはg7→ (g 0 0 (gtt)−1 ) によりSO2nの部分群とみなせる．一次分数変換 g.Z = (aZ + b)(cZ + d)−1 (Z∈ A2ltn) を考えると，SO2n自身は作用しないが，単位元の近傍はA2ltnに作用し，従ってその無限小変換と してso2nが作用し，(1.1)と同様，so2n はP(A2ltn)に作用する．この作用のGLnへの制限は(1.1) に一致する．従って図式(1.5)は可換となるが，水平な写像dπは全射で，従ってΓk に対応する
U(gln)GLn の元CΛk (skew Capelli元)が存在するが，ここではU(gln)GLn をU(o2n)GLn に自然に埋め
込み，後者の空間で{Γk}の母函数を求めることを考えよう． U(gln _)GLn // // ²² PD(A2lt n)GLn U(so2n)GLn 77o o o o o o o o o o o (1.5)
2
DIII
型エルミート対称空間
以下，簡明のため，G := SO2n, g := so2nとおく． Gのreal form SO∗(2n) (=: G0とおく)，およびその極大コンパクト部分群K0を SO∗(2n) := {g ∈ SU(n, n);tgJ2ng= J2n} K0:= { g=(a0 (att0)−1 ) ; a∈ U(n)} とすると，G0/K0はDIII型エルミート対称空間で，次の有界対称領域Ωと同型: Ω := {Z ∈ Matn(C); 1n− Z∗Z> 0, Ztt= −Z}. またA2ltは原点Z = OにおけるΩの正則(holomorphic)接空間と同一視でき，G0はΩに1次分 数変換 g.Z = (aZ + b)(cZ + d)−1 (Z∈ Ω) で正則に作用する． [∗ 0 ∗ ∗]の形(各ブロックはサイズn× n)の行列全体からなるGの極大放物型部分群をPとする． 整数sに対し，Pの正則な指標λ : P → C×を λ( [ a 0 c d ] )= (det d)−s で定め，指標λから誘導される主束G → G/Pに同伴する正則直線束G×PCλを，G0P/P ' Ωへ 制限したものをEλとする．Eλ の正則な切断のなす空間Γ(Eλ)は，G0P (= Gの開集合)上の正則 函数 f で f (xp)= λ(p)−1f (x) (x∈ G0P, p ∈ P) (2.1) を満たすものの全体と同一視できる．G0のΓ(Eλ)上への作用πλを πλ(g) f (x) := f (g−1x) (g∈ G0, x ∈ G0P) で定める．Vλ := { f ∈ Γ(Eλ);∫G0| f (g)|2dg < ∞}とおくとき，(πλ, Vλ)はG0 の既約ユニタリ表現 (正則離散系列)である．gのCartan部分代数h(= gの対角行列全体)上のλから誘導される線形 型式も同じ記号λで表すとき，Vλ , {0}であるための必要十分条件は，i< jなるすべての自然数 i, jについてDλ, i− j E 6 0かつDλ + ρ, i+ j E > 0であるから，λ = s(1+ · · · + n)に注意して， s6 −n + 1を得る． πλが誘導するgのVλ上の表現をdπλにより表す．gの基底として， ai, j:= Ei, j− E− j,−i (16 i, j 6 n) bi, j:= Ei,− j− Ej,−i (16 i < j 6 n) ci, j:= E− j,i− E−i, j (16 i < j 6 n)をとれる(ただし−i := 2n + 1 − iと略記する.)これら各基底のVλにおける表現作用素は以下のよ うになる: 命題2.1. dπλ(ai, j)= sδi, j− n ∑ k=1 xk, j∂k,i = s− Γ1+ ∑ k<l k,l,ixk,l∂k,l (i= j) ∑ k,i, jxk, j∂k,i (i, j) (2.2) dπλ(bi, j)= −∂i, j (2.3) dπλ(ci, j)= −2sxi, j+ xi, jΓ1− ∑ k<l sgn ( {i, j, k, l}↑ i, j, k, l ) Pf(x{i, j,k,l}↑)∂k,l. (2.4) ここで，{i, j, k, l}↑は番号i, j, k, lを小さい順に並べた置換を表す． Mat2n(C) ⊗ U(g)の元Xnを Xn= a1,1 a1,2 · · · a1,n b1,n · · · b1,2 0 a2,1 a2,2 · · · a2,n ... . . . 0 −b1,2 ... ... ... bn−1,n 0 . . . ... an,1 an,2 · · · an,n 0 −bn−1,n · · · −b1,n
cn,1 · · · cn−1,n 0 −an,n · · · −a2,n −a1,n
... . .. 0 −cn−1,n ... ... ...
c1,2 0 . .
