A NOTE ON TAYLOR'S FORMULA

SUT Journal of Mathe！natics （F（）rmerly TRU Mathematics） Volume 29， Number 2（1993），221−232

A NOTE ON TAYLOR，S FORMULA

MAsATo HIKIDA

（Received October 4，1993） （Revised November 4，1993） Abstract． We show that Taylor，s formula given in［2］holds． under a more genera1 setting， in particular， that in［2， Theorem 1］， the assump− tion of the R−v−derivative of order n being symmetric is needless． 1991Mat九ematics 5勉句ec2 classification．46A99，58C20． Keyωords． Ranked space， Non−syrmnetric preneighborhood， Taylor，s for− mula．

0．Introduction

   Nagakura［8］investigated differential calculus in lineall ra皿ked spaces with non−symlhetric preneighborhoods（see also［9］）， and in［2］，［3］’and［4］ ．we’高≠р?@a further study of the calculus in such ’spaces． The method taken there， i．e． that of ranked spaces（cf．［5］，［6D， is consideral｝ly different from those of other theories of differentia1 calculus ip li n．ear spaceS． It seems to us that the results of［2］，［3］，［4］，［8］and［9］have a wide range of applica− tions to problems which can not be treated by the method of topological spaces． In fact， one of such apphcations、was given in［4］by usi皿g Taylor，s fo1mula［2， Theorems 1，2and 3］fbr a皿ntimes R−v−di−fferentiable map between li皿e碇rahked spaceS（see also［4， Remark 2（1）D． In this paper， we shall show that the fbrmula holds under a more general setting， i皿 particular， that in［2， Theorem 1］， the assumption of the R−”−ddrivative of order n being Symi｝etric is needless（note that as in Example 3 below， the derivative is not necessarily symmetric）． Thus we sha皿obtain the reSult having a more wider range of appli，cations than that of［2］．    In the section 1， we provide some notio血s and lemmas needed later． In the section 2， we give ge皿eralizations of［2， Theorems 1，2and 3］． Throughout this paper， a“1inear ranked sp㏄e，， mea皿s a linear ranked

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_{ANOTE ON TAYLOR’S FORMULA}

space of［8］， and we conform ourselves to the te㎝inology and notation of ［2］，【3】，［4］and【8］．

1．Pre−linear ．ranked spaces

   As was mentioned in【4， Section 4】， it is convenient to consider a more general space than a linear ranked space．    Let E be a real linear space， and assU皿e that a sequence｛Vn｝㌫o of families of sul｝sets of．E is given to satisfy（E．1）of【8】： （E．1） 0∈VfCr a丑y V∈V， where V＝U：Lo Vn；E∈Vo；a皿d fbr any n and any V∈V， there are m＞n and U∈． Vm such that U⊂V． Then｛Vn｝is ca皿ed a rank structure on E， and a member of V． a preneigh− borhood of the origin O of rank n． The space Eニ（E，｛Vn｝）is ca皿ed a pre−linear rαnked space if it satisfies（E．4’）of｛8］：

（E．4’） For any y∈U二〇V毘，λy⊂VifO≦λ≦1．       ．

   In a real linear．space E with a rank structure， a fundamental sequence （f．s．）can be defined by means of preneighborhoods（s㏄［8］）；let us denote by j㌔（E）the collection of all O−f．s．，s in E， and given vニ｛Vk｝∈フモ）（E）， 1et E★（v）ニSpa皿E（v）， where E（v）＝｛x∈E：fbr each k， there isλk＞O such that x∈λkVk｝． Then， a linear ra皿ked space（cf．【8D is a pre』皿ear ranked space E which satisfies（E．2），（E．3）a丑d（E．5’）of［8］： （E．2） ’For any v∈擁b（E）and any u∈チb（E）， there existsω∈チb（E） such that V十U一くω． （E．3） For any v∈擁b（E），λv一くvifλ＞0． （E．5’） R｝ra皿y x∈E， thereis v∈チb（E）such that x∈E★＠）． （Fbr sequences v＝ ｛Vk｝， u ＝ ｛Uk｝of subsets of a Unear space and a

