SUT Joumal of Mathematic§．．．．
（F（）rmerly TRU Mathematics）． Volume 27， Number 2（1991），151−167SOME APPLICATIONS OF THE MEAN VALUE T正IEOREM
IN DIFFERENTIAL CALCULUS BY
THE METHOD OF．RANKED SPACES
MASATO HIKIDA
（Received September 25，1991） Abstract． In differe皿ti…il calculus in lmear ra皿ked『 唐垂≠モ?刀@with亘o皿一sym皿etIlc P，e。。ighb・・h・・d・，・PPIyi・g・th・・m誕・al・・th…em・f N・g・k…［3】・w・gi・・ theorems o皿differe皿tiabdity of a limit map孤d o皿．paltial dexivatives・ 1991ルf￠t九ematics 5鯵D∫εcオClassification．46A99，58C20． κ・yw・rd・． Rank・d・p㏄・， N・n−・ymm・t・i・p・e・・ighb・止・・d・M・・n v寧・th・・一 工em， Stolz，S angular domain・ ’ Th， p岬・・e・f縮p・p・・i・t・9i・…m・apPli・ati…㎡th・m・an・al・・th…em 。f・Na9。［k…固i・・diffe・e嚇・al・Ul・・血五・・a・・ank・d・paces・i…，th・・e t・品・一 ，nti。bthty㎡・limit・m・麺d t・p・姻d・・ivati・…O・・st・ndp・i・t・f d・v・1・pi・g・ th。。，y i、 t・w・・k・・nstru・ti・・ly i・・i岨…㎡9・n・・ality，・・w・唖t・k・rP be− i。g i・th・・cat・g・・y㎡9ive・・p≡孤d t・ay・id・・mpli・ati…品m・・h・・p・・sibl・・ Th。 inv。・tig・ti・n md・i・［3］・・it・th・・tandpd・t・Th・・th・m・th・d tak・n i・thi・ P・Pe・i・diffe・ent丘・m th・・e㎡・th・・th・・亘es・f価・ential・al・ulus i・h・・a・spaces： Ap，en・ighb・・h・・d・・f・th・・亘gi・㎡・li…r・a・k・d・p㏄・iS・i・g・n…｝P・ith…p・・ （i。th・t。P・1・gi・al・e眠）…sy㎜・t・i・，・・d heed・・t訪…回l pd・tr gf th・ ，p。，e坤e c・n…g・nce i・ah…r・ranked・p㏄・i・d・丘・・d by m・an・・f・血・d・m・pt．al ，eq。，nce・f p・en・ighb・・h・・d・， pl細y・p・aki・g，・・equ・nce・f p・i・t・i・・⑭・ed t・ 。。n…g・t・apd・t・al・・g・gi・・n・P・th；㎝d・・th・d・・ivati…f・m・p・t・p・i・t is n°t reqUi，ed，・t・hav・th・wh・le sp㏄・・s it・d・頑・・f d・丘niti・n・O咀e・顕whi・h yi・ld some known theorems whe／n the spaces．a正e nolmed， are apPlicable to nonrtopological sp㏄es・ ． ‘ ．Th，。ugh・ut・thi・p・Pe・，・‘fli・・a…ank・d・pac・”m・an・a・lin・aロ・n㎞d sぽ・f ［3］，and・・w・ c・nform…se1…t・th・． t・rmi・・1．99y・and・，・th・．・・t・ti・n・・f【2］a・d【3］・ Several of those are given in ApPendix・ 、 tt、一．．．． ．．・・ ．、151
152
AP肌ICATIONS OF MEAN V肌UE TH亘O臨M’く．
≡悩cii壷⊇㌫縞ξ扁。‘砺但斑譲逼誌亘16麺・益亘壷。蔽ニイ
qu・nce・in・Un・碇・江n滅Sp漣E・・㎡鋤e・S恨苫留‘｝ぷ1；6f＞汽（E）・・e丘・qu・ntly W士itt・n酬，…⑭r辱卵1≡輌．gn㌧．…，．．．．・、：∵』．1二・．．〇三 E・・（E）＝｛v∈T・（E）・th・”．・填輌OiS．琴．』int・・i・r P・i・t・f Ek（v）｝， A ＝ ｛｛λ」｝： λ」＞Oandλ」→0｝； and when v∈万（E）， we put 9（∋＝｛｛hi｝・｛hj｝i・㎝れ一quasi b・und・d seque血ce・in・E｝． 「‘ ．・・ ’． ’ミこ．．’ r：．’ぺ ．ttt「．・：… ’・ ∫：二・‘：：．．，｝．：．1． 1・二『 ．『・「ヨ；： 1：．．：．．．．〈．一．：三ご：＝M°「e°ve「，1’f°「．託隅興ρ・｛4・｝〔d国：9f§蹴・1・f・西1』鋼・遮』㎝・ly
d・n・t・th・・eq・・nce・・｛λ進8た｝bY二伍｝士．｛カk｝t『・e命ectiV・ly；一・a・d；lthさh緬・・ ｛Ak｝〈｛Bk｝means that f（）r any k there is k’such that Ak’⊂B夫． Let us recall some fundamen城notio耶（9￡121，、．［3］）・・．L．et． ，E pnd．∬be耳皿e聖；anked spaces and assume that F is（π一T1）and satis五es the colldition（A．4）of［3］：（A．・ド1．i｝微｝〉ξ』筋and：i頑6・磁誠｝（砺∈藤晦』y
intersection， then there is｛k（i）｝（ゐ（り↑oo）such that｛エ友（輌）十W『κ‘）｝is a fundament瓠 sequence and thatエ」十Wj・⊂霊夫（t）十Wk（‘）whenever j≧k（i十1）．ご認￡竃に慧蕊霊㌫蕊蕊1筆、1∫霊蕊？隠蒜：，．
the’・’e：iき：「U『層∈島‘の’・S’i ’／6h…t五・t．．｛ヂ（b、〈孤（、））hD）・一∫（・）｝く・一・Of．・A9曲6 tha v∈．塩⑮枷dLぶ漁・ihtε・i・・p・i・t・fD・・Th・h∫．iぎ・did・t6・be R一か晒ε硫b’，・・喚…；．e垣r竺・…i輌1・面m・．酬・）’4・’F・li・・h蹴h・鋼・・．
与6rd si・．’thごオε「i・ω．栖（LFT）・u・h t嵐号’1ア（λSh）一）』→−0（P二ψ）島・・e・e’・y：｛㌧｝．∈．．2（の and「?磨E・y｛λ」｝d；紬・fe…・（九）＝∫（・＋九）L∫ω弓（ん）伍・（D−・・）酬り）・and・ 滅th6麺2泌Ch irniiiq・・ly dをゆ・・d：in世（・），’i・・allttd・the ’R−v−d・）ivatibe’ Df」 f”d・t’．白ahd’i§．den6ted’byア（d；’v）ot’ btiefly． by∫’てδ）∵And∫is、顧d．tO．be v・ eO’ ntinuou／5 （ J ， tlr6sD：二．R・必渉r撚05￡ε）・亮5⊂D・fi蹴6。㎡・i…唾・P．．Mi娩…叔・）at e硬士プp這htめfS∵More（壷er，：∫is’Said t6 bC coηオ栖冠砿31（resP∴R三宙膨柁施：舌返6オε）．『at！αi毛ビ籔鶉蕊鷲耀禮1二認；慧慧こ1：蒜㍑㌶三㌶蕊