. ...
−an,2 · · · −a2,2 −a1,2
0 −c1,2 · · · −c1,n −an,1 · · · −a2,1 −a1,1
により定義すると，Pf (Xn)はU(g)の中心元である[2, 7]． ∂i, jにξi, jを代入することにより得られる(1.3)および微分作用素(2.2), (2.3), (2.4)のシンボルを
γk, σ(ai, j), σ(bi, j), σ(ci, j)とする．新たにパラメータuをu = s − γ1により導入すれば，各シンボ
ルは σ(ai, j)= u+∑k<l k,l,ixk,lξk,l (i= j) ∑ k,i, jxk, jξk,i (i, j) σ(bi, j)= −ξi, j
σ(ci, j)= −(u + s)xi, j−
∑ k<l sgn ( {i, j, k, l}↑ i, j, k, l ) Pf(x{i, j,k,l}↑ ) ξk,l となる．対応するXnのシンボルをσ(Xn)とし，Pf (σ(Xn))を単にpfnと記す． 例2.2. n= 2のとき σ(X2)= u 0 −ξ1,2 0 0 u 0 ξ1,2 −(u + s)x1,2 0 −u 0 0 (u+ s)x1,2 0 −u
∴ pf2= u 2+ (u + s)γ 1 = (u + γ1)2+ (s − (u + γ1))γ1 例2.3. n= 3のとき σ(X3)= ξ2,3x2,3+ u −x2,3ξ1,3 x2,3ξ1,2 −ξ1,3 −ξ1,2 0 −x1,3ξ2,3 ξ1,3x1,3+ u −x1,3ξ1,2 −ξ2,3 0 x1,2ξ2,3 −x1,2ξ1,3 x1,2ξ1,2+ u 0 −(u + s)x1,3 −(u + s)x2,3 0 −(u + s)x1,2 0 0 より pf3= (ξ 1,3x1,3+ ξ2,3x2,3+ x1,2ξ1,2+ u) ×(ξ2,3x2,3s+ ξ2,3x2,3u+ uξ1,3x1,3+ ξ1,3x1,3s+ ξ1,2ux1,2+ u2+ ξ1,2x1,2s ) = (u + γ1) ( u2+ (u + s)γ1 ) = (u + γ1) pf2 例2.4. n= 4のときσ(X4)は(2.9)のようになる(ただしx= x{1,2,3,4})．従って pf4= u4+ 3 u3γ1+ u2 ( 3γ12+ sγ1+ γ2 ) + u(γ13+ 2sγ12+ 2γ1γ2− 2sγ2 ) + γ12γ2+ sγ13+ s2γ2− 2sγ1γ2 = (u + γ1)2 ( u2+ (u + s)γ1 ) + (s − (u + γ1))2γ2. = (u + γ1)2pf2+(s − (u + γ1))2γ2 (2.5) 例2.5. n= 5, 6のときも同様に pf5= (u + γ1) ×(u4+ 3 u3γ1+ u2 ( 3γ12+ sγ1+ γ2 ) + u(γ13+ 2sγ12+ 2γ1γ2− 2sγ2 ) +γ12γ2+ sγ13+ s2γ2− 2sγ1γ2 ) = (u + γ1) pf4 (2.6) pf6 = u6+ 5u5γ1+ u4 ( sγ1+ 10γ12+ γ2 ) + u3( s(4γ12− 2γ2 ) + 10γ13+ 4γ1γ2− γ3 ) + u2(s2γ 2+ s ( 6γ13− 6γ1γ2+ 3γ3 ) + 5γ14+ 6γ12γ2− 3γ1γ3 )
+ u(s2(2γ1γ2− 3γ3)+ s ( 4γ14− 6γ12γ2+ 6γ1γ3 ) + γ15+ 4γ13γ2− 3γ12γ3 ) + s3γ 3+ s2 ( γ12γ2− 3γ1γ3 ) + s(γ15− 2γ13γ2+ 3γ12γ3 ) + γ14γ2− γ13γ3 = (u + γ1)4 ( u2+ (u + s)γ1 ) + (u + γ1)2(s− (u + γ1))2γ2+ (s − (u + γ1))3γ3 = (u + γ1)2pf4+ (s − (u + γ1))3γ3 (2.7) 以上の計算結果から次の予想を得る: 予想2.6. 正整数m= 1, 2, 3, . . . に対して， pf2m= (u + γ1)2pf2(m−1)+(s − (u + γ1))mγm pf2m+1= (u + γ1) pf2m が成り立つ． 予想2.7. 非負整数n= 0, 1, 2, . . . に対して， pfn= bn/2c∑ k=0 (u+ γ1)n−2k(s− (u + γ1))kγk (2.8) が成り立つ． 注意2.8. (2.8)においてu= s − γ1を代入すると，右辺はsnとなり，χλ(Pf (Xn))に等しい．ただ し，χλは無限小指標を表す．