scalaエλ， v十％， v−uandλv denote the sequences｛Vk十Uk｝，｛Vk−Uk｝

and｛λVk｝， respectively；andρくu means that for each k， there is k’such that ］レ］』’ （： Uk．）    The terminology and notation in a lineaエranked space， give皿in［2］， ｛3］，［4】and［8］，can be applied to a pr．e−linear ranked spa￡e with no change．    ExAMPLE 1． Let R2＝R×R， where R is the real field． Let、ク＝ ｛J：の≠」⊂｛0，2π）and J is at most cou皿table｝． Fbr n＝1，2，＿and JE 」T，P・tV（・；∬）＝｛（rc・・θ，r・i・θ）∈R2・0≦・＜1／・，θ∈」｝・L・t Vo＝｛R2｝a泊d Vn＝｛V（η；J）：」∈、ク｝． The皿（R2，｛Vn｝㌫o）becomes a

M．HIKIDA

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pre−linear ranked space which satisfies（E．3） not satisfy（E．2）． a皿d（E．5’）．The space does

   ExAMPLE 2・Fbr n＝1，2，… andα＞0， put U（n；α）＝｛（x，y）∈

R2・0≦αx2≦y＜1／n｝． L・t u。＝｛R2｝and・Un＝｛U（n；α）・α＞

0｝．Then（R2，｛Un｝㌫o）becomes a pre−linear ranked space which satisfies （E．2）a皿d（E．5’）．The space does not satisfy（E．3）．    As is seen in these examples， a preneighborhood need not be symmetric or convex． T（）deal with the non−symmetric case， we consider the fb皿owing conditions（a．4＊）on a O−f．s．｛Vk｝in a pre−linear ranked space E a皿d（A．4＊）

onE：

      _{（a．4り 璽｛Vl｝is a O−f．s． fbrmed by preneighl）orhoods of｛Vk｝and if} ∩（y叶Vl）≠￠f・・p・i・t・Yl∈E・th・n th・・e叉・t｛1（り｝（i＝0，1，2，…； ’（i）↑。。）and p・i・t・・i∈E・u・h th・t｛・i＋Vl（・）｝i・am f．・…dth・t f・・        A each i， there is ni such that Ym十Vm⊂zi十「巧（りfbr all m≧ni． （A．4っ Fbr each｛Vk｝∈fo（E），（a．4＊）holds．    The conditio皿（A．4っis general than（A．4）of［8］which states that fbr each｛Vk｝∈チb（E），（a・4つholds with li＝Yl（り・The sp㏄e of Example 2 does not satis」fy（A．4）， but satisfies（A．4＊）．    In what fblows， E sta皿ds fbr a pre−linear ranked space．    LEMMA 1（cf［8， Lemma 1．2D． Let｛Vk｝∈チb（E）， x∈Eαη∂￠」∈E （ゴニ0，1，2，．．．）． Suppose t九α君｛Vk｝satisfies（a．4っ． Then￠」→x（P−

｛Vle｝）if・ηム鳩ザ妙e・ch・k， th・re・i・ゴ夫…九th・靖∈x＋Vk−Vk・fo・

α〃ゴ≧」夫．    PRooF． It su冊ces to prove the ca5e x＝0． The‘‘only if，， part is ol）vious． T（）prove the‘‘if，， part， we may assume theゴk，s to be 1≦ jo ＜ゴ1 〈 …  ＜ゴA 〈 … ． F（）r each k a皿dゴsatisfying j≧ゴk， there is

