新編 新編 新編 新編 高専の数学問題集高専の数学問題集高専の数学問題集高専の数学問題集 第２版第２版第２版 １・２・３第２版 １・２・３１・２・３１・２・３補遺補遺補遺 補遺 この補遺は「新編 高専の数学問題集 第２版 １・２・３」に収録しなかった大学編入学試験問題 を掲載しています． 章・節の組み方と出題大学名と出題時期の記載の仕方は上記問題集に準じています．解法お よびヒントで，着想の異なる方法には(i)，(ii)など区別して記述しています． 「問題集」とこの補遺に掲載されていない大学編入学試験の，興味のある問題とその解，またここ に掲載されているものと異なる着想の解法があれば，こちらの「高専の数学会議室」に書き込んで いただければ幸いです．順次本文に繰り込み予定ですが，採用された解法等は森北出版に帰属 することをご了承下さい． 著 者 補遺の内容 補遺の内容補遺の内容 補遺の内容 新編 新編新編 新編 高専の数学問題集高専の数学問題集高専の数学問題集高専の数学問題集 第２版第２版第２版 １第２版 １１１ • 命題・等式・不等式 • 三角関数 • 平面上の図形 • 個数の処理 新編 新編新編 新編 高専の数学問題集高専の数学問題集高専の数学問題集高専の数学問題集 第２版第２版第２版 ２第２版 ２２２ • 数列 • 微分法 • 積分法 • ベクトルと図形 • 行列と行列式 新編 新編新編 新編 高専の数学問題集高専の数学問題集高専の数学問題集高専の数学問題集 第２版第２版第２版 ３第２版 ３３３ • 微分法 • 積分法 • 偏微分と重積分 • 微分方程式 • 複素数 付録 付録付録 付録 • 確率 統計
問題集
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命題・等式・不等式 x6. 集合と命題 6.1 4 §p3; 3 § 2i ヒント 2組の 2つの解の積をq，2つの解の和をp とp とすると，方程式は (x ¡ p x + q)(x ¡ p x + q) = 0 となる． 6.2 証明略 ヒント 3次方程式の解と係数の関係により ® + ¯ + ° = ¡p; ®¯ + ®° + ¯° = q; ®¯° = ¡r a の定義により a = ® + ¯ + ° = ¡p a = ® + ¯ + ° = (® + ¯ + °) ¡ 2(®¯ + ®° + ¯°) = p ¡ 2q a = ® + ¯ + ° = (® + ¯ + °) ¡ 3(® + ¯ + °)(®¯ + ®° + ¯°) + 3®¯° = ¡p + 3pq ¡ 3r したがって a ; a ; a は整数である．®; ¯; ° が3次方程式の解であるから a + pa + qa + ra = 0 が成り立つことを示す．5
三角関数 x13. 加法定理とその応用 13.1 S の最大値 1 2; OP = p 2ヒント 中心Oを座標の原点とし，Pがx軸上を動くものと考えてよい．(i) A(x; y); (x≧0; y≧0)とすると，x + y = 1のとき S = xy の最大値を求める．相乗平均 ≦ 相加平均であるからxy≦x + y 2 = 1 2．x = y のときS は最大値 1 2 をとる．その
とき OP = 2x (ii) POA = µとすると，△OAB = sin µ cos µ = 1
2 sin 2µ: µ = ¼ 4 の
とき最大値 1
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平面上の図形 x17. 不等式と領域 17.1 a > 0のとき1≧b≧¡ 1 4a + a , a < 0のとき¡1≦b≦¡ 1 4a + a , a = 0 のとき ¡1≦b≦17
個数の処理 x18. 場合の数と二項定理 18.1 (1) C (2) f (i; j) £ f (m ¡ i; n ¡ j) = C £ C (3) 42 ヒント 横の各区画を ○ で，jで表す．(1)最短路を通って Aから Bに行く１つ道 順はm 個の ○ と n個の jを並べた順列で表される．その総数はm + n 個のものから m 個を選ぶ組合せの数であり，f (m; n) = C (3) (i) 樹形図的な方法 :横の5個の区画の並び方 ○ ○ ○ ○ ○ の間に縦の4個の 区画 j j j j を配列する際，jの個数がそれより左側の○の個数より多くならないよ うに，場合に分けて数える． ○ ○ ○ ○ ○ j … 1 j … 4 j ○ … 4 j ○ … 3 j ○ … 2 5 2° 9 1° j ○ … 9 °1に等しい j ○ … 5 °2に等しい 14 3° j ○ … 14 °3に等しい 合 計 42各行の jより前は前行に同じ．… は残りの ○ とjの並び．
(ii) 漸化式による方法 :この行き方による A から M(i; j) までの道順の数を g(i; j)
とすると，0 < j < i のとき
g(i; j) = g(i ¡ 1; j) + g(i; j ¡ 1); g(i; i) = g(i; i ¡ 1)
が成り立つ．g(i; 0) = 1; g(i; 1) = iに注意して g(5; 4)を求める (iii) 対称性による方法:順路は点P=M(3,2), Q=M(4,1), R=M(5,0)に関して対称で あり，そのうちの 1 点を経由するとき他の点を通らない．したがって g(5; 4) = fg(3; 2)g + fg(4; 1)g + fg(5; 0)g : 同じように考えると，Pまでの道順の数は g(3; 2) = fg(2; 1)g + fg(3; 0)g = 2 + 1 = 5: ゆえに g(5; 4) = 5 + 4 + 1 = 42
問題集