’ ， E ， ’ （t6sl ！ ・i ’ ’ R： diff辿iel㎡tia泣e） oni』S二（：’1），，泣6］丘sbd’si㎡1arly’tO｝the・一’Sb（）Ve． ／．tご∴．・∴．㌻㌧∵・，1’・’ In a hnear ranked space， a O−fundamental sequence｛Wk｝is said to be c∂n’v・ex’（興：．⑳品溺e読繊一is‘と・碩剛魎緬耽tfi・）；血d，翻hear・血k6d否pk・
i・謝：tも』・泌侮P：し㊨翻司’if：the㌔α血nd・血e’・tal・ Si・q・・n・e・i・the蹴e・ are・c・nvex（resp． symmetric）書 ．．・1二＾∵∫．・1；・1・．・．．．∵・．∵1・・…i・・．…’t 、「・
lごHIKIDA
＾t153
・Nagakura［3】pτoved：the伺1〈）wing：． ．『冠，． ’． ． ．・． ， MEAN VA七uE THEoREM（［3， Theorem 3』）． LeεFbe a．（π：Ti）’linear ” ranked 鋼・…輌9（A・麺4（A’・2°）・；W：［・，用．（⊂盆・）＝・ F・a・d・di・［・，用てぽ）→ R・・．』ψ＜β・．S卿・・9，’ tb4t’ b ・hd蜘・’…‘」一・．・・［・・用鋼藺e R一 繊・㎝‘f・ロ・b・［α，β）＼J，iVh・たJ・ぬt m・6‡伽・t・bl・；頷d・・PP・・e・th・‘φ」・ m、，h。‘。。。。。h二dee−ing．．F・・th・㎞・鵬・・PP・面h・t，’f・i…me c㎝陀W∈’T6（∬）， 9（［α，β］）⊂登（th）and．9’（［α；β）＼」）⊂E．（w）11fθjs a cOnvex言ubseガof F Su（血that B∩E’（ω）≠O・and．」fg’（Z）∈φ゜θ8血距∈［α，β）＼J， th… 9（β）−9（α）∈（φ（β）一φ（α））孕（P一ω）・ Itt the abo寸e，． Ri．denotes the li皿ear ’ranked’ space（R，｛Vn｝）， whele R is the rea1 丘・ld；・Vo三｛［0，・）・ε＞1｝U｛丑｝．and W・＝「｛［0，・）三（n’＋1）三1ぐξ≦n−1｝fo・・n≧1； g：θ＝0’（‡）（1）and．φ（t）＝φ’（オ）（1）∫and（A．2°）is the folleWing’ton’dit輌6n which is a modificationドof（A．2’）．of［3］：’』．’ t．．∫ 一’ （A：2・）』「il xt／’4ti（P）in F血d if；劔．品垣eUr’漏倒，♂ξ醐拠dち・B（it） ’飴固1『th・’・uM・i・面y l飢9・」’・1麺・」・→・ll（P−・）・．． 一 ゼ ‘．． l i ． − Th・C・n・・Xity− gf、ω…d・t・kin9，th・P一ひ・1・・U・・ρロ・・e e領・嚇．垣th≡an vぬ・ ・hg・・e皿（9f， ．［5．，（1．32）〕坤・・p灸・e・ 9iy・n i・・h？P・。・f．㎡［与，（1，3・？）／・・e・eg・・d・d… li……k・d・p㏄・・，・・d th・・th・p・・㎡hdd・t・u・f・・th・・e hn9飢工・蝸興・・）， 1・Limitr．・f．diffg・e輌b10 m鋼Th・Cμgh・・t．t恥secti・n，．1・t E and F b・ lineaロa皿ked spa￡es and assume that F is（π一T1）and satis丘es（A．4）． Asequence｛九｝of maps，九：D（⊂E）→F（η＝1，2，＿），is said to be unifdrmly・・励・rg・ぬ・α卿∫・D→F・n S．⊂D3・if th・r…Xi・t・・＝｛Uk｝∈冗（F）…h
that∼fbr any le，． there isη為、such thatη≧n斥，i耳1plies fn（x）．7∫（x）∈阪一Uk fQr姐 ￠∈S． ：．． ，．t、・・．．．：・．．、 ・．、、． 三・：，，in． the皿owing Theolemsユー3，−let」），1）e．ian’Rrv−gpen s耳bset of．、臥｛br some v∈ 尤。。（E）arld．t、aP・um・．th・t．F．i・・c・皿ve・’．．and・atiS丘・s．th・1・・嘩qn・（A・2r）孤d・th・ 飼lowing（Aユ9）： 、．．．’i：・・、．・ ｝．．、： ．・．二・t．／． ・： ・．・・ ∵（A．1・）・F・t 5・y・ tii』e S。（F）th・・e．i；．・21∈X・・（F）ざ・・h th・t’Oli『k碗・THEoREM 1． Let F be cαnp輪L・t fn・1）→F（n＝1，2，…）be』−
diffe，enti。bl・・n D，吐・肥v＝｛Vk｝． L・け・D→F・ana・・．⇔・S・PP・・e t五・t th・f・ll・唖g（・）一（・）h・）ld．：． ／／…・・：’、∵．・・．」‘．二．’x．s （・）｛fn｝is・・vnifo・跡c・・velgent・t・・f：・n．・・meα＋Vi⊂． Q．n（蜘）＋・）・154
APPLICATIONS OF MEAN VALUE THEOREM
（b）Th・・e e廊㌦∈T・（F）・・ch‘h・t， f・・each・n， th・τei5々・ch肪・は（（・＋ Vkn）∩D）⊂y（u、）．・ （・）・皿・・e」・・’…血‘h・‘巧⊂（D一の∩ESr（∋and‘h・ちf・・㎝y 6X・rdん∈Vl， t力・ m・p（R・⊃）［0，1］ DθH f．（・＋θ九）∈∬」・c・皿‘輌n・…㎝［0，1］f・・ea・h・n． （d） There丞u2∈チb（F）such tha‘｛プ蓋（α）（Vk∩E★（V））｝先くq2 r u21br eachη． （・）Th・・e加・＝｛σ・，・｝．∈漏ぴ）…h鋤ち伊’v・n｛ゐゴ｝頑hん」→0（R，V）， ｛yi｝∈Q（のa・d．先， S・me・n。紐d j。 can・be・f・und・in…力a way that fA（・＋んゴ）（y」） 一 fa（・＋九」）（め）∈σ、，、」u3，、 whenever・m≧n≧n。 and j≧jo．・ Then f is R−v−d朋bren‘∫ab∫e a‘αand∫’（α）ω＝P−u3−1imプニ（α）ω（y∈E★（v））． PRooF・If z．∈E（v）， then｛z｝∈2（v）；a皿d so， by（e）， the sequence｛fS（α）（z）｝is P− Oauc克y by u3（［4， Definition 3］）． As∬is complete，｛f（α）（z）｝is para弔3・・co皿vergent to a point of F by［4， Propositio皿5］． A point y∈・E★（のcan be written as ・y＝Σ多＝1 z1ゴー Σ1＝1z2，k， where zl，」，22，k∈Eω・Since f（α）ω＝Σ」∫f（α）（z1」一Σk fl（α）（z2，k）， u3十u3〈u3 and F is（π一Tl）， the sequence｛f（α）ω｝has a unique P−u3−limit：We put gω＝P−u3−lim fA（α）ω． The linearity of g：Et（v）→」『is obvious． We shall prove the v−continuity of g． Let｛防｝∈9（切． Given k， clloose mo＞ksuch that 2U3，m・⊂U3，k・．Th・n， by（・）th・re・a・e・N・nd」・u・h th・‘f；（・）（yi）一一 fA．（・）（yi）∈ U3，mo一こT3，m。 wheneverρ≧n≧」V and j≧」． F口dng n andゴand letting．ρ→∞inthe prece（ling， we have ”’
