RIMS Kôkyûroku Bessatsu B32 (2012), (Iwasawa invariants of rea abeian number fieds with prime power conductors) By (Keiichi Komatsu), (Takashi

Theory and Related Topics 2010)

Author(s) 小松, 啓一; 福田, 隆; 森澤, 貴之

Citation 数理解析研究所講究録別冊 = RIMS Kokyuroku Bessatsu_{(2012), B32: 105-124}

Issue Date 2012-07

URL http://hdl.handle.net/2433/196246

Right

Type Departmental Bulletin Paper

Textversion publisher

B32 (2012), 105–124

素数巾導手実アーベル体の岩澤不変量

(Iwasawa invariants of real abelian number fields

with prime power conductors)

By

小松啓一

_{(Keiichi Komatsu)}

,

福田隆

_{(Takashi Fukuda)}

‘ ,

森澤貴之

_{(Takayuki Morisawa)}

Abstract

For each prime number ` less than 104, we construct explicitly an infinite family of number fields for which both Iwasawa µ` and λ` invariants vanish.

§ 1. 結果 有限次代数体 k および素数 ` に対し、µ`(k), λ`(k), ν`(k) で k の円分Z`-拡大 k∞/k の岩澤 µ, λ, ν 不変量を表す。これらは k<sub>∞</sub>/k の n-th layer kn の類数の `-part を `en で 表す時、 en = µ`(k)`n+ λ`(k)n + ν`(k) (n >> 0) という意味を持つ。k が総実代数体なら、全ての素数 ` に対し、 µ`(k) = λ`(k) = 0 だろうと主張するのが、いわゆる Greenberg 予想であり (c.f. [6])、多くの状況証拠があ るものの、未だに未解決である。これに関して、自然に次の問題が考えられる。

Received February 23, 2011. Revised September 13, 2011.

2000 Mathematics Subject Classification(s): 2000 Mathematics Subject Classification(s):11R30, 11R22, 11Y40

Key Words: Iwasawa invariants, Greenberg conjecture:

∗_{Department of Mathematical Science, School of Fundamental Science and Engineering, Waseda}

University, 3-4-1 Okubo, Shinjuku, Tokyo 169-8555, Japan. e-mail: [email protected]

∗∗_{Department of Mathematics, College of Industrial Technology, Nihon University, 2-11-1 Shin-ei,}

Narashino, Chiba, Japan.

e-mail: [email protected]

∗∗∗_{Department of Mathematical Science, School of Fundamental Science and Engineering, Waseda}

University, 3-4-1 Okubo, Shinjuku, Tokyo 169-8555, Japan. e-mail: da-vinci-0415@@moegi.waseda.jp

c

Problem 1.1. 素数 ` を与えた時、µ`(k) = λ`(k) = 0 となる総実代数体 k の無 限族を構成せよ。 Problem 1.2. 総実代数体 k を与えた時、µ`(k) = λ`(k) = 0 となる素数 ` の無 限族を構成せよ。 まず自明な例を見てみよう。` = 2 とする。類数が 2 で割れず、2 が k/Q で分解し ない実二次体 k が無限個存在することは、種の理論より直ちにわかる。岩澤の定理 (cf. [9]) より、これらの k に対しては µ2(k) = λ2(k) = ν2(k) = 0 となる。逆に k を任意の 総実代数体とする。k/<sub>Q で分解せず k の類数を割らない素数 ` が無限個存在することは</sub> 明らかであり、これらの ` に対してはやはり µ`(k) = λ`(k) = ν`(k) = 0 となる。 非自明な例もある。尾崎・田谷 [13] は、2 が分解し µ2(k) = λ2(k) = 0 となる実二次 体 k の無限族を具体的に構成しているし、類数が偶数で µ2(k) = λ2(k) = 0 となる実二 次体 k の無限族も構成している。Byeon [1] は、堀江・中川 [11], Ono [12] の後をうけ、 任意の奇素数 ` に対し、` が分解せず類数が ` で割れない実二次体 k が正の密度で存在す ることを示した。これらの k に対しては、もちろん µ`(k) = λ`(k) = ν`(k) = 0 である。 尾崎・田谷、堀江・中川、Ono, Byeon の仕事は問題 1.1 に関連して実二次体 k を 扱っている。我々はやはり問題 1.1 に興味をもち、別のタイプの体を考えた。素数 p と 整数 m≥ 0 に対し、Bp,m で Q の円分 Zp-拡大の m-th layer を表す。今回我々が扱った のは p = 2, 3 であり、この場合 Bp,m は次のように具体的に表せる。 B2,m =Q(2 cos 2π 2m+2), B3,m =Q(2 cos 2π 3m+1) . Ferrero-Washington [2] により、任意の素数 ` および任意の素数 p に対して µ`(Bp,m) = 0 であることに注意しておく。p = 2 の時は `≡ 1, 3 (mod 4) に応じて 2c || `−1, 2c || `2−1 で c を定め、p = 3 の時は 2c <sub>|| `</sub>2_{− 1 とする。} mp =          2c + [ 1 2log2(`− 1) ] − 2 if p = 2 2c + [ 1 2log3(`− 1) + 1 2 ] − 1 if p = 3 (1.1) で mp を定めると、我々の得た主結果は次のようになる。 Theorem 1.3. p = 2, 3 とし、` を p と異なる奇素数とする。もし λ`(Bp,mp) = 0 なら、全ての m≥ 0 に対し λ`(Bp,m) = 0 である。 計算機で λ`(Bp,mp) = 0 を確かめると、次の系が得られる。 Corollary 1.4. ` が 104 <sub>以下の素数なら、全ての m ≥ 0 に対し λ</sub> `(B2,m) = λ`(B3,m) = 0.