Yk，」∈−Vk such that￠ゴ∈Yk，」十Vk． Fbr an integer l≧0， put動＝0

       and Vl＝ 「レb if l ＜ ゴo， a丑d 動 ＝ Yk，， and Viニ 「Vk ifゴk ≦ 1 ＜ jk＋1．       A       A Since｛Vl｝∈f（）（E）a聖d O∈∩（動十Vl）， we can find， by（a．4＊），｛1（の｝a皿d zi∈Eso that｛zi十Vl（O｝is an f」s・and that fbr each i， there is ni such         that gm十Vm⊂zi十Vl（i）fbr m≧ni． Now， given i， choose k such that 元た≧ni・Th・n・ifゴ≧」賓・th・・e i□’≧k・ati・fyi・g jた’≦ゴ〈ゴk’＋・，・旦d・・ ￠」∈Ykt，」十Vk，＝坊十Vj⊂zi十Vl（i）． This， together with O∈∩（zi十Vt（り）， sh・ws￠」→0（P一伍｝）．

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   REMARK 1．（1）By’Lemma 1，the results of［2］，［3】and 18］remain valid if we replace（A．4）with（A．4＊）． By the way， we note that［2， Propositions 1，3and 4］remain vaJid if in the propositions， we replace a“linear ranked space E”and a“linear ranked space∬”with a‘‘pre−linear ranked space 五7，，and a‘‘pre−1inear ranked space F satisfying（E．2），，， respectively．    （2）If v＝｛Vk｝∈チb（E）is symmetric（i．e． each］Vk is symmetric）and Esatis血es（E．2）， then there isω∈チb（E）such that v−v＝v十v一くω，

and so“￠」∈￠十Vk−Vk fbrゴ≧元夫”（k＝0，1，2，＿）iml）lies xj→x

（R一ω）．It is easily seen that if v−v一くv， the皿vsatisfies（a．4＊）． So， in particular， a sYmmetric・and convex pre−linear ra皿ked space satisfying （E．3）satisfies（A．4＊）（the spa￡e bei皿g symmetric（resp． convex）means that the preneighborhoods in the space are symmetric（resp． convex））．    Other than（a．4＊）a丑d（A．4＊）， we also consider the following conditions on』 d（cf．［2］，［3］，【8D： （A．1°） For qny v∈fo（E）， there exists w∈fo（E）such that v一くωa皿d the origin O is an R一ω一interior I）oint of E★（ω）． （A．2°） If￠」→x（P）in E and if fbr some v∈チb（E）， x∈E★（v）and ￠」∈E★（v）fbr all the sufficiently largeゴ，s， then xj→x（P−v）．    The space of Example l satis血es（A．1°）， and the one of Example 2 satisfies（A．1°）and（A．2°）．    When v∈フ㌔（E）， we denote 1）y Q（v）（resp． P一Ω（v））the set of all R，v．（resp． P−v−）quasi bounded sequences in E． Given v∈To（E）， a map∫：S（⊂E）→F， where F is a pre−li皿ear ranked space， is said to l）e v−quasi bOunded（on S）if there isω∈戊：b（F）such that｛￠」｝∈P一Ω（v） with￠」∈S implies｛f（Z」）｝∈P−Q（ω）・    LEMMA 2． Let E and F be pre−linear ranked spaces， and assume that Fsatisfies（A．4＊）． Let．L：E★（㊨）（⊂En）→Fbeαmultilinear mαρ，ωhere v∈フモ）（En）and n≧LTゐen L is v−quasi bOunded if it is”−continuous at the origin． The■onverseるtrueガv∈チb｛）（En），λv司く”プ「or anyλ＞0， αηばFsatis∫『es（E．2）．    In the above，戊モ）o（E）＝｛包∈プb（E）： the origin O is an R−u−interior point of E＠）｝．（If E is any one of the spaces of Examples l and 2， then clearly j『oo（E）＝夕b（E）・）    PRooF oF LEMMA 2． The first I）art follows from．Lemma l and the propertyλ．L（x）＝ L（λ1／nx）・forλ ＞Oand x ∈ E★（v）． To prove the