9（yi．j−fA（・）（yj）∈U3，m。−U3，冊。（P−u、）⊂2（σ、sm。−U、，m。）．Thus
fA（α）ω一9（yj・）∈u3，k−u3，k provided n≧．Nand j≧」． From this and』id）it follows that g is v−continuous at the origin， a皿d so it is v−continuous on Eピ（v）． By（・）， th・・e・eXi・ts・、＝｛〃1，、｝∈島（F）・u・h th・t， f・・’・ny k， th・・e i・n、．su・h th・t n≧nk irriplies f・（￠）一∫（司∈σ4，為一U4，A伽誠1￠∈α十V，． Chooseω＝｛Wk｝∈痴（F） such that u1十錫2十u3十u4司くw． Let｛九」｝∈0（∋and｛λ」｝∈A． Given k， choose m so 1arge that 7n＞max｛k， i，1｝，4Wm⊂Wk and Wm⊂・ESr（ω）． Then there are Nl and Jl such that λ」九ゴ∈Vin， 」㌦（x）一∫（￠）∈Wm−Wm （苫∈α十Vm）， f；（・＋θλ」んゴ）㈲一・ fA（・＋θλ」んゴ）（九豆）∈Wm−Win，，M．HIKIDA・” whe皿evelρ≧n≧、N1，」≧」1 a皿dθ∈p，1】． Fix n≧1VI a血d 5≧Jl fbr a、 wkile． For eachρ．≧・η， the Inap ・ ， 9，・（R、⊃）［0，1⇔θ・→痴（・＋θλ」九」）一み（・＋θλ」九ゴ）∈F i・c・ntinu・…n［P，・］，・・d i・R−diffb・enti・bl・・n［・，1）紐d 頭θ）＝f；（・＋θλ」九元Hλ」九ゴ）−fA（・＋θλ」んゴ）（λ1九ゴ） ∈λ」（wバ陶（⊂E★（ω））・ Since gp（［0，1］）⊂2（Wm−Vγm）⊂仔（ω）， the mean value theorem can be appHed and we have−』
@ ．
9『ρ（1）−9P（0）＝」ら（α十λ」んゴ）−fn（α十λ」㌧）一（ん（α）一九（α））∈λ」 Wm−Wm（P一ω） whenever p≧n。 L6ttingρ→oo in tke abov6， we obtain ∫（α十λ」ゐゴ）一九（α十λ」九」）一（∫（α）一九（α））∈λ」 W，n一照亘（P一ω），・ ． ・inceλ」W冊．一照P一ω）1・P一ω一Fl・・ed・Th…f・r n≧N・㎝d j≧」・， λ71［∫（α十λゴ九」）−fn（α十λ」九」）一（∫（α）−」㌦（α））1 ∈ Wm−Wth（P一ω） ．こ ． ” （： 2（Wnt−Wm）． For each n＝1，2，．．．， put㌦（h）＝プ』（α十九）一九（α）−fA（α）（ん）（九∈（D一α）∩E★（の）・ Thenλ；1rn（λ」九」）→0（P）asゴー→oo；and， ifゴis large， we have rn（λ」ん」）∈E★（ω）by （b）a皿d（d）．Henceλ；1rπ（λ」ん」）→0（P一ω）as j→∞， by（A．2°）；so there is jπsuch thatゴ≧」πimplies λ717rπ（λ」九」）∈VVm−Wm・ On the other hand， there areハr2 and J2 such that， for・n≧1V2 and j≧ゐ， f（α）（九」）−9（九ゴ）∈Wm−Wm． Now， putア（h）＝・∫（α十ん）一∫（α）−g（九）（ん∈（D一α）∩E★（∋）and choo6e n≧ max｛Nl，N2｝・Then， if j≧max｛」1，ゐ，」九｝， λ71r（λ」九ゴ） ＝ λ；1［∫（α十λ」んゴ）−fn（α十λ」んゴ）一（∫（α）−fn（α））】 ＋λ；1・・（λ」九ゴ）十f（α）（九ゴ）−9㈲、∈“バ閣⊂晦7晩，
whi・h・h・w・λ；1ヂ（λ・h3−）→・（P一ω）・Thti・th・pi…fiS・。mp嵐 tt E『155
・156
APP口CATIONS OF MEAN、V肌U．E THEOREM
T臨oREM’・2． Let’．F． be cgmpk‘α∴・Le‘fnゴD→F・（n』＝1，2，．∴．）be R・砂一 直醗τ㎝￠∫able㎝1）， where・v＝伍｝． SUPP・⑤e伽ち劔s㎝e 6．・∈Dl￠力e・sequence 仏（b）｝has・c p一五頑a頑孕at tht．rr i・、輌φ‘ha‘ロ．（ρ二；）∩P’（”） and th・ follow劫t9（f）一（h）hOla： ”h （f）Ther・」…∈乃（F）S・・th・・伽‘．み．（b＋均⊂ぽω、fo・ρ紺yη・．．・・：t．t−、㌶、芸牢；‘＋V”（；二（d）・ p伽eO興（’〔n（c）一（d）卿
（h）TheT・」・u＝｛Uk｝∈，1 To（F）S・c励aち．9i．fen．｛yi｝．∈9（v）ahd k， S㎝・．鞠≡dljl c竺be：φu亘輌su（th．a1陥y廻．．、．、．、．．．．、・．、．tt ， ，
fA（x）（防）−f（司（防）∈Uk−Uk ．《・』 whtinevef m≧．ゐ≧nO，ナ≧jo a亘d￠∈b・十1佐．一∵ ．t t．．． ・∵1』・．t ．1踵…f・・e』∈b＋Vi・‘hr・rq・ence｛九（x）｝孕as・甲」頑！如゜t・鋤∫（r∼；興d
｛九｝姪皿jfbrmly c㎝vergeh島o∫bh ’eaiih 6十’5，． Wherご5fポan R−Ziibouhded sSiblset of Vi・F血r姫e頂oξe，∫ ］’sl．R−U一直ぴbr印εオable・ at eveTy R−v−jn‡とri．Qr，Pdη‘・x of． b十5， and ∫’（露）（y）ニP−u三lim∫fA（￠）ω（y∈世（の）・ 一 ゴ．三． 」 、』 、．『 ．．，． ｝一．．．；．i…．ピ．．’．・．．．tぞ．．・．‘㌦’．．．．ご∼ PRooF． We 6nly ’plove ’the fblmel partl the latter paft fbllowS丘oni the similarw可⑯the・pro㎡OfThe㎝em 1・．、’ ．．・・．， ．：・．1．．・・．