Remark. 岩澤の定理より、全ての m ≥ 0 に対し λ2(B2,m) = λ3(B3,m) = 0 であ ることはすぐにわかる。 Remark. p = 2 で `≡ 3, 5 (mod 8) の時は、` は B2,m で分解せず、堀江 [7] より B2,m (m≥ 0) の類数は ` で割れない。従って岩澤の定理より λ`(B2,m) = 0 がわかる。 p = 3 で `≡ 2, 4, 5, 7 (mod 9) の時は、` は B3,m で分解せず、堀江 [7] よりB3,m (m≥ 0) の類数は ` で割れない。同じく岩澤の定理より λ`(B3,m) = 0 である。 § 2. 判定法 注意 1, 1 をみたさない ` に対して λ`(Bp,m) = 0 を確かめる方法を説明する。∆m= G(Bp,m/Q) とおく。指標 ψ : ∆m −→ Q` に対し、idempotent eψ ∈ Z`[∆m] が eψ = 1 |∆m| ∑ σ∈∆m Tr(ψ(σ))σ−1 として定義され、λ`(Bp,m) は λ`(Bp,m) = ∑ ψ λ`,ψ(Bp,m) と分解される。Tr は Q`(ψ(∆m)) から Q` への trace であり、ψ は ∆m の Q` 共役類の 代表を動く。次の補題により λ`(Bp,mp) は λ`,ψ(Bp,m) に帰着される。 Lemma 2.1. 1 ≤ m ≤ mp の範囲の全ての m および ∆m の位数 pm の全ての 指標の <sub>Q`</sub> 共役類の代表 ψ に対し λ`,ψ(Bp,m) = 0 であれば、λ`(Bp,mp) = 0 である。 大部分の (`, ψ) に対しては Bernoulli 数を用いて λ`,ψ(Bp,m) = 0 を示すことがで きる。 Lemma 2.2. |B1,ω−1ψ|` = 1 であれば λ`,ψ(Bp,m) = 0 である。 B1,ω−1ψ の計算は容易であり、` < 104 の範囲で|B1,ω−1ψ|` 6= 1 となる (`, ψ) は、 p = 2 の時 7 個、p = 3 の時 4 個だけである。これらの (`, ψ) に対しては市村・隅田の 判定法を適用する。まず (`, ψ) を具体的に示す。 ψ の位数を pm とすると、|B1,ω−1ψ|` 6= 1 となる ` と ψ に対しては (計算の結果) pm | ` − 1 となっている。ζk = exp(2π √ −1/k) とする。p = 2 の時は ζ2n+2 7→ ζ<sub>2</sub>5n+2 か ら、p = 3 の時は ζ3n+1 7→ ζ4 3n+1 から誘導される ∆m の元を σ で表すと ∆m = h σ i で ある。g` を `2 の最小原始根とし、Q` における 1 の原始 pm 乗根 ηm を ηm≡ g `−1 pm ` (mod `)

をみたすものとして定める。∆m の指標 ψm を ψm(σ) = ηm で定義すると b∆m=h ψmi となる。_|B1,ω−1_ψ|` 6= 1 となる ` と ψ = ψmk は以下の通り。Pψ(T ) は ψ に付随する岩 澤多項式、`∗ は [8, Corollary 2] における ` である。これらの (`, ψ) は全て pm <sub>| ` − 1</sub> すなわち [8] の条件 (C1) をみたし、(HPi,n) = (Hi,n) が n = 2 で成立している。従って λ`,ψ(Bp,m) = 0 である。 Table 1. p = 2 ` ψ case Pψ(T ) mod `2 `∗ 31 ψ1 (C) T + 186 1429969 193 ψ25 6 (A) T + 33389 5521195777 257 ψ₇97 (A) T + 12593 52145949697 521 ψ3 (A) T + 204753 18101857409 641 ψ₇17 (A) T + 223068 1213630714369 3617 ψ₅23 (A) T + 11965036 60569710224641 4513 ψ₅17 (A) T + 15930890 235307606264321 Table 2. p = 3 ` ψ case Pψ(T ) mod `2 `∗ 73 ψ1 (C) T + 2263 56018449 109 ψ14<sub>3</sub> (A) T + 2289 1888152283 487 ψ61 4 (C) T + 39934 280668166291 1621 ψ55 4 (A) T + 2207802 16560570765169 次に具体的な計算のテクニックを解説する。無造作にプログラムを書くと計算時間、 メモリの両面で破綻するので、工夫が必要である。 § 3. Bernoulli 数の定義 `, p を異なる素数とし、 q =    4 if p = 2 p if p > 2