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数 列 x1. 数列とその和 1.1 証明略 ヒント 2 sin µ 2 12 + cos µ + ¢ ¢ ¢ + cos mµ = sin m + 1 2 µ を数学的帰納法で証明 する． 1.2 (1) g (x) = 2 x + 4(2 ¡ 1)，定点 (¡4; ¡4) (2) n = 1のとき9個，n≧2 のとき 5 ¢ 2 ¡ 12個 (3) n = 1のとき(¡2; 0); n = 2のとき (¡3; 0); n≧3 のとき (0; 2 ¡ 4) ヒント (1) g (x)は1次式であるから，g (x) = a x + b とおいてa ; b の漸化式 を作る．定点を求めるためには g (x) = 2 (x + 4) ¡ 4 とする． (2) n≧2のとき g (0); g (¡1); g (¡2); g (¡3) の値を調べる． 1.3 (1) F の左端に置くタイルの種類 T (k = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ; n) によって場合に分け る．T のときの敷き詰め方はf 通りである． (2) f = 2 (3) F のおのおのの敷き詰め方で左端に置いたタイルT (k 6= 1) をT で置き 換えるとF が敷き詰められる．また，F のおのおのの敷き詰め方について左端のタ イルの左にT をつけ加えて置くとF が敷き詰められる． (4) g = p1 5 1 +p5 2 ¡ 1 ¡p5 2 ヒント (4) 問題集2, 1.34においてa + b = ¡1; ab = ¡1の場合である．a; bは2 次方程式 t ¡ t ¡ 1 = 0の解． 1.4 (1) C 1 n (2) 第1の不等式 : 1 + 1 n = 1 + n ¢ n1 +n(n ¡ 1) 2! 1 n + ¢ ¢ ¢ + n(n ¡ 1)(n ¡ 2) ¢ ¢ ¢ (n ¡ n + 1) n! 1 n = 1 + 1 + 1 2! ¢ 1 ¢ 1 ¡ 1 n + ¢ ¢ ¢ + 1 n! ¢ 1 ¢ 1 ¡ 1 n 1 ¡ 2 n ¢ ¢ ¢ 1 ¡ n ¡ 1 n <第2辺， 第2の不等式 : k! > 2 (k≧3) したがって 1 k! < 1 2 であるから，第2辺 < 1 + 1 2 = 3 ¡ 1 2 < 3
(3) C 1 n と C 1 n + 1 の各項を順に比較する．前者の各項よ り後者の各項が大きく，後者の最後の項が余る． (4) 証明略 ヒント (2)の不等式を用いて p n + 1 p n = (n + 1) n < 1 を示す． x2. 無限数列 2:1 (1) a = a = 0; b = 5; b = 5 2 (2) 4 (3) 5 1 2 (4) 証明略 (5) p 3; p3 ヒント (3) b ¡ a = 1 2 (b ¡ a ) (4) 数学的帰納法による． 2.2 (1) a ≦ra から a ≦r a ．0 < r < 1であるから r は収束し， a も収束する． (2) a = n! n とおくと a a = (n + 1)! (n + 1) ¢ n n! = n (n + n) = 1 1 + 1 n . 1 + 1 n ≧1 + n n = 2 であるから a a ≦ 1 2． (1)によって n! n は収束する．
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微 分 法 x4. 関数の増減 4.1 (1) a < 0のときm = a¡1; M = 0. 0≦a≦1のときm = a¡1; M = 2 a 3 . 1≦a≦3 のときm = 0; M = 2 a 3 . 3 < aのとき m = 0; M = a ¡ 1 (2) m = 0. a < 0 のとき M = 1 ¡ a. 0≦a≦3 4 とき M = 1 ¡ a. 3 4 < a≦3の ときM = 2 a 3 . 3≦aのとき M = a ¡ 1 x7. 導関数の応用 7.1 (1) cos x = ¡1 p のとき最小値 p ¡ 1 (2) 最大値 p ¡ 1 ¡ 1 p ¡ 2 ;最小値 ¡ p ¡ 1 + 1 p ¡ 2ヒント (1) cos x = t とおくとき ff (x)g = (p + t) 1 ¡ t (¡1 < t < 1) (2) sin x 6= 0 のとき 1 g(x) = f (x) + 1: 7.2 (1) a = 1 2 a + k a (2) p k ヒント (2) a > a > ¢ ¢ ¢ > a > ¢ ¢ ¢≧pk を証明する． 7.3 (1) f (x) が奇関数であるから曲線 y = f (x) は原点に関して対称．f (x) = 3ax + b であり，f (x) = 0 となるのは x = § ¡ b 3a. a > 0 のとき b < 0で あり，x = ¡ b 3a のとき極小値 y = 2b 3 ¡ b 3a をとる．正方形を4つの部分に分 けるためには 0 < ¡ b 3a < 1 ∴ ¡ b 3 < a 1° であって，極小値が 2b 3 ¡ b 3a ≦¡ 1 ∴ a≦¡ 4 27b °2 また，x = 1における f (x)の値がf (1) = a + b > ¡1 ∴ a > ¡b ¡ 1 3° (2) ba平面で点 (b; a)の存在範囲は，a > 0のときは不等式°, 21 °, 3°が表す領域で ある．3次曲線 a = ¡ 4 27b と直線 a = ¡b ¡ 1は A ¡ 3 2; 1 2 で接し，B(3; ¡ 4)で 交わっている．直線 a = ¡b 3 はその接点 A を通る．領域は第 2 象限で3 次曲線の下 方と直線 a = ¡b ¡ 1の上方の領域で境界は 3 次曲線を含み直線を含まない．a < 0の ときは原点に関して以上の領域と対称な領域である．
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積 分 法 x8. 不定積分 8.1 (1) I = 1 2fx (log x) ¡nI g (2) I = 1 2n ¡ 1 sin x cos x+(2n¡2)I x9. 定積分 9.1 (1) j®j≧1のとき® ¡ 1 3，j®j < 1のとき 4 3j® j ¡ ® + 1 3 (2) ® = § 1 2 ヒント (2) j®j≧1のときf (®) = ® ¡1 3≧ 2 3であり， 1 4になることはない．j®j < 1の とき f (®) = 4 3j®j ¡ j®j + 1 3 = 1 4 を解く．(2j®j ¡ 1) (4j®j + 1) = 0; 4j®j + 1 6= 0 からj®j = 1 24