Since、｛み（6）｝has・aP｝hmit， tllere isω1∈チb（F）by Which｛九（6）｝is P−Caucby・ Choo6eω≒｛Wk｝∈尤oo（F）such that u1十u十ω1一くω． Given k， let m be such fhat 4W玩⊂，wk．、 Theh’thafe isηo・such！that噛痴（b）一プ三（b）∈照元一wm Vihenbv61 鍵）！≧力層≧no、． Let函∈b斗↓そ． Since x一ゐ、ξ…閲罵⊂E★（の，＞we『see元by｛h）， that ther6 is 覗・一れ・（x・m）Su・hth・鴫（カ）（x−b）一蜘）（x−「b）E’・Wm’−Wm・wh・ne…ρ≧n≧n・ and y∈b十Vi． Put n2＝max｛ηo，η1｝． Then， fbl any丘xed p and nl wit・h p≧’n≧ni， consideri皿g the map（Rl⊃）｛0，．1］∋θ｝→．痴（b十θ（￠二b））一九（b十θ（x−b））∈Fand・PPIyi・9 th・・mr砿蜘帥…em・、w・h碑．、…．、 ・ 。＿ン、・，1．・’・
九（x）一み（￠）一（fp（b）−fn（b））・∈・W加二Wm（P一ω）； 二SO…い ∴．．、．． ‘．・T 1・．：．・． ．㌦・、』・．…：∫’『．．…胴一鍋．珊こ五θ・＋二ご（詞…・：・．．昌二1
三㌧∴∫． ゴ 1 ’ ．・． T ⊂ 3（Wth tt’Wmう ⊂・Wk−Wk二ご．㌧！：∴． “・； ．・．：， ば ・ 二 ‘ ．’・．吊 ・ i T㎞・｛fn（x）｝i・p−Ca廟byω，・nd S6 it hぶ迦甲e p一ω一limit， d…t・d・by・f（x）・lf Si，。。 R．v．b。und。d、。b，et。f鵬血。h．㍉。e。6。6f穎碗蓋㍍。f’S・i、・R．’v．q。a、i・b。。。d。d． 籔qm thi・we c㎝Sρghr㊤・．η1鱒hρ．ab。v典・品s桓dePρnde耳t・f，X、．，q．・b，＋β，ふ輪ML・HIKIDA
ni＝’n、（m）：＝． n、（k）；and then ∫（x）−fn（x）∈3Wm−Wlm（P一ω）∈Wk−Wk provided n≧n2． This shows．that・｛ノ㌦｝・is unifbrmly convergent to∫on b十5．、’ THEOREM 3．1｝e‘∫：1）→Pandα∈1）1』stipposb‘ha‘∫js R一ψ一（iitlTerbh’tia61b・a‘ ・V・・y・∈D＼｛・｝・wh・re・V＝伍｝；and S・PPOS・ th鋤・舳W9てi）一（k）・h・ld・（i）Ther・紅c麺d・・∈み（F）・・φ顕∫（（・＋ゆD）⊂砕・）・
0）Ther・」S∼・u鋤h訓⊂（D−・）∩町（のa・d‘血・‘， f…opy．励九∈Vl，舌力・ map（R1⊃）［0，1】∋θ⇔∫（・＋θ九）∈F：fs cOn‘Ou・u・㎝P，1］．’（k）Ther・・．㎝』v−c㎝‘迦qUS五卿卿9・Etr（・）→雪㎝d・2ξ九（∬）鋤
‘haげ’（α十九」）（yi）−9ω→0（P−u2）f・r every｛傷｝Wit力㌧≠Oand九」→0（R−v） and every｛防｝∈Q（∋． Then∫is R−v−differen’tia’ ble atαand∫’（α）＝・9． ．P耳9・p・Lgt・μ・．∈・5（“｝’）．b・su・h鋤｛9伍∩Ede（の）｝、K u・一・・…ch…ρ wr｛VVk｝、∈チbo（F）such thaちμ1＋u2＋μ3＜tμ．．Let｛㌧｝∈2（∋and｛λ」｝∈．∧， Whereh」．≠0・q酔叫Ch・・‥＞m脳｛k，i，1｝・p la・g・that 3顧⊂．照．・n岬凧但★⑩・
Th・輌㈹， th・・e i・，元・su・h th・t・λ」九1．叫㎝d∫’（叶ρλ轟）（ん」）「9（九」）∈Wmrwil Wh・n・・eり≧」。．叩d．θ．∈．［0，1】・恥・a・・y、fiX・d j≧ゴ0，、the m・p？；．（丑・⊃）／0，1］∋．θH f，（叶θλ∫九」）∈Fi・9・nti皿…、・n【0，1］，㎝d iS R峰・？亘ti・H・・n（0，ユ）and 《 φ’（θ）＝∫’（d十θλ元九」）（）Lj・hゴ）∈λ」（Win−’Wm）＋9（㍉ん」）（⊂’Ek（り）．’ AS￠）（［0，1］）⊂Et（ω）， We’Obtain ． ・ ．、． ．．．、 一 ・、’＼．，．． ・・ ．q（1）．「∼ρ（0）＝． f（q十）与㌧）一∫（α）∈λゴWm−W■（P一ω）十9（λ」㌧），thct、 ils．，・．∴・∵・一．、，．．．．・．・ ．−tt、・．．。 ，．t，．．＿
λ；1［∫（a’1＋λ」㌧）二∫（の．−9（λ」ん」）1∈・Wm−Wth（P一ω）⊂W、；Wkン ・” 1・． 「 ・ 二 ’・．’ ・ 1， ・ ／． 」昌 ・ ・ ． ．1… Vi− ． 』 ．三 This ends the proo￡ ， ． ．．！i． ・．． 、 ．，．’． ：一．r qEMARK｝1．（1｝Ih The㏄el垣一3， ifふy㎜etτic，then（c）・is・superflu。us・・ttd the Conti加itY’（rf tlie map in（」）is require（1も血1y at’θi・0（c￡［2］）． In Theor6mS 1−2， it is easay seeh that’狽?ﾆconVetgences二fA（a）（ダ）L→・∫’（a）（y）（P」｛￡3）ahd fS（‘i’）（y）『→’∫’（￠）（シ） ｛P−u）’are tini｛6r旨重㎡伍と士espect tσ310n・e反h R謝’bounded．s血bset of』E★（む）‘（a血d also ：With teSpeCf tδthe孔ぴi誕e亘or l）oi血t x・・of b十5，桓． thi’lat’tとr C掴e）．‘@… ．．． ．ニニ ?Q）・（）亘f．這ssumihg a I桓eaξranked連pace：to sat溺シ．てA．4）is’血eedless鍾the 6pace i8 sy垣血etriごand u LF・，a Lく剥br諏y O三fuhdamehtal seque血ce u． in the spaLce：ih t’his 157．158
APPLICATIONS，OF． MEAN VALUE THEOREM
case， R−u−a頃d P−u−convergences are coi皿cident． Thus if F is sym皿e垣c， tben the assumption that F satisfies（A．4）is皿eedless f《）r Theorems 1−3 a皿d for Theorems 4−5 give皿below． ExAMPLE（Dil旋rentiation a10ng Stob》s angular domains）・Let C be the complex plame． When O＜ε≦∞，0＜δ＜π／2 and O≦α．＜2π， we put B（ε）＝｛z∈c：121〈ε｝， V（ε，δ）＝｛z∈0・z≠O， lzl＜ε and 1arg・1＜δ｝∪｛0｝， γ（ε，δ；α）＝｛e’az：z∈γ．（ε，δ）｝，where arg z is taken to be』−iπ≦arg z ’qπ． For e’＝窒?@n＝0，1，2，＿， let