とおく。これから考える指標は<sub>Q`</sub> に値をとるものとする。ω を mod ` の Teichm¨uller 指 標、ψ を mod qpm _{で定義され位数が p}m _{の偶指標とする。`6= p だから、全ての a ∈ Z}

に対して ω−1ψ(a) = ω−1(a)ψ(a) であることに注意する。この時、一般 Bernoulli 数 B1,ω−1ψ が B1,ω−1ψ = 1 `qpm `qp_∑m a=1 aω−1(a)ψ(a)∈ Q` で定義される。これの `-進付値を考えやすくするため変形する。`6= p だから、任意の j に対し { i` + j mod qpm _{| 0 ≤ i < qp}m_{} = { i | 0 ≤ i < qp}m_} であることに注意すると、 qpmB1,ω−1ψ = 1 ` ∑ 0≤i<qpm ∑ 0≤j<`

(i` + j)ω−1(i` + j)ψ(i` + j)

= ∑ 0≤j<` ω−1(j) ∑ 0≤i<qpm iψ(i` + j) +1 ` ∑ 0≤j<` jω−1(j) ∑ 0≤i<qpm ψ(i` + j) = ∑ 0≤j<` ω−1(j) ∑ 0≤i<qpm iψ(i` + j) (3.1) となり、B1,ω−1ψ が `-進整数であることがわかる。|B1,ω−1ψ|` = 1 かどうかを調べる必要 があり、そのためには (3.1) を mod ` で計算すればよい。従って、 ω−1(j)≡    0 if j = 0 1 j (mod `) if 1 < j < ` とすればよい。 以後 p は 2 または 3 とする。p = 2 の時は    2s || ` − 1 if `≡ 1 (mod 4) 2s || ` + 1 if `≡ 3 (mod 4) c =    s if `≡ 1 (mod 4) s + 1 if `≡ 3 (mod 4) p = 3 の時は 2s || `2− 1, c = s とし、(1.1) で mp を定める。この時、次のことが分っている。

Theorem 3.1. m ≥ mp + 1 の時、mod qpm で定義された位数 pm の任意の偶 指標 ψ に対し、 |B1,ω−1ψ|` = 1 . しかし今のところ、 1≤ m ≤ mp に対して |B1,ω−1ψ|`= 1 かどうかは、具体的に計 算して調べる以外に方法がない。1_{≤ m ≤ 2c − 2 と 2c − 1 ≤ m ≤ m}p で使う手法が異な るので、場合にわけて説明する。 § 4. p = 2, 1 ≤ m ≤ 2c − 2 の場合 B1,ω−1ψ を定義に基づいて計算するしかない。mod 2m+2 で定義され、位数が 2m の 偶指標 ψ は 2m−1 _{個あるが、すべてに亘って動かす必要はなく、Q} `-共役類の代表を動か せばよい。ηm を Q` における 1 の原始 2m 乗根とし、cm で ∆m の位数 2m の偶指標の Q`-共役類の個数、dm で拡大次数 [Q`(ηm) :Q`] を表すと、 cmdm= 2m−1 であり、 dm =                        1 if `≡ 1 (mod 4), 1 ≤ m ≤ s 2m−s if `≡ 1 (mod 4), s + 1 ≤ m 1 if `≡ 3 (mod 4), m = 1 2 if `≡ 3 (mod 4), 2 ≤ m ≤ s 2m−s if `≡ 3 (mod 4), s + 1 ≤ m であるから、 cm =                        2m−1 if `≡ 1 (mod 4), 1 ≤ m ≤ s 2s−1 if `≡ 1 (mod 4), s + 1 ≤ m 1 if `≡ 3 (mod 4), m = 1 2m−2 if `≡ 3 (mod 4), 2 ≤ m ≤ s 2s−1 if `≡ 3 (mod 4), s + 1 ≤ m となる。ζ2n+2 7→ ζ₂5n+2 から誘導される ∆m = G(B2,m/Q) の生成元を σ とし、b∆m の生 成元 ψm を ψm(σ) = ηm で定める。 b∆m ={ ψmk | 0 ≤ k < 2m} だから、∆m の位数 2m

