(4)影で、虚数を図示する考え方(その2) : 実像f(x)の微分係数f' ^(a+bi)、定積分∫^<c+di>_<a+bi>f(x)dxを図示

(1)

NII-Electronic Library Service

圃

　　　　　　　　

影

で

、

虚数

を図示

す

る

考

え

方

　

（その

2

）

　

実

鰍

・_）嫐

欄

ノ’（・＋う’

_薦

分

瓢

_ノ（x_）・・tを図示田中成和

9

．

i

雪司図形の影　影の考え方 ’その 1’では平面図形の影を扱った。残していた空間図形の影を、ここで扱っておく。そのあとで、虚数で処理した微分係数を図示する。また、虚数で処理した定積分の図示も考えたい．空間図形における影のつ _{くり}かたは、平面図形のときと同様に、具現化影なら独立変数・未知数について公式 1・r2 を適用し、他方、真影はθ＋tiを代入することでそれを得る。

　

従来、球面 x2 ＋_ン2 ＋z2 ＝ r ユに対して、平面z ＝

O

ならば切り口は実の円xz ＋

y1

＝ r2 になること、また、平面z ＝

k

が一r _≦

k

_≦rで変化すれば、切り口の集合が球面になることは既に周知のことである。ここでは、実の球面と実の平面が離れている場合の切り口と、切り口の集合を考える。〔例 18 〕

　

球面xz ＋_ア2 ＋z2 ＝ rl ，平面Z ＝

k

，　

lkl

≧rによる交わりを、影の共有点で図示せよ。（解）連立から2つの実像の交わりを求めると

　

x2 ＋ _アz ＝　r2　−

kZ

＝一（

k2

− 〆）_≦

O　　　　　　　

z ・ x ・　＋_，・　・

（

贏

ゲ

ー踟・

　

k 平面z ＝

k

に対する独立変数はx，γの2種類があって、球面をx，アの

2

次式

　

z2 ＝ −x2 _＋

Ox

_＋

O

−

y2

_＋

Oy

_＋

0

＋r2 と考える。これより、重解点は

　　

x ＝ θ ．＝

0

，

　　

ア＝ θ γ ＝

0

・_{真影} 　x ＝

0

＋ ti，_ノ＝

O

＋si を代入して、　 2　　　 2 　　　 2　　　］　 z　＝ t_十 s十 r

　

∴

　

t2＋ S2 −z2 ＝ −r　 2

　

…’影の_双曲_{面「} ・_{具現}_化_影

_球_面へ _{公式}1_を適用して

l

　

Z2

＝一（一．

Y2

）一（一｝12 ）_＋厂2

　　　　

i

　　　 t 　　　＝

x2

＋

yZ

＋rZ 重解点

lO

を基準とした媒介変数表示をとれば

X

＝O＋ t，

Y

＝

0

_＋ sを代入し_て

z

・＝〆＋。・＋．2

　　

嘱

　∴　t2＋ s2 ＿Z2 ＝＿r1 　　一一一・一一一・一」！彡一」’一一’ イ、、　　、_、 ●●r鹽一！　　　　x 一一“ 一『、−L−＿　　　　　丶　　　　　　丶丶こ．_x

　　　　　　　

， ’ ！　一一一一一”

1 　　　　

幗 49）よって、

k

が変わるとき球面と平面の交わりは切り口が円で、双曲面の形をした影になる。練習 12．球面x2 ＋（_アー

3

）1 ＋z2 ＝ rl と平面x ＝

h

，　

Ihl

≧r による交わりを、影の共有点で図示せよ。なお、

_y

＝

ep

Z ＝

0

：の値に注意して、真影や具現イ匕影の式を導け。練習 13．双曲面 x2 ＋ _ア2− z2 ＝ −

1

と平面z ＝

k

，− 1_≦

k

_≦1による交わりを、影の共有点で図示せよ。一

₇₀

一 N工工一Eleotronio _Library

(2)

NII-Electronic Library Service 〔例 19 〕放物面 _（x − 2_）2 ＋_ン2 − z ＝ Oと平面z ； −

k

，

k

_≧

0

との交わりを、影の共有点で図示せよ・

F

（解）連立の解は

　　

（x −

2

_）2 ＋_ア2 ＝ −

k

＝（

VEi

） 2 となり、平面による切り口が中心_（

2

，

0

，

k

），半径一

Jilli

の影による円を示す。重解点は関数

　　

z ＝（x −

2

） 2 ＋_ンz

　　　

＝ x2 − 4x ＋4 ＋_ア2 からx ＝ θ ．＝

2

，

　

ア＝ θ_ア＝

0

とオ_）かる。・_真影_x ＝

₂

＋ ti，_ン＝

0

＋ si を放物面の式へ_{代入す} れば、点_（

2

，

0

，

0

）で実像から潜る影として次式を得る。

　

z ＝ −t2− s2 ＝一（t2＋s2）

　　　　

一一一一「・_{具現嫐} _x_，

y

による漱式へ _公式1を適用し

l

Z

＝ −

X2

　一・

X

・・一・・1・・_（・一・

X

_）一・2i 　　＝一丿ぐ Z ＋

4X

＿

4

＿｝72 　　　　　　

1

　　　　e致1

　　

・一α 一2） 2 _一 γ2

i

これに

X

＝ 2＋t ，

r

＝ 0＋s を代入して

　　　　

｝

　Z

＝ −t2− s2 ＝一（’2＋ sコ_）

　　

一一一一一一」 y

　　　　　　