ベクトルと図形 x11. ベクトル 11.1 (1) ¡¡!OM = pqa ¡ b p(q + 1); ¡!ON = ¡pqa + b q + 1 (2) ¡!BC = p¡!AD (3) 6 x13. 空間のベクトルと図形 13.1 (1) e = 0; p1 2; 1 p 2 ; e = 2 p 6; 1 p 6; 1 p 6 ; e = ¡ 1 p 3; 1 p 3; ¡p1 3 (2) e = 1 p 2; 0; 1 p 2 ; e = (0; 1; 0); e = ¡ 1 p 2; 0; 1 p 2 [ e ; e は逆向きであってもよい ] 13.2 (1) a = (a ; a ; a ); b = (b ; b ; b ); c = (c ; c ; c ); v = b £ c = (v ; v ; v )とする．v= (b c ¡b c ; b c ¡b c ; b c ¡b c ). a£(b£c)の第１成分= a v ¡a v = a (b c ¡b c )¡a (b c ¡b c ) = (a c +a c )b ¡(a b +a b )c = (a c + a c +a c )b ¡(a b +a b +a b )c = (a; c)b ¡(a; b)c ; 同様に第2成分= (a; c)b ¡ (a; b)c ; 第3成分= (a; c)b ¡ (a; b)c : これらをまとめて式が導かれる．(2) 左辺= (a b ¡a b )(c d ¡c d )+(a b ¡a b )(c d ¡c d )+(a b ¡a b )(c d ¡ c d ) = (a c + a c )b d + (a c + a c )b d + (a c + a c )b d ¡ (a d + a d )b c + (a d + a d )b c + (a d + a d )b d = (a; c)(b d + b d + b d ) ¡ (a; d)(b c + b c + b c ) = (a; c)(b; d) ¡ (a; d)(b; c) 13.3 x ¡ y + z = 3 ヒント 平面 ¼ の単位法線ベクトルをn = (a; b; c) とする． ¡!OA = l = (1; 0; 0); ¡! CB = m = (1; 1; ¡1) の¼ 上への正射影をそれぞれl; m とすると，l = l ¡ (l ¢ n)n
= (1; 0; 0) ¡ a(a; b; c) = (1 ¡ a ; ¡ab; ¡ac); m = m ¡ (m ¢ n)n = (1; 1; ¡1) ¡ (a + b ¡ c)(a; b; c) = (1 ¡ (a + b ¡ c)a; 1 ¡ (a + b ¡ c)b; ¡1 ¡ (a + b ¡ c)c). m == l であるから m = tl とおくと，a; b; c について t を含んだ連立方程式が導かれ，解 は a = (1 ¡ t)b; c = ¡b． b は比例因数で b = 1 としてよい． 平面 ¼ の方程式は (1 ¡ t)(x ¡ 1) + (y + 1) ¡ (z ¡ 1) = 0．原点からの距離は h = p jt + 1j t ¡ 2t + 3 で与えら れる． h の最大値を求めるとよい．これは t = 2のとき最大値をとる． 13.4 (1) p3x + z = 3 (2) 2p3 ヒント 球の中心をC(0; 0; 1)とし，接点をB(x ; y ; z )とする．Bにおける接平面 はベクトル¡!CB = (x ; y ; z ¡1)に垂直であり，方程式はx x+y y +(z ¡1)(z ¡1) = 1 である．点 A(0; 0; 3) を通るから，2(z ¡ 1) = 1 すなわち z = 3 2 である．接平面 の方程式はx x + y y + 1 2z = 3 2 °1．したがって点 B は平面 z = 3 2 による球の切 り口の円 x + y = 3 4 °2 上にある． (1) 接平面がy軸に平行な場合，接平面 の法線が y軸に垂直であるから y = 0．そのとき，x = § p 3 2 ，接平面の方程式は § p 3 2 x + 1 2z = 3 2 (2) 方程式 °2 で y = z = 0 とおいて P 3 2x ; 0; 0 ，同様に Q 0; 3 2y ; 0 ．PQ = 9 4 1 x + 1 y ．x ; y が°2 を満たしながら変化するとき， この最小値を求める． 13.5 ¡!AB = (5; 1; 7) であるから® : 5x + (y ¡ 1) + 7(z ¡ 2) = 0すなわち 5x + y + 7z = 10 1°．交点 Qの座標は (3; 0; 0)． (1) A はyz 平面上にあり，Qはx 軸上にあ るから OA ? OQ． ¡!OA ¢¡!OQ = 0を示してもよい． (2) Tの座標を (x; y; z)とする．OAを軸として回転し，OA ? OQであるから OA ? OT，¡!OA ¢¡!OT = y + 2z = 0 2°．OT=OQ であるから x + y + z = 9 3°． T が 平面® 上にあるから式°1 が成り立つ．この3 式を解いて(x; y; z) = (2; ¡2; 1) 13.6 (1) 2 3(k ¡ 3) (2) K を中心とする半径 2 3(k ¡ 3)の円 (3) 8p3 3 ¼ ヒント (1) KP = x ¡ k 3 + y ¡ k 3 + z ¡ k 3 = (x + y + z) ¡ 2(yz + zx + xy) ¡ 2k 3 (x + y + z) + k 3 = 2 3k ¡ 2 (3) 体積は ¼ 2 3(k ¡ 3)dk