の指標は ψ = ψk m の形をしている。 Xm=                        { 1 ≤ k < 2m _{| k : odd } if `≡ 1 (mod 4), 1 ≤ m ≤ s</sub> { 1 ≤ k < 2s <sub>| k : odd } if `≡ 1 (mod 4), s + 1 ≤ m} { 1 } if `≡ 3 (mod 4), m = 1 { 1 ≤ k < 2m−1 <sub>| k : odd } if `≡ 3 (mod 4), 2 ≤ m ≤ s</sub> { 1 ≤ k < 2s−1_{, 2}s _{< k < 2}s_{+ 2}s−1 <sub>| k : odd } if `≡ 3 (mod 4), s + 1 ≤ m</sub> とおけば、<sub>|Xm| = cm</sub> であり、<sub>{ ψ</sub>k m | k ∈ Xm} が ∆m の位数 2m の偶指標の Q`-共役 類の代表になる。B1,ω−1ψk m を (3.1) に基づいて計算すると計算量は O(2 m+2_{`) であり、</sub> B1,ω−1ψk m (k ∈ Xm) (4.1) の計算量は m≥ s+1 なら O(2s−1<sub>2</sub>m+2<sub>`) である。s がある程度大きくなると (eg. ` = 8191</sub> なら s = 13)、これは厳しい。そこで B1,ω−1ψm を (3.1) で求め、 B<sub>1,ω</sub>−1<sub>ψm</sub> = 2∑m−1 i=0 aiηim としてから、 B1,ω−1ψk m = 2∑m−1 i=0 aiηmki = 2∑m−1 i=0 biηim (4.2) とすれば (4.1) の計算量は O(2m+2<sub>` + 2}s−1₂m_{) となる。} ψ = ψm に対する (3.1) の計算は、 ψm(± 5i mod 2m+2) = ηim に注意して、_{{ ψm}(j)| 0 ≤ j < 2m+2_{} の表を作っておくとよい (j が偶数なら ψ} m(j) = 0)。 さて (4.2) の形で B1,ω−1ψk m が求まったら、多項式 B(X) = 2∑m−1 i=0 biXi を ηm の最小多項式 F (X) =                    X− ηm if `≡ 1 (mod 4), 1 ≤ m ≤ s X2m−s − ηs if `≡ 1 (mod 4), s + 1 ≤ m X + 1 if `≡ 3 (mod 4), m = 1 X2− amX + 1 if `≡ 3 (mod 4), 2 ≤ m ≤ s X2m−s _{− a} s+1X2 m−s−1 − 1 if `≡ 3 (mod 4), s + 1 ≤ m

で割って B(X) = F (X)G(X) + R(X), degR < degB とすれば B1,ω−1ψk m = R(ηm) であり、 B_1,ω−1_ψk m = d∑m−1 i=0 ciηmi (k ∈ Xk) (4.3) と変形できる。この計算は mod ` で行えばよい。1 回の割算は O(2m<sub>) でできるから、(4.3)</sub> の計算量は O(2m+2<sub>` + 2</sub>s−1₂m_{+ 2}s−1₂m_{) = O(2}m<sub>(4` + 2</sub>s<sub>)) となる。η</sub> m (1≤ m ≤ s) は g` を `2 の最小原始根とするとき、 ηm≡ g `−1 2m ` (mod `) をみたすものとして決めておく1_。a m = TrQ`(ηm)/Q`(ηm) (2 ≤ m ≤ s + 1) の求め方は [3] に載っている。再録すれば次のようになる。 Lemma 4.1. a2 = 0 であり、am (3≤ m ≤ s + 1) は次の漸化式で求めればよい。 am= √ 2 + am−1 (3≤ m ≤ s) as+1= √ −2 + as 平方根は <sub>Q`</sub> における平方根であるが mod ` で計算すればよいので F` における平 方根と思えばよい。これも易しい。

Lemma 4.2. ` ≡ 3 (mod 4) とする。a ∈ F×<sub>`</sub> に対し、

√ a ∈ F`⇐⇒ (<sub>a</sub> ` ) = 1 =⇒√a = ± a`+14 ηm は Q`(ηm) の整数環の Z` 上の巾整数基を作るから、B1,ω−1ψk を (4.3) の形で表 せば、` で割れるかどうかの判定は次のようにできる。 Lemma 4.3.   B_1,ω−1_ψk m = d∑m−1 i=0 ciηim (ci ∈ Z`) の時、 B_1,ω−1_ψk

m ≡ 0 (mod `) ⇐⇒ ci ≡ 0 (mod `) for all 0 ≤ i ≤ dm− 1 .

1_{` の原始根でもよいが、後で`}2 _{の原始根を使う箇所があるので、ここでも`}2_{の原始根を使っておいた方}

最も時間がかかるのは ` = 8191 の時である。c = 14 だから 1≤ m ≤ 26 に対して (3.1) を計算しなければならない。m = 26 の時のループ回数は 228<sub>· 8191 = 2198754820096 '</sub> 2.1· 1012 だから TC では厳しく、C で書かなければならない2。それでも数日かかる。 § 5. p = 2, 2c − 1 ≤ m ≤ m2 の場合 B1,ω−1ψ を直接計算するよりも効率的な Sinnott-Washington の方法がある (c.f. [14, p.387])。 h(T ) = `−1 ∑ i=0 ω−1(1 + 2ci)Ti ∈ Z`[T ] とおく。h(T ) は ψ とは無関係に定義される、つまり m に依らない。 Lemma 5.1. m≥ 2c−1 とする。Q<sub>`</sub> に含まれる任意の 1 の 2m+2−c 乗根 η_m+2−c に対し h(ηm+2−c)6≡ 0 (mod `) ならば、mod 2m+2 で定義される位数が 2m の任意の偶 指標 ψ に対し B1,ω−1ψ 6≡ 0 (mod `) である。 h(ηm+2−c) の計算量は O(`) であり、m + 2− c ≥ s + 1 となるから、 [Q`(ηm+2−c) :Q`] = 2m+2−c−s つまり h(ηm+2−c) を巾整数基で表す計算量は O(2m+2−c−s) である。従って k ∈