M．：HIKIDA

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latter paエt，1etω∈チb（F）be such that｛￠」｝∈P−Q（v）iMI）hes｛L（￠」）｝∈ P−9（ω）．It is easily seen that upder・ our assumption， the statement of［7， Lemma 1．4］holds fbr”＝｛Vk｝． Using this and multilinearity of L， we have｛L（Vk∩E★（v））｝一くω一ω． This implies， by［2， Proposition 1］（cf． Remark 1（1））， that工is v−conti皿ous at the origin．    REMARK 2． Since 9（v）⊂P−Q（v）， we see， by Lemma 2， that the statement of［2， Lemma 1］in which a“linear ranked space E”is rel）1aced with a‘‘pre一五near ranked space E”holds．

2．Taylor’s formula

   In what fb皿ows，1et A＝｛｛λ」｝：λ」＞10，λ」→0｝， and given a point x and an．integer p≧0， put〈x＞P＝（x，＿，￠）（p times）． And of course，． for amap f which is p times R−v−differentiable at a point x fbr a given O−f．s． v，・轣iP）（x）denotes its R−v−derivative of order ．p at x（cf．［2， Section ID．    The following is a ．generalization of［2， Theorems l and 2］：    THEOREM 1・」「）et E beαρre−linear rαnked spαee， and Fα（π一T1） co励ぴlinear rariked spαce satisfying（A．1°），（A．2°）and（A．4＊）． Let”＝ ｛Vk｝∈−oo（E）， and let∫：1）（⊂E）→Pbe n times R−∂−differentiαble at α∈1），ωゐe7℃1）is R−”−open and n≧1．ノlssμme， iη、 the cα8e n≧2， that

the／5μ・ω迦ゐolds： ．

（茸）f・r・α・ゐρ＝0，…，n−2， th・r・・i・k。 ・u・ゐtゐ・t Vk，⊂（1）一・）∩E（・）

αnd for・ηy動e∂￠∈Vk，， the m・P    、

      （R、う）［0，・1D『θト・∫ω（・＋θを）1元〉・・∈F i・…伽・・u・9ρ［0・1］・ωhe・e R・i・ψ・拠・Of［8・Ex・mpl・1］・’

治：㍗・r竺ψ∈㊥8“cゐ．卿』1卿｛九」｝r⑳）輌ery

      λ；π砥（λゴん」）丁゜（P一ω） ωゐ・パ。（x）ニ∫（・＋x）一Σ；。。（1／ρ！）∫ω（・）〈x＞P（x∈（D．一・）∩E★（v））．    PRooF． When nニ1， the theofem is obvious． Assume n≧2below．    We、first show that the fblloWing holds： （†）i［ f（n）（・）〈llln＝O・for any x∈E（v）， th・n’tri・re・xi・t・・∈T。（F）・u・ゐ 伽λ；π貌・一・（λ」九5）→0（P−u），・sj→。。， for every｛九ゴ｝∈9（v）・nd every｛λ」｝∈A・      一

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  By the de五nition of n times R−”−d三舐∋rentiability of∫atαa皿d by Remaオks 1（1）and 2， there exist％‘∈プb（∬）（i＝1，2）such that given ｛Xp，」｝」∈Ω＠），｛Yρ，」｝輌∈Ω＠ρ）and｛μρ，」｝ゴ∈A（pニ0，．．．，n−1），       μ；三・，」・・（μ・一・・ゴXn−・・」）（Y・一・・ゴ）丁゜（P−u・） and someゴ1 can be fbund in such a way that        ∫（・）（・＋μ，，5・，”’）（y，，」）∈E★（u、） fbr all j≧ゴ1 and a11ρ＝0，．．．，n−1， where       rn（司ωニ∫（n−1）（・＋x）（y）一∫（n−1）（・）ωづ（九）（・）（x，y）        （（x，y）・（（D−・）∩E★（v））・E★＠れ一1））・ Choose tt∈フモ）（F）such that ul十u2’一くuand E★＠）is P−％−open・Put uニ｛Uk｝， and let l be such that Ut⊂E★ぴ）．   Let｛九」｝∈Q（v）’and｛λ」｝∈Abe given・Fix k≧’max｛ko，…，kn＿2，∼｝， and choose m＞kso large that 2Um⊂Uk． Then we can find j’in such a