よって、

k

が変わるとき放物面と平面の交わりは切り口が円で、実像の逆放物面の形をした影になる．〔例20 〕放物面x2 ＋_ン2−7 ＝

O

と直線x ＝

y

＝ z −

1

との実数解を、実像による共有点で図示せよ．また、放物面上、重解点に対する点 M で実氤から潜るこの放物面の _影の式を求め_、_影の_図を描け。（解）連立の解は、与えられた条件から　　x2 十 x2 ＿x ＿

1

＝

0

　　2x2 − x − 1＝

0

　　（2x ＋ 1_）_（x − 1_）＝

0

これより実数解を点の座標て示せば、2点　　　

l

　P （

1

，

1

，

2

），　

Q

（ −_r ，一一，一_）　　　　　　　　　

2

2 y

また、重解点は　　　 l　　　　

l

x ＝　

o

・　＝

互

・ア＝

ら

＝

1

となるかち、対する点 M は　　 l　 l　 l 　　　、　　　、　　　、 M _（一，一，一_）　　 4　 4　

8

・_真影

　

虚数X ＝

e

， r ＋ti，　

y

＝

61

，＋siを代入し　　　つ　　　　　　　　　　　　　　　7 z ＝_（θ ．＋の凵＋ _（

_ρ

，＋si） − 　　　

l

　　，　

1

　　っ　　l 　　　

l6

2

16

2

　　　 8 z ∴，「，：　　 1 ：「．辱■ … 1　丶． Q ； 11　　　鹽　　丶．P 婀一一← 一一一一一一

鈷

M

　　．。

7i2

董丶　■ 舜！！₀ _議_．

B

さ

一戦　：、丶！！　 ’・．　：　噛麁　陰．．．．＿．二’ 丶！！ 1　　 1 　一丶、、　　　一一

六

〆　　　一　　　　D 、、氈＿＿曙＿一一一’ 『、　、　　、

二

）

_、 11 ズ！ _（_図₅₁_）　　　　，　　，　　1 ＝一＋− ti− t；＋一＋− si　− s− ＝（一一t− − sつ＋一（t＋s）i 　　　 2 　　　＝ S．Value　 of 　it．一一一一一「　　　　　

1

　 −一一一一一｛、、一

₇₁

(3)

NII-Electronic Library Service ・_{具現化影} _関_数₁ ＝ X2 ＋

ノ

に対して重解点θ ．，

ρ

vの饐を用いて・・ −

X

・＋・

X

・・−

2

・

1

・

照

一・

X

）−

7

・＋・… 一・・

1

・・．（

曙

一_・

_y

_）

1 　

； −

xi

・

x

÷

yi

・・−

1

＝一（

x

−

；

）1 一（

弓

ジ

・

去

　

_・

i

こ罎現燭を媒

nv

・_，・sで覯するなら．　

X

−

e

．・ t，　

y

・

e

．・・を似して

　

i

・・

唱

・t−

　

s

）

　

2

　

一

〔

去

…

£

＋

i

‘ 一

（

’−

t

）

2 −

←

一

鋸

i

　　　 t 致1

　

＝一

⊂

t ・一

卦

諭

垂

号

・＋

諭

・

去

　　　　　　

i

・

G

− t・一

り

・

；

（

…

）

　　

一一… 一一

」

よって、影の式としては真影、具現化影、図は（図 51 ｝のように上に凸の影の放物面を得る。練習14．_放物面x2 ＋

y2

−z ＝ Oと、平面x ＝ 1上の直線z ＝ 2_ンー1との交わりを、影による共有点で図示せよ．（解）解くと

₁

＋_ア2 《

2

_アー

1

）＝ 0

　　　　

ン2 −

2

ア＋

1

＝ − 1

　　　　　

0

，−

1

）2 ＝ −

1

， ∴ ン＝

1

±

i

これより、解を点の座標で示せば2点　A _（

1

_，

1

＋i，

1

＋

2i

_）_，B_（

1

_，

1

−

i

_，

1

−

2i

_）　　　つとなる。従属変数z は関係z ＝〉・』_＋

1

で示されるから、重解点

_y

＝

e

，＝

1

とあわせて以下の影の式を得る。・_{真影}

_z_（

₁

_＋ _の＝（

1

＋の 2 ＋ 1 　　　 1

　　　　　　　

＝

2

一广＋ 2ti

−』

₁

　　　　　　　

＝ s・val_{・・}

2

− t2_＋

2t

− −

1

・_{具現化影}

_Z

＝−

_Y

コ＋

1

−

2

・

1

・

1

（

1

−

2

ア）［　　　 t 　　　　　　；＿

Y2

＋

4

｝厂＿

1

　　　　　　　1 を得る。これに実数

Y

＝ 1＋ tを代入して

　　

l

Z

_（

1

＋t）＝一（

1

_＋ t）2　＋

4

（

1

＋t）−

1 　

　　　 7　　　　　　　　　　　　　　1 　　　　　＝

2

＋

2t

− t−　　　一一一一一一一1 γ 　　　（図52）よって、求める虚数解は（図 52）の2点 A，Bで図示される。　ところで、平面の影について特に触

h

ずにきてしまったが、平面の影はそれ自身に重なる平面になる。平面z ＝

k

のとき、任意の重解点（θ ．， θ．， 0）に対する平面上の定点に関して，平面の各点を点対称移動すれば再び同じ平面になることが容易にわかる．練習 14，放物面 x2 ＋

y2

−g＝

0

と、平面 x ＝

1

上の直線z ＝

0

との解を、影による共有点で図示せよ。（図 52 ＞に書き加えて完成せよ。練習 15．球面x2 ＋

y2

＋z2 ニ

2

と、平面x ＝ 1上の_直線

y

π

」

との解を、影による共有点で図示せよ。一

₇₂

(4)