X_m+2−cに対し h(η_m+2k _−c) を求める計算量は最大で O(2s−1)O(2m+2−c−s) = O(2m+1−c) である。` = 8191, c = 14 , m = m2 = 32 の時は 2m+1−c = 219 = 524288 であり、意外 なことに 1≤ m ≤ 2c − 2 よりもずっと速く計算できる3<sub>。</sub> § 6. p = 3, 1 ≤ m ≤ 2c − 2 の場合 B1,ω−1ψ を定義に基づいて計算する。mod 3m+1 で定義され、位数が 3m の偶指標 ψ は 2· 3m−1 個あるが、すべてに亘って動かす必要はなく、Q`-共役類の代表を動かせば よい。ηm を Q` における 1 の原始 3m 乗根とし、cm で ∆m の位数 3m の偶指標のQ` -共役類の個数、dm で拡大次数 [Q`(ηm) :Q`] を表すと、 cmdm= 2· 3m−1 2_{TC で書いたものをCに変換すれば効率よく作成できる。更にTCからCプログラムを呼べば、いろい} ろな面で楽である。 3_{C で書く必要はない。TCで十分である。}

であり、 dm =                1 if `≡ 1 (mod 3), 1 ≤ m ≤ s 3m−s if `≡ 1 (mod 3), s + 1 ≤ m 2 if `≡ 2 (mod 3), 1 ≤ m ≤ s 2· 3m−s if `≡ 2 (mod 3), s + 1 ≤ m であるから、 cm =                2· 3m−1 if `≡ 1 (mod 3), 1 ≤ m ≤ s 2· 3s−1 if `≡ 1 (mod 3), s + 1 ≤ m 3m−1 if `≡ 2 (mod 3), 1 ≤ m ≤ s 3s−1 if `≡ 2 (mod 3), s + 1 ≤ m となる。ζ3m+1 7→ ζ4 3m+1 から誘導される ∆m = G(B3,m/Q) の生成元を σ とし、 b∆m の 生成元 ψm を ψm(σ) = ηm で定める。 b∆m ={ ψmk | 0 ≤ k < 3m} だから、∆m の位数 3m の指標は ψ = ψ_mk の形をしている。 Xm=                  { 1 ≤ k < 3m_{| 3 6 | k } if `≡ 1 (mod 3), 1 ≤ m ≤ s</sub> { 1 ≤ k < 3s<sub>| 3 6 | k } if `≡ 1 (mod 3), s + 1 ≤ m} { 1 ≤ k < 3m− 1 2 | 3 6 | k } if `≡ 2 (mod 3), 1 ≤ m ≤ s { 1 ≤ k < 3s− 1 2 | 3 6 | k } if `≡ 2 (mod 3), s + 1 ≤ m とおけば、_{|Xm| = cm} であり、_{{ ψ}k m | k ∈ Xm} が ∆m の位数 3m の偶指標の Q`-共役 類の代表になる。後は p = 2 の場合と同様。ψm の値は ψm(± 4i mod 3m+1) = ηim で定まる。 (j が 3 で割れれば ψm(j) = 0)。ηm の最小多項式は              X− ηm if `≡ 1 (mod 3), 1 ≤ m ≤ s X3m−s _{− η} s if `≡ 1 (mod 4), s + 1 ≤ m X2− amX + 1 if `≡ 2 (mod 3), 1 ≤ m ≤ s X2·3m−s− asX3 m−s + 1 if `≡ 2 (mod 3), s + 1 ≤ m となる。これで、 B1,ω−1ψk m = d∑m−1 i=0 ciηmi (k ∈ Xk)

が求まる。ηm (1≤ m ≤ s) は g` を `2 の最小原始根とするとき、 ηm≡ g `−1 3m ` (mod `) をみたすものとする。am = Tr<sub>Q</sub>`(ηm)/Q`(ηm) (1≤ m ≤ s + 1) の求め方は [10] に載って いる。再録すれば次のようになる。 Lemma 6.1. a1 =−1 であり、 X3− 3X − am−1 = 0 (2≤ m ≤ s) の (任意の) 根を am とすればよい。 p = 3 の時も ηm は Q`(ηm) の整数環の Z` 上の巾整数基を作るから、補題 4.3 は同 様に成立する。 § 7. p = 3, 2c − 1 ≤ m ≤ m3 の場合 やはり Sinnott-Washington の方法が使える (c.f. [14, p.387])。 h(T ) = `−1 ∑ i=0 ω−1(1 + 3ci)Ti ∈ Z`[T ] とおく。 Lemma 7.1. m≥ 2c−1 とする。Q<sub>`</sub> に含まれる任意の 1 の 3m+1−c 乗根 ηm+1−c に対し h(ηm+1−c)6≡ 0 (mod `) ならば、mod 3m+1 で定義される位数が 3m の任意の偶 指標 ψ に対し B1,ω−1ψ 6≡ 0 (mod `) である。 § 8. 岩澤多項式の計算 ψ を ∆m = G(Bp,m/Q) の位数 pm の指標とする。ψ は偶指標である。`-進 L-関数 L`(s, ψ) を与える、すなわち L`(s, ψ) = gψ((1 + qpm`)1−s− 1) をみたす巾級数 gψ(T )∈ Z`[[T ]] が (一意的に) 存在し、岩澤巾級数と呼ばれる。gψ(T ) か ら distinguished 多項式 Pψ(T )∈ Z`[T ] が gψ(T ) = uψ(T )Pψ(T ) (8.1)