way that

      λ5九ゴ∈Vm，       ∫ω（・＋θλ」ん」）〈九」〉・∈E★＠）（ρ＝0，＿，n−1），       λ；1・。（θλ」九」）〈九」＞n“−1∈Um−Um， wheneveTゴ≧ゴ’andθ∈｛0，1】． Fixゴ≧ゴ’， and define g：【0，1］（⊂R1）→F

by

       9（θ）＝§5（・一θ）・λ；・f（・）（・＋θλ」九」）〈九ゴ〉・        ＋（。…、）！（1一θ）炉1λ7−1∫（n−1）（・）〈九」＞n−1・ Then g is continuous on［0，1］1）y（茸）， and is R−differentiable at everyθ∈ ｛0，1）and 9’ iθ）     ＝（謬2λ7−・［f（n−・）（・＋θλ・ん」）〈九」〉・一・一ン（・一・）（・）〈九」〉・一・1     ニ（耀2λ7−・レ・（eλj・h」）〈ん」〉・一・＋∫（・）（・）（θλ」ん」・〈九」〉・−1）1

    ＝（講2胸θλ」ん・）〈九」〉・一・

M．HIKIDA

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・i・ce∫（n）（・）（θλ」九」，〈ん」〉九一1）＝θλゴ∫（・）（・）〈九」〉・＝Obyん」∈E（・）． Ob・i− ously g（［0，1D⊂E★（∋， g’（［0，1））⊂E★（％）and fbr allθ∈［0，1）， 9’（θ）一（T2λ7−…（θλ」ん・）〈ん・〉・一・∈λ7（Um−Um）・ Hence， by［8， Theorem 3．1］we obtain

9（1）−9（0）∈λ7砺一Um（P−u）⊂λ72（Um−Um）⊂λ7（Uk−Uk），

so thatλ7π溌n−1（λ」九」）∈0’k−Uk because of g（1）−9（0）ニ§en＿1（λ」ん」）． This proves（†）．    Now， by［2， Propositions 3 and 4］（cf Remark 1（1））， eRn is n times R−v− differentiable at O∈（1）一α）∩E★＠）， and obviously fbr each g＝0，．．．，n−2 ・・df・・any fi・・d九∈Vk，，th・m・p（Rl⊃）［0，1］∋θ→蝶）（θん）〈九〉・∈Fi・ continuous on［0，11， whereゐg is as in（1）．’Moreover， using［2， Propositions 3and 4（2）］， we have 酬（………）一∫（°）（・）（………）一〉Σ∫（・）（・）（・・（・）・……（・）） for q＝0，＿，n， where（xl，＿，xq）∈E★（vq）and the summation is over all pemlutatio皿sσof｛1，＿，q｝． From this it readily follows that fbr q＝0，＿，・綿）（0）〈x＞・ニOf・・any．x∈E・（v）． Theref・・e，・pPlyi・g（†） to溌九a皿d O in place of∫andα， respectively， we see that there exists w∈フ㌔（F）stich that λ7［sen（λゴ九・）一嘉蛤）（・）〈λ」九・P］丁・（P一ω）

fbr every｛ん」｝∈9（v）and every｛λ」｝∈A． This completes the proof

・fth・th…em，・ince・Se。（ん）一Σ．：；（・／9！）ee￡q）（0）〈九〉・−Sen（九）f・・ev・・y ん∈（D一α）∩E★（”）．    Theorem l shows that in［2， Theorem 1］， the assumptio皿of the R−v− derivative f（n）（α）being symmetric on E★（vn）is needless． Note that the derivative is not皿ecessarily symmetric as the folloWing example shows：    ExAMPLE 3・Let E be the I）re−linear ranked space（R2，｛Vn｝㌶Lo）of Example 1， a皿d F the linear ranked space（R，｛）’Vn｝㌫o）With ）iVoニ｛R｝