B。＝｛B（ε）：［1！ε】＝n’｝， ぬ＝｛V（ε，δ；α）・【1／ε］＝n，0〈δ＜π／2，0≦α＜2π｝， whereη。o＝．0． Then（0，｛β。 U｝タ｝）and（0，｛Bn｝）become linear ranked spaces； we denote the fblmeτby CI and the latter by C． Cleaエly C， which is the’con｝Plex plane with the usual topology， is symmetric， convex，（π一T1）and complete and satis丘㏄ （A．1°，2°，4）as a Hneaτra血ked sp㏄e． Yet， Ci is neither metriiable rior’topological：the non．symmet亘c hnear ra血ked space Cl is convex，（π・T1）and com回ete and．satiSfies （A．1°，2°，4）．Note that究oo（C1）≠To（C1）；fbr example， there isω∈To（C1）such∫that E★（ω）＝｛0｝．Let∫：D（⊂． Cl）→C， and letα∈．Dbe an R−v−inter輌OΣpoint of D for some v（…Too（C1）（for such v， E★（の＝Cl necessarily）． Then∫is】iしv−differentiable at a if and only if there eXists a linear map e：C1→C such that ∫（α＋九」）ゴ（α）一2ω 一一一＞ 0 （（】R−b），i．e．， in the usual sense） ．h，・ f（）rany seqllence｛九」｝inσ1 with九」≠Oand占」→0（1し∋， wheτe 6＝｛β（1／先）｝先∈ T。（C）（1／0＝。。by definiti・n）：One must remark that the linearity・f e means the real linearit｝rl i．e．， e（αzl＋fiz2）＝αe（zl）＋βe（22）fbr any realsα，βand for a泊y 2、，z2∈C、． Of c・皿rse， e＝∫’（α；v）in・the・ab・ve case． Now， let the power seτiesρ（z）＝Σ；’＝o Cnzn（bn， z∈0）have the．‘1adius of conveτgence，， r，0＜r〈．−oo， where the． c．envergence is in C（to be precise， R−b− convergence）．・Assume that， fbr so㎜zo・with．レol＝r， the seriesΣi−o（n十1）cn＋1堵 converges（in C）；then the series ￡9e．o cn’z；also converges（in C）． Put S＝｛z：．同．＜ r｝and 1）＝SU｛ze｝． We regard D as a．’， subset ofσ1， and define∫：D→／Cto be ∫ω＝P（z）on S and∫（2b）＝Σ）こ二〇CnZ8．正et v＝｛．γ（1／kiδo；（Σo）｝烏・∈．S・（C1：）， wLere O＜δ。＜π／2㎝dα。＝arg・zO＋π：The．set．z・＋（γ（1／克，δ・；α・）＼｛0｝）is・cust・m副y
M，HIKIDA、
159
ca皿ed a Sto lz ’s angular domain（ω誠verteq zo and angle 2δ0）．． Th飢・】塾ω＝C1 （so v∈」陪oo（C1））a皿d D is R−−v−open・lt is obvious thatグ姪巳u，〈五危re皿tiable at every z∈Sand∫’（2）（九）＝（．Σ二〇（η十1）cq＋1zn）ん（九∈C1）．、 Furthermore， by AbePs th…em， we see th・t（j）一（k）『 Ef・Th・0・b・ri・3 h old wi・h E：Ci，∬−C，。一。。皿d 9（h）＝（Σ二〇（n＋1）c砧1z；）ん；and 61early（i）．hdds． Therefbre， by Theolem 3，∫ is R．v−differentiαble at zo and f’（zo）＝g． The’tesult also f6110ws from Theorem 1 ・・21・becau・e it・ah b・・h・w・th・品・・r亘esΣ二・r・zn・・dΣ二・（・＋1）・・＋．・z” ar・ unif・・鴫・・皿・C・g・nl on zo＋γ（1／i，δ・；…）， wh・・e i＞1／（2・c・・δ・）・it i・d・ar thgt the setγ（1／i，δo；αo）is R−v−bounded and R−v−gpen． Th・ab・v・a・g・m・4t i・ ・IS・apPli・d t・th・Di・i・H・し、se・i㏄Σ二・c・exp（一λ・勾 （0 ≦ λo ＜ λ1 ＜ … ＜ λn ＜ … → oo）having the “abscissa of convergence，，ノ1， −oo〈ノ1＜oo：We omit details． REMARK 2．（1）We temPorarily ca皿a’ linear space（over R）aguαsi linear ranked space if it satisfies（E．1），（E．3），（E．4’）and（E．5’）（c￡ Appen（五x）． Theorems 1−3 remain valid if we let E be a quasilinear ranked space． Thus， in the above Example， we may take the quasi lineaロanked space（0，｛．V｝）f〈）I thとspace C1， Where W＝VoU｛0｝a皿dV ＝Vnfbr n≧1．