として (一意的に) 定まる。uψ(T ) は Z`[[T ]] の単元、すなわち uψ(0)6≡ 0 (mod `) であ る巾級数である。Pψ(T ) は岩澤多項式と呼ばれ、非常に重要な性質を持っている。Pψ(T ) は Stickelberger 元 ξn =− 1 2qpm<sub>`</sub>n+1 qpm<sub>∑</sub>`n+1 a=1 aω−1(a)ψ(a) ( B`,n/Q a )−1 ∈ Z`[Γn] を経由して計算することができる。Γn = G(B`,n/Q) = G(Bp,mB`,n/Bp,m) であり、 ( B`,n/Q a )

は Frobenius 写像である。(a, p`) 6= 1 なら ω−1_{(a)ψ(a) = 0 であることに注意する。ま}

ず ξn の定義式を計算しやすいように変形する。 −2qpm ξn= 1 `n+1 ∑ 0≤i<qpm ∑ 0≤j<`n+1

(i`n+1+ j)ω−1(i`n+1+ j)ψ(i`n+1+ j) ( B`,n/Q i`n+1<sub>+ j</sub> )−1 = ∑ 0≤j<`n+1 ∑ 0≤i<qpm iω−1(j)ψ(i`n+1+ j) ( B`,n/Q j )−1 + 1 `n+1 ∑ 0≤j<`n+1 jω−1(j) ( B`,n/Q j )−1 <sub>∑</sub> 0≤i<qpm ψ(i`n+1+ j) = ∑ 0≤j<`n+1 (j,`)=1 ω−1(j) ( B`,n/Q j )−1 <sub>∑</sub> 0≤i<qpm iψ(i`n+1+ j) g` を `2 の原始根とすると、任意の n≥ 0 に対し、 (Z/`n+1Z)× =h g`+ `n+1Z i だから、 −2qpm ξn= (`−1)`<sub>∑</sub>n j=0 ω−1(gj<sub>`</sub>) ( B`,n/Q g` )−j qpm₋₁ ∑ i=0 iψ(i`n+1+ (g<sub>`</sub>j mod `n+1)) . ここで、 γ = ( B`,n/Q 1 + qpm<sub>`</sub> ) = ( B`,n/Q g` )rn すなわち grn ` ≡ 1 + qp m_{` (mod `}n+1₎ をみたす rn を求める。r0 の計算量は O(`) である。

Lemma 8.1. ri+1 ≡ ri (mod (`− 1)`i) (i≥ 0) すなわち、 ri+1 ∈ { ri+ k(`− 1)`i | 0 ≤ k ≤ ` − 1 } Proof. gri+1 ` ≡ 1 + qp m_{` (mod `}i+2₎ ≡ gri ` (mod ` i+1 ) より gri+1−ri ` ≡ 1 (mod ` i+1₎ よって ri+1 − ri ≡ 0 (mod ϕ(`n+1)) これより rn は O(`n+1) でなく O(`(n + 1)) で計算できる。 xrn≡ 1 (mod `n) とすれば、 −2qpm ξn= (`−1)`n ∑ j=0 ω−1(g<sub>`</sub>j)(γ−1)xj qp<sub>∑</sub>m−1 i=0 iψ(i`n+1+ (g<sub>`</sub>j mod `n+1)) . (8.2) ψ は ψ = ψ_mk の形であり、ψm の値は、 ψm(± 5i mod 2m+2) = ηim if p = 2 ψm(± 4i mod 3m+1) = ηim if p = 3 で決まる。(8.2) より岩澤多項式 Pψ(T ) が定まるのであるが、−2qpm は (8.1) の uψ(T ) に吸収されるので無視してよい。予備計算によれば _|B1,ω−1ψ|` 6= 1 となる全ての場合に

おいて degPψ = 1 となっている。従って (8.2) を mod `n で求めれば Pψ(T ) も mod `n

で求まる。ηm ∈ Z` は

ηm≡ g

`−1 pm

をみたす 1 の原始 pm _{乗根であったから、} ηm ≡ ( g `−1 pm ` )`n−1 (mod `n) となっている。ω については、 ω(a)≡ a`n−1 (mod `n) に注意すればよい。これで (8.2) より、 ξn ≡ `∑n−1 i=0 ai(γ−1)i (mod `n) (ai ∈ Z) (8.3) が求まる。ここまでの計算量が大部分を占め、以後の多項式の変換に関する部分は殆んど 無視できる。(8.3) が求まれば、 gψ(T )≡ `∑n−1 i=0 ai ( <sub>1 + T</sub> 1 + qpm<sub>`</sub> )i (mod `n) ≡ `∑n−1 i=0 bi(1 + T )i (mod `n) となる。gψ(T ) は T の多項式として表現しなければならない。min(n + 1, `n− 1) = n + 1 次まで求めれば十分である。2 項展開するのでなく、 gψ(T )←− 0 gψ(T )←− (1 + T )gψ(T ) + bi (i = `n− 1, . . . , 0) と 1 + T を次々とかけるのがよい。もちろん n + 2 次以上の項は無視する。これで、 gψ(T )≡ n+1∑ i=0 ciTi (mod (Tn+2, `n)) が求まり、[5, 補題 5.3] より、 Pψ(T )≡ T + α (mod `n) が求まる。α≡ 0 (mod `), α 6≡ 0 (mod `2<sub>) となっている。</sub> § 9. 市村・隅田の判定 W (T ) =      (1 + T )`n<sub>− 1 if ψ(`) 6= 1</sub> (1 + T )`n− 1 T if ψ(`) = 1