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行列と行列式 x14. 行 列 14.1 j t j < 1 のとき 1 t + 1 1 t ¡t 1 14.2 証明略 ヒント 数学的帰納法による． x15. 1次変換 15.1 a = ¡4 または¡1; b = 0 15.2 各ベクトルのf による像を を付けて表すことにする．a? b =) a ? b す なわちa¢ b =) a ¢ b = 0である．基本ベクトル e ; e についてe ¢ e = 0である．(e + e ) ¢(e ¡e ) = j e j ¡j e j = 1¡1 = 0 であるから，(e + e ) ¢(e ¡e ) = 0 であり，j e j ¡ j e j = 0したがって j e j = j e j = k (k > 0)である．任意の ベクトル u= u e + u e について，ju j = ju e + u e j = u je j + u je j = k (u +u ) = k juj ゆえに ju j = kjuj，同様に他のベクトルvについても jv j = kjvj． 内積についても u ¢ v = k u ¢ v． u ¢ v ju jjv j = k u¢ v k jujjvj = u¢ v jujjvj であり，uとvの作 る角と uとv の作る角は等しい x16. 行列式 16.1 0 16.2 g(x; y; z) = xyzf (x; y; z); h(x; y; z) = (x + y + z)f (x; y; z) 16.3 (1) 解の例 x = k; x = 1 ¡ 2k; x = 3k ¡ 1; x = 2 ¡ k (k は任意の定数) (2) m = 0のときx + x + x = ¡2; m = ¡3のとき解なし． その他のとき x = ¡ m m + 3; x = x = ¡ 3 m + 3 x17. 行列の固有値と対角化 17.1 j a ¡ b j < 1; j a + 2b j < 1 のとき零行列 O: j a ¡ b j < 1; a + 2b = 1 のとき 1 1 1 1 1 1 1 1 1 : a ¡ b = 1; j a + 2b j < 1のとき 0 ¡1 ¡1 ¡1 0 ¡1 ¡1 ¡1 0 : a ¡ b = 1; a + 2b = 1すなわちa = 1; b = 0のとき単位行列E. その他のとき発散
17.2 (1) 4; p1 3 1 1 1 ; 1 (2重解); p1 2 0 1 ¡1 ; p1 6 ¡2 1 1 (2) P = 1 0 ¡2 1 1 1 1 ¡1 1 とするとP AP = 4 0 0 0 1 0 0 0 1 ; P A P = 4 0 0 0 1 0 0 0 1 ; exp(P (tA)P ) = e 0 0 0 e 0 0 0 e ; exp(tA) = P e 0 0 0 e 0 0 0 e P = e 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + e 3 2 ¡1 ¡1 ¡1 2 ¡1 ¡1 ¡1 2 17.3 (1) 1 ¡1 0 ¡1 1 ¡1 0 ¡1 1 (2) 2u + (1 +p2)v + (1 ¡p2)w 17.4 (1) 2 0 0 0 1 ¡3 0 ¡3 1 (2) 固有値 2; 4; ¡ 2,単位固有ベクトル 1 0 0 ; p1 2 0 1 ¡1 ; p1 2 0 1 1 (3) g = 2x + 4y ¡ 2z 17.5 (1) 証明略 (2) 直交行列 P が存在してA = P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 P と表される． P = p p p p p p p p p として p = a; p = b; p = c とおけばよい．
17.6 (1) 2, p = 1 ¡1 1 ; 1; p = 9 1 6 ; ¡ 1; p = 1 0 1 (2) X の各列を3次元ベクトルと考えて X = (x x x ) とするとき，M は X= x x x を成分とする9 次元ベクトル空間である．(x x x ) = A(x x x ) = (Ax Ax Ax )とするとき，X = x x x = ' (X) = A O O O A O O O A x x x で あり，' は 9次の正方行列 A O O O A O O O A で表される M の1次変換である． ' = P AP O O O P AP O O O P AP であるから，固有値は2; 1; ¡1; 2; 1; ¡1; 2; 1; ¡ 1 であり，固有ベクトルは (1)のベクトルを用いて p 0 0 ; p 0 0 ; p 0 0 ; 0 p 0 ; 0 p 0 ; 0 p 0 ; 0 0 p ; 0 0 p ; 0 0 p である．0 は3 次元零ベクトル． x18. 1次従属・1次独立と行列の階数 18.1 (1) a 6= 0; b 6= 0; b 6= c (2) a = §1 2; b = ¡c = § 1 2 18.2 (1) k = ¡7; たとえば a = ¡2 3a + 7 6a ; b = ¡ 2 3a ¡ 11 6 a (2) a ; a ; a が1次従属であるから 18.3 (1) rank A = 2 (2) a = 1 1 2 ; a = 1 ¡1 0 の張る部分空間
(3) x= k 1 0 ¡1 (kは任意)． x¢ b = 0. Ker A ? b (4) x= 4 ¡ t 4 t (tは任意) 18.4 f は行列 1 ¡1 1 1 1 0 2 ¡1 1 1 3 ¡3 で表される．A = (a a a a ) とする．行 の基本操作により A » 1 0 2 ¡1 0 1 1 ¡2 0 0 0 0 : a = 2a + a ; a = ¡a ¡ 2a と表さ れ，Im(f ) は 2 次元であり，基底は fa ; a g．b = ¡2 ¡1 1 0 ; b = 1 2 0 1 とすると Ax = 0 の解はx= xb + yb で表される．Ker(f )は2次元であり，基底は fb ; b g 18.5 (1) a = 1のとき階数3, a 6= 1 のとき階数4 (2) a≧1 (3) a = 1 のとき2 次元，基底f (1; 1; 1; 0; 0); (0; 0; 0; 1; 1)g a 6= 1のとき1次元部分空間，基底f (0; 0; 0; 1; 1)g 18.6 解の例 (1) w = 0 ¡1 1 0 ; w = 1 ¡1 0 1 (2) y = p1 3 1 1 1 0 ; y = p1 15 ¡2 1 1 3 ヒント (1) x + x + x = 0; x + x + x = 0 を解くと x = x ; x = ¡x ¡ x : x = 1; x = 0 として w ; x = 0; x = 1として w が得られ，任意の y2 W はy= x w + x w と表される (2) y ¢ w = y ¡ y ; y ¢ w = y ¡ y + y を解く．y = 0 として y = y = y : 標準化 jyj = 1 としてy が得られる．さらに