NII-Electronic Library Service 10．微分係

taf

’ （a ＋

bi

_）の図示

　

関数ア＝

f

（

X）のとき、実数X ・＝ Cに対す_る微分係数

f

’（のの_図示_は、_周知_{のこ} _とで_{ある}。_{例えば}

　　　　　　　

ン＝ノ（x）＝　x2 のとき、x ＝ −

1

＋ 2 ＝

1

に対する微分係数

f

’（

1

）　　　　　　　　　　　　　　を図示せよとあれば、

　　　　　　　

実像上の点 A （

1

，

1

）での接線の傾きm ＝

ft

（

1

）＝

2

・1＝

2

　　　　　　となって、左図（図 53 ）のように示すことができた。　　　　　　　いま影の研究では、たとえて言えば微分係数_ノ’ （−

1

＋

2i

）を図示　　　　　　可能にすることである。そのために、以下のことを約束する．　　　　　　（1）微分における諸々の計算公式はそのままとする．　　　　　　　

1

階の微分係数は接線の傾きで、2次導関数は傾きの変化率で　　　　　　　　　　　　　　　　　あることもそのままとする。　　　　　　　　　　　　　　（3）虚数と影の研究によれば、微分したあと、虚数 a ＋

bi

を代入す　　　　　　る時点で、影の微分定数・

i

を新たに工夫する。2階微_分_な_らば

　　　　　　

・i2_{を施すと}_す_る．ただし、微分で次数の下がる関数を対象とし、　　　　　　指数・対数関数は除く。留意；虚数a ＋

bi

は、重解点がx ＝ θ＝ a であることを示す。 θ； a に対する実像上の点で影へ潜る．〔例21〕 _y ＝

f

（x）＝　x2 _{とするとき}_、_{微分係数}

f

’ （−

1

＋

2i

）を求め、それを図示せよ。（解｝はじめに影上の点を求めると　　　　

　　

γ＝ノ（− 1_＋

2

_」）＝（−

1

＋

2i

） 2

　　　　

　　　＝−

3

−

4i

＝S．Value −

7

影の点 B _（−

1

＋

2i

， −

₃

−

_4i

_）_＝S．_Value_B _（

₁

_，−

₇

_）

　　

・_真_影

　yG1

＋ ti）＝（−

1

_＋ ti）2

　　　　　　　　　

　　　つ　　　　＝ 1− t’− 2ti 　　　　　　　 − 一一一

1 　　　　　　　　

＝S．value　

1

− t2−

2t　　

− 一一一

1

・_{具現化影}_θ＝ −

1

により

F

＝ −

X2

_＋ _・

X

_・_・一_・・

1

・（−

1X

−

1

−・

X

_）　　＝ −

X2

＿

4X

＿

2

この具現化影上

X

＝

1

に対し実の点（

1

， −

₇

）を得る。1 また、この具現化影を媒介変数’で表現すると

　

／_（−

1

＋_り＝一（− 1＋ t）2 − 4（−

1

＋ t）−

2

　　　　　　＝

1

＿tZ ＿2t　　　　　　＿＿一一．一．一一．＿＿＿＿＿＿1

　

さて、1次導関数

_y

’ ニ

f

’（x）＝（x2 ）’＝

2x

から

　　　　　　

　　　冫〆＝

f

’（− 1＋2_り＝ i．2（− 1＋2i_）　　　＝ − 4 − 2i 　　　＝ s．Value−

6

よって、求める微分係数一

4

−

2

ノは、（図 54 ）の影上の点 B （1 ，− 7｝におけ_る接線の傾_{きを}_示す。練習 16．y ＝

f

（x）； x2 のとき、次の虚数x の値に対して影上の点とその点における微分係数とを求めて、図示せよ。（図 54 ）を利用せよ。　　（1）　x ＝ − 1＋i_（2_）_x ＝ −

1

−

2

’ 練習 17．ア＝〆（x）＝ xz のとき、虚数_κ ＝ −

2i

に対する影上の点と

f

’←

2i

）とを求めて、図示せよ．練習 18．

_Y

＝_ノ（x_）＝ xz −

2x

のとき、　x ＝

3i

に対する影上の点と

f

’（

3i

）とを求めて、図示せよ。｝

ii

｝騨照

隼

麟

｝賺｝黼 17 従来の実像 ‘こおける微分係数「｛「揖、 π：F 「購嚢

著

葺

iiiiil

褥張

liili

講

葺

1；

1 _畢

_蕪

烈

無 i

｝

i

…照 li「 L…｝｝彌饕と｝_F享

｝

準

i

蕘_卜｝｝拝尸「

i

舞二’「’ ，　　幽；胃1 雌

罪

i

｝韮蠣，臣鬚

ii

滋゜「　　ゴロン玉　［；1ひど、＝ x 　淵

盛

汁鉦i雛鄲謄

i

粥照　　　「　　　 r ．　伽　　」幽　 F 　「　　畠　　　　　．　　 r 　　，　　「．　，　 r1 輯・_！_｝漸ilii 「1_；：蘇 ll｝i ・・L・