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and・W。 ＝｛W（n）｝〈n’＝1，2，．．1）， whe・e・W（n）ニ｛・∈R・1・’1＜・1／n｝・L・t the map∫：E→F be such that f（）r（x1，x2）∈E，．

∫（一）一

or綱一X：）／（X…＋x：）

if  （Xl，x2）≠（0，0）， if  （x1，x2）ニ（0，0）・ Let v＝｛V（k十1；｛0，π／2｝）｝∈完oo（E）． Then we see，1）y［3， Theorem 4］，that∫is l times R−v−differentiable at every poi．nt of E， and fbr x＝ （xl，x2）∈」E7 With xl≧Oand x2≧Oi ∫（・）（・）（ ・）一

o9i（￠）”’＋娩

if  x≠（0，0）， if  x＝（0，0）， wh・・e・（y、，Y2）∈E’（v）＝・R2．・nd 五ωニx、（ 2   2￠1−￠2）／（xl＋x日）＋4命6／（・子碕）2， if2（x）ニx、（・i−・茎）／（x？＋・3）−4砲茎／（x…＋x；）2・ P・t・q．ニ（0，0）∈E・Lqt｛ん」｝・∈Q（v）・｛防｝∈Q（・）and｛λ5｝∈Ab・gi…， where九」＝（九1，t／，h2，」）≠．（q，0）and yj＝（Yl，」，Y2，」）． Then， noting that ん1，」≧0，ん2，」≧Oand九1，ゴ九2，」ニOfbr a皿the sufHcie皿tly large j，s， we have ．f（・．）（α羊、λ」九3・5（y」）Llf①（q）（y．ゴ）．一五（λゴ九元）yi，」、＋ゐ鱗）d，・4’‘

．一

?D’・t．t ，， 」，．1，三｛一鵜：裟：；，隠；：1，．

      ＝λ」九・識，」一λゴん2，」鋤・・’ 日・mthi・wC・a・ily・e吋・t．∫i・2・．ti！n・・R・？・diffe・enti・blC at・・and it・ R．・−d・・i・atiV6・f 6・de・21i訂②（の（（X1，X，2），（y、，∂、））ニ・i∂・一鋤，wh・・e （（xl，x2），（Y1，Y2））∈E★（’v2）＝E★＠）×E★（”）． So fbr（（￠i，0），（0，Y2））∈

E（♂、）＝・E（v）．・xEωwith靱2≠0，．．．＿、、．．，・・、．．．．、

・1 Eア（2）（のて（滅，o）；（0，笛））≡・、y、≠岨、三∫（2）（・）（（O’S・Y・）；（￠・；：O））㌧． and thus∫（2）（α）is not symmetric on E＠2）（⊂E★（v2））． We remark that for ：thiS C文a血plei the hypotheses of Theore㎡・rare‘fulfilled．（With−D＝E， ・＝（0；0）and・＝−2）ジand−w・・ee A；2se・（λ」九」）＝O→0（R一ω）・f・・ev・・y ｛ん」｝∈9ω・and・eV・ry｛λ」｝∈A， wh・・eωニ｛W（k＋1）｝∈f・（F）・    RBMARK』3☆（1）1皿Theorem 1， if in addition E（v．）＝−E＠）（resp． F is symmetric），・then the assumption（‖）（resp．〈A．4＊））is superfluous． By