y¢ y = p1 3(y + y + y ) = 0 を付け加えて解くとy = ¡2y ; y = y ; y = 3y ;こ れを標準化して y 18.7 (1) 任意のf; g 2 V ,任意の定数kに対して，定積分の線形性によりT (f +g) = T f + T g; T (kf ) = kT f となる． (2) T = 2 3 0 2 0 ¡4 3 0 2 5 0 2 3 ヒント (2) (t ¡ x) ; (t ¡ x) t; (t ¡ x )t をtについて区間 [¡1; 1] で積分する．
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微 分 法 x1. いろいろな関数の導関数 1.1 証明略 ヒント (1)放物線上の点 P(x; y) と焦点F のx 座標の差は x ¡ pである． (2)点Pは焦点Fと準線x = ¡pからの距離が等しいからx + p = r. 2p + r cos µ = r (3) 点Qの偏角はµ + ¼ であるからFQ= 2p 1 + cos µ: 1 FP + 1 FQ = 1 p 1.2 (1) 証明略 (2) 1 p + 1 q = 4 (3) 5 4 ヒント (1) x =p3 + r cos µ; y = r sin µ を代入してr について解く． (2) PQ=p + q = 4pに注意 1.3 (1) f (x) = x ¡ b; f (x) = (p ¡ 1)x であるから，x = b で極小値を とる．条件により f (b ) = 1 pb ¡ b + 1 q b = 0 となるから，x≧0 でつねに f (x)≧0． (2) (1)の不等式でx = a a ; b = b b とすると a b a b ≦1 p a a + 1 q b b k = 1; ¢ ¢ ¢ ; n として和を作ると右辺の和 = 1 p + 1 q = 1 となり，(2) の不等式が導か れる． x3. テイラーの定理 3.1 数学的帰納法による．n = 1のとき(log x) = 1 x． nのとき成り立つとすれば， n + 1 に対して (x log x) = f(x ¢ x log x)g = f(x log x)g + x ¢ (n ¡ 1)x log x + x ¢ x 1 x = (n ¡ 1)! x + (n ¡ 1)fx log xg + (x ) = (n ¡ 1)! x + (n ¡ 1) (n ¡ 1)! x = n! x3.2 (1) 証明略 (2) (1 + x )y + 2(n + 1)y + n(n + 1)y = 0 (3) y (0) = 0; y (0) = (¡1) (2n)! (4) x ¡ x3 + x 5 ¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1) x 2n + 1 ¢ ¢ ¢ 3.3 (1) y = p 1 1 ¡ x ; y = x (p1 ¡ x ) (2) 証明略 (3) y (0) = 1; y (0) = 0; y (0) = f(2n ¡ 1)(2n ¡ 3) ¢ ¢ ¢ 3・1g (n≧1) 3.4 (1), (2) 証明略 (3) y (0) = 0; y (0) = (¡1) 4 (n!) ; (¡1) 4 (n!) (2n + 1)! x 3.5 (1) k が偶数2p のとき (¡1) C x ，k が奇数のとき0 (2) nが偶数 2p のとき(¡1) n! (p!) 2 ，k が奇数のとき0 (3) ¡ n + 1 n + 2 3.6 (1) 証明略 (2) d dx[ff (x)g ¡fg(x)g ] = 2f (x)f (x)¡2g(x)g (x) = 2f(x)g(x) ¡ 2g(x)f(x) = 0 したがって ff (x)g ¡ fg(x)g は定数．f (x) = 1 + x (2n)! だから f (0) = 1; g(0) = 0: ff(x)g ¡ fg(x)g = 1
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積 分 法 x4. いろいろな不定積分 4.1 (1) 2 log jx + x + x + 1j ¡ 3 2 log j2x + 1 + 2 x + x + 1j + x + x + 1 ¡ x (2) e x + 1 (3) log p e + 1 ¡ 1 p e + 1 + 1 ヒント (2)与式 = e 1 x + 1 ¡ 2x (x + 1) として部分積分法する． (3) pe + 1 = tとおく． x5. 定積分とその応用 5.1 4 p 2¼ 3 ヒント 円と双曲線の交点のx座標を ®; ¯ (0 < ® < ¯)とすると® = 2¡p3; ¯ = 2 +p3．®¯; ® + ¯; ¯ ¡ ® を求めて，回転体の式に代入する． 5.2 (1) k < x < k + 1 のとき 1 k + 1 < 1 x < 1 k．各辺を[k; k + 1] で積分すると 1 k + 1 < log(k + 1) ¡ log k < 1 k °1．k = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ; n ¡ 1 まで加えれば 1 2 + 1 3 + ¢ ¢ ¢ + 1 n < log n．k = nまで加えればlog(n + 1) < 1 + 1 2 + 1 3 + ¢ ¢ ¢ + 1 n °2 (2) 1 (3) 1° でk = nとして 1 n + 1 ¡ log(n + 1) < ¡ log n．両辺に1 + 1 2 + 1 3 + ¢ ¢ ¢ + 1 n を加えるとa < a ．°2 からa > log(n + 1) ¡ log n > 0．fa gは有界な 減少数列であり収束する． 