籔

｝

1

：，二iエ　　，　　 i！li

飜

無

諂

・糠 1・li 黷；

il

， ’ 1嘉惟… 1．ギ｛撲

陣

羅

i汁三 ii_鬘井，r91 紺　↑　1π幽1旨

瑞

甜

ii

聽　仁

蒲

；｝嬲

i

臓

幗 53）

1 鞭

_｛

職

一

₇₃

(5)

NII-Electronic Library Service 〔例22〕ン＝ノ（x）；　x2 ＋

2x

＋

3

のとき、重解点θ＝

0

に対する影の極値を求めて、図示せよ。

羃

壅

… 冖

憐

指 r

莚

_、、

擬

職齟・・卩〒_・・ rI 」 ° 四ニド冂_F 目_．鳶ヨ重_中卑_・ … …_『_』，．_．層．　 r 　　．　」ー二．．　 F ．_，、門_冂_，冖冖 F ・・ −・幽_・　　_「_」卩・ p ．　・_・ 1 ’ 円　　　_町　一、　° 幽翼ド 7_” 博 r 諺： ° ： ”₋ ；齟門 “_．層　　 1 　　 1 　　 7 　　」概

鑾

，，．．＋_”_． ” 謂_”

2

_．等＋　乂　　　．　　胃　　 − 　　「　 − 　　　_，　「　_，「 ” 三琵」 ∴ ” 川欝匹　．　　　　　 @@ 　． F 　．乙　　 IP 　， F − 篝_… ∵ 操ヨ

<TAB><TAB>

巨穩_蒹

<TAB><TAB>h

卑゜ <TAB><TAB> 田 ” 囗卩帯ﾙ・：旺 ” <TAB> ” ド舞 U に d … … … … <TAB> ， ” 2 ▼ μ_” 「ド「_：、， − 層 … ！　冂卩「冖隅　　．，　亠 <TAB><TAB>_．　　」　　− 　　卩　　．　₋ 　　．齟 ” 購゜・・　噛゜ ■ 「「＝． ° … 彗茸ド＜

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，

　

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u

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．

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U

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口

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<TAB>

”

…

F

r

（

°

<TAB><TAB><TAB><TAB><TAB><TAB><TAB><TAB>

<TAB>

を

ち

黶舵

Q

り司斥篇鰍懈尉　紛

<TAB>

…

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… 1c<TAB>O 血早丶■勘鼬ズ

<TAB><TAB><TAB><TAB>

鑽譌卿鋤鷺ギ瑟2 示＋　＝　＝こ騰… 濠難鰾耄賊

r

燃ア妖よに・・　媒　　と

<TAB><TAB>

ガ餌＝X<TAB>_魄噸黝

<TAB>

髄

<TAB>

鵬 <TAB><TAB><TAB><TAB><TAB><TAB>練習

19

．y ＝

f

（

x

）＝x2 ＋

2x

＋

3

のとき、重解点θ ＝1_にする影の極値を求めて、図示せよ。習

20

．

y

_ニノ（

x

_）＝− x2＋

3

のとき、重解点θ＝

1

に対する影_の極値を求めよ。また

f

「（

{3

ゴ）を求めよ。ついで、そ

らを

図示せよ。〔例23 _〕 ’ （

x

）＝　

x3

とす _ると_き、微_{分係}数

f

（

0

＋

i

）を求め、そ_れを_図示せ_よ。（）_はじ

_め

に影上の点を_求めると　　ア_＝／_（

i

）＝

i3

＝−_i

　　　　　　　　　＝

s

．

value

− 1 影の点を P と

し

、

_P

_（

_i

_，

₋

_i

）となる。・真影　y（ 0 十tj）＝（

0 ÷

3 ＝

−

t3i 　

　

　− ・

一_「　　　　　

　　　　　　　

＝S ．val 。

−

t

・．．

4

・具現化影　θ ＝

0

により、

Y

・・　＝

x

・

x2

に対し｛媒颪鋸＋°綱ぜ

i

7 O

＋

t

）＝　 −

t3

　　　−一一一一一」さて、与えちれた関数の1〜煽関数

y

’＝　

3x2

から微分_係数_ノ ’ （

0

十

i

）＝’・

3

（

0

＋

j2

＝−3i 　　　　　　　　　　　　　　＝

S

．

value

−

3

よって、求める微分係一

3i

は、_（図

56

_）

の

影上_の点

P

（ ’ ，一のにおける接線の_傾き_を示す。練習21 ．

Y

ニノ（

j

＝ x3と_する

とき

_、

微

分 _係数

f

’（

O

− i ），ノ’（0 ＋

2i

）_を_求め_よ．練習22 ．ン＝

f

_（

x

）＝（x−

1

）3とするとき、分係数

f

’（

1

＋’）を求めて、_図示せよ．練習

23

．ン＝

f

（

x

）＝

x4

とするとき、微分係数

f

（ 0＋i_），

f

’_←i _），　 f’（

2i

）を求めよ．　

g

（

x

）＝　x5 とするとき、微分係数

g

’ （− j ，_g ’（ i ）を求めよ。　　　　　　　　　　 @ 　　　　．練習 4 ． y＝_f （ X ）； X3 − X2 とするとき、 W 数 f ’ （ i ） ≠ ﾟよ。それを影と示につ

と

めよ。 _闕ｯ，ロ，霧冂．　」　 P 　．　り　ｹ． @ 鹽　」 <TAB> 炉_卜層「 F 」

　