（2）The fbllowing condition（A．1）on a linear ranked space E was giv6n in国： （A．1）B）reach v＝｛Vk｝∈万（E）there is ko such tllat Vk。⊂E（の． It can be shown that 1 iA．1）is equivale皿t to saying that， fbl each v∈冗（E）， if｛場｝∈Q（v）， then thele is n such that the set｛hj：」≧n｝is R−v−bounded．．The ”space−Cl in the above Example does not satis｛y（A．1）；so we see that there exist U∈1巧）（C1）and ｛んゴ｝∈9（u）such that， fbr every n， the set｛hj：ゴ≧n｝is not R；u−b6unded， since 2（U）≠0・bvi・usly． 2．Partia1 derivatives． As bゆre， assume throughout this section that F is a （π一T1）1ineaエranked space satisfying（A．4）． Let E a皿d G be Unear ranked spaces． Letσ：5×世（ω）（⊂E×G）→F， where w∈T・・（G）and・E×Gden・tes the pr・du・t hneaロanked．space（）f E and G． Let b∈5be an R−u−interior pOint of S for some u∈万（E）． Then g is sa輌d to be R−u一 んyp・c・ntinu・tes at・b， if there existsω・∈T・（F）such −that’ 9（b＋九ゴ，蛎）−9（b， yj）→ 0（P：ω1）fbr every｛九」｝with hi→0（RFu）and evely｛防｝∈9（ω）（cf．（e），（h）and （k）of Theorems 1−3）． Nom here to’ the end of this sectio叫1et E1 ×． E2 be the product・五nea’ranked space of linear ranked spaces Ei and El2 ’and ’assume that： ：㌃．ジ．D⊂El×E2；
160
APPLICATIONS・ OF MEAN VALUE THEOREM
二了：・D−→F；』’．〆 』 ’ 「穀」：但浪．ざvΣ希｝ξ端・（Ei’x Ei）i『 一 ．．、’ v、≒｛v，，A｝』∈み（E、），．v、〒｛v2，k｝∈E．（E2）； ．’ 豆一（卯・）、∈．D・鋤C陣巳ρ一inゆ・p・i・t・fD・ ． ．D・＝｛X・∈E・；・．〈・・…）∈ρ｝， D・＝｛9・∈E2・（…．・・）∈D｝・−If・the血・p D・∋玲∫（x・，C・）鯉i・R−Of・繊・ehti・bl・鋤・〒α1坤r・w・
d・n…‘・h曲rd・舳・ive」b・∂・∫（α；の，Cr brie6y’by∂i∫（q）；・nd’・訓1麺・“（挺醐晒・IR一輌1・・興〃垣（碗九卿ect・t・’九ゆ5舌』晒・ble）・The魎l
R二ρ一dとW・励・∂、∫（d；’りi・d・血，・d・滅輌』If∫誌且・−d品・皿ti・b16 at・， th・n ∂、∫（・）＝‘O、f（d；0）』（‘1，2）”exiS’t・hd：㌦− 、 一∫’（・）（露1J、X2）＝∂・∫（・）（・・）＋∂・∫（司（X・）．』．．、・．、 wh。，e（X、，鋤∈Pt（の＝Ek（V、）・恥、）．1C・nv・・』ely ’i・h酌ゼ．．‘…』ゴ・T…R醐4・be‘Db・R−VT・PC・・．飢d lrげb…一．孤d・・敏（A4°）紐d
（A2°）． S・pP・・e‘h・餓∫（・）＝O・f（x；∋（‘＝1，2）・Xi・‘・t・卿・eρ皿dεh・励・ fbμo町ng（a）一（b）力ρ14：、，．t・． ．． ・・ ． 、． tt．・ ’f・）．Th・・鋼・た・opd u・∈f・（F）鋤伍・げ（（・＋防，・・×． V・，k・）∩D）⊂E★（μ1）・ （！）．Thαe」・1；．r・・励・砺，・×巧，・⊂（D−・）∩E★＠）㎝d伽‘・f・・a・y五x・d （h，，h2）∈V・，1、、xV2，・舌五・卿（丑・⊃）［0・1D‥∫（・・＋θhi，・a2＋九・）∈Fi・ con￠」ηqous on ．［0，1］・、 1f∂・∫，刷h・皿・p∂・∫・D×．醗ω∋（・，y）戸∂・∫（・）ω∈F，」・畑吻P㏄・頭皿u・・S at￠＝α，‘hen∫js R−v−differe皿tiable a‘α． ． ． ． PROgF・P・t・（y，・）＝∫（0・＋y…＋・）一∫（・・，・2）一｛∂・∫θω、†∂・∫（・）（・）］， wh・・e （y，2）∈（D’一・）∩y（・）；・hd w・it・・（s）：・）’＝「・、ω，・）．＋・、（・）減ρ・6 ・・（y，・）＝∫（・i＋y，・・＋・）．一∫（・・，a・＋・）一∂・∫（・）（9），．f ”．s2（z）』」∫（αゴ，α2＋z）一∫（α・，α2）−aア（α）（z）・』 Let u2， u3∈フ㌔（∬）be su匂h that｛∂1∫（α）（γ輌，夫∩E★（v1））｝．Kμ2−u2 and∂1∫（α十hj）（防）一 ∂、∫（・）ω→0．（P叫㊤・e卿｛九」｝with九ゴ「・0々）・孤d・V・ry｛yi｝∈Qω；・and besides let u4∈戊㌃（∬）be such thatλ；1s2（λ」ろ）→0（P−u4）f‘）1・eVely．｛ろ｝∈9（ρ2） an4・eyery｛λ」｝∈A−， Chooseψ．∈戊るo（F）sllch：that ul十u2十μ3十u4．rく．・ω・Then， given｛（yi，ろ）｝∈9ωand・｛λ」｝∈∧，・ applying ，the． mean．，yぬe．th《ゆre叫・we see λ；1・・（λ」坊，λ」ろ）→0（P−w）；・nd th・・ef・・eλ；1・（λ」坊，λゴ・」）→0（P一ω）・（We・mit details．）M．HIKIDA・
We sh品1 denote by．v輌×巧・the血1ndamental sequence｛Vi，先×巧，先｝斥∈Too（Ei×Ej）， wh・・e‘，」＝1，2（n・t・ny（・‘X．汚．）＝・蜘輌）X世ω）・ Second−order parti品de㎡v延ives can be ldefined as follows． Let D be R一勿一〇pen and assume that∂1∫（エ）＝Oi f（x；’v）’eXists at every￠∈1）． Then∂2∂1∫（α；の， the 5ec・nd−order．ρ・伽’R−・−derivat劫e㎡∫吻， i・a〃・Xv・・c・孕tinu・田・bilinear map o茸Eキ＠2）×E★（v1）into・F such that the｛bllow輌ng holds：theτe is u∈フ㌔（F）Such thatλ；13（λゴ九」）（防）→0（P−u）fbr every｛㌧｝∈Q（v2）， every、｛防｝∈，Q（v1）and ev− ・・y｛λ元｝．∈．A坤・・e3（九）ω＝∂・∫（・・，・・＋ん）ω一∂・∫（・・，a2）ω一∂・∂・∫（・；v・）（九，9） （（h，y）∈i（（D2一α2）∩Ek｛v2））xE★（㊨1ルThe other second一ρヂder partial R〔vr．derivatives a，ajf（α；∋（‘，」＝1，2）are defined smilarly． The nOtion of R−v−differentiabihty of ∂1∫atα， oT’（∂1∫）’（α；・∋the R一妙一derivative／o∫∂1∫α2α， is㎡sg obtained by 1epla，c− ing， i皿・the definition． of∂2∂1∫（α；句， the・sylhbols“∂2∂1∫（α；v），，，‘‘v2，，，‘‘s（九）（y），；and ‘‘c2一α2，， with tlle symbols“（∂1∫）’（α；の，”‘‘v，，，．