σ (X 4 ) = ξ 2, 3 x2, 3 + x3, 4 ξ3,4 + x2, 4 ξ2,4 + u − x2, 3 ξ1,3 − x2, 4 ξ1,4 x2, 3 ξ1,2 − x3, 4 ξ1,4 x2, 4 ξ1,2 + x3, 4 ξ1,3 −ξ1, 4 −ξ1, 3 −ξ1, 2 0 − x1, 3 ξ2,3 − x1, 4 ξ2,4 ξ1,3 x1, 3 + x1, 4 ξ1,4 + x3, 4 ξ3,4 + u − x1, 3 ξ1,2 − x3, 4 ξ2,4 − x1, 4 ξ1,2 + x3, 4 ξ2,3 −ξ2, 4 −ξ2, 3 0 x1, 2 ξ2,3 − x1, 4 ξ3,4 − x1, 2 ξ1,3 − x2, 4 ξ3,4 x1, 4 ξ1,4 + x1, 2 ξ1,2 + x2, 4 ξ2,4 + u − x1, 4 ξ1,3 − x2, 4 ξ2,3 −ξ3, 4 0 x1, 2 ξ2,4 + x1, 3 ξ3,4 − x1, 2 ξ1,4 + x2, 3 ξ3,4 − x1, 3 ξ1,4 − x2, 3 ξ2,4 ξ1,3 x1, 3 + ξ2,3 x2, 3 + x1, 2 ξ1,2 + u 0 − (u + s) x1, 4 − Pf (x )ξ 2, 3 − (u + s) x2, 4 + Pf (x )ξ 1, 3 − (u + s) x3, 4 − Pf (x )ξ 1, 2 0 − (u + s) x1, 3 + Pf (x )ξ 2, 4 − (u + s) x2, 3 − Pf (x )ξ 1, 4 0 − (u + s) x1, 2 − Pf (x )ξ 3, 4 0 0 (2.9)
3
CI
型エルミート対称空間
GLnをn次対称行列全体のなすベクトル空間Symn:= {X ∈ Matn(C); Xtt= X}の上にX 7→ gXgtt
により作用させ，交代行列の場合と同様にして，Symn上の多項式函数の空間P(Symn)の上にGLn
の表現を実現する．M= (xi, j)i, j, ˜D = (˜∂i, j)i, jを，それぞれ掛け算作用素 xi, jおよび微分作用素∂i˜, j
を並べてできる行列とする．ただし
˜
∂i, j =2∂i∂i, j (i= j) , j (i, j) とおいた．このとき， ΓS k := ∑ I,J∈([n]k) det(xIJ) det( ˜∂IJ) とおくと，{ΓkS}k=0,1,2,...はPD(Symn)GLn の生成系をなすことが知られている[1].ここで，xI J は行， 列の添え字がそれぞれI, Jに属するMの部分行列etc.とする.そこで，上のSO2nのかわりに， Spn:= {g ∈ GL2n;tgJn,ng= Jn,n} ( Jn,n= [ J n −Jn ]) を考え，Spnのreal formをG0，G0の極大コンパクト部分群をK0，Spnの極大放物型部分群Pと その正則な指標λ，λから誘導される正則直線束Spn×PCλをG0/K0へ制限した直線束の正則切断 のなす空間上に実現したspnの表現πSλ を，それぞれSO2n の場合に倣って構成する．spnの基底と して ai, j:= Ei, j− E− j,−i (16 i, j 6 n) bi, j:= Ei,− j+ Ej,−i (16 i < j 6 n) ci, j:= E− j,i+ E−i, j (16 i < j 6 n) をとり，SO2n の場合と同様に，各基底が表現する微分作用素dπSλ(ai, j), dπSλ(bi, j), dπSλ(ci, j)の主表象 において，s− γ1をパラメータuで置き換えたものを並べてできる行列をσ(Xn) (ただしγkはΓkS の主表象)とする．このとき，次のことを予想する(n= 3の場合迄計算機で確認した.) 予想3.1. 非負整数n= 0, 1, 2, . . . に対して， det(σ(Xn))= (−1)n n ∑ k=0 (u+ γ1)2n−2k(s− (u + γ1))kγk (3.1) が成り立つ．