M．HIKIDA ．

229

Theorem 1，／the assumption of［4， Theorem 3］that∫（n）（α）is symmetric ・nE★（vn）is needless・    （2）The ・notion of． n times P−v−differentiability， which implies that pf n times R−v−differentiability， was given in［2， Section 3］． We call the state−

ment of Theorem l in which the symbols“R”and“9”are respectively

replaced with“P，， and“P−9，， the P−version of Theorem 1． Then using Lemma 2， we see， by the similar way to the proof of Theorem 1， that tゐεP−vεrsion Of Theorem l holds if v satisfies（a．4つ（in this case， the assumptionωis super血uous i皿the P−version）・    （3）In the proof of［1， Theorem 1］which provides Taylor，s fbrmula fbr an“n times R−differentiable map，， between sym皿etric linear ra皿ked spaces（c￡［i］）’，’．we used symmetry of the“higher order R−derivatives，，． But for the proof， we need not use symmetry of the derivatives， since the I）rOof of Theorem l holds true．．f（）r［1， Theorem 1］．    The notion ofπtimes weak R一ヵ一differentiability， which is weaker・than that of n times R−v−differentiabili’ty， was give血in【4， Section i］fbr a map with domain in a linear ranked space and range if R． As remarked there， that weak di醗rehtial）ility can be defined for a map with range in．a pre− 1inear ranked space． The precise definitioh is as fbnows； ・−    Let∫・D（⊂E）→F， wh・・e’D i・R−v−・pen f・・’s・me”・V∈Z・・（E） and F is’a（π一T1）pre4inearTanked・space satis］［ying（E．2）and（A，4）． We” first define f to be．always O、times weakly R−v−differentiable at、eyery P。i。t。f D， and p・tぴ）（・；・）ニfS°）（・）＝∫（・）・（・∈D）． F・・th・i・t・ge・ n≧1，we say that∫is n times Weakly R−v−differenti−able −atα∈Dif it is n−1times weakly R−v−differentiable at every point ofρand、if there exists a multilinear map e：E★（vn）（⊂En）→Fsuch that f（）r any五xed （h，z）∈E（v）・E（v”： 1）， the・ei・・∈乃（F）．s・・hth・tλ71・。（λ5九）（z）→0 （P−u），・・」→。。，f・・ev・・y｛λ」｝∈A， wh・・e 8，（x）ω＝fS”’一’1）（・＋x）ω一 富一1）（・）ω一e（x，y）（（￠，y）∈（（D−・）∩E★（v））・E★（bn−1））・・Th・n，・iice ，u。h e i、・。niq・・ly d・t・tmi・・d i・E・（vn）， w・d・n・t・it by富）（・；v），6・ b・i・fiy by fS”）（・）；．and・all・it・th・w・ak・R−・−d・・i・・ti…f・・d・…f∫・t・． ・（R。m・・k th・t w・d・n・t誌・um・any・・nti皿ity・f fS’）（・；v）．）・．    Clearly， if f is n times・1しv−differentiable’at a， then it isηtimes weakly R−v，di』。ti・bl・th・・e a・d fY）（・）＝∫（・）（・）．（恥・the c・nv…e， w・・refe・ the reader to［4， Section 1］．）    We s㏄， by the similar way to the proof of Theorem 1，that the fblowi皿g “w−versio皿，， of Theorem l holds（c￡｛4， Remark 2（1）D：