‘‘3°（九Xの”an（11D一α，， respectively， where 3＊（h）（y）＝∂1∫（α十九）（y）一∂1∫（α）（y）一（∂1∫）’（α；∋（九， g）． The R−v−derivative （あ∫）’（α；v）is de五ned similarly」 THEoREM 5． Le‘Dbe R−v−qpen， and le‘Fbe cbh”vex and sa‘js」ヶ（A．1°）and （A・27）・．Ar・輌晦‘O・f（x）＝a・f（・；の（i 1・2）・ガ・オ・』・胆四紐d（・）三（b） of Theorem 4 hold． （1）S・PP・se‘力a励・・e」s∼、 s・（カ‘ha‘Vi，己1×V2，1、⊂（D一α）∩廿（㊨）紐ぷ鱈、血 a刀［y五xed（hl， h2）∈Vl，ll×レら，’1，‘力e mal）（盈1⊃）【0，1］∋θ⇔∫（α1十ん1，α2，十砺，）∈R 」sc・n‘」皿u・us・n［0，1】・1f∂・f and a2f are R−v−（k’fferentia’・ble・a‘α，伍㎝鯵∬・ト ∂‘aゴ∫（α；∋（i，」＝1，2）eXist． ． ・ ，②S・卿幽3舌舌』・・e痴・P・岬dω・栖（F）（‘1，2）・uCh th・瞬・⊂E（・・）
・・d・ f・r each i・a∫（司（V，1，・∩｝i｝k（・・））⊂E，r（ω油・・y x∈（・＋V・，・巧，・埠D・．S叩｝ ‘h・‘∂、∂、∫（・）＝∂」∂、∫（・；∋斑・‘・at・ev・・y・x∈D；a・d・叩P・姪ε砧a莇・・e返Z、 s・・h ‘ha‘γi，12×V2，82⊂（1）一α）∩E★（∋and‘ha‘，」br any五xed（ん1，九2）∈Vl，12×ルら，12，奮力e口3丙P （Rl⊃）【0，1DθH∂・∫（・・＋九・，α2＋θゐ2）（九・）∈Fisc・n‘」加…㎝［0，1］．∬∂、∂、∫， as‘血e ma￠）∂2∂1∫：D×Ek（ti2×vl）∋‘（エ，z）ト〉∂2∂1（￠）（z）’∈F， js R一ひ垣pocOn‡」ηuous a‘虚＝．α，・仕en∂、∂2∫（α）＝∂、あ∫（α；∋exis‘S． ．’ ・．． Moreove］ら」孕（1） alld（2）7 va∋have ∂・仇f（α）（x1，x2）＝あ∂、∫（α）（露2画）・・一 ．・ ・ f‘）r（￠1，X2）∈Ek（Vi）×餅（v2）． i ’ PR・・F・（1）・By・th・f・・t・t・t・d b・㊤・e The・r・叫⑭∫（・）・傾・r・by 鍋∫（αXy・，Y2）＝（∂・∫）’（・）（（Y・，0）， y・），161
162
APPLICATIONS OF、MEAN V肌UE THEOREM
∂2＆f（α）（z、，z2）＝（∂2∫）’（α）（（0，z、），z2），・』’ ：’ ∂、∂2∫（αX￠、，x2）＝（∂2∫）’（α）（（Xi，0），￠2），『 ∂、∂、∫（の（・、，・、）＝（∂、ノ）’（・）（（0，・、）；・、）， where・（∂輌∫）’（α）＝（∂げ）’（α；の（i＝1，2），（Y1，Y2）∈Et（vi）2，（zl，z2）・∈世（v2）2、 a皿d （￠ユゴ．x2）∈Es「（v1）xE★（v2）． The proof of∂1あ∫（α）｛￠i，￠2）＝∂2∂1∫（α）（x2，￠i）is a皿alo． 9・us‘t・that・f［2，・Lemma 2］， and・iS・theref・re・mitted・ （2）：Let．ω3∈チb（F）be such thatあ∂1∫（α十￠」）（ろ）一∂2∂1∫（α）（ろ）→O（P−・ ω3）for every｛ち｝with￠」→0（R−∋and every｛zj｝∈2（穀2×vl）． Chooseω・＝ ｛Wk｝∈∫bo（・P）such that ul十ω1十ω2十ω3舗くωゴwhere ul is as in（a）・ Let ｛ん」｝∈2（v、），｛yi｝∈2（v、）皿d｛λ」｝’∈A． Giv・nk，・』・・ems・1・・g・th・tm≧ max｛k，ko，1，12，ρ， q｝，3Wm⊂Wk and Wm’⊂Et（ω）， where溌o a皿d l are as in（a）and in（b）respectively． Then there is 」”such that・ λ」九」∈Vi，m， λ」坊∈v2，… ． 、 ． 砺∂1∫（α1＋θλ」九」，α2＋ξλ豆yゴ）（yゴ，九」）一∂2∂1∫（α1，α2）（坊，九ゴ）∈VVm−Wm， wheneverゴ≧ゴ’，θ∈【0，1］dndξ∈［0，1】． Fbご」≧ゴ’． Then， si皿ce yi∈E（vi）， ｛Y，n｝n∈2（v2）， where Yin＝防for all n． Choose｛μπ｝∈Asuch that O＜μn≦λj for all n． ThLe皿 あ∫（α、＋，λ」九力α2）（yゴ）一∂2∫（α・，α2）ω ＝μ；’［∂、∫（α、＋λ」九ゴ，・、）（μ。防）一あ∫（・・，・・）（μ。防）】’ 一μ；1［∫（・・＋λ如・＋醐）イ（α、＋λ」九」，α2）三∫（・・！・・＋卿＋∫（・・i・・）］ ＋μ；1（・、バ32，。） where・ ・・，。＝∫（・・，α2＋μ。Y」）一∫（・・，α・）raf（・・，・2）（醐）， 32，。＝∫（α、＋λ」んゴ，α2＋i・。Y」）一∫（α、＋λ」ん」，q2）一＆∫（α・＋λ」九」，α2）（μ。y豆）・ Put sn＝sl，n−s2．n． Since sn∈E★（ω）andμ；15n＝II；lsl，n−iiFls2，n→0（P）， μ；18n→0（P一ω）by（A．2°）． Choose n such that t．． λ；1μ；15。∈Wm−Wm， and fix it． Define 1ﾕ：［O，1】（−⊂Ri）→，F’by ∼ρ（θ）＝∫（ai十θλ）ノ弓；α2十μ鴨シ」）一・f（ai十θλ」九元，α2）．M． 」・H】KIDA Then lρis co皿timlous on・［0，1】， and is R−d三ffe肥皿tiable on［0，1）and 9’（θ）＝∂、∫（・i＋θλjゐ刃・、＋醐）（λ」九ゴ）一∂、∫（・、＋θλ」九ゴ，・、）（λゴ九」）． Fb【θ∈［0，1）， a浪d defineψ：【0，1】（⊂丑1）→Fby ψ（ξ）＝∂1∫（α1＋θλ」九」，α2→一ξμπ防）（λ」九ゴ）． Thenψis continuous ol1［0，1］， and is R−differentiable on［0，1）a皿d． ψ’（ξ） ＝ ∂2∂1∫（α1＋θλノ，ゴ，α2＋ξμπ坊）（Bnyi，λゴhj） ∈μπλ」（VVm−Wlm）十μ九λゴ∂2∂1∫（α1，α2）（3ら・，九ゴ）ピ
Hence