層・ <TAB>4 ロ「．，　」 v 　層　 P 　」 _v ° 　」 <TAB><TAB><TAB> 、

X

」 °c：瞬<TAB>「”ににト」 …ー求[<TAB><TAB><TAB><TAB> 柱段 ”饕に．ロ D 『<TAB> 幽” 録_’ D 　幽　幽　，　　．_「　齟 <TAB>、．<TAB>_：_h_瑩 ∴ … 爵，．． <TAB><TAB><TAB><TAB> 　「蠡窩『 − 一・ ° <TAB><TAB> 」_… 、冖 → 口齡ﾀ黙 <TAB> ．鬟 “ 団 c 」停 <TAB> 興鼕蘇 r<TAB> 仕　　　 u@ 　鹽　　・ <TAB>r ．　．　、　炉」

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　 i 　

@D

<TAB>

D じ．一． <TAB> ．　 r 　．」コ冖』一_．． <TAB>　■．　 @ ，　　　　　　　 _@ F ° 」　 ’ 　 1 　．二　・．汀し <TAB> り　．． <TAB><TAB> 補_琵． ±

紫

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ト

　　　　　．解゜：二゜． A<TAB>F 咼

_n

_りt <TAB>己占亠尋t　　　　．，レ　_十ハ主　　＋君_廿皇　　　　　し

(6)

NII-Electronic Library Service 上の練習 24の影について少し触れてみると、重解点がx ＝ θ＝

0

であることと実像の形からこの重解点に対する実像上の点での接線は、）ノ＝

0

とな_っ_{てい} る．そ_こ_で公式3 ，’

Y

＝

2

・接線一実像 _で具現化影 γ＝ 0 − （

X3

−

X2

）＝−

X3

＋

xz

を得ることができる。　　　　　　　．　　　　　　　つ　または、実像の形がア＝ xj ＋αX− −

bx

− cに対して

　　　　　

公試

5

；

　

y

＝ −

X3

− aX2 ＋（

6

θ 2 ＋

46b

−

b

_）

X

− _（4θ3 ＋

2

θ2a ＋ c_）を用いるなら

Y

＝ −

X3

＋

X2

を得る。　この結論式だけを見るならば

0

が、すなわち接線の_働きの _あることが見えにくい _。もっと見えにくいのは点（

1

，0）を通る直線である。3次の実像と方程式x3 − x2 ＝ m （x −

1

）を考え、交点（

1

，

0

）からこの

3

次曲線にひいた接線のx _{座標が}_（x − 1_）_（x2 − m _）＝（x − 1）（x コ＋

Ox

−m _）＝

0

により θ＝ 0になっているという考えも見えにくい。練習 24は、この見えにくいものを見るという練習であった。〔例24〕y ＝ノ（X）＝ x3 − xz のとき、重解点 θ＝

1

に対する影の極値を求めて、図示せよ。（解）導関数ノ’＝

f

「（x）＝（x3 − x2 ）’＝ 3x2 −

2x

において、x ＝

1

_＋tiを代入したとき

f

’（

1

_＋のの見かけが

0

となるtを探す。

f

’（1・t・_）…

｛

・_（1・ t・_）コ　一・_（

1

・t・_）

｝

　

− i・

｛

（ユー

3t2

）

圃

　　　　　　

＝ −4t＋（

1

− 3t2）i これより、見かけ一

3t2

−

4t

＋

1

＝

0

を経て次_の tを得る。

　　　　　

＿

₂

＿

_」

@_＿₂ ＋

_．

_／

　

　　tl ＝

　

3

　

・　t2 二 3 この

t

とき

　　　

814V ：テ　　＿

8 A

！テ f’（

1

＋

が

）

＝

@

＋　

3

　　　　　　　　　　　　　　　　　 ′ ｩかけ0x _＝

1

＋ ’ ゴ

<TAB>

… 　

1

＋ ’1 ノ　…　　

{121

　 c _見力射のX<TAB>…　1 ＋_ヘ… 　1 {’z　　… 傾き<TAB>S．V〈0 　見力導ナ

O

S

．V＞O　見導ナO @　S ．

V

く

0

関数値

<TAB>

・・へ極小　　　　

ブ　　　極大　　　・・ム

　　

2 {

8

丶厂ア　　

32

＋10」驢亅、値ア＝ノ

1

＋

t

，

i

）＝一　　　＋　　　　　　　　　　　　i ≒−4．

8 {2

．

17i

ニ

s

．

v

−

2

．

63

　　　　　　　　27

@

　　　　　　

　　　9 　　

　　

　　＿

22

＋

8

〆テ　　

32

＿

10 」

影鰍働＝／（

1

＋

t

・

i

）　＝　

9

　＋

27

　　　　　　　　　　　　焉 |O ． 09 ＋ 0 ． 21 ノ＝ s，vO．12 　　　　　　　　つ　　　　　　　　　 _つ・ _真影　アコプ 9 （ 1 ＋ ti ）＝ − 2 广＋（ 1 一广）ti 　　　　　　　　　　　　ア　　　　　　　　　　　つ　　　　 _＝

_S

、vaiue −

2t

一＋（

1

− ’つt ・具現化影接線），＝

|1

と公式3 。

r

重解点x＝ θ＝ 1と式

5i

によれば　　　　

Y

＝−

X3

＋

X2

＋

2 |2

こ_れにX ＝

1

＋ tを代入し_て媒介_変数表示_をすれば　　　y （1＋t ）＝一（1 t ）3 ＋（₁

i

）

2

＋

2

1 ＋り一2；−

2 ＋

i

−

t

ヨ

　　　：

f

rT

“

ti

　　　　　　　］　　　／ノ　　！　　で、一致_を_確認できる。

(7)