とおく。 Y (T )Pψ(T )≡ `a (mod W (T )) とくに W (T ) = Y (T )Pψ(T ) + `a (9.1) をみたす Y (T ) を求める。Pψ(T ) は mod `n で求めているから (9.1) も mod `n で考え ることになり、W (−α) ≡ 0 (mod `n<sub>) だから、</sub> W (T )≡ (T + α)Y (T ) (mod `n) をみたす Y (T ) mod `n <sub>を求めればよい。この Y (T ) を T ↔ γ − 1 として円単数に作用さ</sub> せるのだから Y (T ) を 1 + T の多項式で表しておくと楽である。つまり Y (T ) = Y1(1 + T ) となる Y1(T ) を W (T − 1) ≡ (T − 1 + α)Y1(T ) (mod `n) として求めればよい。これは漸化式で簡単に求められる。

Lemma 9.1. b0 = 1, bi+1 = (1− α)bi (i ≥ 0) で {bi}∞i=0 を定めると、任意の

k ≥ 0 に対し Tk− 1 = (T − 1 + α) (k∑−1 i=0 bk−1−iTi ) + bk− 1 Proof. k = 0 の時は成立。k で成立するとして k + 1 の時を考える。 Tk+1− 1 = T (Tk− 1) + T − 1 = (T − 1 + α) (k∑−1 i=0 bk−1−iTi+1 ) + (bk− 1)T + T − 1 = (T − 1 + α) (∑k i=1 bk−iTi ) + bk(T − 1 + α) + (1 − α)bk− 1 = (T − 1 + α) (∑k i=0 bk−iTi ) + bk+1− 1 k = `n まで計算し、念のため b`n ≡ 1 (mod `n) を確かめる。

Lemma 9.2. b0 = 0, bi+1 = (1− α)bi+ 1 (i≥ 0) で {bi}∞i=0 を定めると、任 意の k ≥ 0 に対し Tk− 1 T − 1 = (T − 1 + α) (k∑−2 i=0 bk−1−iTi ) + bk Proof. k = 0 の時は成立。k で成立するとして k + 1 の時を考える。 Tk+1_{− 1} T − 1 = T (Tk_{− 1) + T − 1} T − 1 = T T k_{− 1} T − 1 + 1 = (T − 1 + α) (k∑−2 i=0 bk−1−iTi+1 ) + bkT + 1 = (T − 1 + α) (k∑−1 i=1 bk−iTi ) + bk(T − 1 + α) + (1 − α)bk+ 1 = (T − 1 + α) (k∑−1 i=0 bk−iTi ) + bk+1 k = `n まで計算し、念のため b`n ≡ 0 (mod `n) を確かめる。 ψ = ψk<sub>m</sub> に対し idempotent eψ = 1 |∆m| ∑ σ∈∆m ψ(σ−1)σ ∈ Z`[∆m] があり、eψ と Y1(γ) を円単数 cn = NQ(ζf)/Bp,mB`,n(1− ζf), f = qp m `n+1 に作用させる。作用を考えやすくするため、 ζf = ζ`n+1ζ<sub>qp</sub>m とする。g` を `2 の原始根とし、 x1 ≡ g` n ` (mod ` n+1 ), x1 ≡ 1 (mod qpm) x2 ≡ 1 (mod `n+1), x2 ≡ −1 (mod qpm) をみたす x1, x2 ∈ Z を一組求め、 H ={ xi<sub>1</sub>xj<sub>2</sub> mod f | 0 ≤ i < `, 0 ≤ j ≤ 1 }