9’（θ）＝ψ（1）一ψ（0）∈μπλゴVVm−Wm（P，ω）＋μπλ」∂2∂1∫（α1，α2）（防・，九ゴ）， sinceψ（［0，．1】）⊂E★（ω）andψ’（［0， i））⊂E★（W）， Therefqre q（1）−9（0）∈μπλjWm一ワVm（P一ω）十μπλ」偽∂1∫（α1，α2）（防・，hi）， since y）（［0，1］）⊂E★（ω）and g’（［0，1））⊂E★（ω）． Conse（luently we haVe λ；1［∂・∫（・・＋λ」ゐ」，・・）（y」）−af（・・，・・）（防）］ ＝λ；1μ；1（q（1）−9（0））＋λ；’μ。1 lsn．． ’ ∈ Wm−Wm（P一ω）十Q∼∂1∫（α1，α2）（yj，九」）十VVm−Wm ⊂Wk−VVk＋∂2∂・∫（α・，α2）（防・，九∫）， that is， λ；1【∂・∫（α・＋λ」九」，α2）（yi）一∂・∫（・・，・・）（坊）−02∂・∫（・・，・・）（防，：λ」んゴ）］∈VVk−Wk P頑d・dj≧プ・Thti・∂・Ojf（・）・Xi・t・a・d∂・＆f（・）（九， y）＝∂・∂・∫（・）（y，ん）（（九，y）∈ E★＠1）×E★（v2））． REMARK 3．（1）The hypotheses of Theolem 5（1）imply the R−v−differentiabili−ty of∫atα． This fbllows from Theorem 4， since the R−v−dif』entiability of∂1∫atα impli題the R一ぬypoconti血皿ty of∂1∫atα（c￡・ ［2， Le輌1D． （2）In the particular case where． ．Ei＝E2＝RI in Theorem 5， all∂；aif｛α）are ・ymm・t・i・and∂、あ∫（・）＝02∂、∫（・）．1・Th…em 5②， th・as・umpti・n・“V、，。⊂E（v。） for．someρ”is need｝ess i・f v2十句く・v2．1皿Theorems 4−5， if・ v is symmetric， then （b）and the assumptions of continuities of the mapsθ←⇒・∫（α1十、九1，α2十θ九2）． and163
164L
APPLICATIONS OF MEAN．V肌UE THEOREM
θH∂1∫（α十九1，d2十θ九2）（九i）a【e・supe㎡luous．（c￡』【21）． The thθorぬs・also remaih’v棚
ﾁ昂㎝d跳rΨ〔’hneaHC岬lipg￡es，．（cf・．Rem〔k 2ω）・
3．Note8． In t垣s sectio皿we show that some known theorems fo皿ow f【om our reSUlts． L・txb・a・eal 1°c凪y C・pv・？［・p反・w㎏・e tCpglf．．gy iF i・duced』−t・bl・ sepaエating famiy of semi一皿orms．1卜‖π（n＝1，2，．＿）stitis｛ying ll￠1』≦11xlln÷1（x∈x）： we tempolar丑y call such q space X・a《lc碗η施b「y 3eη2i−nσrmed spαcε．．：Let／V（X＞・＝ ｛γ（・，・）・・＝1・2，・∵・・＞0｝・輌・γ（・・r）一、｛x∈．X・1国』〈r｝・．N（X）i・a．bas・ f（）rthe neighboエhoo（1’ systein 6f O 6f X． AS in［4；． Rk血泣k l］， put．｝㌔＝｛γ（η，ε）：ε＞ 1｝U｛X｝a皿dVh＝｛γ（れ，ε）：［1／ε］＝n｝五）r・n…＝1，2∴．∴．Then（X，｛Vn｝）becomes a linear ranked space；we de皿（）te it by Xr． Obviously X．輌s symmetric， convex，（g−T1） a皿dsatisfies（A．2°，4）；and as E（の＝X．｛br any v∈fo（Xア）， foo（Xr）＝fo（．Xlr）and X．satisfies（A．1）（cf『Rema【k 2（2））．．＆血the士more，ち→￠in｝X迂and only if￠」→x （R）i・Xr・and X is c・卿1・ピi！皿日．・nly if．苓ir・・頑・tρ1．．． 、．． Let・X・and Y be c・u批棚y Se血一h・・ined’・P・k b・j and∫・．D：（⊂X）→Y， Viti6i・Di・・p・n・Tak・3Ψ∈石（X・）1・The・，ノ． is．興rε雌麺典・t・四（f・‘五・・ense
of［5］）jf and o且iy if f：1戊（⊂X．）→｝；js R−v−（fifferentiable．aεα；and‘hen‘五e Fr（尭heオ and the R−v−der’is庖‡fves．（if’f．atα．arb．c（jiロcident． The．‘｛（加1y if，， paxt、vas Show血in tlle proof of［4， Coldlaly 1］． Tb plove中e‘「坪，．paエt，putア（h）＝∫（α十九）一∫（α）一∫’（α）（九）， wh・・e∫’（・）is・h・R−v−d・ri・a・一∫…輌h is㎡・6c6n・iW面・・a・・…th・m・p∫’（α）：X→γ．Assume f iS皿dt・騰het品とenti沁le atα．・Then』e e垣st a
・equ・nce｛λ」｝6f・e品血血b・・s withλ」≠o㎝4λ元→0皿d a託qu・hce｛㌧｝・f p・int・ of some bounded subset of X suφthat厚1 r（λゾリ）．hOip y：we．may assume Aj＞0， since the me血bels ofノゾ（X）a皿d／V（γ）ale bala皿ced． Since we liee｛ん」｝∈9（∋， it foll・w・丘・m th・R−v−di｛fe・e・ti・bility・・f・f at・th・tλ；1・（λ」1与）→0（R）in・Y， ’ iC￡；識興1（・2））；1麺d・？λ；1・（剃？°叫・．cg加ψigtign∵・・．．／．．・
Fro血the above observ欲ion and Remark 1（1）， Theorem 2 yields COROLLぷy． i．缶e‘． X㌧aO∂γ：b6．・6睡鋤s・㎡こn・ith6∂』Spaftt・，・吐e踵Y垣 complete． Let プ』：1）．（⊂ X） → γ （n ＝ 1，2，．．．） be F）6che‘differとntiableと）n 1）； where D．」sφ言㎝．…SUPP・se・鋤ち1 for・ ・some．α．e1），．伽β吋：ti・nεe仏（α）｝・・nvetge・； and sφウδse：‘止a‘吋力ere．語γ∈．XV’ iX）・・suChi that．γ三⊂．D．一αa頃d．．th6 fbllowing’一（＊） h（）ldS：（・）8輌ve皿σ∈4r（y）・・皿d a・b・・血（led． sqbOet Bl’．・f X3．￡力ere fs句．S諏力・』ε fk−（X）（九）一ミプ1（￠）（九）∈・σ一． ttheneltier．7η．．≧n．二≧．noj・￠’∈α・十．V．．and h疋…βそThen，・fOr each毎．∈口十Vプ雄eseqロence・｛fn（る）｝・has／a’．五miち．de取0‘日d．byプ（￠）；・｛fn｝｛jS U皿輌fと｝rmly 。・riVetgent・ to f・ ori『eぬb6ロロ｛ied’subSbt，S（㎡・α：＋V；・and f．isFt（khet−（紐】n掘able 話e岨γ輌血￠e加、画丑口・（ぜ．8，．．鑓d∫｛（X）㈲＝．hm』」旨（司（九）（九eX）（，this eenfergence、．．．