NII-Electronic Library Service 〔例25 〕．y＝

f

（x）ニ x3　一　

2xi

のとき、重解点 θ＝　O．

5

_に対す_る影は、極値をもたないことを謌べて、影を図示せよ．（解）導関数ヅ；

f

’ （x_）＝

3x2

−

4x

にx ＝

0

、

5

_＋ tiを代入したとき

f

’（

05

＋のの見かけが同一符号であることを確認する。ノ

弓

・ti_）… i・

｛

・_（

1

＋ ti_）2 ＿

4

_（

1

＋ ti_）

2

2 ｝

　

・ t − （

え

・・t2_）i

　　

…

へ

　　　　　　．　　

5

1

　　　　＝ S ．value −

3

ご層十t− 一　　　　　　一一一→ 　　　

4

　　　　1 　　　 1 この判別式を計算すれば D＝ 1− 15； −14_＜0 とな_っ_て〜

1 　　　

見かけ

f

「（

05

＋のく

O　　　　　　　　

tt

　　　　　　　

x とわかる。よって、この関数は、減少関数となる、　　他方、重解点θ＝

0

．

5

における具現化影でこのこと　：を検証してみよう。公式5 ’により　　　　　　　　 1 ，． −

X

・_＋、

X

・_＋（

S

−

！

_．。）

蝋

弖

一

E

．。_）

1

　　　 4　 2　　　 8　

4

．．

x3

＋、

x

・．

2x

．

1

となり

　　

i

　　　　2　　

　　　：

y

’ 。一，

X

・＋

4

κ

乏

_{，．}・．

D

．

16

−

3

・．．

14

_≦・

i

2

傾きの動きについても・真影嗷式に対して具現燭で

1

・・_（・・5・t_）＝一・（

弖

・t_）2・・_（一

1

十ノ

2

）

÷

− 3・ 2 ＋’

÷

」・得・・… t・−

1

・・一・一・・

t

・か・・〔例 26 〕直角双曲線 xr2−

_y2

＝ − 2について、以下の微分係数・傾きを図示せよ。

　

（1）実像上の点A （

」

，

2

）における微分係数・傾きを図示せよ。 lyL x3 ＿

2

κ2 亀し、、、、覧、、、、 1 0 、 _θ 12 丶一1 、 ’ ＼

海

＼

_ン

、、、、（図58） _丶一

₇₆

(8)

NII-Electronic Library Service 　与えられた式から図形を描くとき、具体的で基本となるいくつかの点を計算はするものの、つい記述を省略しがちである。例26でも記述を省略してしまったが、実像と影_iと影₂の絡みもあることなので、話しは前後するが、点の計算を以下に記しておく。 x2 −

_y2

＝−

2

で、　_xが実数のとき… 図 59の_実像を描くため x ・・．一

_西

　

_一

_万

一

厄

　　　　　

o

　　　　

A

叛

　　

V

テ

　

、

厄

　

＿ア …

±4

　　　　

±

3　　　

±

2　　　　　　

±

4

互

　　　　　　

±2

　　

±3

　　　　

±4

　　　

−．ソ

　

’

　　　　

“ ＿

価

　

一

万

＿、

厄

丶＿ → 一．

厄

4 ヲ

　揖

＋ 4 ＋

丁

＋

T

＿ ⊥ ・＿ ±

万

±

丁

±

4 　

… x2 − y2 ＝ −

2

で、　x が虚数x ＝

0

＋tiのとき… 図59の影 1 と影2 を描くため x 　　　　　　＿一一＿一＿＿鼎一一一顧一一一一一一櫓一 …

−

₄

_’

−

₃

_， _{− 21d 一}

_ゐ

・一∫

oB

’C 　　　　

2

’〆 2’　　　　

3

／　　　　4’　　　… ン …

　

±

緬

’ ±

而

±

姦

・

0

±

1

±

匝

＋

1o 　

_±

±

砺

’±

揖

’ …

y

’ …

索晴

・

鉱

増

ず

う

玄

餝

・

÷

・

孟

・ … 　上の〔例 26 〕では、与えられた条件が単純であったためにs 虚数x ＝

0

＋tiを用いて影，までの微分係数を求めることができた。同様の練習題を次にとりあげておく．縮 25・酳双曲線x2 　一_・2 ＝一・を実像として、点 Bl

（

i，

」

）

・ Cl

（

・’，

司

・・おける嬲緻を求めて図示せよ。導関数は

2x

−

2

_」_｛y’ ＝

0

からプ＝一である。影の微分定数・iに留意すること。　　　アなお、図 60 の中の主な点を示しておく。 f・，bO’

（

o

_． ±

2 ）

A！．・

r

（

・

」

，・

）

N ・Al・t

（

±・

ViS

，・

）

ノ＝ 0 ア’＝ ±−

　　　　

2 V3

ノ＝±− 　　　　2 … Br

（

_ち±

tS

）

… B∫

（

ti

・_，・

司

・ _ソー・l B・．Bイ

（

ji

，　±

1 ）

伍

頭

±

2i

_．・

o

）　

∴ _ノ＝ナシ Cl_，・

r

（

3i，±

司

C・・…

（

・

i

_’・

価

）

・ −yt− ±

毒

’

　　

（図 6°1 　さらなる応用も考えられる。例えば、実

uax

！ − y1 ＝−

2

のとき、　x ＝

1

_＋

2

’に対する影上の点で微分係数を考えることである。丶 A∫ ン池！＼丶 A ‘ 43 淑！ C曾丶丶 _D 実像．．2 _無馬　！！乙＼＼　！強．・・_血 B1 猷ノ／冥像の影Lの影2