とおけば、 cn = ∏ x∈H (1− ζ_fx) となる4_。 xγ ≡ 1 + qpm` (mod `n+1), xγ ≡ 1 (mod qpm) xσ ≡ 1 (mod `n+1), xσ ≡ 5 (mod 2m+2) if p = 2 xσ ≡ 1 (mod `n+1), xσ ≡ 4 (mod 3m+1) if p = 3 をみたす xγ, xσ ∈ Z を求めておく。更に Y1(γ)≡ `∑n−1 i=0 aiγi (mod `n) eψ ≡ p_∑m−1 j=0 biσi (mod `n) も求めておく。`∗ ≡ 1 (mod qpm_{`</sub>n+1<sub>) をみたす素数 `}∗ _{をとり、`</sub>∗ <sub>の原始根 g</sub> `∗ に対し、 z ≡ g `∗−1 `n `∗ g `∗−1 pm `∗ (mod f ) となる z ∈ Z も求める。この時、 Lemma 9.3.   (pm<sub>∏</sub>−1 j=0 (`∏n−1 i=0 ( ∏ x∈H (1− zxxiγx j σ₎ )ai)bj) `∗−1 `n 6≡ 1 (mod `∗<sub>)</sub> なら λ`,ψ(Bp,m) = 0 である。 補題 9.3 の計算量は O(qpm_{`</sub>n+1<sub>) である。岩澤多項式の計算量も O(qp</sub>m<sub>`}n+1_{) であ} るが、mod `n <sub>の計算だから高速に処理できる。補題 9.3 は mod `}∗ _{の巾乗計算があるた} めどうしても遅くなる。p = 2, m = 5, ` = 4513, n = 2 の時、岩澤多項式の計算は Xeon 2GHz で 3 日かかり、補題 9.3 はクワッドコアで分散処理を行い 25 日かかった5。つまり 補題 9.3 の計算は岩澤多項式の計算より約 60 倍時間がかかる。分散処理する時は、 yj = `∏n−1 i=0 ( ∏ x∈H (1− zxxiγx j σ₎ )ai (0≤ j ≤ pm− 1) 4_{この等式は一般の素数 pに対して成立する。} 5_{どちらも TCからCプログラムを呼んでいる。}

を複数のプロセスで並行して計算し、終了したら (ファイルに記録した yj を読みこんで) (pm_∏−1 j=0 ybj j )`∗−1 `n 6≡ 1 (mod `∗<sub>)</sub> かどうか調べればよい。 § 10. 証明 p を任意の素数、` を p と異なる奇素数とし、 m, n≥ 1 とする。G(Bp,mB`,∞/B`,∞) と G(Bp,m/Q) を同一視し ∆m で表す。Bp,m の円分 Z`-拡大の n-th layerBp,mB`,n のイ デアル類群の `-part を Am,n で表す。指標 ψ : ∆m −→ Q` から定まる idempotent eψ = 1 |∆m| ∑ σ∈∆m Tr(ψ(σ))σ−1 ∈ Z`[∆m] は自然に Am,n に作用し、Am,n の ψ-part Am,n,ψ = εψAm,n が定義される。Tr は Q`(ψ(∆m)) から Q` への trace である。この時 Am,n は Am,n= ⊕ ψ Am,n,ψ と直和分解される。ただし ψ は ∆m の指標の Q` 共役類の代表を動く。さて岩澤により、 n に依らない整数 λ`,m,ψ ≥ 0, ν`,m,ψ が存在し、 |Am,n,ψ| = λ`,m,ψn + ν`,m,ψ (n >> 0) となることが知られている。この時、λ`,m = λ`(Bp,m) は λ`,m = ∑ ψ λ`,m,ψ (10.1) と分解される。ここで、ψ は ∆m の指標の Q` 共役類の代表を動く。 ψ が単射でない時、Kerψ の固定体をBp,m0 とすれば、ψ は自然に ∆m0 の指標と考 えることができ、Am,n,ψ ∼= Am0,n,ψ となるから、(10.1) は λ`,m = ∑ 1≤m0≤m ∑ ψ λ`,m0,ψ (10.2) と変形できる。ただし、ψ は ∆m0 の単射指標の Q` 共役類の代表を動く。(10.2) よりた だちに次の補題が得られる。 Lemma 10.1. m > mp の時、 λ`(Bp,m)− λ`(Bp,mp) = ∑ mp<m0≤m ∑ ψ λ`,m0,ψ. ただし、ψ は ∆m0 の単射指標の Q` 共役類の代表を動く。

さて ψ を ∆m の単射指標、ω を mod ` の Teichm¨uller 指標とし、ψ∗ = ψ−1ω とお く。λ`,m,ψ と同様にして λ`,m,ψ∗ が定義され、鏡像原理より λ`,m,ψ ≤ λ`,m,ψ∗ (10.3) となる。λ`,m,ψ∗ は Bernoulli 数 B1,ω−1ψ と関係している。 Lemma 10.2. |B1,ω−1ψ|` = 1 と λ`,m,ψ∗ = 0 は同値である。 Proof. B_1,ω−1_ψ 6≡ 0 (mod `) ⇐⇒ ξ0 6≡ 0 (mod `) であり、Mazur-Wiles によって証明された岩澤主予想により、 ξ0 6≡ 0 (mod `) ⇐⇒ λ`,m,ψ∗ = 0 である。 不等式 (10.3)、補題 10.1 と組み合わせれば次が得られる。 Corollary 10.3. |B1,ω−1ψ|` = 1 なら λ`,m,ψ = 0 である。 Corollary 10.4. m > mp =⇒ λ`(Bp,m) = λ`(Bp,mp). これより直ちに定理 1.3 が得られる。

Remark. 隅田浩樹氏より、Table 1,2 の case (A) の場合は岩澤多項式を計算しな

くても λ`,ψ(Bp,m) = 0 がわかると教えて頂いた (cf. [8, Remark 4])。つまり市村・隅田

の判定法を適用しなければならないのは 11 個の内 3 個のみである。

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