5.3 n = 0のとき 1 24p3(3 p 3 ¡ 2)¼， n = 1のとき 1 4 log 3 2， n = 2のとき 1 24(2 p 3 ¡ 3)¼， n = 3 のとき 1 4 log 32 27 ヒント x x + 4x + 3 = 1 2 x x + 1 ¡ x x + 3 °: n = 21 のとき ° = 1 ¡1 1 x + 1 ¡ 1 + 3 x + 3 = 3 x + 3 ¡ 1 x + 1: n = 3のとき° =1 3x x + 3 ¡ x x + 1 5.4 証明略 ヒント 1; x; x ; x について証明する．一般の 3 次式に対しては積分の線形性に よる． 5.5 (1) S = 2n(2n ¡ 1) 4n + 1 S (2) S = (2n)! (4n + 1)f4(n ¡ 1) + 1g ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 5 1 ¡ 1 e ヒント xは減少で1≧x≧1 ¡ 1 e ，y は0≦y≦1でt = 0; ¼ のとき最小値0をと る．S = ydx dt = sin t e dt．2回部分積分してS = 2n(2n ¡ 1)S ¡ 4n S 5.6 (1) I = 1 2n ¡ 1 ¡ 1 2n ¡ 3 + ¢ ¢ ¢ + 1 3 ¡ 1 + ¼ 4 (n : 奇数) 1 2n ¡ 1 ¡ 1 2n ¡ 3 + ¢ ¢ ¢ ¡ 1 3 + 1 ¡ ¼ 4 (n : 偶数) (2) I = 3n ¡ 2 3n ¡ 3 ¢ 3n ¡ 5 3n ¡ 6 ¢ 7 6 ¢ 4 3 ¢ 2p3¼ 9 ヒント (1) x 1 + x = x (1 + x ¡ 1) 1 + x = x ¡ x 1 + x (2) 1 (x + 1) = x + 1 ¡ x (x + 1) = 1 (x + 1) ¡ x x (x + 1) (n≧2)
5.7 (1) ¼ 2 (2) 0 (3) (¡1) 2 2n + 1 (4) ¼ 2 ヒント (2),(3) 三角関数の和差を積になおす公式を用いる．
5.8 (1) 証明略 (2) x = sin µ とおけば，dx = 2 sin µ cos µ; 1 ¡ x = cos µ: ®を 任意定数として x = ®t とおけば，dx = ®dtであるから¡(s)は ¡(s) = ® e t dt °1 で与えられる．さらに ® = 1 + x，s = p + q と置き換えて ¡(p + q) = (1 + x) e t dt B(p; q) でx = t 1 + t とおけば，dx = dt (1 + t) ; 1 ¡ x = 1 1 + t であるから B(p; q) = t (1 + t) dt と表される．この式の t をx で置き換え，積分の順序を入れ換え，°1を用いて ¡(p + q)B(p + q) = ¡(p + q)x (1 + x) dx = e t dt x dx = t e x dx t e dt = ¡(p)t e dt = ¡(p)¡(q) 5.9 (1) 図略 (2) s < ¡1のとき 0，¡1≦s≦0 のときe (e ¡ e )，0 < sのと き e (e ¡ 1) (3) s = 0 のとき最大値 e ¡ 1 ヒント (2) s < ¡1; 0≦t≦1 のとき f (t + s) = 0: ¡ 1≦s≦0; ¡ s≦t≦1の とき f (t + s) = e : 0≦s; 0≦tのとき f (t + s) = e 5.10 (1) f (x) = f (t)dt = f (x); f (x) = 2 (x¡t)f(t)dt = 2f (x) (2) f (x) = C x (¡1) t f (t)dtとして微分する．f (x) = C (n¡r)x (¡1) £ t f (t)dt+ C x (¡1) x f (x)． (n¡r) C = n C ; C (¡1) = 0で あるから， f (x) = n C x (¡1) t f (t)dt+x f (x) C (¡1) x f (x) = n (x ¡ t) f (t)dt = nf (x) (3) f (x) = n!f (x) 5.11 (1) S = ¼apa + h + ¼a ; V = 1 3¼a h; r = 0; z = 3 4h (2) h = 2 p 2a
(3) h = a(a + b ) a ¡ b ヒント (1) 円錐の頂点を z 軸の原点，重心の方向を正方向にとる．円錐は直線 y = f (z) = a hz (0≦z≦h)を z 軸のまわりに回転した図形と考える．そのときS = 2¼ f (z) 1 + ff (z)g dz; V = ¼ ff (z)g dz．これらの値は初等的にも得られる． 回転体は軸に関して対称だから r = 0; z = 1 V ¼ zff(z)g dz
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偏微分と重積分 x6. 偏導関数 6.1 証明略 ヒント @ ¡¡! jAPj @x = x ¡ a jAPj ; @¡¡!jAPj @y = y ¡ a jAPj 6.2 (1) @f @x = f (r) x r ; @f @y = f (r) y r ; @ f @x = f (r) x r +f (r) 1 r ¡ x r ; @ f @x@y = f (r)xy r ¡ f (r) xy r ; @ f @y = f (r) y r + f (r) 1 r ¡ y r (2) f (r) + f (r) r 6.3 証明略 ヒント たとえば @z @t = ¡cf (x ¡ ct)g(x + ct) + cf (x ¡ ct)g (x + ct) 6.4 (1) 1 ¡ 1 2(x + y )¡ 1 8(x + y ) ¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1) n (x + y ) + ¢ ¢ ¢ (2) 1+ax+ 1 2!(a ¡b )x + 1 3!(a ¡3ab )x +¢ ¢ ¢+ 1 n! (¡1) C a b x +¢ ¢ ¢ x7. 偏導関数の応用 7.1 (1) k = a b b X + a Y とおくとき x x = ka 1 ¡ Y b ; y y = kb 1 ¡ X a (2) 円 X + Y = a + b ヒント (1) x X a + y Y b = 1 1°, x a + y b = 1 2° (i = 1; 2)から x + x = 2kX; y + y = 2kY とおくことができ, kは上の値をとる．