軽

一2 実像の影【恥 ’ 2 ノ1叉 ’ 　B∴！、 Co　3’　 4’ − 　　」　 ‘ 　　　調 ’ ノ！，、

運

咳夕、、丶！ノ 1，　緬

9

、 ’ ノノ丶響！丶．一

₇₇

(9)

NII-Electronic Library Service 〔例 27 〕直角双曲線 x2 − y2 ＝ −

2

において、　x ＝

1

＋

2i

に対する影上の点 B での隊分係数・傾きを求めて図示せよ。影上の点・を求めると・

（

i

・

2

・， −

₁

_・_・

_i

）

で・嬲

（

・

同

と縦・・次・・実像の輛攻は

　　

2・ − 2_〃 ’・ 0， _・ソ＝三　　　アよって、影上の点 B における微分係数は、影の微分定数を考慮して　　　 1＋ 2i　　　　− 2＋ i

　

ノ（

1

＋

2

’_）＝

1

’

＃

Z7

＝ −

₁

_．

_4i

　　　　−

1 　

＝

sy

_“ct 　

iJi

ア

＼

_護

O 　／

／

A　＿4 一こ_誉；＼

畜

_∵

　　　巳 B ＼．・∵ _ミ丶：　　丶　　 oi 　　、：　　　　L 　_．　　、卩 θ＝

1

噛｝一一一

1

＋

2

’ _！、 … ノ b_、 ♂ … ！／〆 κ　一一← ノ！ぢ〈図61）なお、補足として重解点 θ＝

1

のときの実像の影・すなわち真影と具現化影を以下に示しておく_。　・　　　つ　　　ワ真影実像

_yu

＝ズ＋ 2にx ＝

1

＋tiを代入して

　　　　　　　

ノ

ー

（

1

_・ti

）

’ ＋

2

・

（

3

−’

り

_・

2

・

i

・_{具現化影} _実_像 _y2 ＝ x2 ＋

2

へ公式 1を利用して

　　　　　

Y

ユ　・ −

X2

_＋

2

−

2

・

1

・

1 （

1

−

2X

）

　　　　　　

∴

　

（

X

−

2 ）

2 ＋

Y2

＝

4 　

なる円を得る，ここで、この円を媒介変数tで表示する。

X

＝ 1＋ tを代入すれば

　　　　　

匹

_＋

1

_）

2 ＋4 −

（

3

−t2

）

・

2t

一一『一一一一呷冑一一一「　　　 1 　　　 1 　　　 l 　　　 I 　　　 l 　　　 I 　　　 I 　　　 l 　　　 I 　　　ヒ　　　ヒ一一一一_こ_の_動_きは_、_真影_の_動_{きと}一_致一一一」 x さらに、実像 x2 −

_y2

＝ −

2

で、伍意の重解点θ に対する真影と具現化影とを記述してみよう。・_真_影 _{実像}へ x ＝ θ＋ti を代入して

　　

ン2　・・

（

θ・ti

）

’ 　・2 ・

（

θ 2 　一・Z ＋2

）

・ 2ai ・_{具現化影　実像}へ _{公式}1_{を利用し}_て

　　　　

γ2　・一κ z ＋

2

−

2

・ト θ

_（

θ一

2 _め

　　　　　　＝ −

X2

＋ 4θ

X

−

2

θ2 ＋

2

− 4θ2 ＋4θ2

　　　　　　

＝一

（

X

−

2

θ

）

一＋

2

θ1＋

2

販・、円

_（

X

− ・θ

）

2＋

y

・ −

V2

θ ・＋2z 一一一一一一一一一一一一一一F1 ここで

X

＝ θ_＋tを代入し_て媒介変数表示をすれば

　　　　　　

y

コ＝一

（

t 一θ

）

2 ＋

2

θ1 ＋

2

・

（

θコ　一・2　・

2 ）

・

2a

　任意の重解点θのときの微分係数を求めてみると

　

ノ

（

θ・・

）

一 ’・

　

θ橘

　

一

　

一_{’ ＋} _α

　

・

（

e2

　一”_＋_・

）

_・_・

ai

_±

V

（

θ2 − t2＋・

）

・・

ai

（注冫0以外の重解点θの場合では、微分係数は、残念ながち影1までしか計算できない。影2の微分係数を得るには、晝数のさちなる取り扱いを解明しなければなちない。例26では影2まで出来たのだから、希望はある．重要な宿題である。

　　　　　　　

f

　　　　　　　

l

　　　　　　　：

　　　　　　　

I

　　　　　　　

l

を得る．

　　

i

　

l

−一_{動きカ}_Fl_致一一一一一一一一一₁ 一

₇₈

(10)

NII-Electronic Library Service 〔例28〕楕円xl ＋

4 ノ

＝

4

において、　x ；　3iに対す_る影上の点 D ，　Dt での

雌

分係数・_{傾きを求}_めて図示せよ．（解〉影上の

2

点はx ＝ 3∫から

　

・

幽

・

勢

導関数は

2x

＋

8

_〃 t ＝ 0 となり、影上の 2点でプ

惨

一

癒

よって、この値が影上の点 D，D ’ での傾きとなる。念のために、楕円の θ＝

0

のときの影を求めておく．・_{真影}x ＝ 0＋tiを実像へ_{代入}して　　　つ　　　　　　　　つ　　（

0

÷ti）L ＋

4

_．y−＝

4

　　 t 　　　　　　　　つ

　　

r− −

4y

−＝ − 4

　　　　　