230

_{ANOTE ON㎜OR，S FORM肌A}

  THEOREM 2． Leげ：D（⊂E）→Fk城me8ωω殉R−”−differentiable

atα∈1），ωゐere E， F，”， D and 7〕areα8 in Theonem 1．・Let・（‖）w denote

（茸）ω袖ぴ）碑’…Of f（・），・・d…um・，繍・㏄…≧2， th・t（茸）。

ゐold5 witゐv＝｛Vk｝． Then，9あen九∈E（v）， t九ere existsω∈万）（F）such tゐatプbr every｛λ」｝∈A，        λ；3R・（λ」九）丁゜（P一ω） ω九・誠。（x）＝∫（・＋・）一Σ；。。（・／P！）fS？）（・）〈・〉・（x∈（D−・）∩E★（v））・    Moreover we see， by the same way as in【2］， that the following“w− versions，， of［2， Theorem 3 and Corollary 2】hold（cf．【4， Remark 2ωD：    THEOREM 3． Let E be a pre−lineαr ranked spαce， and Fα（7r−T1）linea r rankαd spα￠e satisfying（A．2°）and（A．4っ． Let f：D（⊂E）→F6eηtimes weakly R一幻一ばifferentiable at every point qr 1），ωゐe陀”∈∫bo（E）and D is R−”−open． Letα∈1），αnばlet九∈Ebe suc九tゐα彦θ九∈（D一α）∩E（v）プbr α∫Zθ∈【0，1］．Suppose‘ゐαオ君ゐe fbllowing（a），（b）and（c）ゐolば：

   （・）for e・吻＝0，＿，・，オ九・卿（R、⊃）［0，1Dθ→富）（・＋

θ九）〈九〉ρ∈F‘8continuous oη［0，11；    （b） 抗ere is an at mo8オcountable se君」⊂［0，1）such that∫for ever3t θ∈［0，1）＼」，ゾ‘8π十1timesωeakly R−”−differentiable at a十θん；    （・）‘九・悟一⑳・xω∈T。（F）…ゐ伽り掌）（・＋θ九）〈ん〉・∈E・（ω） プ「or aUθ∈【0，1】andα〃pニ0，．．．，7▲． ijB is。⑳・x・ub・et・OfF・・dσ雷＋1）（・＋θ九）〈九〉・＋・∈．万（P一ω）∩E・（ω） ∫brαμθ∈［0，1）＼」，‡ゐen        1  ＿        λ一（n＋1）．R，z（λん）∈        B（P一ω）        （n十1）！ for everyλ∈（0，1］， where．R），， isαs in T九eorem 2．    COROLLARY． Let f：D（⊂E）→Fbe n times weakly R−v−differentiable at et）ery 1）oint or 1），ωんere 1ワ， F，”，1）α7℃αs‘n Theorem 3 and F‘sα」80 convex and satisfies（A．1°）． Letα∈D，αηd let九∈Ebeα8 in T九eorem 3，and assume￠九α‘（a）and（b）9∫Theorem 3力old・    （1）互富＋1）（・＋θ九）〈ん〉・＋・＝O・for・ll・e∈【0，1）＼J， t九・・       ∫（・＋θん）＝嘉ぴ）（・）〈θ九〉・

M．HIKIDA

231

for everyθ∈［0，1］．    （2）  1アL：E★（vn＋1） （⊂ En＋1） → F is α multilinear map， Bl is α convex subset O∫∬andヴプ「or 80meω1∈フモ）（F）， fSn＋1）（・＋θ九）〈ん＞n＋L L〈九＞n＋1∈耳（P一ω、）∩E★（ω、） ノ「or allθ∈［0，1）＼」， then there is w2∈戊モ｝（F）sueh thatω1一くω2 and λ一（n＋1） mRn（λん）一 1 （n＋1）！ L〈λh＞n＋1

n・（。÷1）！恥・）

プ’or everyλ∈（0，1］， where Rn isα8 in Theorem 2．    REMARK 4． In Theorems 2，3a皿d ’ Corollary， the same remark as in Remark 3（1）applies to the assumptio皿s（＃）w a皿d（A．4＊）． In Theorem 3 and Corolary， if in addition E（v）＝−E（v）， then continuity of the map in （a）is reqUired only fbr Pニn．    Acknowledgment． The author wishes to tha皿k the referee f（）r his helpf皿l comments．

REFERENCES

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_{ANOTE ON TAYLOR，S FORMULA}

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