°2 の i = 1; 2に対する2 式から x x ; y y を解く．(2) 接線の直交条件から X + Y ¡ a ¡ b = 0 を導く． 7.2 焦点 F(p; 0) を通る直線を x = ny + p とする．放物線との交点の y 座標は y = 4p(ny + p); y ¡ 4pny ¡ 4p = 0の解であり，2 つの解の積は y y = ¡4p ．交点 (x ; y ); i = 1; 2, における接線の方程式はy y = 2p(x + x )．xとyの係数どうし の積は 4p + (¡y )(¡y ) = 4p ¡ 4p = 0 であり，直交する． 7.3 (1) 7x ¡ 8y = 0 (2) 点(x; y) = §p5 2; § 5 p 2 (複号同順) で最大値25 7.4 (1) z = 1 ¡ 2xf 2zf ¡ 1; z = 1 ¡ 2yf 2zf ¡ 1 (2) 証明略 x8. 重 積 分 8.1 a > 0; b > 0 として 1 (x + y) = 1 (m ¡ 1)(m ¡ 2) 1 2 ¡ 1 (a + 1) ¡ 1 (1 + b) + 1 (a + b) ! 1 (m ¡ 1)(m ¡ 2) (a ! 1; b ! 1) 8.2 25 p 5 ¡ 31 120 ヒント 領域 D を放物線 y = x で 2つに分割し，下側ではx を，上側ではy を 重積分する．直線 x + y = 1と放物線の交点の x座標を ® として計算するとよい． 8.3 ¡16 9 ¼ 8.4 (1) 8¼ (2) 81 32¼ ヒント (1) 底円の半径 2，高さ4 の円柱から曲面S の下側の部分0≦z≦x + y を除いた体積である． 2 ¼ ¢ 4 ¡ (x + y )dxdy; D : x + y ≦4 (2) (1)の立体の平面z = x + 2 の下側にある部分の体積に等しい．その平面による 曲面 S の切り口の xy 平面上への正射影は円 x + y = x + 2: x ¡ 1 2 + y = 9 4． 残った水の体積は V = fx + 2 ¡ (x + y )gdxdy = 9 4 ¡ x ¡ 1 2 ¡ y dxdy; D : x ¡ 12 + y ≦9 4 点 1 2; 0 を極とする極座標になおすと V = 9 4 ¡ r r drdµ = 2¼ 9 8r ¡ r 4 = 81 32¼
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微分方程式 x9. 1 階微分方程式 9.1 (1) y = x + p 3y p 3x ¡ y (2) dr dµ = p 3r (3) r = e ヒント Pの極座標を (r; µ) とすると tan µ = y x．接線の傾きは (1) dy dx = tan(µ + 30 ) = tan µ + tan 30 1 ¡ tan µ tan 30 = p 3 tan µ + 1 p 3 ¡ tan µ = x +p3y p 3x ¡ y °1 (2) dy dx = d(r sin µ) d(r cos µ) = sin µ dr + r cos µ dµ cos µ dr ¡ r sin µ dµ = tan µ ¢ r + r r ¡ r tan µ r = dr dµ °2 1 °= 2°とおいて解くと r =p3r． (3) 一般解はr = C ． 点(0,1)の極座標は 1; ¼ 2 ． 条件のもとに C = e x10. 2 階微分方程式 10.1 (4) y = 1 2(a + b ¡ 1)e + 1 2 a ¡ b + 1 3 e + 1 3e 10.2 (1) z = A sinpmt + B cospmt (2) a = §1; b = ¨1 (複号同順) (3) x = cos t + cosp3t; y = cos t ¡ cosp3t10.3 (1) f (x) (2) f (x) = ¡ sin x ヒント ラプラス変換の問題であるが，次のように解くこともできる． (1) d dx (x¡t)f(t)dt = d dx x f (t)dt¡ tf (t)dt = f (t)dt+xf (x)¡xf (x) (2) 両辺を微分すると¡f (x) = 1 + f (t)dt; ¡ f = f(x): この一般解は
f (x) = A sin x + B cos x: f (x) = 0; f (0) = ¡1 であるからf (x) = ¡ sin x
10.4 (1) 証明略 (2) nが偶数のときy (0) = 0, nが奇数のとき y (0) = f(n ¡ 2) ¡ a gf(n ¡ 4) ¡ a g ¢ ¢ ¢ f1 ¡ a ga ヒント y = a +a x+a x +¢ ¢ ¢+a x +¢ ¢ ¢ とおき，項別微分して(1)の微分方程式に 代入し，係数を比較するとa = 0; a = a; n(n ¡1)a = f(n¡2) ¡a ga (n≧2)が 導かれる．y (0) = n!a 10.5 (1) テイラーの定理により f (x + h) = f (x) + f (x)h + 1 2f (x + µ h)h ; f (x ¡ h) = f (x) ¡ f (x)h + 1 2f (x ¡ µ h)h (0 < µ ; µ < 1) が成り立つ．(1)の 式 = lim 1 2ff (x + µ h) + f (x ¡ µ h)g = f (x)．一方条件式を代入すると(1)の式
= lim 2f (x)cos h ¡ 1 h = ¡f(x)．したがって微分方程式は y = ¡y (2) f (x) = A sin x + B cos x 10.6 (1) u = x + y; v = x ¡ yとおくと u + v = 2x; u ¡ v = 2y であり，式 °1 は 2 ° になる．(2) 式 °2 をx で偏微分すると f (x + y) ¡ f (x ¡ y) = 2f (x)y 4°， y で偏微分するとf (x + y) + f (x ¡ y) = 2f (x) 5°． °5 をy で偏微分すると式 °3 f (x + y) ¡ f (x ¡ y) = 0が導かれる．°4を yで偏微分すると f (x + y) + f (x ¡ y) = 2f (x)．°3 を用いると f (x + y) = f (x)．任意のyについて成り立つから，f (x) が定数であることを示している．f (x) = A 6°とおく． (3) °6 を2回積分すると f (x) = Ax + B; f (x) = 1 2Ax + Bx + C．初期条件によ り A = 1; B = ¡1; C = 1 であるから f (x) = 1 2x ¡ x + 1