4
母函数
以下では，(1.4)のYに対して，非可換パフィアンPf (Y)を計算し，これが{Γk}の母函数を与え ることを見る．まずC2nの標準基底を{e1, e2, . . . , en, e−n, . . . , e−1}とし，PD(A2ltn)に係数を持つ外積代数∧∗C2n⊗ PD(A2lt n)を考える．2-formを τ :=∑ i∈[n] eie−i, Θ := ∑ i, j∈[n] eiej∂i, j, Θ0 := ∑ i, j∈[n] e− je−ixi, j, (4.1) およびΩ := Θ + 2uτ + Θ0で定める．このとき，Pf (Y)はΩnにおける体積要素e 1e2· · · ene−n· · · e−1 の係数を2nn!で割ったものに等しい．簡単な計算により [Θ, Θ0]= 2τ2, [τ, Θ] = [τ, Θ0]= 0 (4.2) であることが確かめられる．従って Ωm= m ∑ p=0 ( m p ) 2pupτp(Θ + Θ0)m−p. (4.3) 記号を導入して，z∈ Cおよびk ∈ Nに対して, zk := z(z + 1) · · · (z + k − 1) zk := z(z − 1) · · · (z − k + 1) とおく．z∈ Nかつk> zならばzk= 0に注意する． 補題4.1. 非負整数a, bに対して， ΘaΘ0b= min(a∑,b) k=0 akbk k! (2τ 2 )kΘ0b−kΘa−k. (4.4) が成り立つ． 正規順序積を◦◦ · ◦◦と書くことにすれば ◦ ◦(Θ + Θ0)m◦◦= m ∑ k=0 ( m k ) Θ0kΘm−k. (4.5) 命題4.2. 非負整数mに対して， (Θ + Θ0)m= bm/2c∑ k=0 m! k! (m− 2k)!τ 2k◦ ◦(Θ + Θ0)m−2k ◦◦ (4.6) が成り立つ． 注意4.3. 命題4.2は，より一般的な状況の下でも成り立つ．すなわち，A を結合代数，A, BをA の元で，交換子[A, B] := AB − BAがAともBとも可換であるとする: [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0.
このとき (A+ B)m = bm/2c∑ k=0 ck(m) ([A, B])2k m∑−2k s=0 ( m− 2k s ) BsAm−2k−s が成り立つ．ただしck(m)= m!/(2kk! (m− 2k)!)とする． 補題4.1および命題4.2と，関係式 Θ0s = 2s s! ∑ I∈([n]2s) e−IPf (xI) Θt = 2tt! ∑ J∈([n]2t) eJPf (∂J) とから次の定理が従う: 定理4.4. 非負整数nに対して，次の等式が成り立つ： Pf (Y)= bn/2c∑ k=0 an−2k(u)Γk. ただしak(u)= ∑bk/2c r=0 (k 2r ) (1/2)ruk−2rとする． 例4.5. 初めのいくつかのak(u)は次のようになる： a0(u)= 1, a1(u)= u, a2(u)= u2+ 1 2, a3(u)= u 3+ 3 2u, a4(u)= u4+ 3u2+ 3 4, a5(u)= u 5+ 5u3+ 15 4 u, a6(u)= u6+ 15 2 u 4+ 45 4 u 2+ 15 8 , . . . 従ってn= 2, 3, . . . , 6のPf (Y)は以下で与えられる： n= 2 Pf (Y)= u2+ 1 2 + Γ1, n= 3 Pf (Y)= u3+ 3 2u+ uΓ1, n= 4 Pf (Y)= u4+ 3u2+ 3 4 + ( u2+ 1 2 ) Γ1+ Γ2, n= 5 Pf (Y)= u5+ 5u3+ 15 4 u+ ( u3+ 3 2u ) Γ1+ uΓ2, n= 6 Pf (Y)= u6+ 15 2 u 4+ 45 4 u 2+ 15 8 + ( u4+ 3u2+ 3 4 ) Γ1+ ( u2+ 1 2 ) Γ2+ Γ3.
参考文献
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