− 一一’一一「・_賜 _耀

₄

_ノ

＝ −x コ＋4へ_賦 1_を駟

i

　

4Y2 ＝一（−

X

コ）÷

4

−

2

・

1

・

0

（

O

−

2X

）

　　

i

1

　　　．・．　丿

YZ

＿4Y2 ＝ −

4

　　　　　　　i 　　　 1 さらに

x

．。． tをイ

ax

して

　　

i

　　　 1 　　　　 t2＿4｝厂2 ＝＿

4

　　　＿＿＿＿＿＿− g ア、、 ■ 、、、、　　　、●喝、　　

2

、4 、＿　　　　 ’ A _，_．_謦！ノ C ，” D， σ

1

_一

2

0

₃

_’ 、11 ’　 ρ ノ’ 　ノ　ノ！ゲ　 ’ ，’ 、　粘、、、覧　、丶、嵎L ノげ、（図62）

［

1

　具現化影で微分係数・傾きを求めてみれは蓐関

【

数・

X

−

8YV

’ ・＝・と

X

− ・とで　　　

3

　　　・−t

lY

’ ・ ± ，

」

…tt：t を得る。　さて、指数関数を虚数て微分するときは、微分によって次数が変化しないので影の微分定数ノを考慮しないことをことわっ _ておく。対数関数も同様の扱いとする。後に、これらの関数を積分するときでも、同じ理由で囓影の積分定数’を考慮しない。〔例29 〕指数関数ン＝ e 「において、x ＝

1

＋

nt

に対する影上の点

Q

での微分係数・傾きを求めて図示せよ。（解）影上の点

Q

はンニ el＋ n’ ； _θ ’・ ♂ ＝ e・（COS π ＋’sinπ_）＝ −e から、

Q

_（1＋加_，一_ので示される。

　

導関数は

_y

’＝（e「）’＝ ♂ だから、求める微分係数は（影の微分定数を用いずに）　　　 Ix

　Y

’ 　＝　eL ’m ＝ −e

　

…

　

影の点

Q

での傾き練習 26．指数関数 y ＝ eX において、　 x ＝ 0＋ m ’に対する影上の点P （m’， −

1

）での微分係数・傾きを求めて図示せよ。（図 63 ）を参考、ア 2 8 ・… B 1x θ 　　 oA 　　　　l　　　 I 1　　　2　　　3　　　4 一一　　　−1 一　＿　　丁隔、、　　　！＼

i

：

列

押　　　　　　

1

：　　梼 P 9　　　　 i 　　　；丶　

1

・丶　　1’ 　＼

i

：一e ■「「_（図₆₃_）．齟

札

。一

₇₉

(11)

NII-Electronic Library Service

11

・

mu

分

駕

_∫（勲咽示　実数による定積分の図示は、すでに明確である。ここでは、虚数の範囲で定積分したものを影の図形で表現しようとするものである。次の2点をまず約束しておく。（1｝積分における諸々の_計算公式はそのままとする。（

2

）虚数と影の研究によれば、積分したあと、虚数α＋

bi

，　C ＋

di

を代入する時点で、影の積分定数．

⊥

_ま_{たは}．

1

。 −

i

を新たに工夫する．それば碇積分をすることで次鋤・1次あがること纓齔し l　　　　1 た。ただし、指数・_{対数関数}_に_{は適用しな}い _．　これまでに、ひとつ面白い計算結果を得ているのでそれをまず示してみるe 球の体積

V

は半径rのとき．　

V

．

S

，，・・であることを通常は円。・＋，・。 r2 の回鮴として

mx

分によ。て得るわCtrv／

E

が、　　　　勹　　　　　　「　　　　」以

F

は直角双曲線 x2 一_ア2 ＝−r2 _を回転させて、虚

ta

− ri ，　riの範囲で定積分をして導いてみた。

砿

面

…

躯

尸_鯉・

臣

・

聾

1

…

〔

一

争

司

寺

通常は、円を回転するア円 xz ＋_ア2＝ r2 、」 _籃 1 一_厂 oF _厂 ’ ， ’ （図64） x

陣

糠購直角双曲繰の影力徊転したア

i

直角双曲線亀 ’ ■ 鹽・　　／の，　’， ’ _’ 「、L丶　　　　　　　影　　　　，’ 、　、　、鹽 1　　塾一_厂

へ

　　、　　　、 10 、、

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” ノ　ノ　　　・　　　，（図66＞　さて、これより基本的な実像に対して、虚数の範囲で積分することを考えてみる。独立変数は、重解点が θ＝

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(12)

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₈₁

(13)

NII-Electronic Library Service 　　っずいては、重解点が0以外の場合を扱ってみる。それは積分区間の下端と上端で重解点が同じ実数値をとる場合のことである。以下、例題で示すことにする。　　　　（例30〕次の定積分を求めよ．

　

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₈₂

(14)

NII-Electronic Library Service この見かけ値を、具現化影｝7 ＝ −

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で確認をし_{てみ}ると

　　　　　　　

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与えられた条件から具現化影は

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4

次式x4 の具現化影は、方程式の形・すなわち重解点によって 2種類に分類される。いまはO 以外ク｝一

(4)影で、虚数を図示する考え方(その2) : 実像f(x)の微分係数f' ^(a+bi)、定積分∫^<c+di>_<a+bi>f(x)dxを図示

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影

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を図示

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