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複 素 数 x11. 複素数と複素数平面 11.1 n について数学的帰納法で証明する．n = 1 のとき両辺とも jz ¡ w j であり， 成り立つ． n = k のとき成り立つと仮定する． jz z ¢ ¢ ¢ z z ¡ w w ¢ ¢ ¢ w w j = jz z ¢ ¢ ¢ z (z ¡ w ) + (z z ¢ ¢ ¢ z ¡ w w ¢ ¢ ¢ w )w j ≦jz z ¢ ¢ ¢ z (z ¡ w )j + j(z z ¢ ¢ ¢ z ¡ w w ¢ ¢ ¢ w )w j = jz z ¢ ¢ ¢ z jjz ¡ w j + jz z ¢ ¢ ¢ z ¡ w w ¢ ¢ ¢ w jjw j [ jz z ¢ ¢ ¢ z j≦1; jw j≦1であるから] ≦jz ¡ w j + jz z ¢ ¢ ¢ z ¡ w w ¢ ¢ ¢ w j [数学的帰納法の仮定により] ≦jz ¡ w j + jz ¡ w j = jz ¡ w j よって n = k + 1 のときにも成り立つ．したがってすべての自然数 nについてこの 不等式が成り立つ．付録 確 率 x1. 確 率 1.1 l w sin µ; 2l ¼w 1.2 (1) 17 36 (2) 5 36 (3) 13p3 72 1.3 A =「Aの出力がi」，B =「Bの出力がi」(i = 0; 1) とする． P (A ) = a; P (A ) = 1 ¡ a P (B jA ) = b; P (B jA ) = 1 ¡ b; P (B jA ) = 1 ¡ c; P (B jA ) = c (1) P (B ) = P (A )P (B jA ) + P (A )P (B jA ) = a(1 ¡ b) + (1 ¡ a)c (2) P (A jB ) を求める．乗法定理により P (B )P (A jB ) = P (A \ B ) = P (A )P (B jA ) であるから， P (A jB ) = P (A )P (B jA ) P (B ) = (1 ¡ a)c a(1 ¡ b) + (1 ¡ a)c (3) p = P (B ) = a(1 ¡ b ¡ c) + c n回目の出力が 1である確率 p はaの代わりに1 ¡ p として p = (1 ¡ p )(1 ¡ b ¡ c) + c = 1 ¡ b ¡ p (1 ¡ b ¡ c) p ¡ p = ¡(p ¡ p )(1 ¡ b ¡ c) q = p ¡ p ; p = 1 ¡ a; r = ¡(1 ¡ b ¡ c) とおくと q = p ¡ p = a(1 ¡ b ¡ c) + c ¡ 1 + a = c ¡ 1 + a(2 ¡ b ¡ c) q = r q = r fc ¡ 1 ¡ a(2 ¡ b ¡ c)g p = (p ¡ p ) + (p ¡ p ) + ¢ ¢ ¢ + (p ¡ p ) + p = q + q + ¢ ¢ ¢ + q + p = 1 ¡ r 1 ¡ r fc ¡ 1 + a(2 ¡ b ¡ c)g + 1 ¡ a = 1 ¡ f¡(1 ¡ b ¡ c)g 2 ¡ b ¡ c fc ¡ 1 + a(2 ¡ b ¡ c)g + 1 ¡ a a = 0:5 のとき p = 1 ¡ f¡(1 ¡ b ¡ c)g 2 ¡ b ¡ c f0:5(c ¡ b)g + 0:5 (4) c = 1; 0≦b < 1のとき
p = 1 ¡ b 1 ¡ b f0:5(1 ¡ b)g + 0:5 = 0:5(1 ¡ b ) + 0:5 ! 1 (n ! 1) c = 1; b = 1のとき p = 1 ¡ a; p = p = 1 ¡ a ! 1 ¡ a (n ! 1) x2. 確率分布 2.1 g + c + p = 1; g + c + p = 1 である． (1) E(A) = g c + c p + p g (2) p = 0; g = 0とすると g = 1 ¡ c ; p = 1 ¡ c : E(A) = g c + c p + p g (3) c = c = c としてE(A) = (1 ¡ c)c + c(1 ¡ c) = ¡2(c ¡ c): c = 1 2 のとき最大値E(A) = 1 2 (4) c = c = 1 2 としてg + p = 1 2; g + p = 1 2 E(A) = 1 2g + 1 2p + p g = 1 2g + 1 2 1 2 ¡ g + 1 2 ¡ g g = 1 4 + 1 2g ¡ 1 2g g = 1 4 + g 1 2 ¡ g g = 1 2; g = 0 のとき E(A) = 1 2 その他の場合 1 4≦E(A) < 1 2: E(A) + E(B) = 1であるからBの方が有利 付録 統 計 x4. 正規分布 4.1 L(µ) = µ x x ¢ ¢ ¢ x = µ (x x ¢ ¢ ¢ x ) log L(µ) = n log µ + (µ ¡ 1) log(x x ¢ ¢ ¢ x )
d dµ log L(µ) = n µ + log(x x ¢ ¢ ¢ x ) この式を0とおいて解くとµ = ¡^ n log(x x ¢ ¢ ¢ x )
4.2 (1) x r! = e あるから， p = e ¹ r! = e ¹ r! = 1 (2) E(X) = rp = re ¹ r! = e ¹ ¹ (r ¡ 1)! = e ¹e = ¹ V (X) = r p ¡ ¹ = r(r ¡ 1)p + rp ¡ ¹ r(r ¡ 1)p = e r(r ¡ 1)¹r! = e ¹ (r ¡ 2)! = e ¹ ¹ r! = ¹ ∴ V (X) = ¹ + ¹ ¡ ¹ = ¹
